1.01.01 — Matematik aslında neyi inceler?

Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Bölüm: 1.01 — Matematiğin Doğası ve Soyutlama
Ön koşul: Yok
Temel soru: Matematik yalnızca sayı ve hesap mıdır?
Bağlantı: 1.01.02 — Soyutlama, örüntü ve genelleme

Haritadaki yerimiz

Bu, Matematiğin Haritası'ndaki ilk öğrenme birimidir.

Henüz sayı sistemlerini, denklemleri, fonksiyonları veya ispat yöntemlerini öğrenmeye başlamıyoruz. Önce daha temel bir soruyu cevaplamamız gerekiyor:

Matematik dediğimiz şey aslında neyle uğraşır?

Çünkü matematiği yalnızca "sayılarla işlem yapmak" olarak düşünürsek ileride karşılaşacağımız kümeler, fonksiyonlar, geometrik yapılar, sonsuzluk, olasılık, topoloji veya soyut cebir gibi alanların neden matematik olduğunu anlamakta zorlanırız.

Haritadaki konum

1.01.01
Matematik aslında neyi inceler?
        │
        ▼
1.01.02
Soyutlama, örüntü ve genelleme
        │
        ├──► Matematiksel dil ve mantık
        ├──► Kümeler ve fonksiyonlar
        ├──► Sayılar ve cebir
        └──► İleri matematiksel yapılar

Matematik gerçekten hesap yapmak mıdır?

Şu ifade bize açıkça matematik gibi görünür:

17+28=45

Burada sayılar var ve bir hesap yapıyoruz.

Fakat şimdi başka sorular düşünelim.

Dört farklı matematik problemi

1. Bir şehirde bazı metro istasyonları birbirine doğrudan bağlıdır.
A istasyonundan F istasyonuna aktarmalar yaparak ulaşmak mümkün müdür?

2. Bir şekli döndürdüğümüzde hangi özellikleri değişmeden kalır?

3. Bir iddia, verilen varsayımlardan zorunlu olarak çıkar mı?

4. Bir yüzey üzerinde iki nokta arasındaki mümkün yolların hangisi en kısadır?

Bu soruların hiçbirinde başlangıçta yapılması gereken şey basitçe "sayıları topla, çıkar, çarp veya böl" değildir.

İlk önemli kırılmamız burada ortaya çıkıyor:

İlk temel fikir

Hesap yapmak matematiğin bir parçasıdır; matematiğin tamamı değildir.

Matematik, çok daha genel olarak matematiksel nesneleri, bu nesnelerin özelliklerini, aralarındaki ilişkileri ve bunların oluşturduğu yapıları inceler.

Eski düşünce neden yetmiyor?

Eğer matematiği yalnızca

"sayılarla hesap yapma işi"

olarak tanımlarsak bazı açık matematik problemlerini açıklayamayız.

Örneğin metro problemine dönelim.

İstasyonların adları şöyle olsun:

A   B   C   D   E   F

Bizi ilgilendiren esas şey istasyonların isimleri değildir.

İstasyonların mimarisi de değildir.

Duvar renkleri, günlük yolcu sayıları veya trenlerin markası da sorumuz açısından önemli değildir.

Asıl bilgi şudur:

Hangi istasyon hangi istasyona bağlıdır?

Bir örnek bağlantı düzeni şöyle olabilir:

Bir metro bağlantı ağı

A ─── B
│     │
│     D ─── E ─── F
│    /
C ──

A istasyonu B ve C'ye, B istasyonu D'ye, C istasyonu D'ye, D istasyonu E'ye ve E istasyonu F'ye bağlıdır.

Şimdi A'dan F'ye ulaşılıp ulaşılamayacağı sorusunu araştırabiliriz.

Burada matematiğin konusu istasyonların kendisinden çok aralarındaki bağlantı yapısıdır.

Bu örnekte sayı kullanmak zorunda bile değiliz.

Dolayısıyla:

\text{Matematik} \neq \text{yalnızca sayı hesabı}

Matematiksel nesne

Matematikte üzerinde düşündüğümüz şeylere genel anlamda matematiksel nesne diyebiliriz.

Örneğin:

bir sayı,
bir nokta,
bir doğru,
bir üçgen,
bir küme,
bir fonksiyon,
bir matris,
bir vektör

matematiksel nesne olarak ele alınabilir.

Şimdilik bunların çoğunun ne olduğunu bilmek zorunda değiliz.

Burada önemli olan fikir şudur:

Nesne ne demektir?

Matematiksel nesneyi, matematiksel düşüncemizin "neyin hakkında konuştuğu" olarak düşünebiliriz.

Bir problemde önce şu soruyu sormak çok yararlıdır:

Buradaki matematiksel nesneler neler?

Fiziksel nesne ile matematiksel nesne aynı şey değildir

Beş elma düşünelim:

🍎 🍎 🍎 🍎 🍎

Elmalar fiziksel nesnelerdir.

Fakat

5

bu elmaların hiçbiri değildir.

Şimdi elmaları kaldırıp beş motosiklet koyalım:

🏍️ 🏍️ 🏍️ 🏍️ 🏍️

Fiziksel nesneler tamamen değişti.

Ama korunan bir şey var:

5

"Beş elma" ile "beş motosiklet" çok farklı gerçek dünya durumlarıdır.

Matematik ise bunların ortak bir yönünü ayırabilir:

Beş tane olma durumu.

Bu fikir bizi bir sonraki birimde ayrıntılı olarak öğreneceğimiz soyutlama kavramına götürecek.

Matematiksel özellik

Bir nesnenin sahip olduğu matematiksel niteliklere özellik diyebiliriz.

Örneğin $12$ sayısını düşünelim.

Bu sayı için şunları söyleyebiliriz:

pozitiftir,
çifttir,
$3$ ile tam bölünebilir.

Burada:

12

incelediğimiz nesnedir.

"Çift olmak" veya " $3$ ile tam bölünebilmek" ise onun özellikleridir.

Aynı ayrımı geometrik bir nesnede de yapabiliriz.

Bir kareyi düşünelim.

Kare bir nesnedir.

Dört kenara sahip olması, karşı kenarlarının paralel olması ve köşelerinin belirli özellikler taşıması ise o nesnenin özellikleridir.

Nesne ile özellik ayrımı

Matematikte yalnızca

"Bu şey nedir?"

diye sormayız.

Aynı zamanda

"Bu şey hangi özelliklere sahiptir?"

sorusunu da sorarız.

Matematiksel ilişki

Şimdi üç sayı düşünelim:

2,\qquad 5,\qquad 8

Bunları ayrı ayrı inceleyebiliriz.

Ama aralarında ilişkiler de vardır:

2<5

5<8

Buradaki "küçüktür" ifadesi iki matematiksel nesne arasında bir ilişki kuruyor.

İlişki kavramı sayılarla sınırlı değildir.

Örneğin:

iki doğrunun paralel olması,
iki kişinin aynı grupta bulunması,
iki şehrin doğrudan bir yolla bağlı olması,
bir sayının başka bir sayıyı bölmesi

hep ilişki fikrinin farklı görünümleridir.

İlişkiyi fark etmek

Bir problemde ikinci önemli soru şudur:

Matematiksel nesneler birbirleriyle nasıl ilişkili?

Bazen problemin bütün özü nesnelerin kendisinde değil, bu ilişkilerde bulunur.

Kural nedir?

Nesneler ve ilişkiler hakkında hangi davranışlara izin verildiğini belirleyen koşullar da matematiksel yapının parçasıdır.

Metro örneğinde:

bir istasyondan yalnızca doğrudan bağlı olduğu istasyona geçebiliriz,
sonra oradan başka bir bağlantıyı kullanabiliriz.

Bir oyunda:

hangi hamlelerin yapılabildiğini

belirleyen kurallar olabilir.

Bir sayı sisteminde:

hangi işlemlerin nasıl davranacağını

belirleyen kurallar bulunabilir.

Bu noktada henüz bu kuralları biçimsel olarak incelemiyoruz.

Yalnızca matematiksel bir problemin çoğu zaman şu unsurlardan oluştuğunu fark ediyoruz:

Bir matematik problemini okuma çerçevesi

Bir matematik probleminde şunları arayabiliriz:

Nesneler: Neler hakkında konuşuyoruz?
Özellikler: Bu nesneler hakkında neler doğru?
İlişkiler: Nesneler birbirleriyle nasıl bağlantılı?
Kurallar: Hangi davranışlara veya işlemlere izin veriliyor?
Problem: Bunlar hakkında neyi öğrenmeye çalışıyoruz?

Yapı fikri

Şimdi çok önemli bir kelimeyle karşılaşıyoruz:

yapı.

Bu kavram ileride matematiğin her tarafında karşımıza çıkacak.

Şimdilik kesin ve genel bir aksiyomatik tanım vermeyeceğiz. Fakat güçlü bir zihinsel model kurabiliriz.

Matematiksel yapı

Bir grup nesne ile bu nesneler arasındaki ilişkileri, işlemleri veya kuralları birlikte düşünmeye başladığımızda bir matematiksel yapı görmeye başlarız.

Kabaca:

\text{nesneler} + \text{ilişkiler} + \text{işlemler ve kurallar} \longrightarrow \text{yapı}

Bu fikir çok güçlüdür.

Çünkü iki problem yüzeyde tamamen farklı görünebilirken aynı matematiksel yapıya sahip olabilir.

Aynı matematik, farklı gerçeklikler

Bir sosyal ortam düşünelim.

Altı kişi var ve bazı kişiler birbirini tanıyor.

Başka bir problemde altı bilgisayar var ve bazı bilgisayarların arasında doğrudan bağlantı bulunuyor.

Üçüncü problemde altı şehir var ve bazı şehirlerin arasında doğrudan yol bulunuyor.

Yüzeyde:

insanlar,
bilgisayarlar,
şehirler

birbirlerinden tamamen farklı şeylerdir.

Fakat üç problemde de yalnızca

hangi nesnenin hangisine bağlı olduğu

önemliyse ortak bir matematiksel yapı ortaya çıkar.

Somut ayrıntıdan ortak yapıya

İnsanlar arasındaki ilişkiler ──┐
                               │
Bilgisayar bağlantıları ───────┼──► Bağlantı yapısı
                               │
Şehirler arasındaki yollar ────┘

İnsan ilişkileri, bilgisayar bağlantıları ve şehir yolları gibi farklı gerçek dünya problemleri bağlantı yapısı soyutlandığında aynı matematiksel yapıya indirgenebilir.

Matematiğin temel gücü

Matematik çoğu zaman nesnelerin ne olduğundan çok, aralarında bulunan ortak yapıyla ilgilenebilir.

Bu nedenle aynı matematik çok farklı problemlerde yeniden kullanılabilir.

Hesap ile matematiksel düşünme arasındaki fark

Şimdi basit bir örüntüye bakalım.

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

Bunları hesaplamak bir matematiksel faaliyettir.

Ama sonuçları biraz farklı yazalım:

1+3=2^2

1+3+5=3^2

1+3+5+7=4^2

1+3+5+7+9=5^2

Şimdi artık yalnızca hesap yapmıyoruz.

Bir örüntü fark etmeye başladık.

Belki şöyle genel bir ilişki vardır:

1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2

Burada matematiksel düşünce yeni sorular doğurur:

Bu ilişki gerçekten her $n$ için doğru mu?
Neden doğru?
Birkaç örnekte çalışması yeterli mi?
Bunu nasıl gösterebiliriz?

Bu sorular bizi daha sonra genelleme ve ispat kavramlarına götürecek.

Önemli ayrım

Birkaç örneğin doğru çıkması genel bir matematiksel iddianın doğru olduğunu tek başına göstermez.

Örüntüyü fark etmek ile onun her durumda doğru olduğunu kanıtlamak farklı şeylerdir.

Bu ayrımı ilerleyen birimlerde ayrıntılı olarak öğreneceğiz.

Matematik ne tür sorular sorar?

Matematik problemleri yalnızca

"Sonuç kaç?"

biçiminde değildir.

Matematikte şu tür sorular da temel öneme sahiptir.

Varlık

Böyle bir nesne var mı?

Teklik

Varsa yalnızca bir tane mi?

Sınıflandırma

Bu özelliklere sahip bütün nesneler hangileri?

İlişki

Bu iki nesne arasında nasıl bir bağlantı var?

Değişmezlik

Bir dönüşüm yaptığımızda hangi özellikler korunur?

Optimizasyon

Mümkün seçenekler arasında en iyisi hangisidir?

Genelleme

Bu sonuç yalnızca bu örnekte mi doğru, yoksa daha geniş bir yapının parçası mı?

Gerekçelendirme

Bunun doğru olduğunu neden biliyoruz?

Bu son soru matematiğin ayırt edici yönlerinden biridir.

Matematik yalnızca bir sonuca ulaşmakla yetinmez.

Sonucun neden zorunlu olduğunu anlamaya çalışır.

Matematik neden bu kadar farklı alanlarda kullanılabiliyor?

Elma örneğine yeniden dönelim.

Bir yöntem yalnızca elmaları sayabiliyor olsaydı kullanım alanı son derece sınırlı olurdu.

Ama matematik:

"beş elma"

ifadesinden "elma" ayrıntısını çıkarıp

5

fikrine ulaşabilir.

Aynı şekilde gerçek bir sistemde yalnızca ilgili yapıyı koruyabilir:

miktar,
değişim,
oran,
uzaklık,
bağlantı,
simetri,
olasılık,
sıra

gibi.

Bir ulaşım ağı

Bir navigasyon sisteminin yol bulabilmesi için her sokağın mimari görünümünü matematiksel modele katması gerekmez.

Belirli bir problem için esas bilgiler örneğin:

hangi yolların birbirine bağlandığı,
yol uzunlukları,
geçiş yönleri

olabilir.

Gerçek şehir böylece problemin ihtiyacına uygun bir matematiksel yapıyla temsil edilebilir.

Matematiğin uygulama gücü büyük ölçüde bu tür ilgili yapıyı ayırabilme yeteneğinden gelir.

Bilgisayar ve iletişim ağları

Bir bilgisayar ağında cihazların fiziksel görünüşü yerine:

hangi cihazların bağlı olduğu,
bağlantının yönü,
bağlantının kapasitesi

gibi özellikler matematiksel olarak modellenebilir.

Böylece fiziksel olarak farklı ağlar aynı matematiksel araçlarla incelenebilir.

Matematiksel gerçeklik üzerine ilk soru

Buraya kadar matematiksel nesnelerden söz ettik.

Fakat ilginç bir sorun doğuyor.

Bir elmayı masanın üzerine koyabiliriz.

Peki:

5

sayısını masanın üzerine koyabilir miyiz?

Bir kâğıda 5 yazabiliriz.

Ama yazdığımız sembol ile beş sayısının kendisi aynı şey midir?

Düşünme sorusu

Dünyada hiçbir insan kalmasaydı:

"İki tane şey ile başka iki tane şey bir araya geldiğinde dört tane şey olması"

gerçeği ortadan kalkar mıydı?

Yoksa bu ilişki insanlardan bağımsız bir anlamda doğru olmaya devam mı ederdi?

Bu soru kolay bir hesap sorusu değildir.

Matematiğin ne tür bir gerçeklikten söz ettiği üzerine felsefi bir sorudur.

Bu konuda farklı görüşler bulunabilir.

Bu birimde bunlardan birini seçmemiz gerekmiyor.

Şimdilik fark etmemiz gereken nokta daha temel:

Matematiksel gerçekliğe giriş

Matematiksel nesneler ile onları temsil etmek için kullandığımız fiziksel veya yazılı semboller aynı şey değildir.

Örneğin 5 bir gösterimdir.

Gösterimin işaret ettiği matematiksel fikir ise başka bir düzeydedir.

Sayı, sembol ve temsil arasındaki bu ayrım ilerleyen birimlerde yeniden karşımıza çıkacaktır.

Tarihsel olarak bu düşünce nasıl gelişti?

Matematik tek bir kişinin tek bir anda icat ettiği bir sistem değildir.

Matematiksel düşüncenin farklı parçaları farklı ihtiyaçlardan gelişmiştir. Sayma, ölçme, geometrik ilişkileri belirleme, düzenlilikleri fark etme, hesap yapma ve sonuçları gerekçelendirme gibi faaliyetler zaman içinde giderek daha sistematik matematiksel yapılara dönüşmüştür.

Bu gelişimde önemli bir yön değişimi şudur:

İnsanlar yalnızca belirli problemlerin cevaplarını bulmakla kalmayıp, farklı problemlerin arkasındaki genel ilişkileri ve yapıları araştırmaya başlamıştır.

Matematik ilerledikçe sayıların yanında şekiller, fonksiyonlar, dönüşümler, kümeler, uzaylar ve çok daha soyut yapılar da matematiğin doğrudan inceleme nesneleri hâline gelmiştir.

Bu nedenle modern matematiği yalnızca "hesap yapma sanatı" olarak tanımlamak, alanın büyük bölümünü dışarıda bırakır.

Matematiksel problem nasıl okunur?

Şimdi öğrendiğimiz çerçeveyi tek bir problem üzerinde kullanalım.

Tokalaşma problemi

Bir odada altı kişi bulunuyor.

Herkes diğer herkesle bir kez tokalaşıyor.

Henüz kaç tokalaşma olduğunu hesaplamayalım.

Önce problemin yapısını inceleyelim.

Nesneler: Altı kişi.

İlişki: İki kişinin birbirleriyle tokalaşması.

Kurallar:

Bir kişi kendisiyle tokalaşmaz.
A ile B'nin tokalaşması ile B ile A'nın tokalaşması aynı olaydır.
Her farklı çift yalnızca bir kez tokalaşır.

Problem: Bu kuralları sağlayan kaç farklı ikili vardır?

Bu bakış açısından insanların:

isimleri,
yaşları,
boyları,
kıyafetleri

matematiksel problem açısından gereksiz ayrıntılardır.

Şimdi aynı yapıyı değiştirelim.

Aynı yapı, farklı problem

Altı bilgisayarın her çifti arasında doğrudan bir kablo döşenecek olsun.

Kaç kablo gerekir?

Yüzeyde artık tokalaşmadan söz etmiyoruz.

Fakat matematiksel yapı değişmedi:

altı nesne var,
farklı iki nesne arasında bir bağlantı kuruluyor,
bir nesne kendisine bağlanmıyor,
A-B bağlantısı ile B-A bağlantısı aynı kabul ediliyor.

Dolayısıyla iki problem aynı matematiksel yapıyı paylaşır.

Bu, matematiğin neden genellenebilir olduğuna dair ilk güçlü örneğimizdir.

Ne matematiksel yapı değildir?

Burada dikkatli olmamız gereken bir nokta var.

Matematik gerçek dünyanın bütün ayrıntılarını otomatik olarak silmez.

Hangi ayrıntının önemli olduğunu sorduğumuz problem belirler.

Aynı ayrıntı bazen önemlidir

Bir şehir ağı probleminde yalnızca:

"A'dan F'ye ulaşılabilir mi?"

diye soruyorsak yol renkleri önemsiz olabilir.

Fakat:

"Kırmızı renkle işaretlenmiş acil ulaşım yollarını kullanarak A'dan F'ye ulaşılabilir mi?"

diye sorarsak yolun rengi artık modelin önemli bir parçası hâline gelir.

Dolayısıyla soyutlama:

"Bütün ayrıntıları silmek"

değildir.

Problem için gereksiz ayrıntıları ayırmak demektir.

Bu fikri bir sonraki birimde sistematik biçimde inceleyeceğiz.

Matematiğin çalışma biçimini tek çerçevede görelim

Bir problemin matematiksel yapıya dönüşmesi

Gerçek veya soyut problem
            │
            ▼
      Nesneleri belirle
            │
            ▼
     Özellikleri ayır
            │
            ▼
     İlişkileri belirle
            │
            ▼
      Kuralları belirle
            │
            ▼
      Yapıyı ortaya çıkar
            │
            ▼
  Yapı hakkında soru sor
            │
            ▼
 Sonuçları ve nedenlerini araştır

Gerçek veya soyut bir problemde önce nesneler, özellikler, ilişkiler ve kurallar belirlenir; bunlardan matematiksel yapı çıkarılır ve yapı hakkındaki sonuçlar araştırılır.

Bu birimin merkezi fikri

Matematiği yalnızca sayı ve hesap üzerinden değil, şu çerçeve üzerinden düşünmeye başlayabiliriz:

\boxed{ \text{nesneler} + \text{özellikler} + \text{ilişkiler} + \text{kurallar} \longrightarrow \text{matematiksel yapı} }

Matematik bu yapıların nasıl davrandığını ve hangi sonuçların zorunlu olarak ortaya çıktığını araştırır.

Sınırlar ve sık yapılan yanlışlar

Matematik hesap değildir demek, hesabın önemsiz olduğu anlamına gelmez

Hesaplama matematiğin temel araçlarından biridir.

Bu derste söylediğimiz şey:

"Hesap matematik değildir."

değil,

"Matematik yalnızca hesap değildir."

ifadesidir.

İlerleyen birimlerde güçlü hesaplama becerileri de geliştireceğiz.

Soyut olmak, gerçek dünyadan kopuk olmak değildir

Soyutlama çoğu zaman gerçek bir problemin gereksiz ayrıntılarından kurtulup esas yapısını görmemizi sağlar.

Bu nedenle soyut matematik, bazı durumlarda aynı yöntemin çok farklı gerçek dünya problemlerinde kullanılabilmesinin nedenidir.

Matematik yalnızca örüntü bulmak da değildir

Bir örüntü fark etmek matematiksel düşünmenin önemli bir parçasıdır.

Fakat matematik ayrıca:

kavramları kesinleştirir,
sonuçları gerekçelendirir,
ne zaman doğru olduklarını araştırır,
karşı örnekleri inceler,
yapılar arasındaki bağlantıları ortaya çıkarır.

Örüntüden matematiksel genellemeye geçişi sonraki birimde ele alacağız.

Kısa sentez

Neden vardı?
Matematiği yalnızca "sayılarla hesap yapmak" şeklinde düşünmek matematiğin büyük bölümünü açıklamaya yetmiyordu.

Ne öğrendik?
Matematiksel düşüncede nesneleri, özellikleri, ilişkileri, kuralları ve bunların oluşturduğu yapıları inceleyebiliriz. Hesaplama bu faaliyetin önemli araçlarından biridir fakat tamamı değildir.

Neyi artık yapabiliyoruz?
Bir probleme bakıp doğrudan hesap yapmaya başlamadan önce:

matematiksel nesneleri,
önemli özellikleri,
ilişkileri,
kuralları,
asıl soruyu

ayırt etmeye başlayabiliriz.

Sırada ne var?
Farklı görünen problemler aynı yapıya sahip olabiliyorsa şu soru doğar:

Gereksiz ayrıntıları nasıl atar, ortak yapıyı nasıl görür ve bundan nasıl genelleme yaparız?

Bu soru bizi 1.01.02 — Soyutlama, örüntü ve genelleme birimine götürür.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

"Matematik yalnızca hesap değildir." cümlesini kendi sözlerinle açıkla.
Matematiksel nesne, özellik ve ilişki arasındaki farkı bir örnek üzerinden anlat.
Matematiksel yapı fikrini henüz biçimsel tanım kullanmadan nasıl açıklarsın?

Teknik

Aşağıdaki durumda nesneleri, ilişkiyi ve problemi belirle:

Beş şehir vardır. Bazı şehir çiftleri arasında doğrudan uçuş bulunmaktadır. Bir şehirden başka bir şehre aktarmalarla ulaşılıp ulaşılamadığı araştırılıyor.
Aşağıdaki problemde hangi bilgiler matematiksel soru açısından gereksiz olabilir?

On öğrenci arasından birbirini tanıyan öğrenci çiftlerini gösteren bir bağlantı şeması oluşturulacak.

Öğrencilerin yaşları, isimleri, boyları ve aralarındaki tanışıklık bilgilerini ayrı ayrı değerlendir.

Gerekçelendirme

Neden birkaç örneğin aynı örüntüyü göstermesi, örüntünün her durumda doğru olduğunu tek başına kanıtlamaz?
"Matematik soyutladığı için gerçek dünyadan uzaklaşır ve daha az kullanışlı hâle gelir." iddiasına bu derste öğrendiklerinden hareketle cevap ver.

Transfer

Bir sosyal medya platformunu düşün.

Kullanıcıların profillerindeki bütün bilgileri değil, yalnızca "kim kimi takip ediyor?" bilgisini kullanarak bir matematik problemi kur.

Ardından şunları belirt:
- nesneler,
- ilişki,
- kurallar,
- sorulabilecek matematiksel soru.
Günlük hayattan birbirinden tamamen farklı görünen fakat aynı matematiksel yapıyla temsil edilebileceğini düşündüğün iki durum bul.
Bir problem seç ve şu beş soruya cevap ver:

Neler matematiksel nesne?
Hangi özellikler önemli?
Nesneler arasındaki ilişkiler neler?
Hangi kurallar geçerli?
Asıl matematiksel soru ne?