1.01.02 — Soyutlama, Örüntü ve Genelleme

Haritadaki yerimiz

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.01 — Matematiğin Doğası ve Soyutlama
Ön koşul: 1.01.01 — Matematik aslında neyi inceler?
Temel soru: Birbirinden farklı problemler nasıl aynı matematiğe dönüşebilir?
Bu birimin açtığı yol: Matematiksel ifadeler ve mantık; daha sonra cebirsel genelleme, fonksiyonlar, ispat ve bütün soyut matematik.

Bir önceki birimde matematiğin yalnızca sayılarla değil; nesneler, ilişkiler, özellikler ve yapılarla ilgilendiğini gördük.

Şimdi bunun nasıl mümkün olduğunu anlamaya çalışacağız.

Üç farklı problem

Şu üç duruma bakalım:

Bir sepette 3 elma var. Sepete 2 elma daha koyuyoruz.
Bir rafta 3 kitap var. Rafa 2 kitap daha koyuyoruz.
Bir otoparkta 3 araç var. Otoparka 2 araç daha geliyor.

Nesneler tamamen farklı:

elma,
kitap,
araç.

Ama üç problemde de yaptığımız matematik aynıdır:

3+2=5

Nasıl oluyor da üç farklı gerçek durum tek bir matematiksel ifadeye dönüşebiliyor?

Bu soru, matematiğin en temel zihinsel hareketlerinden birine götürür:

soyutlama.

1. Ayrıntıları kaybetmek bazen bilgi kazanmak demektir

İlk bakışta bir elma ile bir otomobil arasında matematiksel olarak pek ortaklık yoktur.

Elmanın:

rengi,
ağırlığı,
tadı,
büyüklüğü

vardır.

Otomobilin:

markası,
motoru,
rengi,
yakıt türü,
ağırlığı

vardır.

Fakat soru yalnızca:

Kaç tane var?

ise bunların hiçbirine ihtiyacımız yoktur.

Elmanın elma olması bile artık önemli değildir.

Geriye yalnızca çokluk kalır:

3+2=5

Soyutlamanın temel hareketi

Soyutlama, bir şey hakkındaki bütün bilgileri korumaya çalışmak değildir.

Tam tersine:

Sorduğumuz soru açısından önemsiz olan ayrıntıları bilinçli biçimde bırakıp, gerekli yapıyı korumaktır.

Bu nedenle soyutlamak, yalnızca “karmaşık bir şeyi basitleştirmek” değildir.

Neyi atabileceğimizi ve neyi mutlaka korumamız gerektiğini ayırt etmektir.

Soyutlama

Soyutlama (abstraction), farklı nesne veya durumların belirli bir problem açısından önemsiz özelliklerini göz ardı edip ortak olan yapı, ilişki veya özelliklerini öne çıkarma işlemidir.

Burada önemli bir incelik vardır:

Bir özelliğin önemli mi önemsiz mi olduğu soruya bağlıdır.

Örneğin elimizde 3 kırmızı ve 2 yeşil elma varsa:

“Toplam kaç elma var?”

sorusunda renk önemsizdir.

Ama:

“Kaç kırmızı elma var?”

sorusunda renk artık vazgeçilmez bilgidir.

Soyutlama, rastgele ayrıntı silmek değildir

Bir ayrıntıyı yalnızca hoşumuza gitmediği için atamayız.

Soyutlama yaparken şu soruyu sormalıyız:

Bu bilgiyi kaldırırsam çözmeye çalıştığım problem hakkındaki gerekli bilgiyi kaybeder miyim?

Kaybediyorsak o ayrıntı henüz soyutlanamaz.

2. Aynı yapı, farklı nesneler

Biraz daha ilginç bir örnek düşünelim.

Bir köyde beş ev vardır ve her ev yalnızca yanındaki evle doğrudan bir yolla bağlıdır:

Ev 1 ── Ev 2 ── Ev 3 ── Ev 4 ── Ev 5

Başka bir durumda beş kişi vardır ve bilgi sırayla bir kişiden diğerine aktarılmaktadır:

Kişi 1 ── Kişi 2 ── Kişi 3 ── Kişi 4 ── Kişi 5

Bir üçüncü durumda beş bilgisayar birbirine zincir biçiminde bağlanmıştır:

Bilgisayar 1 ── Bilgisayar 2 ── Bilgisayar 3 ── Bilgisayar 4 ── Bilgisayar 5

Evleri, insanları ve bilgisayarları unutalım.

Yalnızca bağlantı yapısını bırakalım.

Ortak yapının soyutlanması

● ── ● ── ● ── ● ── ●

Evler, insanlar ve bilgisayarlar farklı nesneler olmasına rağmen beş noktanın ardışık olarak birbirine bağlandığı aynı zincir yapısına indirgenebilir.

Üç gerçek sistem artık aynı matematiksel yapıya dönüştü.

İşte matematiğin gücünün önemli bir kısmı burada ortaya çıkar.

Bir kez bu soyut yapı hakkında bir şey keşfedersek, elde ettiğimiz bilgi yalnızca evler için değil;

insanlar,
bilgisayarlar,
yollar,
haberleşme ağları

ve aynı yapıya sahip başka sistemler için de kullanılabilir.

Soyutlamanın kazancı

Soyutlama sayesinde tek tek binlerce problemi ayrı ayrı çözmek yerine:

problemler arasındaki ortak yapıyı bulabilir,
o yapıyı bir kez inceleyebilir,
elde ettiğimiz sonucu aynı yapıya sahip bütün problemlere taşıyabiliriz.

Bu, matematiğin genellenebilir olmasının temel nedenlerinden biridir.

İleride yeniden göreceğiz

Bu düşünce ileride çok daha güçlü biçimlerde karşımıza çıkacak.

Örneğin graf teorisinde;

şehir,
bilgisayar,
insan,
web sayfası

olmaları ikinci plana atılabilir.

Nesneler düğüm, aralarındaki ilişkiler ise bağlantı olarak ele alınabilir.

Şimdilik graf teorisini öğrenmiyoruz.

Önemli olan düşünme biçimini görmek:

Nesne değişebilir; yapı aynı kalabilir.

3. Örüntü görmek

Soyutlamanın yakın akrabalarından biri örüntü fark etmektir.

Şu sayı dizisine bakalım:

2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ldots

Burada yalnızca ayrı ayrı beş sayı görmeyiz.

Aralarında bir düzen fark ederiz:

Her sayı bir öncekinden 2 fazladır.

İşte fark ettiğimiz bu düzen bir örüntüdür.

Örüntü

Örüntü (pattern), nesneler, sayılar, şekiller veya işlemler arasında tekrar eden ya da düzenli biçimde değişen bir ilişki veya yapıdır.

Örüntüler yalnızca sayı dizilerinde bulunmaz.

Şekillerde:

○
○○
○○○
○○○○

harekette,

ritimde,

geometrik yapılarda,

işlemlerde,

hatta matematiksel ispatların biçimlerinde bile örüntüler bulunabilir.

Matematikçi çoğu zaman şu soruyla başlar:

Burada tekrar eden veya değişmeden kalan şey nedir?

4. Örüntü ile soyutlama aynı şey değildir

Bu iki kavram birbirine yakın olsa da aynı değildir.

Bir örüntü fark ettiğimizde, tekrar eden bir düzen görüyoruz.

Bir soyutlama yaptığımızda, farklı durumların ayrıntılarını kaldırıp ortak yapılarını koruyoruz.

Örneğin:

2, 4, 6, 8, 10, ...

dizisinde “her seferinde 2 artıyor” demek bir örüntü fark etmektir.

Elma, kitap ve otomobil problemlerinin üçünün de

3+2=5

yapısına sahip olduğunu görmek ise bir soyutlamadır.

Ama pratikte bu iki hareket sürekli birbirini besler.

Birçok soyutlamayı yapabilmek için önce ortak örüntüyü fark ederiz.

5. Örüntüden genellemeye

Şimdi biraz daha ileri gidelim.

Şunları gözlemlediğimizi düşünelim:

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

Sağ taraftaki sayılar:

1,\ 4,\ 9,\ 16

birer kare sayıdır:

1\times1,\quad 2\times2,\quad 3\times3,\quad 4\times4

Burada bir örüntü fark ediyoruz:

İlk tek sayıların toplamı bir kare oluşturuyor gibi görünüyor.

Ama “gibi görünüyor” ifadesine dikkat et.

Henüz yalnızca birkaç örnek gördük.

Şimdi örüntünün neden ortaya çıktığını anlamaya çalışalım.

Tek sayıların kareyi büyütmesi

1 × 1        2 × 2        3 × 3        4 × 4

X            X +          X X +        X X X +
             + +          X X +        X X X +
                          + + +        X X X +
                                       + + + +

Bir kareyi bir sonraki boyuttaki kareye büyütürken eklenen hücre sayıları sırasıyla 3, 5 ve 7 olur; bu sayılar ardışık tek sayılardır.

Burada X daha önce bulunan kareyi, + ise yeni eklenen parçaları göstersin.

$1\times1$ kareyi $2\times2$ kareye çevirmek için 3 yeni parça ekliyoruz.

$2\times2$ kareyi $3\times3$ kareye çevirmek için 5 yeni parça ekliyoruz.

$3\times3$ kareyi $4\times4$ kareye çevirmek için 7 yeni parça ekliyoruz.

Yani:

1 \rightarrow 1+3 \rightarrow 1+3+5 \rightarrow 1+3+5+7 \rightarrow\cdots

şeklinde büyüyen toplamların kareler üretmesi artık yalnızca tesadüfi bir sayı listesi gibi görünmüyor.

Arkasında geometrik bir yapı görüyoruz.

Örüntüden yapısal açıklamaya

Bir kareyi her yönde bir birim büyüttüğümüzde yeni bir L biçimli katman ekleriz.

Bu katmandaki parça sayısı her büyümede iki artar:

3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots

Dolayısıyla ardışık tek sayıların eklenmesi, giderek büyüyen karelerin oluşumuyla aynı süreci tarif eder.

Bu, yalnızca birkaç sonucu kontrol etmekten daha güçlü bir açıklamadır:

örüntünün nereden geldiğini gösterir.

6. Genelleme nedir?

Bir örüntüyü fark ettikten sonra çoğu zaman yalnızca gördüğümüz örneklerle yetinmeyiz.

Şunu sormaya başlarız:

Bu durum bütün benzer örneklerde geçerli mi?

Bu, genellemenin başladığı yerdir.

Genelleme

Genelleme (generalization), belirli örneklerde veya özel durumlarda gözlenen bir ilişkiyi daha geniş bir nesne veya durum sınıfı için ifade etmektir.

Örneğin yalnızca:

1, 3, 5 ve 7 sayılarının toplamı 16'dır.

demek özel bir durumdur.

Ama:

Başlangıçtan itibaren ardışık tek sayıları topladığımızda kare sayılar elde ederiz.

demek bir genelleme girişimidir.

İlk ifade tek bir hesap hakkında konuşur.

İkinci ifade ise sonsuza kadar devam eden bir yapı hakkında konuşmaya çalışır.

Bu çok daha güçlüdür.

Fakat aynı nedenle çok daha büyük bir sorumluluk taşır:

Bunun her zaman doğru olduğunu nereden biliyoruz?

7. Gözlem → tahmin → ispat

Matematiksel keşif çoğu zaman şu biçimde ilerler:

Örüntüden matematiksel bilgiye

Somut örnekler
      │
      ▼
Örüntü fark et
      │
      ▼
Ortak yapıyı soyutla
      │
      ▼
Genelleme öner
      │
      ▼
Matematiksel tahmin
      │
      ├──────────────┐
      ▼              ▼
    İspat        Karşı örnek
      │              │
      ▼              ▼
   Doğrulanır      Çürütülür

Somut örneklerden örüntü fark edilir, örüntüden bir genelleme veya matematiksel tahmin kurulur; daha sonra bu iddia ispatlanır ya da karşı örnekle çürütülür.

Bu zincirde önemli bir ayrım vardır.

Gözlem

Bir veya daha fazla örnekte bir şeyin gerçekleştiğini görürüz.

Örüntü

Örneklerin arasında düzen fark ederiz.

Genelleme

Bu düzenin daha geniş bir sınıfta geçerli olduğunu öne süreriz.

Matematiksel tahmin

Genellemenin doğru olduğundan şüpheleniriz fakat henüz bunu genel olarak göstermemişizdir.

İspat

İddianın yalnızca baktığımız örneklerde değil, kapsadığı bütün durumlarda neden doğru olmak zorunda olduğunu gösteririz.

Çok önemli ayrım

\boxed{ \text{Çok sayıda doğru örnek} \neq \text{ispat} }

Bin örnek kontrol etmek bize güçlü bir ipucu verebilir.

Ama genel iddia sonsuz sayıda durumu kapsıyorsa bin örnek hâlâ yalnızca bin örnektir.

İspadın biçimsel yöntemlerini henüz öğrenmedik.

Bunları Dünya 1'in ilerleyen birimlerinde ayrıntılı olarak kuracağız.

Şimdilik bilmemiz gereken temel fikir şu:

İspat, bir iddianın neden bütün ilgili durumlarda doğru olmak zorunda olduğunu açıklayan genel bir gerekçedir.

8. Örüntünün tehlikesi: aynı veriye birden fazla hikâye uyar

Şimdi şu üç sayıya bakalım:

1,\ 2,\ 4,\ldots

Sonraki sayı nedir?

İlk akla gelen cevaplardan biri:

8

olabilir.

Çünkü:

1 → 2 → 4 → 8

şeklinde her seferinde iki katına çıkarabiliriz.

Ama başka biri şöyle düşünebilir:

1
+1 → 2
+2 → 4
+3 → 7

ve sonraki sayının:

7

olduğunu söyleyebilir.

İkisi de gördüğümüz ilk üç sayıyla uyumludur.

Örüntü kendisini açıklamaz

Sonlu sayıdaki gözlem çoğu zaman tek bir kuralı zorunlu kılmaz.

Bu yüzden:

“Dizinin devamı kesinlikle budur.”

demek için yalnızca birkaç terime bakmak yeterli olmayabilir.

Bir matematiksel örüntü probleminde hangi kuralın kullanıldığına ilişkin ek bilgi gerekir.

Bu nokta matematiğin çok temel bir özelliğini gösterir:

Örüntü fark etmek yaratıcıdır; örüntünün gerçekten geçerli olduğunu göstermek ise ayrı bir iştir.

9. Genellemenin ikinci tehlikesi: fazla geniş konuşmak

Şöyle bir deney düşünelim.

Bir öğrenci birkaç sayı üzerinde bir işlem yapıyor ve sonuçların hepsinin pozitif olduğunu görüyor.

Sonra şöyle diyor:

“Demek ki bu işlem her sayı için pozitif sonuç verir.”

Burada yapılan hareket şudur:

Birkaç örnekte doğru
        ↓
Her durumda doğru

Aradaki sıçrama gerekçelendirilmemiştir.

Bir tek karşı örnek bile genel iddiayı yok edebilir.

Bir karşı örnek neden güçlüdür?

Birisi şöyle iddia etsin:

“Bir sayıya 5 eklediğimizde elde edilen sayı her zaman 10'dan büyüktür.”

Bazı örnekler:

8+5=13

20+5=25

100+5=105

İddia bu örneklerde doğrudur.

Ama:

1+5=6

olduğundan genel iddia yanlıştır.

Tek bir karşı örnek, “her zaman” biçimindeki iddiayı çürütmeye yeter.

Buradaki önemli fikir:

Bir evrensel iddiayı desteklemek için çok sayıda örnek görebiliriz;
fakat onu çürütmek için bazen tek bir karşı örnek yeterlidir.

Bunun mantıksal nedenini ileride niceleyicileri öğrenirken çok daha kesin biçimde göreceğiz.

10. Soyutlama ile genelleme arasındaki fark

Bu iki kavram sık sık birlikte kullanıldığı için birbirine karıştırılabilir.

Soyutlama şu soruyu sorar:

Bu farklı örneklerin ortak yapısı nedir?

Örneğin:

3 elma + 2 elma
3 kitap + 2 kitap
3 araç + 2 araç

durumlarından:

3+2

yapısına geçmek soyutlamadır.

Genelleme ise şu soruyu sorar:

Burada gördüğüm ilişki daha geniş bir durumda da geçerli midir?

Örneğin:

1 + 3       = 4
1 + 3 + 5   = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16

örneklerinden:

“Ardışık tek sayıların bu tür toplamları kare oluşturur.”

sonucuna yönelmek genellemedir.

Kısa ayrım

Örüntü: Düzeni fark ederim.

Soyutlama: Ayrıntıları atıp ortak yapıyı görürüm.

Genelleme: Ortak yapının daha geniş bir sınıfta geçerli olduğunu söylerim.

Matematiksel tahmin: Genellemenin doğru olabileceğini öne sürerim.

İspat: Bunun neden gerçekten doğru olduğunu gösteririm.

11. Matematik neden bu kadar çok soyutlama kullanır?

İlk bakışta soyut matematik, gerçek hayattan uzaklaşmak gibi görünebilir.

Aslında çoğu zaman tam tersi olur.

Bir kavram ne kadar belirli bir nesneye bağlıysa kullanım alanı o kadar dardır.

Örneğin yalnızca:

“elmaların toplanması”

hakkında bir teori kursaydık bunu kitaplara yeniden uyarlamamız gerekirdi.

Ama:

3+2=5

gibi nesneden bağımsız bir yapı kurduğumuzda aynı fikir çok farklı durumlara uygulanabilir.

Model kurarken soyutlama

Gerçek bir şehir trafiğini düşün.

Gerçek sistemde:

otomobil markaları,
sürücülerin saç rengi,
araçların koltuk döşemesi,
yol kenarındaki binaların rengi

gibi çok sayıda bilgi vardır.

Ama trafik akışını inceleyen bir matematiksel model bunların büyük kısmını görmezden gelebilir.

Bunun yerine örneğin:

araç sayısı,
yol kapasitesi,
bağlantılar,
hız,
zaman

gibi probleme etkisi olan büyüklükleri korur.

Model, gerçekliğin eksiksiz kopyası değildir.

Soruyla ilgili yapının soyutlanmış hâlidir.

Soyutlamanın bilimde güçlü olmasının nedeni budur:

Gerçek dünyanın bütün ayrıntılarını modellemek yerine, soruyu belirleyen yapıyı modellemeye çalışırız.

12. Matematik içinde kullanım alanları

Soyutlama ve genelleme belirli bir matematik konusu değildir.

Neredeyse bütün matematiğin çalışma biçimidir.

Aritmetikten cebire

İleride belirli hesaplardan:

3+5=5+3

10+7=7+10

100+2=2+100

gibi örneklerden hareket ederek daha genel bir fikir kuracağız:

Toplamada sayıların yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.

Cebir, bu tür genel ilişkileri belirli sayılara bağımlı olmadan ifade etmenin güçlü bir dilini oluşturacaktır.

Geometride

Bir üçgeni yalnızca:

kırmızı,
kâğıt üzerine çizilmiş,
7 cm büyüklüğünde

bir nesne olarak incelemek istemeyiz.

Birçok problemde bunlar önemsizdir.

Bunun yerine:

üç kenarlı olması,
köşeleri,
açıları,
kenarlar arasındaki ilişkiler

gibi yapısal özellikleri koruruz.

Bu sayede belirli tek bir çizim hakkında değil, üçgenler hakkında matematik yapabiliriz.

Daha ileri matematikte

İleride aynı zihinsel hareket giderek güçlenecek.

Örneğin:

farklı sayı sistemlerinde ortak işlem yapılarını,
farklı geometrik nesnelerde ortak uzay özelliklerini,
farklı dönüşümlerde ortak lineer yapıyı,
farklı değişim problemlerinde ortak fonksiyon davranışlarını

soyutlayacağız.

İleri matematikte bazen nesnelerin ne olduğundan çok, hangi ilişkilere ve kurallara uydukları önem kazanacaktır.

13. Tarihsel olarak nasıl gelişti?

Tek bir icat değil, giderek güçlenen bir düşünme biçimi

Soyutlama, örüntü ve genellemenin tek bir mucidi yoktur.

Bunlar matematiğin çok uzun gelişimi boyunca giderek daha bilinçli hâle gelen düşünme biçimleridir.

İnsanlar çok eski dönemlerden beri:

nesneleri sayarken farklı nesneler arasındaki ortak “çokluk” fikrini,
ölçme yaparken farklı uzunlukları ortak sayısal yapılarla ifade etmeyi,
geometrik şekillerde tekrar eden ilişkileri,
aritmetik işlemlerde genel kuralları

kullanmıştır.

Matematik geliştikçe tek tek problemlerin çözümlerinden çok problemlerin ortak yapıları araştırılmaya başlanmıştır.

Cebirsel gösterimlerin gelişmesi genellemeyi çok daha güçlü hâle getirmiş; daha sonraki matematikte ise yapıların kendileri bağımsız inceleme nesnelerine dönüşmüştür.

Dolayısıyla soyutlama matematiğe sonradan eklenmiş tek bir teknik değildir.

Matematiğin tarih boyunca giderek belirginleşen temel çalışma biçimlerinden biridir.

14. Soyutlama ne değildir?

Soyutlamayı yanlış anlamamak önemlidir.

Soyutlama gerçeği inkâr etmek değildir

Gerçek bir elmayla soyut “3” kavramının farklı olduğunu biliyoruz.

Ama belirli bir soru için elmanın fiziksel özelliklerine ihtiyaç duymayabiliriz.

Soyutlama her ayrıntıyı kaldırmak değildir

Her şeyi kaldırırsak geriye problem kalmaz.

Korunması gereken yapıyı korumalıyız.

Genelleme tahmin yürütmekle aynı şey değildir

Genellemenin arkasında gözlem ve yapı bulunabilir.

Fakat yine de doğrulanması gerekir.

Çok sayıda örnek ispat değildir

Örnekler:

fikri keşfetmemize,
sınamamıza,
anlamamıza

yardım eder.

Ama genel bir iddianın doğruluğu için genel bir gerekçe gerekir.

15. Bir matematikçinin zihinsel döngüsü

Şimdi bütün dersi tek bir düşünme hareketinde birleştirebiliriz.

Matematiksel keşif döngüsü

Bir problemle karşılaş
          │
          ▼
Somut örnekleri incele
          │
          ▼
"Ne tekrar ediyor?"
          │
          ▼
Örüntüyü fark et
          │
          ▼
"Neler önemsiz?"
          │
          ▼
Soyutla
          │
          ▼
"Bu daha genel olabilir mi?"
          │
          ▼
Genelle
          │
          ▼
"Gerçekten her zaman doğru mu?"
          │
      ┌───┴────┐
      ▼        ▼
    İspat   Karşı örnek

Bir problemde somut örnekler incelenir, ortak örüntü fark edilir, önemsiz ayrıntılar soyutlanır, bir genelleme kurulur ve bu genelleme ispat ya da karşı örnek yoluyla sınanır.

Bu şema matematiğin tamamını açıklamaz.

Ama matematik yaparken tekrar tekrar kullanacağımız çok güçlü bir zihinsel döngüyü gösterir.

16. Birlikte düşünelim

Hangi ayrıntılar gerçekten önemli?

Bir taksi şirketi yalnızca bir yolculuğun ücretini hesaplamak istiyor.

Elimizde şu bilgiler olsun:

otomobil mavi,
sürücünün adı Ahmet,
başlangıç ücreti 40 TL,
araç 6 km yol gitti,
kilometre başına 15 TL alınıyor,
araçta dört koltuk var.

Bu problemi çözerken hangi bilgiler gereklidir?

Hangi bilgiler soyutlanabilir?

Problemi yalnızca gerekli ilişkileri koruyacak biçimde yeniden ifade etmeye çalış.

Bu tür bir soruda soyutlama doğru yapılırsa fiziksel hikâyenin büyük bölümü kaybolur ama ücret ilişkisi korunur.

İyi matematiksel model tam da bunu yapar.

Örüntüyü gör, ama hemen inanma

Şu şekil sayıları verilsin:

1,\ 3,\ 6,\ 10,\ldots

Ardışık sayılar arasındaki farklara bak.
Bir örüntü öner.
Sonraki iki sayı için bir tahminde bulun.
Sonra kendine şu soruyu sor:

İlk dört değeri bilmek, önerdiğim kuralın tek mümkün kural olduğunu kanıtlıyor mu?

Neden?

17. Sınırlar ve başarısızlık durumları

Beş yaygın hata

1. İlk gördüğün örüntünün tek örüntü olduğunu sanmak

Sonlu veri farklı kurallarla açıklanabilir.

2. Birkaç örnekten hemen “her zaman” sonucuna geçmek

Örnek sayısını artırmak güvenimizi artırabilir; fakat mantıksal boşluğu ortadan kaldırmaz.

3. Soyutlama yaparken gerekli bilgiyi de silmek

Bir özelliğin önemsiz olup olmadığı soruya bağlıdır.

4. Benzerliği özdeşlik sanmak

İki problem bazı yönlerden aynı yapıya sahipken başka bir soru açısından farklı olabilir.

5. Güzel bir örüntüyü gerçek olmak zorundaymış gibi görmek

Matematiksel estetik veya düzen hissi, ispatın yerine geçmez.

18. Neyi artık yapabiliyoruz?

Bu birimden önce bir matematik problemini:

nesneler,
ilişkiler,
yapılar

açısından görmeye başlamıştık.

Şimdi bir adım daha ilerledik.

Birden fazla somut durumda:

tekrar eden ilişkiyi fark edebilir,
önemsiz ayrıntıları ayırabilir,
ortak yapıyı soyutlayabilir,
bu yapı hakkında daha genel bir iddia kurabilir,
bu iddianın henüz ispatlanmış olup olmadığını sorgulayabiliriz.

Bu birimin ana fikri

Matematik yalnızca gördüğümüz örneklerle ilgilenmez.

Örneklerin arkasındaki ortak yapıyı arar.

Sonra o yapı hakkında mümkün olduğunca genel ifadeler kurar.

Fakat matematiğin gücü yalnızca genellemesinden değil, şu soruyu sormasından gelir:

Bunun gerçekten her zaman doğru olduğunu nereden biliyoruz?

19. Matematik haritasındaki bağlantı

Nereden geldik, nereye gidiyoruz?

1.01.01
Matematiksel nesne, ilişki ve yapı
        │
        ▼
1.01.02
Soyutlama, örüntü ve genelleme
        │
        ▼
1.02.01
Önerme ve matematiksel ifade
        │
        ▼
Mantık
        │
        ▼
İspat
        │
        ├──────────────► Cebir
        ├──────────────► Analiz
        ├──────────────► Geometri
        └──────────────► Soyut yapılar

Şimdi yeni bir problem doğdu.

Bir örüntüden şöyle bir genelleme yaptığımızı düşün:

“Bütün ... için şu özellik geçerlidir.”

Bu artık sıradan bir Türkçe cümle değildir.

Doğru veya yanlış olabilecek matematiksel bir iddiadır.

Peki:

hangi cümlelerin doğru veya yanlışlığından söz edilebilir?
bir matematiksel ifade tam olarak nedir?
değişken içeren ifadeler nasıl ele alınır?

Bir sonraki birim bu soruyla başlayacak:

1.02.01 — Önerme ve matematiksel ifade

20. Alıştırmalar

Aşağıdaki sorularda amaç yalnızca cevap bulmak değil, nasıl düşündüğünü açıklamaktır.

A. Kavrama

Soyutlama ile genelleme arasındaki farkı kendi sözlerinle açıkla. Her biri için kendi örneğini oluştur.
Şu cümleyi açıkla:

“Soyutlamak, daha az bilgiyle düşünmek değil; problem açısından gerekli bilgiyi ayırmaktır.”
Bir örüntü görmek neden onun sonsuza kadar devam edeceğini kanıtlamaz?

B. Teknik uygulama

Aşağıdaki üç problemi karşılaştır:
- 4 kutunun her birinde 6 kalem vardır.
- 4 masanın her birinde 6 bardak vardır.
- 4 otobüsün her birinde 6 yolcu vardır.
a. Hangi ayrıntılar farklıdır?
b. Hangi yapı aynıdır?
c. Üç problemi ortak bir matematiksel ifadeye indir.
Şu diziyi incele:
$5,\ 10,\ 15,\ 20,\ldots$
a. Bir örüntü öner.
b. Sonraki iki terimi tahmin et.
c. İlk dört terimin tek başına senin kuralını zorunlu kılıp kılmadığını açıkla.

C. Gerekçelendirme

Bir öğrenci ilk 20 örnekte bir kuralın doğru olduğunu kontrol ediyor ve şöyle diyor:

“20 kez doğru çıktı. Artık ispatlanmış sayılır.”

Bu düşüncedeki problemi açıkla.
“Her doğal sayı 100'den küçüktür.” iddiasını düşün.

İlk birkaç doğal sayı bu iddiayı destekliyor gibi görünebilir.

Tek bir karşı örnek bul ve neden tek karşı örneğin genel iddiayı çürütmeye yettiğini açıkla.

D. Transfer

Bir şehirde ulaşım ağı, bir sosyal arkadaşlık ağı ve bilgisayar ağı düşün.

Bu üç sistemde:
- nesneler nelerdir?
- ilişkiler nelerdir?
- hangi ayrıntıları atarsak üçü aynı tür matematiksel yapıya yaklaşabilir?
Günlük hayattan birbirinden görünüşte farklı iki problem seç.

Bunların altında aynı matematiksel yapının bulunabileceğini göstermeye çalış.
Kendi örüntünü oluştur:

en az dört örnek ver,
örüntüyü açıkla,
bir genelleme öner,
sonra kendi genellemene karşı örnek bulmaya çalış.

Karşı örnek bulamamanın neden yine de ispat anlamına gelmediğini açıkla.

21. Birimi tamamlamış sayılmak için

Bu birim tamamlandığında şunları yapabiliyor olmalısın:

Birkaç somut örnek içinden ortak yapıyı çıkarabilmek.
Bir problemde hangi ayrıntıların matematiksel soru açısından önemsiz olduğunu gerekçelendirebilmek.
Örüntü, soyutlama ve genellemeyi birbirinden ayırabilmek.
Bir örüntüden makul bir matematiksel tahmin üretebilmek.
Birkaç örneğin neden genel bir iddiayı ispatlamadığını açıklayabilmek.
Tek bir karşı örneğin “her zaman” türündeki bir genellemeyi neden çürütebildiğini sezgisel olarak açıklayabilmek.
Aynı matematiksel yapıyı farklı bağlamlarda fark edebilmek.

Kısa sentez

Neden vardı?

Her somut problemi ayrı ayrı ele almak, matematiğin ortak yapıları görme gücünü kullanmamıza izin vermez. Soyutlama farklı problemlerdeki aynı yapıyı ortaya çıkarır.

Ne öğrendik?

Örüntü bir düzeni fark etmektir. Soyutlama gereksiz ayrıntıları bırakıp ortak yapıyı korumaktır. Genelleme ise özel örneklerden daha geniş bir iddiaya geçmektir.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Görünüşte farklı problemlerin altında aynı matematiğin bulunabileceğini görebiliyor; gözlemden bir genelleme üretebiliyor ve bu genellemenin henüz ispat olup olmadığını sorgulayabiliyoruz.

Sırada ne var?

Genellemeler matematiksel iddialar üretir. Şimdi bu iddiaların dilini kurmamız gerekiyor:

Hangi ifadelerin doğru veya yanlış olduğundan söz edebiliriz?

Bu soru bizi 1.02.01 — Önerme ve matematiksel ifade birimine götürecek.