01.05.01 — Fonksiyon neden vardır?

Haritadaki yerimiz

Bu birim Matematiksel Dil ve Temeller dünyasının, Fonksiyonların Temel Yapısı bölümünün ilk adımıdır.

Buraya gelene kadar iki önemli araç geliştirdik:

Kartezyen çarpım ile iki kümenin elemanlarından sıralı ikililer oluşturduk.
Bağıntı ile bu sıralı ikililerin bazılarını seçerek nesneler arasındaki ilişkileri matematiksel olarak ifade ettik.

Şimdi bağıntıların çok özel ve çok önemli bir türünü ayıracağız.

Bu birimin temel sorusu

Bir kümenin elemanlarını başka bir kümenin elemanlarıyla belirsizlik bırakmadan ve sistematik biçimde eşlemek istiyorsak nasıl bir matematiksel yapı gerekir?

Bu sorunun cevabı fonksiyon olacak.

Bu birimde henüz fonksiyonlarla hesap yapmaya, grafik incelemeye veya özel $f(x)$ formüllerine odaklanmayacağız.

Önce daha temel bir şeyi anlamaya çalışacağız:

Bir fonksiyonu fonksiyon yapan şey nedir ve matematik neden böyle özel bir bağıntıya ihtiyaç duyar?

Bu birimin sonunda verilen bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığını tanımdan hareketle gerekçelendirebilmemiz gerekiyor.

1. Başlangıç problemi: Bağıntı yetmiyor mu?

Üç kişiden oluşan bir küme düşünelim:

A=\{\text{Ada},\text{Bora},\text{Cem}\}

ve üç şehirden oluşan başka bir küme:

B=\{\text{Ankara},\text{Bursa},\text{İzmir}\}.

Bu kişiler ile şehirler arasında pek çok farklı bağıntı kurabiliriz.

Örneğin:

“Bu kişi şu şehirde yaşamıştır.”

bağıntısını düşünelim.

Ada hem Ankara'da hem İzmir'de yaşamış olabilir.

Bora hiçbirinde yaşamamış olabilir.

Cem yalnız Bursa'da yaşamış olabilir.

Yani şöyle bir durum mümkündür:

Genel bir bağıntı

A                         B

Ada  ───────────────────▶ Ankara
  └─────────────────────▶ İzmir

Bora

Cem  ───────────────────▶ Bursa

Ada iki farklı şehirle, Cem bir şehirle ilişkilidir; Bora ise hiçbir şehirle ilişkili değildir.

Bunda matematiksel olarak hiçbir sorun yoktur.

Çünkü bağıntı son derece genel bir kavramdır.

Bir eleman:

hiçbir elemanla ilişkili olmayabilir,
tek bir elemanla ilişkili olabilir,
birden fazla elemanla ilişkili olabilir.

Bağıntının görevi yalnızca:

“Hangi çiftler arasında ilişki var?”

sorusunu cevaplamaktır.

Fakat şimdi başka türden bir soru soralım.

Her kişiye bir dolap tahsis edeceğimizi düşünelim.

Her kişinin tam olarak bir dolabı olması gerekiyor.

Şöyle:

Belirsiz olmayan bir eşleme

A                         B

Ada  ───────────────────▶ 1

Bora ───────────────────▶ 3

Cem  ───────────────────▶ 1

Ada bir numaralı, Bora üç numaralı, Cem ise bir numaralı dolaba eşlenmiştir; her kişi tam olarak bir dolaba sahiptir.

Burada artık sıradan bir bağıntıdan daha fazla şey istiyoruz.

Ada için:

“Hangi dolap?”

diye sorduğumuzda tek bir cevap bulunmalı.

Bora için de.

Cem için de.

Hiç kimse cevapsız kalmamalı.

Hiç kimsenin iki farklı cevabı olmamalı.

İşte fonksiyon fikri tam olarak burada doğar.

2. Bağıntının hangi özgürlüğünden vazgeçiyoruz?

Bağıntının bize verdiği özgürlük çok genişti.

Bir $A$ kümesi ile bir $B$ kümesi arasındaki bağıntı, Kartezyen çarpımın herhangi bir alt kümesi olabilir:

R\subseteq A\times B.

Bu nedenle bir $x\in A$ elemanı için üç farklı durum ortaya çıkabilir:

$x$ hiçbir $y\in B$ ile ilişkili olmayabilir.
$x$ yalnızca bir $y\in B$ ile ilişkili olabilir.
$x$ birden fazla $y\in B$ ile ilişkili olabilir.

Bu genellik birçok problem için yararlıdır.

Örneğin:

“aynı sınıfta olmak”,
“birbirini tanımak”,
“bir sayının böleni olmak”,
“bir şehri ziyaret etmiş olmak”

gibi ilişkiler doğal olarak birden fazla eşleşmeye izin verebilir.

Ama başka tür matematiksel problemler vardır.

Bir nesneyi verdiğimizde ona karşılık gelen tek bir nesne belirlemek isteriz.

Örneğin bir matematiksel dönüşüm düşünelim:

girdi
  │
  ▼
belirli bir çıktı

Burada aynı girdinin bir seferinde bir, başka bir seferinde başka bir sonuç üretmesini istemeyiz.

Çünkü o zaman:

“Bu girdinin sonucu nedir?”

sorusunun cevabı belirsiz olur.

Temel kırılma

Bir bağıntının içinden şu özel bağıntıları ayırmak istiyoruz:

Her izin verilen girdiye tam olarak bir çıktı veren bağıntılar.

Böyle bir yapıya ne ad vermeliyiz ve bunu matematiksel olarak nasıl tanımlamalıyız?

Cevap:

fonksiyon.

3. Fonksiyon neden ayrı bir kavramdır?

Fonksiyonun ortaya çıkardığı temel fikir belirlenmişliktir.

Bir $x$ girdisini biliyorsak, fonksiyon bize onun hangi $y$ çıktısına karşılık geldiğini belirler.

Fonksiyonun zihinsel modeli

Fonksiyonu başlangıçta şöyle düşünebiliriz:

x
│
▼
fonksiyon
│
▼
y

Bir girdi seçilir.

Fonksiyon bu girdiye karşılık tek bir çıktı belirler.

Ancak bu yalnızca sezgisel bir modeldir.

Fonksiyon fiziksel bir makine olmak zorunda değildir; hatta bir şey “hesaplamak” zorunda da değildir.

Temel fikir yalnızca şudur:

Her girdinin kaderi bellidir.

Bu belirlenmişlik iki ayrı şarttan oluşur.

Birinci şart: hiçbir girdi cevapsız kalmamalı

Eğer $A$ tanım kümesiyse, $A$ 'daki her eleman bir çıktıya sahip olmalıdır.

Şöyle bir eşleme kabul edilmez:

Eksik eşleme

A                         B

Ada  ───────────────────▶ 1

Bora ───────────────────▶ 2

Cem

Ada ve Bora çıktılara eşlenmiştir ancak Cem için hiçbir çıktı belirtilmemiştir.

Eğer Cem de tanım kümesinin elemanıysa:

“Cem'in çıktısı nedir?”

sorusuna cevap verebilmeliyiz.

Veremiyorsak bu eşleme, ilan ettiğimiz tanım kümesi üzerinde fonksiyon değildir.

İkinci şart: bir girdi iki farklı cevap almamalı

Şimdi şöyle bir eşleme düşünelim:

Belirsiz eşleme

A                         B

                         1
                       ▲
                      /
Ada  ────────────────┤
                      \
                       ▼
                         2

Bora ─────────────────▶ 1
Cem  ─────────────────▶ 2

Ada hem bir hem iki değerine eşlenmiştir; dolayısıyla Ada için tek bir çıktı belirlenmemiştir.

Ada'nın çıktısı nedir?

$1$ mi?

$2$ mi?

İkisi birden mi?

Eğer fonksiyonu:

“girdiye karşılık gelen değer”

olarak kullanmak istiyorsak bu belirsizlik kabul edilemez.

Dolayısıyla ikinci koşulumuz:

Bir girdinin iki farklı çıktısı olamaz.

4. İki koşulu birleştirelim

Bir girdinin:

en az bir çıktısı olmalı,
en fazla bir çıktısı olmalı.

Bu iki ifade birlikte ne söyler?

Tam olarak bir çıktı olmalı.

İşte fonksiyonun özü budur.

Fonksiyonun çekirdek fikri

Bir fonksiyonda:

\boxed{\text{her girdi}\longrightarrow\text{tam olarak bir çıktı}}

olmalıdır.

Buradaki her ve tam olarak bir ifadeleri tesadüf değildir.

Daha önce öğrendiğimiz niceleyici düşüncesinin doğrudan burada kullanıldığını görüyoruz.

5. Biçimsel tanım

Şimdi sezgiyi kesin matematiksel dile çevirebiliriz.

$A$ ve $B$ iki küme olsun.

Fonksiyon

$A$ 'dan $B$ 'ye bir fonksiyon, $A$ 'nın her elemanını $B$ 'nin tam olarak bir elemanıyla eşleyen özel bir bağıntıdır.

Bu durum

f:A\to B

şeklinde gösterilir.

Burada:

$A$ fonksiyonun tanım kümesidir,
$B$ fonksiyonun hedef kümesidir,
$x\in A$ bir girdidir,
$x$ 'e karşılık gelen $y\in B$ ise onun çıktısıdır.

Eğer $x$ girdisinin çıktısı $y$ ise:

f(x)=y

yazarız.

Fonksiyon bir bağıntı olduğuna göre onu Kartezyen çarpım üzerinden de ifade edebiliriz.

f\subseteq A\times B.

Ancak sıradan bir bağıntıdan farklı olarak şu koşulu sağlamalıdır:

\forall x\in A,\quad \exists!\,y\in B \text{ öyle ki } (x,y)\in f.

Buradaki

\exists!

gösterimi:

“tam olarak bir tane vardır”

anlamına gelir.

Dolayısıyla ifade Türkçeye çevrildiğinde:

$A$ 'daki her $x$ için, $B$ 'de $x$ ile eşlenmiş tam olarak bir $y$ vardır.

demektedir.

Bu tek cümle fonksiyonun bütün temel yapısını taşır.

6. Tanımdaki her parça neden gerekli?

Tanımı yalnızca ezberlemek yerine parçalayalım.

Neden “her $x$ ” diyoruz?

Çünkü tanım kümesi:

“Fonksiyonun hangi girdiler için cevap vermeyi taahhüt ettiğini”

belirtir.

Eğer

f:A\to B

diyorsak $A$ 'daki bazı girdileri görmezden gelemeyiz.

Fonksiyon $A$ 'nın tamamı üzerinde tanımlı olmalıdır.

Neden “bir $y$ vardır” diyoruz?

Çünkü bir girdinin hiçbir çıktısının bulunmaması durumunda:

f(x)

ifadesinin bir değeri olmaz.

Bu durumda söz konusu $x$ , fonksiyonun tanım kümesinde bulunmamalıdır.

Neden “tam olarak bir” diyoruz?

Çünkü aynı girdinin iki farklı çıktısı olsaydı:

f(x)=y_1

f(x)=y_2

olup

y_1\neq y_2

olabilirdi.

O zaman $f(x)$ tek bir nesneyi göstermediği için ifade belirsizleşirdi.

Fonksiyon fikri tam olarak bu belirsizliği yasaklar.

7. Çok önemli: Farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir

Fonksiyon tanımında sık yapılan ilk yanlış şudur:

“Her çıktıya yalnızca bir girdi gelmelidir.”

Hayır.

Fonksiyon tanımı bunu söylemez.

Şu eşleme tamamen geçerlidir:

İki girdinin aynı çıktıya gitmesi

A                         B

Ada  ───────────┐
                ├────────▶ 1
Bora ───────────┘

Cem  ───────────────────▶ 2

Ada ve Bora bir değerine, Cem ise iki değerine eşlenmiştir; her girdinin tek çıktısı bulunduğu için bu bir fonksiyondur.

Ada'nın çıktısı belli:

1

Bora'nın çıktısı belli:

1

Cem'in çıktısı belli:

2

Hiçbir belirsizlik yoktur.

Dolayısıyla bu bir fonksiyondur.

Fonksiyon koşulunun yönü

Fonksiyon koşulu çıktılara bakılarak değil, girdilere bakılarak kontrol edilir.

Soru şudur:

“Her girdinin tam olarak bir çıktısı var mı?”

Soru şu değildir:

“Her çıktıya tam olarak bir girdi geliyor mu?”

İkinci soru ileride öğreneceğimiz birebirlik gibi başka özelliklerle ilgilidir.

8. Hedef kümedeki her elemanın kullanılması gerekmez

Şimdi:

A=\{a,b,c\}

B=\{1,2,3,4\}

olsun.

Şöyle bir eşleme yapalım:

a\mapsto 1,

b\mapsto 1,

c\mapsto 3.

Burada $2$ ve $4$ hiçbir girdinin çıktısı olmadı.

Bu durum fonksiyon olmayı bozar mı?

Hayır.

Çünkü fonksiyon tanımında:

“Hedef kümedeki her eleman kullanılmalıdır.”

şeklinde bir şart yoktur.

Kontrol etmemiz gereken yine girdilerdir:

$a$ 'nın tam bir çıktısı var mı? Evet.
$b$ 'nin tam bir çıktısı var mı? Evet.
$c$ 'nin tam bir çıktısı var mı? Evet.

Dolayısıyla bu bir fonksiyondur.

Hedef kümenin hangi elemanlarına gerçekten ulaşıldığını sonraki birimde görüntü kavramıyla özel olarak inceleyeceğiz.

9. Fonksiyon aslında bir formül değildir

Fonksiyon denildiğinde çoğu insanın aklına hemen şöyle ifadeler gelir:

f(x)=\cdots

Bu gösterim çok önemlidir ama tehlikeli bir alışkanlığa yol açabilir:

Fonksiyon = formül

sanılabilir.

Bu doğru değildir.

Örneğin:

A=\{a,b,c\}

B=\{1,2\}

olsun.

Şu bağıntıyı tanımlayalım:

f=\{(a,1),(b,1),(c,2)\}.

Bu bir fonksiyondur.

Çünkü:

$a$ tam olarak bir çıktıya sahip,
$b$ tam olarak bir çıktıya sahip,
$c$ tam olarak bir çıktıya sahip.

Ortada herhangi bir cebirsel formül yoktur.

Ama fonksiyon vardır.

Formül ile fonksiyon aynı şey değildir

Bir formül, fonksiyonun nasıl tanımlandığını göstermenin yollarından yalnızca biridir.

Fonksiyonun esas fikri:

bir kümedeki her girdiye başka bir kümeden tam olarak bir çıktı atamaktır.

Bu ayrım ileride çok önemli olacak.

Çünkü matematikte:

tablolarla,
geometrik yapılarla,
algoritmalarla,
ölçümlerle,
parçalı kurallarla,
hatta başka fonksiyonlarla

tanımlanan fonksiyonlarla karşılaşacağız.

Bunların hepsini tek bir cebirsel formüle sıkıştırmak mümkün olmayabilir.

10. Bir fonksiyonu göstermenin farklı yolları

Aynı fonksiyon farklı biçimlerde temsil edilebilir.

Şu fonksiyonu kullanalım:

f=\{(a,1),(b,1),(c,2)\}.

10.1. Sıralı ikililerle

f=\{(a,1),(b,1),(c,2)\}.

Bu gösterim fonksiyonun bir bağıntı olduğunu açıkça gösterir.

10.2. Ok diyagramıyla

Ok diyagramı

A                         B

a ────────────┐
              ├─────────▶ 1
b ────────────┘

c ─────────────────────▶ 2

a ve b bir değerine, c ise iki değerine eşlenmektedir.

Bu temsil özellikle:

“Her girdiden kaç ok çıkıyor?”

sorusunu görmeyi kolaylaştırır.

Fonksiyon olması için her girdiden tam olarak bir ok çıkmalıdır.

10.3. Tabloyla

Girdi	Çıktı
$a$	$1$
$b$	$1$
$c$	$2$

Tablonun her girdi satırında tek bir çıktı vardır.

10.4. Fonksiyon değerleriyle

Aynı bilgiyi:

f(a)=1,

f(b)=1,

f(c)=2

şeklinde de yazabiliriz.

10.5. Sözel bir kuralla

Fonksiyon bazen doğrudan sözcüklerle tanımlanabilir.

Örneğin elimizde belirli bir kitap koleksiyonu varsa:

“Her kitabı, koleksiyonda kayıtlı olduğu raf numarasına eşle.”

şeklinde bir kural da uygun koşullar altında bir fonksiyon tanımlayabilir.

Burada önemli olan gösterim biçimi değil, aynı yapının korunmasıdır:

\text{her girdi}\longrightarrow\text{tam olarak bir çıktı}.

11. “Girdi–çıktı makinesi” ne kadar doğru bir benzetme?

Fonksiyon çoğu zaman bir makineye benzetilir:

Fonksiyonun makine modeli

          ┌─────────────┐
x ───────▶│      f      │───────▶ f(x)
          └─────────────┘

Bir x girdisi fonksiyona girer ve tek bir f(x) çıktısı elde edilir.

Bu zihinsel model yararlıdır.

Çünkü şu fikri vurgular:

Aynı girdiyi verdiğimizde ne çıkacağı belirsiz değildir.

Fakat benzetmenin sınırını da bilmeliyiz.

Fonksiyonun gerçekten:

bir makine,
bilgisayar programı,
işlem sırası,
hesaplama yöntemi

olması gerekmez.

Fonksiyon tamamen soyut bir eşleme de olabilir.

Girdi ve çıktı kelimeleri düşünmeyi kolaylaştırır; biçimsel tanımın kendisi değildir.

12. Neden fonksiyon kavramına bu kadar ihtiyaç duyuyoruz?

Şimdi temel probleme geri dönelim.

Matematiğin birçok yerinde bir nesnenin başka bir nesneyi belirlediği durumlarla karşılaşırız.

Şematik olarak:

\text{bir şey biliniyor} \longrightarrow \text{başka bir şey belirleniyor}.

Fonksiyon bunun genel matematiksel dilidir.

Bir kez bu yapıyı tanımladığımızda, birbirine hiç benzemeyen görünen problemleri aynı biçimde düşünebiliriz.

Örneğin:

zaman ───────────────▶ sıcaklık

konum ───────────────▶ yükseklik

ürün ────────────────▶ fiyat

veri ────────────────▶ özet değer

şekil ───────────────▶ dönüştürülmüş şekil

Bunların gerçek hayattaki ayrıntıları farklıdır.

Ama matematiksel iskeletleri aynıdır:

Bir girdiye karşılık belirlenmiş bir çıktı.

İşte soyutlama burada büyük güç kazanır.

13. Fonksiyon neyi mümkün hâle getirir?

Bağıntı bize yalnızca:

“Bunlar ilişkili.”

diyordu.

Fonksiyon bundan daha güçlü bir şey söyler:

“Bunu verirsen, karşılığı budur.”

Bu küçük görünen fark matematiğin büyük bölümünün temelidir.

13.1. Değişimi ifade edebiliriz

Bir nicelik başka bir niceliğe bağlıysa bu bağımlılığı fonksiyonla temsil edebiliriz.

Örneğin belirli bir modelde:

\text{zaman}\longrightarrow\text{sıcaklık}

eşlemesi kurabiliriz.

Böylece:

“Zaman değiştiğinde sıcaklık nasıl değişiyor?”

gibi sorular matematiksel hâle gelir.

13.2. Dönüşümleri ifade edebiliriz

Bir nesneyi başka bir nesneye dönüştüren kuralları fonksiyon olarak görebiliriz.

Örneğin ileride geometrik şekilleri:

döndüren,
yansıtan,
öteleyen

dönüşümleri inceleyeceğiz.

Bunların her biri uygun bağlamda bir fonksiyon olacaktır.

13.3. İşlemleri birbirine bağlayabiliriz

Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyonun girdisi yapabiliriz:

A ─────▶ B ─────▶ C

Bu fikir ileride fonksiyon bileşkesi olarak karşımıza çıkacak.

Fonksiyonların tek değerli oluşu burada kritik önemdedir.

İlk aşamadaki çıktı belirsiz olsaydı ikinci aşamaya hangi değerin gönderileceği de belirsiz olurdu.

13.4. Yapıları karşılaştırabiliriz

İleride iki farklı matematiksel yapının aslında aynı yapıya sahip olup olmadığını, aralarında uygun fonksiyonlar kurarak inceleyeceğiz.

Birebir eşlemeler, izomorfizmalar, lineer dönüşümler ve daha pek çok ileri kavram fonksiyon fikrinin üzerine kurulacaktır.

14. Tarihsel olarak fonksiyon fikri nasıl gelişti?

Fonksiyon kavramının tek bir mucidi yoktur.

Bugünkü soyut tanım, birkaç yüzyıl boyunca farklı matematiksel problemlerin zorlamasıyla aşama aşama oluşmuştur.

İlk dönem: değişen nicelikler ve eğriler

yüzyılda kalkülüsün gelişmesiyle matematikçiler sürekli değişen nicelikler ve eğriler arasındaki bağımlılıklarla yoğun biçimde uğraşmaya başladılar.

Gottfried Wilhelm Leibniz, 17. yüzyılın sonlarında function sözcüğünü eğrilerle ilişkili değişen geometrik nicelikler için kullanan ilk matematikçilerden biriydi.

Bu kullanım bugünkü kadar genel değildi.

Fonksiyon henüz:

“Herhangi iki küme arasındaki eşleme”

anlamına gelmiyordu.

Bernoulli ve değişken nicelikler

yüzyılın başlarında Johann Bernoulli, fonksiyon düşüncesini değişkenlerden ve sabitlerden oluşturulan nicelikler üzerinden daha açık biçimde ifade etti.

Fonksiyon giderek:

“Bir değişkene bağlı olarak belirlenen başka bir nicelik”

fikrine dönüşüyordu.

Euler ve fonksiyon gösterimi

Leonhard Euler 18. yüzyılda fonksiyon kavramının ve gösteriminin sistemleşmesinde çok önemli rol oynadı.

Bugün son derece tanıdık olan:

f(x)

türündeki gösterim bu gelişim çizgisinde standartlaştı.

Ancak dönemin fonksiyon anlayışı hâlâ büyük ölçüde matematiksel ifadeler ve formüller çevresinde düşünülüyordu.

19. yüzyıldaki kırılma

Fourier serileri ve benzeri problemler matematikçileri çok daha düzensiz biçimde tanımlanmış bağımlılıklarla karşı karşıya bıraktı.

Bir fonksiyonun mutlaka tek bir düzgün cebirsel formülle verilmesi gerekmediği giderek daha açık hâle geldi.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1837'de fonksiyon fikrini modern anlayışa çok daha yakın biçimde ifade etti:

Bir değişkenin her izin verilen değerine diğer değişkenin belirli bir değeri karşılık geliyorsa bir fonksiyon ilişkisi vardır; bu karşılığın nasıl verildiğinin tek bir formülle ifade edilmesi zorunlu değildir.

Bu düşünce önemli bir dönüm noktasıydı.

Fonksiyon artık yalnızca:

“bir formül”

olmaktan çıkıp:

“bir değerin başka bir değeri belirlemesi”

fikrine yaklaşıyordu.

Modern kümesel bakış

yüzyılın sonlarında küme kuramının gelişmesiyle fonksiyon kavramı giderek daha soyut hâle geldi.

Artık girdilerin veya çıktıların sayı olması bile gerekmiyordu.

Bir kümenin elemanları başka bir kümenin elemanlarıyla uygun biçimde eşlenebiliyorsa aynı fikir kullanılabiliyordu.

Bugün kullandığımız:

f:A\to B

bakışı bu uzun gelişimin sonucudur.

Fonksiyon tarihinin bize verdiği önemli ders şudur:

Fonksiyon kavramı zamanla:

\text{formülle verilen değişken nicelik}

fikrinden

\text{bir kümeden başka bir kümeye belirlenmiş eşleme}

fikrine doğru genelleşmiştir.

Bu nedenle bugün fonksiyonu yalnızca $f(x)$ formülleri üzerinden düşünmek, kavramın modern anlamını gereksiz yere daraltır.

15. Örnek: Bu bir fonksiyon mu?

$A$ ve $B$ kümeleri:

A=\{a,b,c\},

B=\{1,2,3\}

olsun.

Şu bağıntıyı inceleyelim:

R=\{(a,2),(b,2),(c,3)\}.

Fonksiyon olan bağıntı

Fonksiyon tanımını doğrudan uygulayalım.

$a$

$a$ tam olarak bir elemanla eşlenmiş:

a\mapsto2.

$b$

$b$ tam olarak bir elemanla eşlenmiş:

b\mapsto2.

$c$

$c$ tam olarak bir elemanla eşlenmiş:

c\mapsto3.

Tanım kümesinin bütün elemanları kontrol edildi.

Her birinin tam olarak bir çıktısı var.

Dolayısıyla:

R:A\to B

bir fonksiyon olarak görülebilir.

Burada $a$ ve $b$ 'nin aynı çıktıya gitmesi problem yaratmadı.

Bu noktayı özellikle hatırlayalım.

16. Karşı örnek: Bir girdinin iki çıktısı var

Şimdi:

R=\{(a,1),(a,2),(b,3),(c,1)\}

olsun.

Teklik koşulu bozuluyor

$a$ elemanı hem $1$ hem $2$ ile ilişkilidir:

a\mapsto1

a\mapsto2.

Dolayısıyla:

“ $a$ 'nın çıktısı nedir?”

sorusunun tek bir cevabı yoktur.

Bu nedenle $R$ , $A$ 'dan $B$ 'ye bir fonksiyon değildir.

Burada bozulan şart:

\text{en fazla bir çıktı}

şartıdır.

17. Karşı örnek: Bir girdinin çıktısı yok

Şimdi:

R=\{(a,1),(b,2)\}

olsun ve tanım kümesinin hâlâ

A=\{a,b,c\}

olduğunu varsayalım.

Varlık koşulu bozuluyor

$a$ için çıktı var.

$b$ için çıktı var.

Ama $c$ için hiçbir çıktı yok.

Dolayısıyla $R$ , $A$ 'dan $B$ 'ye bir fonksiyon değildir.

Burada bozulan şart:

\text{en az bir çıktı}

şartıdır.

18. Tanım kümesi neden önemlidir?

Bir önceki örnekte:

R=\{(a,1),(b,2)\}

bağıntısının fonksiyon olmadığını söyledik.

Ama dikkat:

Bunun nedeni yalnızca sıralı ikililerin kendisi değildir.

Tanım kümesini:

A=\{a,b\}

olarak seçseydik ne olurdu?

Bu kez:

$a$ 'nın bir çıktısı var,
$b$ 'nin bir çıktısı var,
başka kontrol etmemiz gereken girdi yok.

Dolayısıyla aynı eşleştirme:

f:\{a,b\}\to B

biçiminde bir fonksiyon olabilir.

Fonksiyonun nerede tanımlı olduğu önemlidir

Bir eşlemeyi incelerken yalnızca okları veya sıralı ikilileri görmek yetmez.

Şunu da bilmeliyiz:

Fonksiyon hangi kümedeki bütün girdiler için cevap vermeyi vaat ediyor?

Bu küme fonksiyonun tanım kümesidir.

Bu fikir ileride cebirsel formüllerle çalışırken çok önemli hâle gelecek.

Bir kural bazı girdiler için anlamlı, bazıları için anlamsız olabilir.

O zaman doğru tanım kümesini belirlememiz gerekir.

19. Fonksiyon ile bağıntı arasındaki ilişki

Artık iki kavramı tek şemada görebiliriz.

Bağıntıdan fonksiyona

                  BAĞINTILAR
                      │
                      │
                      │  Ek koşul:
                      │
                      │  Her girdi
                      │  tam olarak
                      │  bir çıktıya
                      │  gitmeli.
                      ▼
                 FONKSİYONLAR

Fonksiyonlar bağıntıların özel bir alt sınıfıdır; fonksiyonda her tanım kümesi elemanı tam olarak bir hedef kümesi elemanıyla ilişkilidir.

Dolayısıyla:

\boxed{\text{Her fonksiyon bir bağıntıdır.}}

Fakat:

\boxed{\text{Her bağıntı bir fonksiyon değildir.}}

Neden?

Bir bağıntı:

R\subseteq A\times B

olabilir.

Fonksiyon da böyle bir bağıntıdır.

Fakat fonksiyon olmak için buna ek olarak:

\forall x\in A,\quad \exists!\,y\in B

koşulunu sağlamalıdır.

Dolayısıyla fonksiyonlar, bağıntıların ek koşullarla seçilmiş özel bir bölümüdür.

20. Fonksiyon olmayı hızlıca nasıl kontrol ederiz?

Bir ilişki verildiğinde şu sırayla düşünebiliriz.

Adım 1 — Tanım kümesini belirle

Hangi girdilerin tamamı hesaba katılmalı?

A=?

Adım 2 — Her girdiyi tek tek kontrol et

Her $x\in A$ için sor:

“Bu girdiye karşılık gelen bir çıktı var mı?”

Yoksa fonksiyon değildir.

Adım 3 — Aynı girdiden iki farklı çıktıya gidiliyor mu?

Eğer:

x\mapsto y_1

x\mapsto y_2

olup

y_1\neq y_2

ise fonksiyon değildir.

Adım 4 — Çıktıların tekrar etmesine takılma

Şu durum tamamen mümkündür:

x_1\mapsto y,

x_2\mapsto y.

Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi fonksiyon tanımını bozmaz.

Fonksiyon testi

Bir ilişkiyi incelerken her girdi için yalnızca şu soruyu sor:

Kaç tane çıktı var?

$0$ çıktı → fonksiyon değil.
$1$ çıktı → bu girdi açısından sorun yok.
$2$ veya daha fazla farklı çıktı → fonksiyon değil.

Bütün girdiler için cevap $1$ ise ilişki bir fonksiyondur.

21. Sık karıştırılan dört durum

Durum 1 — İki girdi aynı çıktıya gidiyor

a ───▶ 1
b ───▶ 1

Fonksiyon olabilir.

Çünkü her girdinin yalnız bir çıktısı vardır.

Durum 2 — Bir girdi iki çıktıya gidiyor

       ┌──▶ 1
a ─────┤
       └──▶ 2

Fonksiyon değildir.

Çünkü $a$ için çıktı belirli değildir.

Durum 3 — Hedefte kullanılmayan eleman var

a ───▶ 1
b ───▶ 2

       3

$3$ kullanılmasa bile fonksiyon olabilir.

Hedef kümedeki bütün elemanlara ulaşmak fonksiyon tanımının şartı değildir.

Durum 4 — Tanım kümesindeki bir elemanın oku yok

a ───▶ 1
b ───▶ 2
c

Eğer $c$ tanım kümesindeyse fonksiyon değildir.

22. Fonksiyonun gerçek kullanım alanları

Fonksiyon matematiğin yalnızca bir konusu değildir.

Modern matematiğin başlıca dillerinden biridir.

Matematik içinde

Fonksiyon fikri ileride hemen her alanda tekrar karşımıza çıkacak.

Örneğin:

bir niceliğin diğerine bağlı değişimini inceleyeceğiz,
fonksiyonları art arda uygulayarak bileşke oluşturacağız,
işlemleri geri çevirmek için ters fonksiyonları inceleyeceğiz,
kalkülüste değişimi ve birikimi fonksiyonlar üzerinde çalışacağız,
lineer cebirde dönüşümleri fonksiyon olarak göreceğiz,
olasılıkta rastgele sonuçları sayılara taşıyan yapılar fonksiyon olacak,
soyut cebirde matematiksel yapıları koruyan özel fonksiyonlar merkezi rol oynayacak.

Fonksiyon bu nedenle ileride öğrenilecek tek bir başlık değil, çok farklı alanları birbirine bağlayan ortak bir dildir.

Bilimlerde

Bir fiziksel sistem modellenirken çoğu zaman:

\text{bir nicelik}\longrightarrow\text{başka bir nicelik}

ilişkisi kurulur.

Örneğin belirli bir modelde her zamana tek bir sıcaklık değeri atanabilir:

\text{zaman}\longrightarrow\text{sıcaklık}.

Böylece sıcaklığın zaman içinde nasıl değiştiği matematiksel olarak incelenebilir.

Aynı düşünce konum, hız, basınç, enerji ve benzeri birçok niceliğin modellenmesinde tekrar ortaya çıkar.

Mühendislik ve teknolojide

Deterministik bir bilgisayar işlemi çoğu zaman fonksiyon düşüncesiyle modellenebilir:

\text{girdi verisi} \longrightarrow \text{çıktı verisi}.

Örneğin bir hash fonksiyonu, verilen bir veri girdisini belirli biçimde bir çıktı değerine eşler.

Farklı girdilerin aynı çıktıyı üretmesi mümkün olabilir; bu durum tek başına fonksiyon olmayı bozmaz.

Fonksiyon için önemli olan, tek bir girdinin hangi çıktıya karşılık geldiğinin belirli olmasıdır.

Gündelik modelleme

Bir mağazada her ürün kodunun kayıt sistemindeki belirli ürün kaydına karşılık geldiğini düşünelim:

\text{ürün kodu} \longrightarrow \text{ürün kaydı}.

Eğer aynı ürün kodu sistemde iki farklı ürünü gösterseydi kodun neyi ifade ettiği belirsizleşirdi.

Fonksiyon fikrindeki tek çıktı şartı bu tür belirlenmişlik ihtiyacının soyut matematiksel biçimidir.

23. Fonksiyon fikrinin sınırları

Fonksiyon her ilişkiyi temsil etmek için doğru araç değildir.

Örneğin:

“Bir kişi hangi şehirleri ziyaret etti?”

sorusunda tek kişinin birden fazla şehirle ilişkili olması son derece doğaldır.

Bu durumda sıradan bir bağıntı daha uygun olabilir.

Benzer şekilde:

“Bir öğrencinin arkadaşları kimlerdir?”

sorusunu tek çıktılı bir yapıya zorlamak yapay olur.

Her ilişkiyi fonksiyona çevirmeye çalışma

Fonksiyon özel bir ihtiyacın aracıdır:

Bir girdinin tek bir çıktıyı belirlediği durumları temsil etmek.

Gerçek problem bir girdinin birden fazla nesneyle ilişkili olmasını gerektiriyorsa sıradan bağıntı daha uygun matematiksel model olabilir.

Matematiksel modelleme yalnızca doğru hesap yapmak değil, doğru yapıyı seçmek demektir.

24. Bir başka önemli sınır: Bağlam sabitlenmelidir

“Bir kişinin boyu” ifadesini düşünelim.

İlk bakışta:

\text{kişi}\longrightarrow\text{boy}

bir fonksiyon gibi görünebilir.

Fakat kişinin boyu zamanla değişebilir.

O hâlde aslında hangi soruyu sorduğumuzu kesinleştirmemiz gerekir.

Örneğin:

“Belirli bir tarihte kişinin boyu”

diyorsak bağlam sabitlenmiştir.

Ya da girdiyi:

(\text{kişi},\text{zaman})

şeklinde seçebiliriz.

Bu durumda model:

(\text{kişi},\text{zaman}) \longrightarrow \text{boy}

olabilir.

Fonksiyonlar aynı zamanda modelleme kararıdır

Bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığı bazen yalnızca gerçek dünyaya değil:

girdiyi nasıl tanımladığımıza,
hangi bilgileri sabit tuttuğumuza,
tanım kümesini nasıl seçtiğimize

de bağlıdır.

Bu fikir ileride matematiksel modelleme yaparken tekrar tekrar karşımıza çıkacak.

25. Neden fonksiyon matematiğin merkezine yerleşti?

Şimdi dersin başındaki problemi daha geniş ölçekte cevaplayabiliriz.

Bağıntı bize nesneler arasında ilişki kurma gücü vermişti.

Ama matematikte çoğu zaman yalnızca:

“ $x$ ile $y$ ilişkili mi?”

sorusunu değil,

“ $x$ verildiğinde hangi $y$ belirleniyor?”

sorusunu sormak isteriz.

İkinci soru çok daha güçlüdür.

Çünkü bir kez çıktı belirli olduğunda:

sonucu başka bir işleme verebiliriz,
eşlemeleri art arda uygulayabiliriz,
işlemi geri çevirmeyi sorabiliriz,
girdiler değiştikçe çıktıların nasıl değiştiğini inceleyebiliriz,
farklı matematiksel yapıları birbirine taşıyabiliriz.

Bütün bunlar için önce:

f(x)

ifadesinin tek bir şeyi göstermesi gerekir.

Fonksiyon tanımındaki tek çıktı şartının bu kadar önemli olmasının nedeni budur.

26. Matematik haritasındaki bağlantı

Nereden geldik?

Fonksiyonun kökü şu zincirdedir:

Küme
  │
  ▼
Kartezyen çarpım
  │
  ▼
Bağıntı
  │
  ▼
Fonksiyon

Özellikle:

A\times B

bize bütün olası sıralı ikilileri verdi.

Bağıntı bunların bazılarını seçti.

Fonksiyon ise bağıntıya:

“Her $A$ elemanı için tam olarak bir $B$ elemanı seç.”

koşulunu ekledi.

Nereye gidiyoruz?

Şimdi yeni sorular ortaya çıktı.

Bir fonksiyon:

f:A\to B

verildiğinde:

$A$ 'daki bir elemanın nereye gittiğini biliyoruz. Peki bir alt kümenin tamamı nereye gider?
Hedef kümenin hangi elemanlarına gerçekten ulaşılır?
Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesini nasıl sınıflandıracağız?
Hedefteki her elemana ulaşılıyor mu?
İki fonksiyon art arda nasıl uygulanır?
Bir fonksiyonun yaptığı eşlemeyi geri çevirebilir miyiz?

Bir sonraki birimde ilk iki soruya geçeceğiz:

01.05.02 — Görüntü ve ters görüntü.

27. Kısa sentez

Neden vardı?

Bağıntılar çok genel yapılardı.

Matematikte ayrıca:

bir girdi verildiğinde tek bir çıktının belirlenmesini

ifade edecek özel bir yapıya ihtiyaç vardı.

Bu yapı fonksiyondur.

Ne öğrendik?

f:A\to B

fonksiyonunda $A$ 'daki her eleman, $B$ 'de tam olarak bir elemanla eşlenir.

Biçimsel olarak:

\forall x\in A,\quad\exists!\,y\in B \text{ öyle ki }(x,y)\in f.

En kritik ayrımlar

Her fonksiyon bir bağıntıdır.
Her bağıntı fonksiyon değildir.
Bir girdinin çıktısız kalması yasaktır.
Bir girdinin iki farklı çıktısı olması yasaktır.
Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi mümkündür.
Hedef kümedeki bazı elemanların kullanılmaması mümkündür.
Fonksiyon bir formül olmak zorunda değildir.
Tanım kümesi fonksiyonun ne üzerinde tanımlı olduğunu belirler.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir ilişkiye bakıp:

“Bu bir fonksiyon mudur?”

sorusunu yalnızca sezgiyle değil, doğrudan tanımdan hareketle cevaplayabiliriz.

Sırada ne var?

Bir fonksiyonun elemanları ve kümeleri nereye taşıdığını inceleyeceğiz.

28. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Bağıntı kavramına zaten sahipken neden ayrıca fonksiyon kavramına ihtiyaç duyuyoruz?
“Her girdinin tam olarak bir çıktısı vardır.” cümlesindeki her ve tam olarak bir ifadelerinden biri kaldırılırsa ne bozulur?
Fonksiyon neden bir formül olmak zorunda değildir?

Teknik

Aşağıdaki kümeler verilsin:

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2,3\}.

Şu bağıntıların her biri için fonksiyon olup olmadığını tanımdan gerekçelendir:

I

R_1=\{(a,1),(b,1),(c,3)\}

II

R_2=\{(a,1),(a,2),(b,3),(c,1)\}

III

R_3=\{(a,2),(b,3)\}

IV

R_4=\{(a,2),(b,2),(c,2)\}

Gerekçelendirme

Bir öğrenci şöyle diyor:

“ $R_4$ fonksiyon olamaz. Çünkü $a$ , $b$ ve $c$ aynı çıktıya gidiyor.”

Bu öğrencinin hatasını fonksiyonun biçimsel tanımını kullanarak açıkla.

Transfer

Bir üniversitedeki öğrenciler kümesi $A$ olsun.

Aşağıdaki ilişkilerin hangilerinin uygun koşullar altında fonksiyon olarak modellenebileceğini düşün:

öğrenci $\rightarrow$ öğrenci numarası
öğrenci $\rightarrow$ aldığı dersler
öğrenci $\rightarrow$ belirli bir tarihteki kayıtlı danışmanı
öğrenci $\rightarrow$ arkadaşları

Her biri için yalnızca “fonksiyon / değil” deme.

Şunu açıkla:

Bir girdinin kaç farklı çıktısı olabilir ve tanım kümesindeki her girdinin mutlaka bir çıktısı var mıdır?

Son kontrol

Bu birim tamamlanmış sayılmadan önce şu soruyu kendi sözlerinle cevaplayabilmelisin:

Bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığını yalnızca tanımı kullanarak nasıl belirlersin?

01.05.01 — Fonksiyon neden vardır?

Haritadaki yerimiz

1. Başlangıç problemi: Bağıntı yetmiyor mu?

2. Bağıntının hangi özgürlüğünden vazgeçiyoruz?

3. Fonksiyon neden ayrı bir kavramdır?

Birinci şart: hiçbir girdi cevapsız kalmamalı

İkinci şart: bir girdi iki farklı cevap almamalı

4. İki koşulu birleştirelim

5. Biçimsel tanım

6. Tanımdaki her parça neden gerekli?

Neden “her xxx” diyoruz?

Neden “bir yyy vardır” diyoruz?

Neden “tam olarak bir” diyoruz?

7. Çok önemli: Farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir

8. Hedef kümedeki her elemanın kullanılması gerekmez

9. Fonksiyon aslında bir formül değildir

10. Bir fonksiyonu göstermenin farklı yolları

10.1. Sıralı ikililerle

10.2. Ok diyagramıyla

10.3. Tabloyla

10.4. Fonksiyon değerleriyle

10.5. Sözel bir kuralla

11. “Girdi–çıktı makinesi” ne kadar doğru bir benzetme?

12. Neden fonksiyon kavramına bu kadar ihtiyaç duyuyoruz?

13. Fonksiyon neyi mümkün hâle getirir?

13.1. Değişimi ifade edebiliriz

13.2. Dönüşümleri ifade edebiliriz

13.3. İşlemleri birbirine bağlayabiliriz

13.4. Yapıları karşılaştırabiliriz

14. Tarihsel olarak fonksiyon fikri nasıl gelişti?

İlk dönem: değişen nicelikler ve eğriler

Bernoulli ve değişken nicelikler

Euler ve fonksiyon gösterimi

19. yüzyıldaki kırılma

Modern kümesel bakış

15. Örnek: Bu bir fonksiyon mu?

aaa

bbb

ccc

16. Karşı örnek: Bir girdinin iki çıktısı var

17. Karşı örnek: Bir girdinin çıktısı yok

18. Tanım kümesi neden önemlidir?

19. Fonksiyon ile bağıntı arasındaki ilişki

20. Fonksiyon olmayı hızlıca nasıl kontrol ederiz?

Adım 1 — Tanım kümesini belirle

Adım 2 — Her girdiyi tek tek kontrol et

Adım 3 — Aynı girdiden iki farklı çıktıya gidiliyor mu?

Adım 4 — Çıktıların tekrar etmesine takılma

21. Sık karıştırılan dört durum

Durum 1 — İki girdi aynı çıktıya gidiyor

Durum 2 — Bir girdi iki çıktıya gidiyor

Durum 3 — Hedefte kullanılmayan eleman var

Durum 4 — Tanım kümesindeki bir elemanın oku yok

22. Fonksiyonun gerçek kullanım alanları

23. Fonksiyon fikrinin sınırları

24. Bir başka önemli sınır: Bağlam sabitlenmelidir

25. Neden fonksiyon matematiğin merkezine yerleşti?

26. Matematik haritasındaki bağlantı

27. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

En kritik ayrımlar

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

28. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

I

II

III

IV

Gerekçelendirme

Transfer

Son kontrol

Neden “her $x$ ” diyoruz?

Neden “bir $y$ vardır” diyoruz?

$a$

$b$

$c$