Müfredat/D6
D6 — Diferansiyel Denklemler ve Uygulamalı Matematik
6.01 — Diferansiyel Denklem Fikri ve Modelleme
- 6.01.01Diferansiyel denklem neden vardır?
Fonksiyonu değil değişim yasasını biliyorsak ne yaparız?
- 6.01.02Diferansiyel denklemleri sınıflandırmak
Bir denklemin yapısı çözmeden önce nasıl tanınır?
- 6.01.03Çözüm, çözüm ailesi ve başlangıç/sınır koşulları
Diferansiyel denklem neden tek çözüm belirlemeyebilir?
- 6.01.04Gerçek bir sistemden diferansiyel denklem kurmak
Değişim yasası gerçek sistemden nasıl çıkarılır?
6.02 — Birinci Mertebe Diferansiyel Denklemler
- 6.02.01Yön alanları ve çözümü bulmadan davranışı görmek
Denklemi çözmeden çözüm eğrileri görülebilir mi?
- 6.02.02Ayrılabilir denklemler
Değişkenler ayrılırsa ODE integrale dönüşür mü?
- 6.02.03Birinci mertebe lineer denklemler ve integrasyon çarpanı
(y'+py=q) için ortak yöntem var mı?
- 6.02.04Tam diferansiyel denklemler ve potansiyel fonksiyon
ODE gizli bir toplam diferansiyel olabilir mi?
- 6.02.05Dönüşüm gerektiren birinci mertebe denklemler ve doğrusal olmayan modeller
Uygun değişken değişimi denklemi basitleştirebilir mi?
6.03 — Yüksek Mertebeli Lineer Diferansiyel Denklemler
- 6.03.01Neden yüksek mertebeli denklemler?
Birinci türev yetmediğinde hangi bilgi gerekir?
- 6.03.02Lineer diferansiyel operatör ve çözüm uzayı
Lineer ODE neden lineer cebire benzer?
- 6.03.03Sabit katsayılı homojen denklemler
Neden (e^{rx}) doğal çözüm adayıdır?
- 6.03.04Tekrarlı ve karmaşık karakteristik kökler
Kökler çakışır veya karmaşık olursa çözüm ne olur?
- 6.03.05Wronskiyen ve temel çözüm kümeleri
Çözümlerin bağımsızlığı nasıl test edilir?
- 6.03.06Homojen olmayan denklemler ve süperpozisyon
Dış zorlama çözümü nasıl değiştirir?
- 6.03.07Belirsiz katsayılar yöntemi
Zorlama biçiminden özel çözüm tahmin edilebilir mi?
- 6.03.08Parametrelerin değişimi
Genel zorlama için sistematik özel çözüm var mı?
6.04 — Salınımlar, Sönüm ve Rezonans
6.05 — Varlık, Teklik ve Nitel Teori
- 6.05.01Çözüm gerçekten var mı ve tek mi?
Denklem yazmak çözümün varlığını garanti eder mi?
- 6.05.02Maksimal çözüm aralığı ve sonlu zamanda patlama
Yerel çözüm neden bütün zamana uzamayabilir?
- 6.05.03Otonom denklemler, denge noktaları ve faz doğrusu
Çözmeden uzun dönem davranışı görebilir miyiz?
- 6.05.04Kararlılık
Küçük başlangıç hataları zamanla ne olur?
- 6.05.05Bifürkasyon
Parametre değişimi sistemin nitel davranışını nasıl değiştirebilir?
6.06 — Diferansiyel Denklem Sistemleri ve Dinamik Sistemler
- 6.06.01Yüksek mertebeli denklemi birinci mertebe sisteme dönüştürmek
(n). mertebe ODE durum uzayına nasıl çevrilir?
- 6.06.02Lineer sistemler ve matris üstel fonksiyonu
(x'=Ax)'in doğal çözümü nedir?
- 6.06.03Özdeğerlerle lineer sistem çözümü
Özdeğerler zaman davranışını nasıl belirler?
- 6.06.04Tekrarlı özdeğerler ve Jordan yapısı
Yeterli özvektör yoksa ODE sistemi nasıl çözülür?
- 6.06.05Karmaşık özdeğerler ve düzlemsel dinamik
Kompleks özdeğer reel faz düzleminde nasıl görünür?
- 6.06.06Faz düzlemi ve lineer denge noktalarının sınıflandırılması
İki boyutlu sistemin tüm resmi nasıl görülür?
- 6.06.07Doğrusal olmayan sistemler ve lineerleştirme
Nonlineer sistem denge yakınında lineer sisteme benzer mi?
- 6.06.08Lyapunov yöntemi ve doğrusal olmayan kararlılık
Çözümü bulmadan kararlılık nasıl kanıtlanır?
6.07 — Seri Çözümleri ve Sturm–Liouville'a Geçiş
- 6.07.01Kuvvet serisiyle diferansiyel denklem çözmek
Kapalı çözüm yoksa seri çözümü kurulabilir mi?
- 6.07.02Tekil noktalar ve Frobenius yöntemi
Taylor serisi bozulursa nasıl genellenir?
- 6.07.03Başlangıç değer problemi ile sınır değer problemi arasındaki fark
Koşullar farklı noktalara verilince problem neden değişir?
- 6.07.04Sturm–Liouville problemi
Hangi BVP'ler doğal özdeğer/özfonksiyon üretir?
- 6.07.05Özfonksiyonların ortogonalliği ve açılımlar
Özfonksiyonlar neden Fourier bazları gibi davranır?
6.08 — Özel Fonksiyonlar ve Spektral Yapı
- 6.08.01Legendre denklemi ve Legendre polinomları
Küresel açısal problemlerde neden Legendre fonksiyonları çıkar?
- 6.08.02Bessel denklemi ve Bessel fonksiyonları
Silindirik simetride neden Bessel fonksiyonları çıkar?
- 6.08.03Özel fonksiyonlar ve ortogonal fonksiyon aileleri
Sinüs, Legendre ve Bessel hangi ortak yapıdadır?
- 6.08.04Green fonksiyonları
Lineer operatörün bütün zorlamalara cevabı tek çekirdekle temsil edilebilir mi?
- 6.08.05Öz-eşlenik operatörler ve spektral bakış
Diferansiyel operatörler simetrik matrisler gibi davranabilir mi?
- 6.08.06Sınır değer problemlerinde varlık, teklik ve rezonans
Her zorlama her sınır koşulunda çözüm üretir mi?
6.09 — Laplace, Fourier ve İntegral Dönüşümleri
- 6.09.01Dönüşüm fikri: problemi başka uzayda çözmek
Temsil değiştirmek problemi neden kolaylaştırabilir?
- 6.09.02Laplace dönüşümünün doğuşu ve tanımı
Zaman fonksiyonunu üstellerle tartmak neden yararlıdır?
- 6.09.03Laplace dönüşümünün temel özellikleri
Türev dönüşüm alanında neye dönüşür?
- 6.09.04Ters Laplace dönüşümü
Dönüşüm alanından zaman alanına nasıl döneriz?
- 6.09.05Laplace dönüşümüyle başlangıç değer problemleri
ODE Laplace alanında cebirsel probleme dönüşür mü?
- 6.09.06Basamak fonksiyonları ve parçalı zorlamalar
Belirli anda değişen girdi tek formülle nasıl yazılır?
- 6.09.07Dirac delta ve impuls fikri
İdeal ani darbe nasıl temsil edilir?
- 6.09.08Konvolüsyon ve sistem cevabı
İmpuls cevabından genel girdi cevabı üretilebilir mi?
- 6.09.09Fourier serileri: periyodik fonksiyonları frekanslarına ayırmak
Periyodik dalga sinüs/kosinüs koordinatlarına ayrılabilir mi?
- 6.09.10Fourier dönüşümü
Periyodik olmayan fonksiyonlar frekanslara nasıl ayrılır?
- 6.09.11Fourier dönüşümünün yapısal özellikleri ve diğer integral dönüşümleri
Türev, kaydırma ve konvolüsyon frekans alanında nasıl görünür?
6.10 — Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler
- 6.10.01PDE neden ortaya çıkar?
Bilinmeyen hem uzaya hem zamana bağlıysa yasa nasıl yazılır?
- 6.10.02İkinci mertebe PDE’lerin sınıflandırılması
Isı, dalga ve denge denklemleri neden farklı davranır?
- 6.10.03Birinci mertebe PDE’ler ve karakteristikler
PDE uygun eğrilerde ODE'ye dönüşebilir mi?
- 6.10.04Dalga denklemi
Titreşim uzayda nasıl yayılır?
- 6.10.05Isı/difüzyon denklemi
Yoğunluk neden zamanla düzgünleşir?
- 6.10.06Laplace ve Poisson denklemleri
Zaman bağımsız denge alanları hangi denkleme uyar?
- 6.10.07Değişkenlerine ayırma yöntemi
Çok değişkenli çözüm tek değişkenli çarpanlara ayrılabilir mi?
- 6.10.08Fourier yöntemleriyle PDE çözümü
Başlangıç verisi modlara ayrılarak çözüm kurulabilir mi?
- 6.10.09Fourier ve Laplace dönüşümüyle PDE çözümü
Sınırsız bölgede dönüşüm PDE'yi nasıl basitleştirir?
- 6.10.10Enerji yöntemleri ve teklik
Açık çözüm olmadan teklik/kararlılık gösterilebilir mi?
- 6.10.11Maksimum prensibi
Isı ve harmonik fonksiyon neden içeride yeni maksimum oluşturmaz?
6.11 — Genelleştirilmiş Çözümler ve İleri PDE Dili
- 6.11.01Klasik çözüm neden bazen yetmez?
Fiziksel çözüm gerekli klasik türevlere sahip değilse ne yaparız?
- 6.11.02Dağılımlar ve zayıf türevler
Türevlenmeyen fonksiyonların türevi genelleştirilebilir mi?
- 6.11.03Sobolev uzayları
Fonksiyon ve zayıf türevleri aynı normda nasıl kontrol ederiz?
- 6.11.04Zayıf formülasyon ve varyasyonel yöntem
PDE nokta nokta yerine test fonksiyonlarına karşı sağlanabilir mi?
6.12 — İleri Uygulamalı Analiz ve Saçılma Teorisi
- 6.12.01Helmholtz denklemi ve zaman-harmonik dalgalar
Tek frekanslı dalga neden zamandan bağımsız Helmholtz problemine dönüşür?
- 6.12.02Temel çözümler, Green fonksiyonları ve resolvent fikri
Noktasal kaynak genel kaynak çözümüne nasıl temel olur?
- 6.12.03Gelen, saçılan ve toplam dalga
Engel karşısındaki dalga problemi nasıl parçalanır?
- 6.12.04Radyasyon koşulu ve dış bölge problemleri
Sonsuz uzayda fiziksel olarak doğru giden dalga nasıl seçilir?
- 6.12.05Saçılma genliği, uzak alan ve Born yaklaşımı
Uzaktan ölçülen saçılma nesne hakkında ne söyler?
- 6.12.06Ters problemler ve ters saçılmaya giriş
Ölçülen dalgadan bilinmeyen nesne geri bulunabilir mi?