1.04.01 — Bağıntı nedir?

Birim kartı

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.04 — Bağıntılar, Denklik ve Sıralama
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Zorunlu ön koşul: 1.03.03 — Kartezyen çarpım ve sıralı yapılar
Temel soru: İki nesnenin ilişkili olmasını matematiksel olarak nasıl formelleştiririz?

Bu birimin sonunda bir bağıntıyı Kartezyen çarpım üzerinden tanımlayabilecek ve bir bağıntının yansımalı, simetrik, antisimetrik ve geçişli olup olmadığını belirleyebileceğiz.

Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar kümeleri ve iki kümenin Kartezyen çarpımını öğrendik:

A\times B

Kartezyen çarpım bize iki kümenin elemanlarıyla oluşturulabilecek bütün mümkün sıralı ikilileri veriyordu.

Bu derste bir adım daha atacağız:

\text{bütün mümkün eşleşmeler} \longrightarrow \text{gerçekten ilgilendiğimiz eşleşmeler}

Bu fikir bizi bağıntıya götürecek.

Bağıntılar daha sonra:

denklik bağıntılarının,
sıralama bağıntılarının,
fonksiyonların,
graf teorisinin,
bölüm yapılarının

temelini oluşturacak.

1. Başlangıç problemi: Bütün olasılıklar aynı şey değildir

Aşağıdaki durum bir pedagojik senaryodur.

Bir okulda üç öğrenci ve iki kulüp olsun:

A=\{\text{Ayşe},\text{Bora},\text{Cem}\}

B=\{\text{Satranç},\text{Müzik}\}.

Kartezyen çarpım:

A\times B

bize öğrencilerle kulüpler arasında kurulabilecek bütün mümkün sıralı ikilileri verir:

\begin{aligned} A\times B=\{& (\text{Ayşe},\text{Satranç}), (\text{Ayşe},\text{Müzik}),\\ & (\text{Bora},\text{Satranç}), (\text{Bora},\text{Müzik}),\\ & (\text{Cem},\text{Satranç}), (\text{Cem},\text{Müzik}) \}. \end{aligned}

Fakat öğrencilerin gerçekten üye olduğu kulüpler şöyle olsun:

Ayşe Satranç kulübünde,
Bora Müzik kulübünde,
Cem hem Satranç hem Müzik kulübünde.

O hâlde ilgilendiğimiz ikililer yalnızca:

\{ (\text{Ayşe},\text{Satranç}), (\text{Bora},\text{Müzik}), (\text{Cem},\text{Satranç}), (\text{Cem},\text{Müzik}) \}.

Asıl problem

Kartezyen çarpım bize hangi eşleşmelerin mümkün olduğunu söylüyor.

Peki bunların içinden hangi ikililerin belirli bir ilişkiyi gerçekten sağladığını matematiksel olarak nasıl ifade edeceğiz?

2. Eski araç neden yetmedi?

Kartezyen çarpım son derece yararlıydı.

Fakat bize yalnızca:

“Hangi sıralı ikilileri oluşturabilirim?”

sorusunun cevabını veriyordu.

Örneğin:

A=\{1,2,3\}

için:

A\times A= \{ (1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3) \}.

Ama şimdi başka sorular sorabiliriz:

Birinci sayı ikinci sayıdan küçük mü?
Birinci sayı ikinci sayıyı bölüyor mu?
İki sayı eşit mi?
İki sayı aynı paritye sahip mi?
Bir nokta başka bir noktaya bağlı mı?

Kartezyen çarpım bu soruların hiçbirini kendi başına cevaplamaz.

Çünkü Kartezyen çarpım bütün aday çiftleri içerir.

Bizim ihtiyacımız ise belirlediğimiz koşulu sağlayan çiftleri seçmektir.

Yeni fikir

Bağıntı, Kartezyen çarpımdaki bütün mümkün sıralı ikililer arasından belirli bir ilişkiyi sağlayanların seçilmesidir.

Başka bir deyişle:

\text{Kartezyen çarpım} = \text{bütün olasılıklar}

iken

\text{bağıntı} = \text{seçilmiş olasılıklar}

olarak düşünülebilir.

3. Bağıntının biçimsel tanımı

İki küme alalım:

A,\qquad B.

Bunların Kartezyen çarpımı:

A\times B

olsun.

A'dan B'ye bağıntı

$A$ kümesinden $B$ kümesine bir bağıntı (relation), $A\times B$ Kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesidir.

Yani:

R\subseteq A\times B.

Bu tanım son derece kısa ama güçlüdür.

Çünkü bir bağıntı için özel bir formüle ihtiyacımız yoktur.

Kartezyen çarpımdan hangi sıralı ikililerin seçildiğini biliyorsak bağıntıyı biliyoruz.

Örneğin:

A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b\}.

Şu küme:

R=\{(1,a),(2,a),(2,b)\}

bir bağıntıdır.

Çünkü:

R\subseteq A\times B.

Fakat:

\{(1,a),(4,b)\}

$A$ 'dan $B$ 'ye bir bağıntı değildir.

Çünkü:

(4,b)\notin A\times B.

Buradaki sorun ilişkinin “mantıklı” veya “mantıksız” olması değildir.

Sorun tamamen tanımsaldır: bağıntının bütün sıralı ikilileri ilgili Kartezyen çarpımın içinde bulunmalıdır.

4. $aRb$ gösterimi ne demektir?

Her defasında:

(a,b)\in R

yazmak mümkündür.

Fakat bağıntılarda daha kısa bir gösterim sık kullanılır:

aRb.

Bu ifade:

(a,b)\in R

ile aynı anlama gelir.

Yani:

“ $a$ , $R$ bağıntısına göre $b$ ile ilişkilidir.”

demektir.

Örneğin $R$ , tam sayılarda “küçük veya eşittir” bağıntısı olsun.

O zaman:

2R5

ifadesi aslında:

2\leq5

demektir.

Benzer biçimde “böler” bağıntısını $D$ ile gösterirsek:

3D12

ifadesi:

3, 12'yi böler.

anlamına gelebilir.

$R$ harfi yalnızca bağıntının adıdır.

Bağıntının kendisi:

$<$ ,
$\leq$ ,
$=$ ,
“böler”,
“aynı kalanı verir”,
“komşudur”

gibi çok farklı anlamlar taşıyabilir.

Matematik açısından ortak olan şey, bunların uygun sıralı ikililerden oluşan birer küme olarak ele alınabilmesidir.

5. Bir küme üzerindeki bağıntı

Bu dersteki temel özellikleri inceleyebilmek için özellikle önemli bir durum vardır.

İlişkinin iki tarafında da aynı kümenin bulunduğu durum.

Bir küme üzerindeki bağıntı

$A$ kümesi üzerinde bir bağıntı:

R\subseteq A\times A

biçimindeki bir bağıntıdır.

Örneğin:

A=\{1,2,3\}

olsun.

Şu bağıntı:

R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}

$A$ üzerinde bir bağıntıdır.

Bundan sonra yansımalı, simetrik, antisimetrik ve geçişli özellikleri incelerken bu tür bağıntılarla çalışacağız.

6. Bir bağıntıyı nasıl görebiliriz?

Bağıntı yalnızca sıralı ikililer listesi biçiminde gösterilmek zorunda değildir.

Aynı matematiksel yapı farklı temsillerle görülebilir.

6.1. Sıralı ikililer kümesi

Örneğin:

A=\{1,2,3\}

ve:

R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}.

Bu en doğrudan kümesel gösterimdir.

6.2. Tablo

Aynı bağıntıyı şöyle de gösterebiliriz:

$R$	$1$	$2$	$3$
$1$	✓	✓
$2$		✓	✓
$3$			✓

Bir satırdaki eleman birinci bileşeni, sütundaki eleman ikinci bileşeni gösterir.

Örneğin $1$ satırı ile $2$ sütununun kesişiminde ✓ bulunduğu için:

(1,2)\in R.

Fakat $2$ satırı ile $1$ sütununda işaret olmadığı için:

(2,1)\notin R.

6.3. Bağıntı grafiği

Bir küme üzerindeki bağıntıyı yönlü bir grafik olarak da düşünebiliriz.

Her eleman bir düğümdür.

Eğer:

aRb

ise $a$ 'dan $b$ 'ye bir ok çizilir.

Bağıntının yönlü grafik olarak okunması

1 ------> 2 ------> 3

Ek oklar:
1 ------> 1
2 ------> 2
3 ------> 3

Birden ikiye ve ikiden üçe ok vardır. Ayrıca bir, iki ve üç elemanlarının her biri kendisiyle ilişkilidir.

Bu gösterimde:

1R2

çünkü $1$ 'den $2$ 'ye ok vardır.

Fakat:

2R1

değildir; çünkü ters yönde ok yoktur.

Bağıntıyı bir ok ağı olarak düşün

Bir küme üzerindeki bağıntıyı zihninde şöyle tutabilirsin:

Elemanlar düğümler, bağıntıya ait sıralı ikililer ise yönlü oklardır.

Birçok bağıntı özelliği bu okların nasıl düzenlendiğine bakılarak görülebilir.

7. Bir bağıntının özellikleri

Bağıntının kendisinin ne olduğunu artık biliyoruz.

Şimdi daha önemli bir soru ortaya çıkıyor:

Farklı bağıntıları yapısal olarak nasıl sınıflandırabiliriz?

Bunun için dört temel özellik inceleyeceğiz:

yansımalı,
simetrik,
antisimetrik,
geçişli.

Bu özellikler bağıntının ne hakkında olduğuna değil, sıralı ikililerinin nasıl örgütlendiğine bakar.

8. Yansımalı bağıntı

Önce şu soruyu soralım:

Her eleman kendisiyle ilişkili mi?

Yansımalı bağıntı

$A$ üzerinde bir $R$ bağıntısı, her $a\in A$ için:

(a,a)\in R

ise yansımalı (reflexive) bağıntıdır.

Sembolik olarak:

\forall a\in A,\quad aRa.

Örneğin eşitlik bağıntısı yansımalıdır:

a=a

her $a$ için doğrudur.

Benzer biçimde:

a\leq a

her sayı için doğru olduğundan $\leq$ bağıntısı da yansımalıdır.

Grafik üzerinde nasıl görünür?

Yansımalı bir bağıntıda her düğümün kendisine giden bir oku bulunmalıdır.

Yani her eleman için:

a\longrightarrow a.

Yansımalı bağıntı

A=\{1,2,3\}

ve:

R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}.

Bu bağıntı yansımalıdır.

Çünkü gerekli üç çiftin tamamı vardır:

(1,1),\quad(2,2),\quad(3,3).

Bağıntıda başka çiftlerin bulunması yansımalılığı bozmaz.

Yansımalı olmayan bağıntı

R=\{(1,1),(2,2),(1,3)\}

olsun.

$A=\{1,2,3\}$ üzerinde bu bağıntı yansımalı değildir.

Çünkü:

(3,3)\notin R.

Tek bir elemanın bile kendisiyle ilişkili olmaması yansımalılığı bozmaya yeter.

9. Simetrik bağıntı

Şimdi başka bir soru soralım:

$a$ , $b$ ile ilişkiliyse $b$ de mutlaka $a$ ile ilişkili mi?

Simetrik bağıntı

$A$ üzerindeki $R$ bağıntısı:

aRb\Rightarrow bRa

koşulunu bütün $a,b\in A$ için sağlıyorsa simetriktir (symmetric).

Sembolik olarak:

\forall a,b\in A,\qquad aRb\Rightarrow bRa.

Grafik açısından bu çok görünürdür.

Eğer:

a\longrightarrow b

oku varsa:

b\longrightarrow a

oku da bulunmalıdır.

Aynı paritye sahip olmak

Tam sayılar üzerinde:

$aRb$ ancak ve ancak $a$ ile $b$ ikisi de tek veya ikisi de çiftse

şeklinde bir bağıntı tanımlayalım.

Örneğin:

3R7.

Çünkü ikisi de tektir.

Aynı zamanda:

7R3.

Dolayısıyla yönü ters çevirmek ilişkiyi bozmaz.

Bu bağıntı simetriktir.

Küçük veya eşit olmak simetrik değildir

2\leq5

doğrudur.

Fakat:

5\leq2

yanlıştır.

Dolayısıyla $\leq$ bağıntısı simetrik değildir.

10. Antisimetrik bağıntı

İsmi nedeniyle en çok karıştırılan özelliklerden birine geldik.

“Antisimetrik”:

“simetrik olmayan”

demek değildir.

Antisimetrik bağıntı

$A$ üzerindeki $R$ bağıntısı:

aRb\land bRa\Rightarrow a=b

koşulunu sağlıyorsa antisimetriktir (antisymmetric).

Başka bir ifadeyle, iki farklı eleman birbirleriyle her iki yönde birden ilişkili olamaz.

Buradaki fikir şudur:

Eğer:

aRb

ve:

bRa

aynı anda doğruysa, bunun mümkün olabilmesi için:

a=b

olmalıdır.

$\leq$ neden antisimetriktir?

Eğer:

a\leq b

ve aynı zamanda:

b\leq a

ise zorunlu olarak:

a=b.

Dolayısıyla $\leq$ antisimetriktir.

Simetrik ile antisimetrik zıt kavramlar değildir

Bir bağıntı hem simetrik hem antisimetrik olabilir.

Örneğin eşitlik bağıntısını düşün:

a=b.

Eğer $a=b$ ise doğal olarak $b=a$ olduğundan eşitlik simetriktir.

Aynı zamanda:

a=b\land b=a\Rightarrow a=b

olduğundan antisimetriktir.

Dolayısıyla:

antisimetrik = simetrik değil

şeklinde düşünmek yanlıştır.

Alt küme olma bağıntısı

Kümeler üzerinde:

A\subseteq B

ve:

B\subseteq A

aynı anda doğruysa:

A=B.

Bu nedenle $\subseteq$ bağıntısı antisimetriktir.

Bu örnek ileride sıralama bağıntılarında çok önemli olacaktır.

11. Geçişli bağıntı

Son özellik şu soruya dayanır:

Bir ilişki iki adım boyunca devam ediyorsa doğrudan ilk elemandan son elemana da geçebilir miyiz?

Geçişli bağıntı

$A$ üzerindeki $R$ bağıntısı:

aRb\land bRc\Rightarrow aRc

koşulunu bütün $a,b,c\in A$ için sağlıyorsa geçişlidir (transitive).

Grafik dilinde:

a\longrightarrow b

ve:

b\longrightarrow c

okları varsa:

a\longrightarrow c

oku da bulunmalıdır.

Küçük veya eşit olmak

Eğer:

a\leq b

ve:

b\leq c

ise:

a\leq c.

Bu nedenle $\leq$ bağıntısı geçişlidir.

Bölünebilme

Pozitif tam sayılarda:

a\mid b

ve:

b\mid c

olsun.

Bunun anlamı bazı tam sayılar $k$ ve $m$ için:

b=ak

ve:

c=bm

olmasıdır.

İkinci denklemde $b=ak$ yazarsak:

c=(ak)m=a(km).

$km$ de bir tam sayı olduğundan:

a\mid c.

Dolayısıyla bölünebilme bağıntısı geçişlidir.

Geçişliliğin bozulması

A=\{1,2,3\}

ve:

R=\{(1,2),(2,3)\}

olsun.

Burada:

1R2

ve:

2R3

doğrudur.

Geçişlilik olsaydı:

1R3

de doğru olmak zorundaydı.

Fakat:

(1,3)\notin R.

Dolayısıyla $R$ geçişli değildir.

12. Dört özelliği yan yana görelim

Özellik	Sorulan soru	Biçimsel koşul
Yansımalı	Her eleman kendisiyle ilişkili mi?	$aRa$
Simetrik	Oku ters çevirince ilişki korunuyor mu?	$aRb\Rightarrow bRa$
Antisimetrik	İki farklı eleman arasında çift yönlü ok yasak mı?	$aRb\land bRa\Rightarrow a=b$
Geçişli	İki adımlık ilişki doğrudan ilişkiyi zorunlu kılıyor mu?	$aRb\land bRc\Rightarrow aRc$

Ezberlemek yerine dört zihinsel soru

Bir bağıntıya baktığında şu dört soruyu sırayla sorabilirsin:

Kendisi?
Her $a$ için $aRa$ var mı?
Tersi?
$aRb$ varsa $bRa$ da var mı?
İki yön?
$aRb$ ve $bRa$ varsa bu ancak $a=b$ iken mi mümkün?
Zincir?
$aRb$ ve $bRc$ varsa $aRc$ de var mı?

Bu sorular tanımların sözel karşılığıdır.

13. Bir bağıntıyı baştan sona sınıflandıralım

Şimdi:

A=\{1,2,3\}

ve:

R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}

bağıntısını inceleyelim.

Yansımalı mı?

Kontrol etmemiz gereken çiftler:

(1,1),\quad(2,2),\quad(3,3).

Üçü de $R$ içinde.

Dolayısıyla yansımalı.

Simetrik mi?

(1,2)\in R

ama:

(2,1)\notin R.

Tek bir karşı örnek yeterlidir.

Dolayısıyla simetrik değil.

Antisimetrik mi?

Farklı iki eleman arasında hem:

(a,b)

hem de:

(b,a)

biçiminde çiftler bulunmuyor.

Dolayısıyla antisimetrik.

Geçişli mi?

Şuna dikkat:

(1,2)\in R

ve:

(2,3)\in R.

Geçişli olabilmesi için:

(1,3)\in R

olması gerekirdi.

Ama yok.

Dolayısıyla geçişli değil.

Sınıflandırma

Bu bağıntı:

yansımalı: evet,
simetrik: hayır,
antisimetrik: evet,
geçişli: hayır.

14. Aynı bağıntı birden fazla özelliğe sahip olabilir

Bu özellikler birbirinden bağımsız sorulardır.

Bir bağıntıyı yalnızca:

“simetrik bağıntı”

veya:

“geçişli bağıntı”

diye tek kutuya yerleştirmek zorunda değiliz.

Aynı bağıntı birçok özelliği birden taşıyabilir.

Örneğin eşitlik bağıntısı:

aRb\iff a=b

olsun.

Yansımalı

a=a.

Dolayısıyla yansımalı.

Simetrik

a=b\Rightarrow b=a.

Dolayısıyla simetrik.

Antisimetrik

a=b\land b=a\Rightarrow a=b.

Dolayısıyla antisimetrik.

Geçişli

a=b\land b=c\Rightarrow a=c.

Dolayısıyla geçişli.

Yani eşitlik bağıntısı dört özelliğin tamamına sahiptir.

Bu bize önemli bir ders verir:

Yansımalı, simetrik, antisimetrik ve geçişli ifadeleri birbirini dışlayan “bağıntı türleri” olarak değil, bir bağıntının taşıyabileceği özellikler olarak düşünmeliyiz.

15. Özellik kombinasyonları neden önemli?

Bu dört özellik gelişigüzel seçilmemiştir.

Belirli kombinasyonlar matematikte çok önemli yeni yapıların ortaya çıkmasını sağlar.

Örneğin:

\boxed{ \text{yansımalı} + \text{simetrik} + \text{geçişli} }

özelliklerini taşıyan bağıntılar ileride denklik bağıntısı adını alacak.

Bunlar:

“Hangi nesneleri belirli bir bakımdan aynı kabul edebiliriz?”

sorusunu çözecek.

Başka bir kombinasyon:

\boxed{ \text{yansımalı} + \text{antisimetrik} + \text{geçişli} }

ise kısmi sıralama fikrini doğuracak.

Bu da:

“Nesneleri genel bir küçük-büyük veya önce-sonra yapısına nasıl yerleştiririz?”

sorusunu cevaplayacak.

İki büyük yol

                     BAGINTI
                        |
          +-------------+-------------+
          |                           |
          v                           v
 yansimali + simetrik        yansimali + antisimetrik
      + gecisli                    + gecisli
          |                           |
          v                           v
  Denklik bagintisi           Kismi siralama

Bu birimde öğrendiğimiz özellikler sonraki iki birimin doğrudan yapı taşlarıdır.

16. Fonksiyonlar da neden bağıntıyla bağlantılı?

Bağıntı fikrinin önemi denklik ve sıralamayla bitmez.

Bir sonraki büyük yapılardan biri olan fonksiyon da bağıntılarla çok yakından ilişkilidir.

Bir bağıntıda bir eleman:

hiçbir elemana bağlanmayabilir,
tek bir elemana bağlanabilir,
birden fazla elemana bağlanabilir.

Fonksiyonda ise daha güçlü bir kural koyacağız:

Her girdinin tam olarak bir çıktısı olacak.

Dolayısıyla ileride fonksiyonu:

özel koşullar taşıyan bir bağıntı

olarak görebileceğiz.

Bağıntı bize genel eşleşme dilini verir.

Fonksiyon ise bu genel dünyada çok özel ve düzenli bir eşleşme biçimidir.

\text{Kartezyen çarpım} \supseteq \text{bağıntılar} \supseteq \text{fonksiyonlar}

Bu nedenle fonksiyonu gerçekten anlamanın yolu önce bağıntıyı anlamaktan geçer.

17. Bağıntı fikrinin tarihsel gelişimi

Bağıntı düşüncesinin tek bir mucidi yoktur.

“Bir şey başka bir şeyden küçüktür”, “iki şey eşittir”, “bir sayı başka bir sayıyı böler” gibi ilişkiler matematikte çok eskiden beri kullanılıyordu.

Fakat bu ilişkilerin kendilerini bağımsız matematiksel nesneler olarak inceleme düşüncesi özellikle modern mantık ve küme teorisinin gelişmesiyle belirginleşti.

yüzyıldaki sembolik mantık çalışmalarıyla birlikte ilişkilerin cebirsel özellikleri sistematik biçimde incelenmeye başlandı. Daha sonra küme teorisinin dili geliştikçe bugün kullandığımız çok genel yaklaşım doğal hâle geldi:

\boxed{ \text{bağıntı} = \text{Kartezyen çarpımın bir alt kümesi} }

Bu modern tanımın gücü, “küçüktür”, “eşittir”, “böler”, “komşudur” veya başka birçok ilişkiyi aynı matematiksel çatı altında incelememize izin vermesidir.

Dolayısıyla bağıntı kavramı bir kişinin tek seferde ortaya koyduğu bağımsız bir icattan çok, mantık, kümeler ve matematiksel yapı düşüncesinin gelişmesi sonucunda biçimlenen genel bir kavramdır.

18. Bağıntılar nerelerde kullanılır?

Bağıntının tanımı çok soyut görünse de kullanım alanı olağanüstü geniştir.

1. Matematik içinde

Denklik

Örneğin tam sayıların aynı kalanı vermesi bir bağıntıdır.

İleride bu fikir:

17\equiv2\pmod 5

gibi ifadelerle modüler aritmetiğin temelini oluşturacak.

Sıralama

\leq,\qquad\subseteq

gibi ilişkiler sıralama teorisinin temel örnekleridir.

Fonksiyonlar

Fonksiyonlar özel türden bağıntılardır.

Graf teorisi

Bir grafikte:

“ $x$ düğümü $y$ düğümüne bağlıdır”

ifadesi bir bağıntı olarak modellenebilir.

2. Veri ve bilgisayar sistemleri

Bir sistemde:

hangi kullanıcı hangi role sahip,
hangi öğrenci hangi derse kayıtlı,
hangi ürün hangi kategoriye ait,
hangi kişi hangi kişiyi takip ediyor

gibi bilgiler özünde nesneler arasındaki ilişkileri kaydeder.

Örneğin:

(\text{Ayşe},\text{Matematik})

çifti:

“Ayşe Matematik dersine kayıtlıdır.”

bilgisini temsil edebilir.

Birçok veri modelinde temel problem yalnızca nesneleri saklamak değil, nesneler arasındaki ilişkileri de saklamaktır.

3. Ağlar ve bağlantılar

Bir yol ağı düşünelim.

aRb

ifadesini:

“ $a$ şehrinden $b$ şehrine doğrudan yol vardır.”

şeklinde tanımlayabiliriz.

Bu bağıntının özellikleri ağın yapısı hakkında bilgi verir.

Örneğin yol iki yönlüyse ilişki simetrik olabilir:

aRb\Rightarrow bRa.

Tek yönlü yollarda ise simetri bozulabilir.

Bu bakış daha sonra graf teorisinde sistematik hâle gelir.

19. Bağıntının söylemediği şeyler

Bağıntı çok genel olduğu için aynı zamanda oldukça az şey varsayar.

Bağıntı nedensellik değildir

aRb

yalnızca $(a,b)$ sıralı ikilisinin $R$ kümesine ait olduğunu söyler.

Tek başına:

$a$ 'nın $b$ 'ye neden olduğunu,
ilişkinin güçlü veya zayıf olduğunu,
ilişkinin sayısal olduğunu,
ilişkinin karşılıklı olduğunu,
ilişkinin geçişli olduğunu

söylemez.

Bunların her biri ayrıca tanımlanmalıdır.

Örneğin:

“İki kişi aynı şehirde yaşıyor.”

ile:

“Bir kişi diğer kişinin yöneticisidir.”

iki ayrı bağıntıdır.

Birincisi doğal olarak simetrik olabilir.

İkincisi genellikle değildir.

Dolayısıyla “bağıntı” kelimesi tek başına ilişkinin yapısını belirlemez.

20. Sıralı ikilinin sırası hâlâ önemlidir

Bağıntılar sıralı ikililerden oluştuğu için önceki dersteki temel kural aynen devam eder:

(a,b)\neq(b,a)

genel olarak.

Örneğin:

“Ayşe, Bora'nın annesidir.”

ile:

“Bora, Ayşe'nin annesidir.”

aynı ifade değildir.

Matematiksel olarak:

(\text{Ayşe},\text{Bora})

ile:

(\text{Bora},\text{Ayşe})

farklı sıralı ikililerdir.

Bu nedenle simetriklik gibi özellikler anlamlıdır.

Eğer sıralı ikililerde sıra önemsiz olsaydı:

aRb

ile:

bRa

arasındaki ayrım da ortadan kalkardı.

21. Sık yapılan hatalar

1. Bağıntıyı Kartezyen çarpımla karıştırma

R\subseteq A\times B

olmalıdır.

Bağıntının mutlaka:

R=A\times B

olması gerekmez.

Kartezyen çarpım bütün mümkün çiftlerdir; bağıntı bunlardan seçilmiş herhangi bir alt küme olabilir.

2. Simetrik değil ile antisimetrik aynı değildir

Simetrik:

aRb\Rightarrow bRa.

Antisimetrik:

aRb\land bRa\Rightarrow a=b.

Bunlar birbirlerinin mantıksal değili değildir.

3. Geçişliliği yalnızca zincirin başlangıcına bakarak karar verme

Şunların ikisi de varsa:

aRb,\qquad bRc,

mutlaka:

aRc

kontrol edilmelidir.

Bir tek eksik zincir bile bağıntının geçişli olmadığını göstermeye yeter.

4. Bir özelliği birkaç örnekle kanıtlanmış sayma

Bir bağıntının:

“yansımalı olduğunu”

göstermek için birkaç elemanı kontrol etmek yeterli değildir; bütün elemanlar için koşul sağlanmalıdır.

Buna karşılık yansımalı olmadığını göstermek için tek bir:

a\in A

bulup:

(a,a)\notin R

göstermek yeterlidir.

Bu, önceki mantık derslerindeki evrensel niceleyici ve karşı örnek fikrinin doğrudan uygulamasıdır.

22. Bir özelliği kanıtlamak ile çürütmek arasındaki fark

Bağıntı özelliklerinin tamamı niceleyiciler içerir.

Örneğin yansımalılık:

\forall a\in A,\quad aRa.

Bu nedenle yansımalılığı kanıtlamak için bütün elemanları kapsayan bir gerekçe gerekir.

Fakat yansımalı olmadığını göstermek için:

\exists a\in A:\neg(aRa)

şeklinde tek bir karşı örnek yeterlidir.

Simetriklik için de aynısı geçerlidir.

Simetriklik:

\forall a,b\in A,\quad aRb\Rightarrow bRa.

Simetrik olmadığını göstermek için bir çift bulmamız yeterlidir:

aRb

ama:

\neg(bRa).

Mantık ile bağıntıların buluşması

Burada Dünya 1'in önceki iki hattı birleşiyor:

\text{niceleyiciler ve mantık} + \text{Kartezyen çarpım ve kümeler} \longrightarrow \text{bağıntıların özellikleri}.

Bağıntıların tanımlarını doğru okuyabilmek aslında niceleyicileri doğru okuyabilmektir.

23. Bir örnek daha: “aynı paritye sahip olmak”

Tam sayılar üzerinde şu bağıntıyı tanımlayalım:

aRb \iff a\text{ ile }b\text{ aynı paritye sahiptir.}

Yani ikisi de çift veya ikisi de tek olacak.

Şimdi özellikleri inceleyelim.

Yansımalı mı?

Her sayı kendisiyle aynı paritye sahiptir.

Dolayısıyla:

aRa.

Evet.

Simetrik mi?

$a$ , $b$ ile aynı paritye sahipse $b$ de $a$ ile aynı paritye sahiptir.

Dolayısıyla:

aRb\Rightarrow bRa.

Evet.

Antisimetrik mi?

Hayır.

Örneğin:

1R3

ve:

3R1

olduğu hâlde:

1\neq3.

Bu antisimetrikliği bozar.

Geçişli mi?

$a$ ile $b$ aynı paritye, $b$ ile $c$ aynı paritye sahipse $a$ ile $c$ de aynı paritye sahiptir.

Dolayısıyla geçişlidir.

Sonuç:

Özellik	Durum
Yansımalı	Evet
Simetrik	Evet
Antisimetrik	Hayır
Geçişli	Evet

Bu üç özellik:

yansımalı,
simetrik,
geçişli

bir araya geldi.

Bu tesadüf değildir.

Bir sonraki birimde tam olarak bu yapıyı inceleyeceğiz:

1.04.02 — Denklik bağıntıları ve denklik sınıfları.

24. Kavramsal kontrol: bağıntı aslında nedir?

Şimdi bütün sembolleri bir anlığına bırakalım.

Bağıntının özünü tek cümlede söylemeye çalışalım.

İki nesne arasında:

“Bunlar benim belirlediğim anlamda ilişkili mi?”

sorusunu soruyoruz.

Her mümkün çift için cevap:

evet,
hayır

olabilir.

“Evet” dediğimiz bütün sıralı ikilileri bir kümede topladığımızda bağıntıyı elde ederiz.

Örneğin:

“ $a$ , $b$ 'den küçüktür.”

diyorsak:

(a,b)\in R

tam olarak bu cümlenin doğru olduğu anlamına gelir.

Böylece doğal dildeki:

“ilişkili olma”

fikri, küme teorisinin kesin diline dönüşür:

R\subseteq A\times B.

İşte bağıntının temel matematiksel fikri budur.

25. Kısa sentez

Neden vardı?

Kartezyen çarpım bize iki kümenin elemanları arasında kurulabilecek bütün sıralı ikilileri veriyordu; fakat hangi çiftlerin belirli bir ilişkiyi gerçekten sağladığını ifade edecek genel bir dile ihtiyacımız vardı.

Ne öğrendik?

$A$ 'dan $B$ 'ye bir bağıntı:

R\subseteq A\times B

olan herhangi bir kümedir.

Bir küme üzerindeki bağıntılarda dört temel özellik öğrendik:

yansımalı,
simetrik,
antisimetrik,
geçişli.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir ilişkiyi sıralı ikililer kümesine dönüştürebilir, farklı gösterimlerini okuyabilir ve temel yapısal özelliklerini sınıflandırabiliriz.

Sırada ne var?

Şimdi belirli özellik kombinasyonlarının özel matematiksel yapılar oluşturduğunu inceleyeceğiz.

İlk olarak:

\text{yansımalı} + \text{simetrik} + \text{geçişli}

kombinasyonunun bizi neden denklik bağıntısına götürdüğünü göreceğiz.

26. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Kendi sözlerinle açıkla: Neden bağıntı tanımında Kartezyen çarpım kullanıyoruz?
“Bağıntı, iki nesnenin gerçekten birbirini etkilemesi demektir.” cümlesi matematiksel anlamda neden yanlıştır?
Simetrik bir bağıntı ile antisimetrik bir bağıntı arasındaki farkı sembol kullanmadan açıkla.

Teknik

A=\{1,2,3\}

ve:

R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\}

olsun.

$R$ bağıntısının:

yansımalı,
simetrik,
antisimetrik,
geçişli

olup olmadığını ayrı ayrı belirle.

Her kararını belirli sıralı ikililer üzerinden gerekçelendir.

Gerekçelendirme

Eşitlik bağıntısının aynı anda hem simetrik hem antisimetrik olabildiğini açıkla.
Tam sayılardaki:

aRb\iff a<b

bağıntısının yansımalı, simetrik, antisimetrik ve geçişli özelliklerini incele.

Bir özelliğin bulunmadığını söylüyorsan karşı örnek ver.

Transfer

Bir sosyal ağda:

aRb

ifadesi:

“ $a$ , $b$ kişisini takip ediyor.”

anlamına gelsin.

Bu bağıntının simetrik olması ne anlama gelirdi?

Gerçek bir sosyal ağda simetriklik zorunlu mudur? Matematiksel tanım üzerinden açıkla.

Bir dosya sisteminde:

aRb

ifadesini:

“ $a$ klasörü doğrudan $b$ klasörünün içindedir.”

şeklinde tanımladığımızı düşün.

Bu bağıntının geçişli olup olmadığını incele.

Ardından “doğrudan içindedir” yerine yalnızca “içindedir” dersek cevabın değişip değişmeyeceğini düşün.

1.04.01 — Bağıntı nedir?

Birim kartı

1. Başlangıç problemi: Bütün olasılıklar aynı şey değildir

2. Eski araç neden yetmedi?

3. Bağıntının biçimsel tanımı

4. aRbaRbaRb gösterimi ne demektir?

5. Bir küme üzerindeki bağıntı

6. Bir bağıntıyı nasıl görebiliriz?

6.1. Sıralı ikililer kümesi

6.2. Tablo

6.3. Bağıntı grafiği

7. Bir bağıntının özellikleri

8. Yansımalı bağıntı

Grafik üzerinde nasıl görünür?

9. Simetrik bağıntı

10. Antisimetrik bağıntı

≤\leq≤ neden antisimetriktir?

11. Geçişli bağıntı

12. Dört özelliği yan yana görelim

13. Bir bağıntıyı baştan sona sınıflandıralım

Yansımalı mı?

Simetrik mi?

Antisimetrik mi?

Geçişli mi?

14. Aynı bağıntı birden fazla özelliğe sahip olabilir

Yansımalı

Simetrik

Antisimetrik

Geçişli

15. Özellik kombinasyonları neden önemli?

16. Fonksiyonlar da neden bağıntıyla bağlantılı?

17. Bağıntı fikrinin tarihsel gelişimi

18. Bağıntılar nerelerde kullanılır?

Denklik

Sıralama

Fonksiyonlar

Graf teorisi

19. Bağıntının söylemediği şeyler

20. Sıralı ikilinin sırası hâlâ önemlidir

21. Sık yapılan hatalar

22. Bir özelliği kanıtlamak ile çürütmek arasındaki fark

23. Bir örnek daha: “aynı paritye sahip olmak”

Yansımalı mı?

Simetrik mi?

Antisimetrik mi?

Geçişli mi?

24. Kavramsal kontrol: bağıntı aslında nedir?

25. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

26. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

4. $aRb$ gösterimi ne demektir?

$\leq$ neden antisimetriktir?