01.04.02 — Denklik bağıntıları ve denklik sınıfları

Birim Kartı

Dünya: Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: Bağıntılar, Denklik ve Sıralama
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşul: 01.04.01 — Bağıntı nedir?

Temel soru:

Farklı nesneleri hangi koşullarda “aynı tür şey” olarak kabul edebiliriz?

Bu birimin sonunda bir denklik bağıntısının neden bir kümeyi çakışmayan sınıflara böldüğünü açıklayabileceğiz.

1. Başlangıç problemi: “Aynı” derken neyi kastediyoruz?

Gündelik dilde aynı sözcüğünü çok farklı anlamlarda kullanırız.

İki insan için:

aynı yaşta,
aynı şehirde doğmuş,
aynı ayda doğmuş

diyebiliriz.

İki geometrik şekil için:

aynı büyüklükte,
aynı biçimde,
aynı alana sahip

diyebiliriz.

İki sayı için de farklı ölçütler seçebiliriz.

Örneğin:

$4$ ve $7$ aynı sayı değildir.
Fakat ikisi de $3$ ile bölündüğünde kalan $1$ 'dir.
Bu açıdan onları aynı grupta değerlendirebiliriz.

Buradaki önemli fikir şudur:

Matematikte bazen nesnelerin bütün özellikleriyle aynı olması gerekmez.

Belirli bir problemi çözerken bizi ilgilendiren özellik bakımından ayırt edilemiyorlarsa onları eşdeğer kabul etmek isteyebiliriz.

Ama hemen bir problem ortaya çıkar:

İstediğimiz herhangi bir ilişkiye “eşdeğerlik” diyebilir miyiz?

Hayır.

Çünkü “aynı türden olma” fikrinin kendi içinde tutarlı davranması gerekir.

Bu tutarlılığı sağlayan özel bağıntılara denklik bağıntısı diyeceğiz.

2. Önce somut bir sınıflandırma yapalım

Şu kümeyi düşünelim:

A=\{\text{ev},\text{kedi},\text{masa},\text{kalem},\text{defter}\}.

Bu sözcükleri harf sayıları aynıysa ilişkili kabul edelim.

Yani:

x\sim y

ifadesi,

“ $x$ ile $y$ aynı sayıda harften oluşuyor.”

anlamına gelsin.

Buna göre:

kedi ile masa ilişkilidir; ikisi de dört harflidir.
ev yalnızca kendi uzunluğundaki sözcüklerle ilişkilidir.
kalem beş harflidir.
defter altı harflidir.

Sonuçta küme kendiliğinden gruplara ayrılır:

Aynı uzunluktaki sözcüklerin sınıflandırılması

A

┌───────────────┐
│ ev            │   2 harf
└───────────────┘

┌───────────────┐
│ kedi          │
│ masa          │   4 harf
└───────────────┘

┌───────────────┐
│ kalem         │   5 harf
└───────────────┘

┌───────────────┐
│ defter        │   6 harf
└───────────────┘

Sözcükler harf sayılarına göre dört ayrı ve çakışmayan sınıfa ayrılır.

Burada iki önemli şey oluyor:

Her sözcük bir gruba ait.
Hiçbir sözcük aynı anda iki farklı gruba ait değil.

İşte denklik bağıntılarının en önemli sonucu budur.

Bir kümeyi doğal sınıflara ayırırlar.

Fakat bunun neden gerçekleştiğini anlamak için önce denklik bağıntısının üç koşulunu incelememiz gerekir.

3. Eski araç neden yetmiyor?

Önceki birimde bir bağıntının farklı özelliklere sahip olabileceğini gördük:

yansımalı,
simetrik,
antisimetrik,
geçişli.

Ancak her bağıntı bir “aynılık ölçütü” olarak kullanılamaz.

Örneğin sayılar üzerinde

xRy \iff x\leq y

bağıntısını düşünelim.

$2R5$ doğrudur çünkü:

2\leq5.

Fakat:

5R2

doğru değildir.

Dolayısıyla bu ilişki:

“ $2$ ile $5$ aynı türdendir.”

gibi yorumlanamaz.

Yönlü bir ilişki vardır.

Benzer şekilde yalnızca simetrik olmak da yeterli değildir.

Örneğin:

xRy \iff |x-y|\leq1

olsun.

O zaman:

1R2

2R3

doğrudur.

Ama:

1R3

yanlıştır.

Çünkü:

|1-3|=2>1.

Böyle bir ilişkiyle tutarlı sınıflar oluşturmaya çalışırsak sorun yaşarız.

Geçişlilik olmadığında ortaya çıkan sorun

1 ───── 2 ───── 3

1 ~ 2       doğru
2 ~ 3       doğru
1 ~ 3       yanlış

Birinci eleman ikinciyle, ikinci üçüncüyle ilişkiliyken birinci ile üçüncü ilişkili olmayabilir; bu nedenle tutarlı sınıflar oluşmaz.

Eğer $1$ ile $2$ “aynı grupta” ve $2$ ile $3$ de “aynı grupta” ise, fakat $1$ ile $3$ aynı grupta değilse “aynı grup” fikri tutarsız hâle gelir.

Demek ki aradığımız bağıntının sıradan bir bağıntıdan daha güçlü olması gerekiyor.

4. Denklik fikrinin üç şartı

Bir ilişkinin “aynı türden olma” gibi davranabilmesi için üç beklentimiz vardır.

4.1. Her nesne kendisiyle eşdeğer olmalı

Bir nesnenin kendisiyle aynı türden olmadığını söylemek anlamsız olurdu.

Dolayısıyla:

a\sim a

olmalı.

Bu yansıma (reflexivity) özelliğidir.

4.2. Eşdeğerlik yönlü olmamalı

Eğer:

a\sim b

ise,

b\sim a

da olmalıdır.

“ $a$ , $b$ ile aynı türden ama $b$ , $a$ ile aynı türden değil.”

diyemeyiz.

Bu simetri (symmetry) özelliğidir.

4.3. Eşdeğerlik zincir boyunca korunmalı

Eğer:

a\sim b

b\sim c

ise,

a\sim c

olmalıdır.

Bu geçişlilik (transitivity) özelliğidir.

Üç özelliğin zihinsel anlamı

Yansıma: Ben kendimle aynı gruptayım.

Simetri: Sen benimle aynı gruptaysan ben de seninle aynı gruptayım.

Geçişlilik: Sen benimle, o da seninle aynı gruptaysa hepimiz aynı gruptayız.

Bu üç özellik birlikte, “aynı türden olma” fikrini matematiksel olarak tutarlı hâle getirir.

5. Biçimsel tanım

Denklik Bağıntısı

$A$ bir küme ve $\sim$ bu küme üzerinde bir bağıntı olsun.

$\sim$ bağıntısına denklik bağıntısı (equivalence relation) denir, eğer:

Yansımalıysa

Her $a\in A$ için

a\sim a.

Simetrikse

Her $a,b\in A$ için

a\sim b \Rightarrow b\sim a.

Geçişliyse

Her $a,b,c\in A$ için

(a\sim b\land b\sim c) \Rightarrow a\sim c.

Daha sıkı biçimde:

\boxed{ \text{Denklik bağıntısı} = \text{yansımalı} + \text{simetrik} + \text{geçişli} }

Antisimetrik olmak, denklik bağıntısının şartlarından biri değildir.

Önceki birimde gördüğümüz simetrik ve antisimetrik kavramları birbirinin basitçe zıddı değildir.

Denklik bağıntısında ihtiyacımız olan özellik simetridir.

6. Neden tam olarak bu üç özellik?

Tanımdaki koşullar rastgele seçilmiş değildir.

Her biri sınıflandırmanın belirli bir bölümünü mümkün kılar.

Yansımayı kaldırırsak

Bir eleman kendi sınıfına bile girmeyebilir.

Örneğin:

a\not\sim a

olabilirse $a$ 'nın hangi eşdeğerlik sınıfına ait olacağı sorun hâline gelir.

Simetriyi kaldırırsak

“Aynı sınıfta olmak” yönlü hâle gelir.

a\sim b

olduğu hâlde

b\not\sim a

olabilir.

Bu artık bir aynılık fikri değil, daha çok “önce gelir”, “küçüktür”, “ulaşır” gibi yönlü bir ilişkidir.

Geçişliliği kaldırırsak

Sınıflar birbirinin içine karışabilir.

Bir eleman hem bir grupla hem başka bir grupla bağlantılı olurken grupların tamamı birbirine eşdeğer olmayabilir.

Bu durumda düzgün, çakışmayan sınıflar elde edemeyiz.

Üç özellik birlikte şunu garanti eder:

Eşdeğer kabul ettiğimiz nesneler gerçekten tek bir tutarlı grup hâlinde davranır.

7. İlk matematiksel örnek: aynı kalanı veren sayılar

Şimdi daha önemli bir örneğe geçelim.

Şu kümeyi alalım:

A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.

İki sayıyı, $3$ ile bölündüklerinde aynı kalanı veriyorlarsa ilişkili sayalım.

Örneğin:

1\sim4

çünkü:

1=0\cdot3+1,

ve:

4=1\cdot3+1.

Her ikisinin de kalanı $1$ 'dir.

Aynı şekilde:

4\sim7.

Çünkü $7$ de $3$ ile bölündüğünde kalan $1$ verir.

Sınıflandırırsak:

\{1,4,7\},

\{2,5,8\},

\{3,6\}

elde ederiz.

Üçe bölümden kalanlara göre sınıflar

A = {1,2,3,4,5,6,7,8}

           üçe bölümden kalan

      1              2              0
      │              │              │
      ▼              ▼              ▼

  {1,4,7}        {2,5,8}         {3,6}

Birden sekize kadar sayılar, üçe bölümden kalanları 1, 2 veya 0 olmasına göre üç ayrı sınıfa ayrılır.

Burada sayılar eşit değildir:

1\neq4\neq7.

Fakat seçtiğimiz ölçüt bakımından eşdeğerdirler.

İşte matematikte denklik fikrinin gücü burada ortaya çıkar:

Gerçek eşitliği değiştirmiyoruz; hangi ayrıntıları önemsemediğimizi belirliyoruz.

8. Aynılık ile denklik aynı şey değildir

Bu ayrım çok önemlidir.

Eşitlik

a=b

dediğimizde iki sembolün aynı matematiksel nesneyi gösterdiğini söyleriz.

Denklik

a\sim b

dediğimizde ise:

“ $a$ ve $b$ , seçtiğimiz ölçüt açısından birbirinden ayırt edilmeyecek.”

deriz.

Eşit değiller ama eşdeğerler

Üçe bölümden kalan bağıntısında:

1\sim4.

Ancak:

1\neq4.

Dolayısıyla:

\boxed{ \text{eşdeğerlik}\neq\text{eşitlik} }

Eşdeğerlik, hangi özelliğe baktığımıza bağlıdır.

Aslında sıradan eşitliğin kendisi de bir denklik bağıntısıdır.

Çünkü:

a=a,

a=b\Rightarrow b=a,

a=b,\ b=c\Rightarrow a=c.

Bu bakımdan eşitlik, mümkün olan en katı denklik ölçütlerinden biridir.

9. Denklik sınıfı nedir?

Bir denklik bağıntısını belirledikten sonra artık her elemanın hangi gruba ait olduğunu tanımlayabiliriz.

Denklik Sınıfı

$A$ üzerinde $\sim$ bir denklik bağıntısı ve $a\in A$ olsun.

$a$ 'nın denklik sınıfı (equivalence class):

[a] = \{x\in A:x\sim a\}

olarak tanımlanır.

Bunu sözel olarak okuyalım:

$[a]$ , $A$ kümesinde $a$ ile eşdeğer olan bütün elemanların kümesidir.

Örneğin önceki bağıntıda:

[1]=\{1,4,7\}.

Çünkü bu üç sayı $3$ ile bölündüğünde aynı kalanı verir.

Aynı şekilde:

[2]=\{2,5,8\},

ve:

[3]=\{3,6\}.

10. Bir sınıfın adı neden tek değildir?

Burada başlangıçta garip gelebilecek çok önemli bir sonuç vardır.

[1]=\{1,4,7\}.

Peki $[4]$ nedir?

$4$ ile eşdeğer olan sayılar da:

\{1,4,7\}

olduğundan:

[4]=\{1,4,7\}.

Aynı nedenle:

[7]=\{1,4,7\}.

Dolayısıyla:

\boxed{ [1]=[4]=[7] }

olur.

Burada:

$1$ ,
$4$ ,
$7$

aynı sınıfın farklı temsilcileridir (representatives).

Bir denklik sınıfı için herhangi bir elemanını “etiket” olarak seçebiliriz.

Etiketi değiştirmek sınıfı değiştirmez.

Bu fikir ileride çok önemli olacaktır.

Çünkü matematikte bazen tek tek nesneler yerine onların temsil ettiği bütün denklik sınıfıyla işlem yapacağız.

11. Neden eşdeğer iki elemanın sınıfları aynıdır?

Bu sonuç denklik sınıflarının merkezindedir.

Eşdeğer elemanlar aynı denklik sınıfını belirler

$a\sim b$ olduğunu varsayalım.

Göstermek istediğimiz:

[a]=[b].

Bir $x\in[a]$ alalım.

Denklik sınıfının tanımından:

x\sim a.

Ayrıca varsayımımız:

a\sim b.

Geçişlilikten:

x\sim b.

Dolayısıyla:

x\in[b].

Yani:

[a]\subseteq[b].

Şimdi $a\sim b$ olduğundan simetri sayesinde:

b\sim a.

Aynı argümanı ters yönde uygularsak:

[b]\subseteq[a].

İki kapsama birlikte:

[a]=[b].

elde edilir.

Bu ispat bize çok temel bir şey söylüyor:

Aynı sınıfta bulunan iki eleman aslında iki farklı sınıf oluşturmuyor.

Sınıfın farklı isimleri olabilir; fakat kümenin kendisi aynıdır.

12. Denklik sınıfları neden ya aynı ya da tamamen ayrıdır?

Şimdi asıl büyük sonuca yaklaşıyoruz.

İki denklik sınıfının ortak bir elemanı bulunduğunu düşünelim:

[a]\cap[b]\neq\varnothing.

Demek ki en az bir $x$ için:

x\in[a]

x\in[b].

Buna göre:

x\sim a

x\sim b.

Simetriden:

a\sim x.

Bunu:

x\sim b

ile birleştirip geçişlilik uygularsak:

a\sim b

buluruz.

Az önce ispatladığımız sonuçtan:

a\sim b \Rightarrow [a]=[b].

O hâlde:

Temel sonuç

İki denklik sınıfı arasında yalnızca iki ihtimal vardır:

\boxed{ [a]=[b] \quad\text{veya}\quad [a]\cap[b]=\varnothing }

Yani denklik sınıfları ya tamamen aynıdır ya da hiç kesişmezler.

Kısmen örtüşemezler.

Bu özellik sıradan bağıntılarda doğru değildir.

Denklik bağıntılarının kümeyi düzgün sınıflara ayırabilmesinin asıl nedeni budur.

13. Bölümleme nedir?

Artık elimizde başka bir kavrama geçmek için yeterli yapı var.

Kümenin Bölümlemesi

$A$ kümesinin bir bölümlemesi (partition), $A$ 'nın boş olmayan alt kümelerinden oluşan ve şu iki koşulu sağlayan bir koleksiyondur:

Bütün parçalar birlikte $A$ 'yı verir.
Farklı parçalar birbirleriyle kesişmez.

Başka bir deyişle her $a\in A$ tam olarak bir parçaya aittir.

Örneğin:

A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

için

\big\{ \{1,4,7\}, \{2,5,8\}, \{3,6\} \big\}

bir bölümlemedir.

Çünkü:

hiçbir parça boş değildir,
birleşimleri bütün $A$ 'dır,
hiçbir iki farklı parça kesişmez.

Bir kümenin bölümlemesi

                 A

┌───────────────────────────────────┐
│                                   │
│   ┌─────────┐  ┌─────────┐        │
│   │ 1  4  7 │  │ 2  5  8 │        │
│   └─────────┘  └─────────┘        │
│                                   │
│          ┌─────────┐              │
│          │   3  6  │              │
│          └─────────┘              │
│                                   │
└───────────────────────────────────┘

A kümesinin bütün elemanları üç ayrı parçaya dağıtılmıştır; parçalar birbirini kesmez ve birlikte bütün kümeyi oluşturur.

14. Büyük sonuç: Her denklik bağıntısı bir bölümleme oluşturur

Şimdi birimin temel matematiksel sonucunu kurabiliriz.

Denklik bağıntısı → bölümleme

Bir küme üzerinde denklik bağıntısı tanımladığımızda, o bağıntının denklik sınıfları kümeyi otomatik olarak bir bölümlemeye ayırır.

Neden?

Birinci şart: Her eleman bir sınıfa aittir

Yansıma özelliğinden:

a\sim a.

Dolayısıyla:

a\in[a].

Yani kümede sınıfsız kalan hiçbir eleman yoktur.

İkinci şart: Sınıflar boş değildir

Yine:

a\in[a]

olduğundan her denklik sınıfı en azından kendi temsilcisini içerir.

Üçüncü şart: Farklı sınıflar kesişmez

Az önce gösterdik:

[a]\cap[b]\neq\varnothing \Rightarrow [a]=[b].

Dolayısıyla iki gerçekten farklı sınıfın ortak elemanı olamaz.

Bunları bir araya getirirsek:

Denklik sınıfları kümeyi böler

$\sim$ , $A$ üzerinde bir denklik bağıntısı olsun.

Her $a\in A$ için yansımadan:

a\sim a,

dolayısıyla:

a\in[a].

Bu nedenle bütün denklik sınıflarının birleşimi $A$ 'dır.

Ayrıca iki sınıf kesişiyorsa:

[a]\cap[b]\neq\varnothing,

önceki sonuç gereği:

[a]=[b].

Dolayısıyla farklı denklik sınıfları çakışamaz.

Böylece denklik sınıfları $A$ 'nın bir bölümlemesini oluşturur.

15. Aslında bunun tersi de doğru

Şimdi çok güzel bir bağlantı ortaya çıkıyor.

Bir kümeyi baştan çakışmayan gruplara ayırdığımızı düşünelim.

Örneğin:

A=\{1,2,3,4,5,6\}

ve bölümleme:

\big\{ \{1,2\}, \{3,4,5\}, \{6\} \big\}.

Şimdi şöyle bir bağıntı tanımlayalım:

İki eleman aynı parçanın içindeyse birbirleriyle ilişkili olsun.

Bu bağıntı:

yansımalıdır: her eleman kendisiyle aynı parçadadır,
simetriktir: $a$ ve $b$ aynı parçadaysa $b$ ve $a$ da aynı parçadadır,
geçişlidir: $a$ ile $b$ ve $b$ ile $c$ aynı parçadaysa üçünün de aynı parçada olması gerekir.

Dolayısıyla bir denklik bağıntısı elde ederiz.

İki farklı bakış, aynı yapı

\boxed{ \text{Denklik bağıntıları} \longleftrightarrow \text{Küme bölümlemeleri} }

Bir denklik bağıntısı bize bir bölümleme verir.

Bir bölümleme de doğal olarak bir denklik bağıntısı tanımlar.

Bu ilişki tesadüf değildir.

Denklik bağıntısı hangi elemanların birlikte olması gerektiğini söyler.

Bölümleme ise bunun sonucunda oluşan grupları gösterir.

16. Bir denklik sınıfını bulma tekniği

Bir problemde:

[a]

isteniyorsa yapılacak şey doğrudan tanıma dönmektir:

[a] = \{x\in A:x\sim a\}.

Yani şu soruyu sorarız:

Hangi $x$ 'ler $a$ ile verilen bağıntıyı sağlıyor?

Üçe bölümden kalan bağıntısında sınıf bulmak

Tam sayılar üzerinde:

x\sim y

bağıntısı,

$x-y$ sayısı $3$ 'ün katıdır.

anlamına gelsin.

$[1]$ sınıfını arayalım.

Tanıma göre:

[1] = \{x\in\mathbb Z:x\sim1\}.

Yani:

x-1

sayısı $3$ 'ün katı olmalı.

Böyle sayılar:

\ldots,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots

olduğundan:

[1] = \{\ldots,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.

Benzer biçimde yalnızca üç farklı sınıf vardır:

[0],\qquad[1],\qquad[2].

Çünkü bütün tam sayılar $3$ ile bölündüğünde yalnızca:

0,\ 1,\ 2

kalanlarından birini verir.

Bu örnek ileride modüler aritmetik adı altında çok daha sistematik biçimde karşımıza çıkacak.

Şimdilik önemli olan hesap yöntemi değil, bütün tam sayıların üç denklik sınıfına ayrılmasıdır.

17. Neden $[1]$ ile $[4]$ farklı sınıflar değil?

Bu, denklik sınıflarında en sık yaşanan ilk karışıklıklardan biridir.

Yukarıdaki bağıntıda:

1\sim4.

Bu nedenle:

[1]=[4].

$[1]$ ve $[4]$ ifadeleri iki farklı sınıfı değil, aynı kümeyi farklı temsilcilerle adlandırır.

Bir denklik sınıfının köşeli parantez içindeki elemanı sınıfın tek elemanı değildir.

[a]

“yalnızca $a$ ” anlamına gelmez.

$a$ ile eşdeğer olan bütün elemanların kümesi anlamına gelir.

18. Denklik sınıflarının kümesi

Bir denklik bağıntısının oluşturduğu bütün farklı sınıfları tek bir küme olarak da ele alabiliriz.

Bu kümeye bölüm kümesi (quotient set) denir.

Gösterimi:

A/{\sim}

şeklindedir.

Bölüm Kümesi

$A$ üzerinde $\sim$ bir denklik bağıntısı varsa:

A/{\sim} = \{[a]:a\in A\}

ifadesi, bütün denklik sınıflarının kümesidir.

Aynı olan sınıflar burada elbette bir kez bulunur.

Örneğin:

A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

ve üçe bölümden kalan bağıntısı için:

A/{\sim} = \big\{ \{1,4,7\}, \{2,5,8\}, \{3,6\} \big\}.

Burada artık tek tek sekiz eleman yerine üç sınıfı ele alıyoruz.

Bu matematikte çok güçlü bir soyutlama yöntemidir.

19. Asıl fikir: Gereksiz ayrıntıyı unutmak

Neden tek tek nesneler yerine denklik sınıflarıyla çalışmak isteriz?

Çünkü bazen problemimiz açısından bazı farklılıklar önemsizdir.

Örneğin üçe bölümden kalanla ilgileniyorsak:

1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ldots

arasındaki büyüklük farklarını önemsemeyebiliriz.

Hepsi bizim problemimiz açısından aynı davranışı gösterir.

Denklik sınıfı oluşturmak:

“Bu nesneler tam anlamıyla aynı değil; fakat şu anda ilgilendiğimiz özellik bakımından aralarındaki farkı görmezden geleceğim.”

demektir.

Bu, soyutlamanın en temel hareketlerinden biridir:

\boxed{ \text{ayrıntıları unut} \longrightarrow \text{ortak yapıyı koru} }

20. Denklik bağıntısı olup olmadığını nasıl kontrol ederiz?

Bir bağıntı verildiğinde üç koşulu ayrı ayrı kontrol ederiz.

Örnek 1 — Aynı paritede olmak

Tam sayılar üzerinde:

x\sim y \iff x-y\text{ çift sayıdır}

olsun.

Yansıma

x-x=0

çifttir.

Dolayısıyla:

x\sim x.

Simetri

Eğer:

x-y

çiftse:

y-x=-(x-y)

de çifttir.

Dolayısıyla:

x\sim y\Rightarrow y\sim x.

Geçişlilik

Eğer:

x-y

y-z

çiftse bunların toplamı:

(x-y)+(y-z)=x-z

de çifttir.

Dolayısıyla:

x\sim z.

Üç özellik de sağlandığı için bu bir denklik bağıntısıdır.

Sınıflar:

[\text{çift}]

[\text{tek}]

şeklinde düşünülebilir.

Daha kesin olarak yalnızca iki sınıf vardır:

[0]

[1].

Bu örnekte sonsuz sayıda tam sayı yalnızca iki büyük sınıfa indirgenmiştir.

21. Karşı örnek: Küçük veya eşit olmak

Küçük veya eşit bağıntısı

Reel sayılar üzerinde:

xRy \iff x\leq y

olsun.

Yansıma vardır:

x\leq x.

Geçişlilik de vardır:

x\leq y,\quad y\leq z \Rightarrow x\leq z.

Fakat simetri yoktur.

Örneğin:

2\leq5

doğrudur fakat:

5\leq2

yanlıştır.

Dolayısıyla $\leq$ bir denklik bağıntısı değildir.

Bu bağıntının başka önemli bir matematiksel görevi vardır: sıralama.

Bir sonraki birimde tam olarak bu tür ilişkileri inceleyeceğiz.

22. Karşı örnek: “Birbirine yakın olmak”

Yakınlık her zaman denklik değildir

Reel sayılar üzerinde:

xRy \iff |x-y|\leq1

olsun.

Yansıma vardır:

|x-x|=0\leq1.

Simetri vardır:

|x-y|=|y-x|.

Ama geçişlilik yoktur.

Örneğin:

1R2

ve:

2R3

olduğu hâlde:

1R3

değildir.

Çünkü:

|1-3|=2.

Bu nedenle bağıntı denklik bağıntısı değildir.

Bu örnek özellikle önemlidir.

Çünkü “birbirine benziyor” veya “birbirine yakın” gibi gündelik ifadeler sezgisel olarak eşdeğerlik çağrıştırsa da matematiksel olarak geçişli olmak zorunda değildir.

23. Geometriden bir örnek

Geometride de aynı fikir sürekli karşımıza çıkar.

Örneğin iki şekli, biri diğerinin yalnızca yer değiştirmiş veya döndürülmüş hâliyse aynı geometrik şekil olarak görmek isteyebiliriz.

Kağıt üzerindeki konumları farklı olabilir:

△                         △

ama şeklin yapısı değişmemiştir.

Bu durumda ilgilendiğimiz şey:

“Nerede bulunduğu?”

değil,

“Hangi geometrik biçime sahip olduğu?”

olabilir.

Geometrik kullanım

Geometride “aynı şekli farklı konumlarda görme” fikri, uygun dönüşümler altında eşdeğerlik düşüncesine götürür.

Daha ileri matematikte:

kongruent şekiller,
benzer şekiller,
koordinat seçiminden bağımsız geometrik nesneler

bu bakışla ele alınabilir.

Buradaki temel mekanizma yine aynıdır:

Önemsiz kabul ettiğimiz bir değişikliği yok sayıp geriye kalan yapıyı inceliyoruz.

24. Tarihsel gelişim

Denklik fikrinin tek bir mucidi yoktur.

Nesneleri ortak özelliklerine göre sınıflandırmak matematiğin çok eski dönemlerinden beri kullanılan doğal bir düşünme biçimidir. Ancak bugün kullandığımız denklik bağıntısı kavramı, bağıntıların ve kümelerin soyut biçimde ele alınmaya başlamasıyla genel bir matematiksel yapıya dönüşmüştür.

Önemli tarihsel örneklerden biri sayı teorisindeki kongruens düşüncesidir. Carl Friedrich Gauss'un 1801'de yayımlanan Disquisitiones Arithmeticae adlı eseri, sayıların belirli bir sayıya bölümünden kalanlarına göre sistematik biçimde ele alınmasını sayı teorisinin temel araçlarından biri hâline getirdi.

Örneğin bugün:

7\equiv1\pmod 3

şeklinde yazdığımız ifade, $7$ ile $1$ 'in $3$ 'e göre aynı kalan sınıfında bulunduğunu söyler.

yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında küme, bağıntı ve soyut cebir dili geliştikçe bu tür örneklerin ortak yapısı ayrıştırıldı:

Yansımalı, simetrik ve geçişli her bağıntı aynı temel sınıflandırma mekanizmasını üretir.

Böylece denklik bağıntısı yalnız sayı teorisine ait bir yöntem olmaktan çıkıp modern matematiğin genel araçlarından biri hâline geldi.

25. Denklik fikri neden bu kadar güçlü?

Çünkü matematikte birçok nesneyi temsil biçiminden bağımsız olarak ele almak isteriz.

Kesirlerde

Örneğin:

\frac12, \qquad \frac24, \qquad \frac{50}{100}

farklı yazımlardır.

Ama aynı rasyonel sayıyı temsil ederler.

İleride rasyonel sayıların yapısı incelenirken bu “farklı gösterimler, aynı değer” fikri denklik düşüncesiyle çok doğal biçimde açıklanabilir.

Modüler aritmetikte

Saat üzerinde:

15

ile

3

aynı konumu temsil edebilir.

Çünkü $12$ saatlik sistemde aralarındaki fark bir tam turdur.

Geometride

Bir nesnenin döndürülmüş veya ötelenmiş hâli problemimiz açısından aynı kabul edilebilir.

Soyut cebirde

Bir yapının bazı elemanlarını eşdeğer kabul edip sınıflar üzerinden yeni matematiksel yapılar kurulabilir.

Bu fikir daha sonra:

bölüm gruplarında,
bölüm halkalarında,
bölüm uzaylarında

yeniden karşımıza çıkacaktır.

Topolojide

Bir geometrik uzayın belirli noktaları “aynı nokta” kabul edilerek yeni uzaylar oluşturulabilir.

Örneğin bir doğru parçasının iki ucunu birbirine eşdeğer kabul etmek, sezgisel olarak uçları yapıştırıp bir çember oluşturma fikrine götürür.

Bu nedenle denklik bağıntısı basit bir “ilişki türü” değildir.

İleride matematiğin çok güçlü bir yapım tekniğine dönüşecektir:

\text{nesneler} \longrightarrow \text{eşdeğer olanları grupla} \longrightarrow \text{sınıfları yeni nesneler olarak kullan}

26. Bilgisayar ve teknoloji açısından aynı fikir

Denklik sınıfları yalnızca soyut matematikte görülmez.

Bir yazılım sisteminin kullanıcı adlarını büyük-küçük harf farkını önemsemeden değerlendirdiğini düşünelim.

Örneğin:

USTA
Usta
usta
UsTa

sistem tarafından önce aynı standart biçime dönüştürülebilir:

usta

Bu durumda farklı karakter dizileri, sistemin ilgilendiği ölçüt bakımından aynı sınıfa alınmış olur.

Normalleştirme ve sınıflandırma

Bilgisayar sistemlerinde verilerin belirli ayrıntıları görmezden gelinerek standartlaştırılması, denklik sınıfı düşüncesine benzer bir mekanizma kullanır.

Örneğin bir sistem:

büyük/küçük harf farkını,
bazı biçimlendirme farklarını,
farklı fakat eşdeğer veri gösterimlerini

önemsiz kabul ederek aynı sınıfta işleyebilir.

Önemli olan “hangi farklılıkların önemsiz sayılacağının” açık ve tutarlı biçimde belirlenmesidir.

27. Denklik bağıntısı aslında bilgi azaltır

Bu noktada daha derin bir şey fark edebiliriz.

Başlangıçta:

A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

kümesinde sekiz ayrı nesnemiz vardı.

Üçe bölümden kalana göre sınıflandırınca:

A/{\sim}

yalnızca üç sınıftan oluştu.

Yani sekiz ayrıntılı durum yerine üç genel durumla çalışıyoruz.

Denklik bağıntısı bir bakıma hangi bilgiyi unutmaya razı olduğumuzu belirler.

Üçe göre kalanla ilgilenirken:

$1$ ile $4$ arasındaki büyüklük farkını unutuyoruz,
fakat ikisinin de aynı kalan davranışına sahip olduğunu koruyoruz.

Bu nedenle bölüm yapıları matematikte güçlüdür:

Gereksiz ayrıntıyı atıp problemi belirleyen yapıyı korurlar.

Bu, 01.01.02'de öğrendiğimiz soyutlama fikrinin çok daha somut bir matematiksel biçimidir.

28. Sık yapılan hatalar

1. Denklik bağıntısı ile eşitliği karıştırmak

a\sim b

genellikle:

a=b

demek değildir.

Denklik seçilmiş bir ölçüte bağlıdır.

2. İki özelliği kontrol edip üçüncüyü unutmak

Bir bağıntının:

yansımalı,
simetrik

olması tek başına yeterli değildir.

Geçişlilik ayrıca gösterilmelidir.

Aynı şekilde diğer iki özellik de ayrı ayrı gereklidir.

3. Birkaç örnekten denklik olduğuna karar vermek

Örneğin:

1\sim2, \qquad 2\sim1

görmek bağıntının simetrik olduğunu ispatlamaz.

Simetriklik bütün uygun $a,b$ elemanları için gösterilmelidir:

\forall a,b\in A.

Burada 01.02.04'te öğrendiğimiz niceleyiciler yeniden devreye girer.

4. Denklik sınıflarını örtüşen kümeler sanmak

Denklik sınıfları kısmen örtüşemez.

Eğer:

[a]\cap[b]\neq\varnothing

ise mutlaka:

[a]=[b].

5. Temsilciyi sınıfın kendisi sanmak

$a$ , $[a]$ sınıfının bir elemanıdır.

Fakat:

a

ile:

[a]

aynı tür matematiksel nesne değildir.

$a$ bir elemandır.

$[a]$ ise bir kümedir.

29. Önceki konuların burada birleşmesi

Bu birim aslında Dünya 1'de öğrendiğimiz birçok fikri aynı anda kullanıyor.

Küme

Denklik sınıfı bir alt kümedir:

[a]\subseteq A.

Bağıntı

Denklik bağıntısı:

\sim\ \subseteq A\times A

olan özel bir bağıntıdır.

Niceleyiciler

Yansıma, simetri ve geçişlilik bütün elemanlar hakkında iddialardır.

Örneğin:

\forall a\in A,\quad a\sim a.

Mantıksal koşul

Simetri:

a\sim b\Rightarrow b\sim a

biçimindedir.

Küme eşitliği

[a]=[b]

ispatlanırken iki yönlü alt küme ilişkisi kullandık:

[a]\subseteq[b]

ve:

[b]\subseteq[a].

Haritadaki geriye doğru bağlantı

Mantık
  │
  ├── niceleyiciler
  │
  └── koşullu ifadeler
  │
  ▼
Kümeler
  │
  ├── alt kümeler
  └── Kartezyen çarpım
  │
  ▼
Bağıntılar
  │
  ▼
DENKLİK BAĞINTISI
  │
  ▼
Denklik sınıfları
  │
  ▼
Bölümleme

30. İleriye doğru bağlantı

Denklik bağıntısının ardından sıradaki birimimiz sıralama bağıntılarıdır.

İki yapı arasındaki fark şimdiden görülebilir.

Denklik

Sorusu:

Hangi nesneleri aynı sınıfta görmeliyiz?

Temel özellikleri:

\text{yansıma}+\text{simetri}+\text{geçişlilik}.

Sıralama

Sorusu ise:

Hangi nesne diğerinden önce, küçük veya kapsayıcı kabul edilmelidir?

Burada simetri yerine başka bir özellik önem kazanacaktır.

Bağıntılardan iki farklı yol

                    BAĞINTI
                       │
             ┌─────────┴─────────┐
             │                   │
             ▼                   ▼
      DENKLİK BAĞINTISI     SIRALAMA BAĞINTISI
             │                   │
             ▼                   ▼
        sınıflandırma        karşılaştırma
             │                   │
             ▼                   ▼
     denklik sınıfları      kısmi / tam sıra

Genel bağıntı kavramından denklik bağıntıları sınıflandırmaya, sıralama bağıntıları ise karşılaştırmaya götürür.

Daha ileride ise denklik sınıflarının oluşturduğu yapı çok daha güçlü biçimde geri dönecek:

Denklik sınıfları
      │
      ├── modüler aritmetik
      ├── rasyonel sayıların kurulması
      ├── bölüm grupları
      ├── bölüm halkaları
      └── bölüm uzayları

31. Bir denklik bağıntısını çözümleme yöntemi

Bir soruda:

“Bu bağıntı denklik bağıntısı mıdır?”

deniyorsa şu sistematik yolu kullanabiliriz.

Adım 1 — Yansımayı kontrol et

Rastgele bir $a\in A$ al ve:

a\sim a

olduğunu göster.

Adım 2 — Simetriyi kontrol et

a\sim b

varsay ve bundan:

b\sim a

çıkar.

Adım 3 — Geçişliliği kontrol et

a\sim b

ve:

b\sim c

varsay.

Bunlardan:

a\sim c

çıkar.

Adım 4 — Sınıfları belirle

Her gerekli temsilci için:

[a]=\{x\in A:x\sim a\}

kümesini bul.

Adım 5 — Aynı sınıfları tekrar sayma

Eğer:

a\sim b

ise zaten:

[a]=[b].

Dolayısıyla bölümlemede bunlar tek sınıftır.

Pratik kontrol şeması

Bağıntı verildi
      │
      ▼
Yansımalı mı?
      │
      ▼
Simetrik mi?
      │
      ▼
Geçişli mi?
      │
      ├── hayır ──→ Denklik bağıntısı değil
      │
      ▼
     evet
      │
      ▼
Denklik sınıflarını bul
      │
      ▼
Kümenin bölümlemesini elde et

32. Biraz daha derin düşünelim

Şu cümle ilk bakışta şaşırtıcı olabilir:

Denklik bağıntısı ile bölümleme aslında aynı bilginin iki farklı gösterimidir.

Neden?

Bir denklik bağıntısını biliyorsak:

a\sim b

olup olmadığını kullanarak sınıfları oluşturabiliriz.

Tersine sınıfları biliyorsak:

a\sim b \iff a\text{ ve }b\text{ aynı sınıfta}

diyerek bağıntıyı geri kurabiliriz.

Yani bilgi kaybolmaz.

\boxed{ \begin{array}{c} \text{Bağıntı dili}\\[2mm] a\sim b \end{array} } \qquad \longleftrightarrow \qquad \boxed{ \begin{array}{c} \text{Sınıf dili}\\[2mm] [a]=[b] \end{array} }

İki dil aynı matematiksel yapıya farklı yerlerden bakar.

Bu tür “aynı yapının farklı gösterimleri” fikri ileride matematiğin çok büyük bir teması hâline gelecektir.

33. Kısa sentez

Neden vardı?

Matematikte farklı nesneleri belirli bir özellik bakımından aynı türden kabul etmek ve bunu tutarlı biçimde yapmak istedik.

Ne öğrendik?

Bir bağıntı:

yansımalı,
simetrik,
geçişli

ise bir denklik bağıntısıdır.

Bir $a$ elemanının sınıfı:

[a]=\{x\in A:x\sim a\}

şeklindedir.

En önemli sonuç neydi?

Denklik sınıfları ya tamamen aynıdır ya da tamamen ayrıdır:

[a]=[b] \quad\text{veya}\quad [a]\cap[b]=\varnothing.

Bu nedenle bütün sınıflar birlikte $A$ kümesinin bir bölümlemesini oluşturur.

Artık ne yapabiliyoruz?

Bir bağıntının denklik bağıntısı olup olmadığını inceleyebilir, denklik sınıflarını bulabilir ve bir kümenin hangi doğal gruplara ayrıldığını açıklayabiliriz.

Sırada ne var?

Şimdi “hangi nesneler aynı sınıfta?” sorusundan:

“Nesneler hangi anlamda önce, sonra, küçük veya büyük olabilir?”

sorusuna geçeceğiz.

Bu bizi 01.04.03 — Sıralama bağıntıları birimine götürecek.

34. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Kendi sözlerinle açıkla: Eşitlik ile denklik arasındaki fark nedir?
Bir denklik bağıntısında yansıma, simetri ve geçişlilik özelliklerinin her biri hangi problemi önler?
Neden iki denklik sınıfı kısmen örtüşemez?
“Bir denklik bağıntısı bir kümeyi böler.” cümlesindeki böler sözcüğü tam olarak ne anlama geliyor?

Teknik

Şu kümede:

A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

x\sim y \iff x-y\text{ sayısı }4\text{'ün katıdır}

bağıntısını düşün.

Denklik sınıflarını bul.
Kaç farklı sınıf vardır?
$[1]$ ile $[5]$ arasındaki ilişki nedir?

Gerekçelendirme

Tam sayılar üzerinde:

xRy \iff |x|=|y|

bağıntısı veriliyor.

Bu bağıntının:

yansımalı,
simetrik,
geçişli

olup olmadığını ayrı ayrı gerekçelendir.

Denklik bağıntısıysa $[3]$ sınıfını bul.

Reel sayılar üzerinde:

xRy \iff |x-y|<2

bağıntısının denklik bağıntısı olmadığını tek bir karşı örnekle gösterebilir misin?

Hangi özellik bozuluyor?

Transfer

Bir üniversitedeki öğrencileri yalnızca doğdukları aya göre aynı kabul eden bir bağıntı tanımladığını düşün.

Bu bir denklik bağıntısı olur mu?
Denklik sınıfları ne olur?
En fazla kaç farklı sınıf bulunabilir?
Bazı aylarda hiç öğrenci yoksa bölümleme açısından ne değişir?

Bir yazılım sisteminin iki metni, bütün harfler küçük harfe dönüştürüldükten sonra aynı oluyorlarsa eşdeğer kabul ettiğini düşün.

Örneğin:

Matematik
MATEMATİK
matematik

aynı sınıfa girsin.

Bu bağıntının neden denklik bağıntısı olduğunu üç özellik üzerinden açıklamaya çalış.

Son düşünme sorusu:

Bir denklik bağıntısının asıl gücü sence hangisidir?

Nesneleri karşılaştırması mı?
Nesneleri sıralaması mı?
Gereksiz farklılıkları yok sayarak yeni matematiksel nesneler oluşturması mı?

Cevabını gerekçelendir.

01.04.02 — Denklik bağıntıları ve denklik sınıfları

1. Başlangıç problemi: “Aynı” derken neyi kastediyoruz?

2. Önce somut bir sınıflandırma yapalım

3. Eski araç neden yetmiyor?

4. Denklik fikrinin üç şartı

4.1. Her nesne kendisiyle eşdeğer olmalı

4.2. Eşdeğerlik yönlü olmamalı

4.3. Eşdeğerlik zincir boyunca korunmalı

5. Biçimsel tanım

Yansımalıysa

Simetrikse

Geçişliyse

6. Neden tam olarak bu üç özellik?

Yansımayı kaldırırsak

Simetriyi kaldırırsak

Geçişliliği kaldırırsak

7. İlk matematiksel örnek: aynı kalanı veren sayılar

8. Aynılık ile denklik aynı şey değildir

Eşitlik

Denklik

9. Denklik sınıfı nedir?

10. Bir sınıfın adı neden tek değildir?

11. Neden eşdeğer iki elemanın sınıfları aynıdır?

12. Denklik sınıfları neden ya aynı ya da tamamen ayrıdır?

13. Bölümleme nedir?

14. Büyük sonuç: Her denklik bağıntısı bir bölümleme oluşturur

Birinci şart: Her eleman bir sınıfa aittir

İkinci şart: Sınıflar boş değildir

Üçüncü şart: Farklı sınıflar kesişmez

15. Aslında bunun tersi de doğru

16. Bir denklik sınıfını bulma tekniği

17. Neden [1][1][1] ile [4][4][4] farklı sınıflar değil?

18. Denklik sınıflarının kümesi

19. Asıl fikir: Gereksiz ayrıntıyı unutmak

20. Denklik bağıntısı olup olmadığını nasıl kontrol ederiz?

Yansıma

Simetri

Geçişlilik

21. Karşı örnek: Küçük veya eşit olmak

22. Karşı örnek: “Birbirine yakın olmak”

23. Geometriden bir örnek

24. Tarihsel gelişim

25. Denklik fikri neden bu kadar güçlü?

Kesirlerde

Modüler aritmetikte

Geometride

Soyut cebirde

Topolojide

26. Bilgisayar ve teknoloji açısından aynı fikir

27. Denklik bağıntısı aslında bilgi azaltır

28. Sık yapılan hatalar

29. Önceki konuların burada birleşmesi

Küme

Bağıntı

Niceleyiciler

Mantıksal koşul

Küme eşitliği

30. İleriye doğru bağlantı

Denklik

Sıralama

31. Bir denklik bağıntısını çözümleme yöntemi

Adım 1 — Yansımayı kontrol et

Adım 2 — Simetriyi kontrol et

Adım 3 — Geçişliliği kontrol et

Adım 4 — Sınıfları belirle

Adım 5 — Aynı sınıfları tekrar sayma

32. Biraz daha derin düşünelim

33. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

En önemli sonuç neydi?

Artık ne yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

34. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

17. Neden $[1]$ ile $[4]$ farklı sınıflar değil?