01.05.02 — Görüntü ve ters görüntü

Birim Kartı

Dünya: 01 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 01.05 — Fonksiyonların Temel Yapısı
Ön koşul: 01.05.01 — Fonksiyon neden vardır?

Temel soru: Bir fonksiyon kümeleri nasıl taşır?

Bu birim sonunda:

bir elemanın görüntüsünü,
bir kümenin görüntüsünü,
bir kümenin ters görüntüsünü,
hedef küme ile görüntü kümesinin farkını

ayırt edebilmeli ve bunların küme işlemleriyle nasıl davrandığını açıklayabilmelisin.

1. Fonksiyon bize henüz ne söylüyordu?

Önceki birimde fonksiyonu bir formül olarak değil, iki küme arasındaki özel bir eşleme olarak tanımladık.

Bir

f:A\to B

fonksiyonu, $A$ kümesindeki her elemana, $B$ kümesinden tam bir eleman atar.

Örneğin:

Bir fonksiyon

A                         B

a ──────────────────────► 1

b ─────────────┐
               ├────────► 2
c ─────────────┘

                            3

d ─────────────┐
               ├────────► 4
e ─────────────┘

A kümesindeki a, b, c, d ve e elemanları B kümesindeki 1, 2 ve 4 elemanlarına eşlenmektedir. B kümesindeki 3 elemanına hiçbir girdi eşlenmemektedir.

Burada:

f(a)=1

f(b)=2

f(c)=2

f(d)=4

f(e)=4

diyebiliriz.

Fakat matematikte çoğu zaman tek tek elemanlardan daha fazlasını bilmek isteriz.

2. Başlangıç problemi: Tek bir eleman değil, bir grup eleman

Şu iki soruyu düşünelim.

İki farklı yönlü soru

Yukarıdaki fonksiyonda:

$a,c,e$ girdilerini seçersem hangi çıktılara ulaşırım?
Çıktının $2$ veya $4$ olmasını istiyorsam hangi girdileri seçmeliyim?

İlk soruda hareket yönümüz fonksiyonla aynıdır:

girdiler ─────► çıktılar

İkinci soruda ise düşünce yönümüz tersine dönmüştür:

girdiler ◄───── istenen çıktılar

İşte bu iki soru bizi bu birimin iki temel kavramına götürüyor:

görüntü (image)
ters görüntü (preimage / inverse image)

3. Neden yalnızca $f(x)$ yetmiyor?

$f(x)$ bize tek bir girdinin nereye gittiğini söyler.

Örneğin:

f(c)=2

Ancak şu sorular farklıdır:

$A$ 'nın belirli bir bölümündeki elemanların tamamı nereye gider?

$B$ 'nin belirli bir bölümüne düşen bütün girdiler hangileridir?

Bunlar artık tek bir eleman sorusu değil, küme sorusudur.

Dolayısıyla fonksiyonları gerçekten anlayabilmek için yalnızca

x\mapsto f(x)

hareketini değil,

\text{küme}\mapsto\text{küme}

hareketini de incelememiz gerekir.

Temel fikir

Bir fonksiyon yalnızca elemanları eşlemez.

Fonksiyon aracılığıyla:

tanım kümesindeki bir grup elemanın nereye gittiğini,
hedef kümedeki bir bölgeye hangi elemanların geldiğini

de inceleyebiliriz.

Birincisi görüntü, ikincisi ters görüntü fikridir.

4. Tarihsel olarak bu fikir nasıl ortaya çıktı?

Görüntü ve ters görüntü kavramlarının tek bir mucidi yoktur.

Fonksiyon kavramı 17. ve 18. yüzyıllarda büyük ölçüde değişkenler arasındaki analitik ilişkiler ve formüller üzerinden gelişti. Euler gibi matematikçiler bugün kullandığımız $f(x)$ türü gösterimlerin yerleşmesinde önemli rol oynadı.

yüzyılda fonksiyon fikri giderek daha genel hâle geldi: bir fonksiyonun mutlaka tek bir cebirsel formülle verilmesi gerekmediği anlaşıldı. Aynı dönemde kümeler ve kümeler arasındaki eşlemeler matematiğin temel dilinin bir parçası hâline gelmeye başladı.

Fonksiyonu

f:A\to B

biçiminde iki küme arasındaki bir eşleme olarak ele aldığımızda görüntü ve ters görüntü kavramları doğal olarak ortaya çıkar:

$A$ 'nın bir kısmı $B$ 'de nereye taşınır?
$B$ 'nin bir kısmına $A$ 'dan neler gelir?

Bugünkü görüntü–ters görüntü dili, fonksiyonların ve küme teorisinin modern biçimde birleşmesinin ürünüdür.

5. Elemanın görüntüsü

En basit durumla başlayalım.

Eğer

f:A\to B

bir fonksiyon ve

x\in A

ise, fonksiyonun $x$ elemanına atadığı

f(x)\in B

elemanına $x$ 'in görüntüsü denir.

Elemanın görüntüsü

$f:A\to B$ bir fonksiyon olsun.

Her $x\in A$ için $f(x)$ , $x$ elemanının $f$ altındaki görüntüsüdür.

Örneğin önceki eşlememizde:

f(c)=2

olduğundan $c$ 'nin görüntüsü $2$ 'dir.

Benzer biçimde:

f(e)=4

olduğundan $e$ 'nin görüntüsü $4$ 'tür.

Bu, önceki dersten bildiğimiz fonksiyon hareketidir:

x\longmapsto f(x)

6. Bir kümenin görüntüsü

Şimdi tek bir $x$ değil, $A$ 'nın içinde bir küme seçelim.

Örneğin:

S=\{a,c,e\}

olsun.

Bu üç elemanı fonksiyondan geçirirsek:

a\mapsto1

c\mapsto2

e\mapsto4

elde ederiz.

Dolayısıyla bu kümenin ulaştığı çıktılar:

\{1,2,4\}

kümesidir.

Bu kümeye $S$ 'nin görüntüsü deriz ve

f(S)

ile gösteririz.

Yani:

f(\{a,c,e\})=\{1,2,4\}

Bir kümenin görüntüsü

$f:A\to B$ bir fonksiyon ve $S\subseteq A$ olsun.

$S$ kümesinin $f$ altındaki görüntüsü:

f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}

olarak tanımlanır.

Başka bir ifadeyle:

$S$ 'deki elemanları fonksiyondan geçir ve ulaşılan bütün çıktıları topla.

Görüntü için düşünce yönü fonksiyonun yönüyle aynıdır:

A\longrightarrow B

Tanım kümesinde bir bölge seçeriz ve:

“Bu bölge nereye gidiyor?”

diye sorarız.

7. Aynı çıktıya giden elemanlar neden yalnızca bir kez görünür?

Örneğin:

S=\{b,c,d\}

olsun.

Burada:

f(b)=2,\qquad f(c)=2,\qquad f(d)=4

olduğundan görüntü:

f(S)=\{2,4\}

olur.

Şunu yazmayız:

\{2,2,4\}

çünkü görüntü bir kümedir ve kümelerde aynı elemanın birden fazla kez yazılması yeni bir eleman oluşturmaz.

Dolayısıyla fonksiyon farklı girdileri aynı çıktıda birleştirebilir.

Bu küçük gözlem, sonraki birimde öğreneceğimiz birebirlik kavramının temelini hazırlayacak.

8. Hedef küme ile görüntü kümesi aynı şey değildir

Burada çok önemli bir ayrım var.

Fonksiyonumuz:

f:A\to B

şeklindeydi ve

B=\{1,2,3,4\}

idi.

$B$ , fonksiyonun hedef kümesidir.

Fakat bütün $A$ kümesini fonksiyondan geçirirsek:

f(A)=\{1,2,4\}

elde ederiz.

Çünkü hiçbir eleman $3$ 'e gitmiyor.

Dolayısıyla:

f(A)\neq B

olabilir.

Hedef küme ve görüntü kümesi

Bir

f:A\to B

fonksiyonunda:

$A$ : tanım kümesi
$B$ : hedef küme
$f(A)$ : fonksiyonun gerçekten ulaştığı değerlerden oluşan görüntü kümesi

dir.

Her zaman:

f(A)\subseteq B

olur.

Fakat eşitlik zorunlu değildir.

“Fonksiyon $B$ 'ye gidiyor, o hâlde bütün $B$ elemanlarına ulaşır.”

çıkarımı yanlıştır.

f:A\to B

gösterimi yalnızca çıktıların $B$ içinde bulunacağını söyler.

$B$ 'nin her elemanına ulaşılıp ulaşılmadığı ayrı bir sorudur.

Bu soru bizi bir sonraki birimde örten fonksiyon kavramına götürecek.

9. Şimdi soruyu tersine çevirelim

Şimdi $A$ 'dan bir küme seçmek yerine $B$ 'den bir küme seçelim.

Örneğin:

T=\{2,4\}

olsun.

Şunu soruyoruz:

Hangi girdilerin çıktısı $2$ veya $4$ olur?

Fonksiyona bakalım:

b\mapsto2

c\mapsto2

d\mapsto4

e\mapsto4

Dolayısıyla aradığımız girdiler:

\{b,c,d,e\}

kümesidir.

İşte buna $T$ 'nin ters görüntüsü denir.

10. Ters görüntünün biçimsel tanımı

Ters görüntü

$f:A\to B$ bir fonksiyon ve $T\subseteq B$ olsun.

$T$ kümesinin $f$ altındaki ters görüntüsü:

f^{-1}(T) = \{x\in A\mid f(x)\in T\}

olarak tanımlanır.

Bu tanımı kelime kelime okuyalım:

x\in A

olan bütün elemanlara bakıyoruz.

Sonra:

f(x)\in T

koşulunu sağlayanları seçiyoruz.

Yani:

“Fonksiyondan geçtiğinde $T$ bölgesine düşen bütün girdileri bul.”

Örneğimizde:

T=\{2,4\}

olduğundan:

f^{-1}(\{2,4\}) = \{b,c,d,e\}

elde ederiz.

Ters görüntüde $B$ tarafında bir koşul koyarız:

“Çıktı şu kümenin içinde olsun.”

Sonra bu koşulu sağlayan girdileri toplarız.

Bu nedenle ters görüntüyü:

çıktı koşulunun girdilere geri taşınması

olarak düşünebilirsin.

11. Görüntü ve ters görüntünün yönleri

Görüntü ve ters görüntü

GÖRÜNTÜ

A                              B
┌─────────────┐               ┌─────────────┐
│      S      │ ────────────► │    f(S)     │
└─────────────┘               └─────────────┘

      "S nereye gidiyor?"


TERS GÖRÜNTÜ

A                              B
┌─────────────┐               ┌─────────────┐
│ f⁻¹(T)      │ ◄──────────── │      T      │
└─────────────┘               └─────────────┘

 "T'ye giden girdiler hangileri?"

Görüntü işleminde A kümesindeki bir alt kümeden B kümesindeki çıktılara doğru ilerlenir. Ters görüntü işleminde B kümesinde seçilen bir koşulu sağlayan A elemanları bulunur.

Kısa zihinsel kural:

Görüntü:

Girdileri seç → ileri git.

Ters görüntü:

Çıktıları seç → onları üreten girdileri bul.

12. Çok önemli: $f^{-1}$ burada ters fonksiyon demek değildir

Burada kolayca kafa karıştırabilecek bir gösterim kullanıyoruz:

f^{-1}(T)

Bu gösterim ilk bakışta “ters fonksiyon” gibi görünebilir.

Fakat henüz ters fonksiyon öğrenmedik ve daha önemlisi:

Bir kümenin ters görüntüsünü bulmak için fonksiyonun ters fonksiyonunun var olması gerekmez.

Örneğimizde:

f(b)=2

f(c)=2

idi.

Yani iki farklı girdi aynı çıktıya gidiyor.

Buna rağmen:

f^{-1}(\{2\})=\{b,c\}

demekte hiçbir sorun yoktur.

Gösterim tuzağı

f^{-1}(T)

ifadesindeki $f^{-1}$ , burada otomatik olarak ters fonksiyon anlamına gelmez.

Ters görüntü:

Belirli bir çıktı kümesine giden bütün girdilerin kümesidir.

Bu işlem her fonksiyon için tanımlanabilir.

Ters fonksiyon ise çok daha güçlü koşullar gerektirir ve 01.05.05 biriminde ele alınacaktır.

13. Bir formül üzerinde görelim: $f(x)=x^2$

Şimdi sonlu kümelerden sayı kümelerine geçelim.

Fonksiyon:

f:\mathbb R\to\mathbb R

f(x)=x^2

olsun.

Bu fonksiyon üzerinde görüntü ve ters görüntü arasındaki fark çok açık biçimde görülebilir.

13.1. Elemanın görüntüsü

$x=-3$ için:

f(-3)=(-3)^2=9

Dolayısıyla $-3$ 'ün görüntüsü:

9

dur.

13.2. Bir kümenin görüntüsü

Şimdi:

S=[-2,1]

aralığını seçelim.

Bu aralıktaki sayıların karelerini düşünüyoruz.

En küçük kare:

0

olabilir.

En büyük kare ise $-2$ noktasında:

4

olur.

Dolayısıyla:

f([-2,1])=[0,4]

elde ederiz.

Burada yaptığımız soru:

$[-2,1]$ içindeki girdiler nereye gidiyor?

Bu bir görüntü sorusudur.

13.3. Bir kümenin ters görüntüsü

Şimdi yönü değiştirelim.

Çıktının:

[1,4]

aralığında olmasını istiyoruz.

Yani:

1\leq x^2\leq4

koşulunu sağlayan girdileri arıyoruz.

Bunlar:

[-2,-1]\cup[1,2]

aralıklarıdır.

Dolayısıyla:

f^{-1}([1,4]) = [-2,-1]\cup[1,2]

olur.

Buradaki soru:

Hangi girdilerin görüntüsü $[1,4]$ içinde?

Bu bir ters görüntü sorusudur.

14. Denklem çözmek aslında bir ters görüntü problemi olabilir

Şimdi çok tanıdık bir probleme bakalım:

x^2=4

Genellikle bunu bir denklem olarak görürüz.

Fakat

f(x)=x^2

fonksiyonunu tanımlarsak soru şuna dönüşür:

Hangi girdiler $4$ çıktısını üretir?

Yani:

f^{-1}(\{4\})

kümesini arıyoruz.

Sonuç:

f^{-1}(\{4\}) = \{-2,2\}

dir.

Denklemler ile bağlantı

Birçok denklem çözme problemi aslında şu biçimdedir:

f(x)=c

Bu, fonksiyon dilinde:

f^{-1}(\{c\})

kümesini bulmak demektir.

Yani denklem çözmek, çoğu zaman belirli bir çıktının ters görüntüsünü aramaktır.

15. Eşitsizlikler de ters görüntüdür

Örneğin:

x^2\leq4

eşitsizliğini düşünelim.

Yine:

f(x)=x^2

olsun.

$x^2\leq4$ demek, çıktının:

(-\infty,4]

kümesinde bulunmasını istemektir.

Dolayısıyla çözüm kümesi:

f^{-1}((-\infty,4])

dir.

Bu da:

[-2,2]

olur.

Denklem ve eşitsizlik çözmenin arkasında çok genel bir fikir vardır:

Çıktının sağlamasını istediğimiz koşulu belirle, sonra bu koşulun ters görüntüsünü bul.

Bu fikir ileride analiz, olasılık ve topolojide çok daha güçlü biçimlerde yeniden karşımıza çıkacaktır.

16. Hedef küme neden görüntü kümesinden büyük olabilir?

$f(x)=x^2$ örneğine tekrar bakalım:

f:\mathbb R\to\mathbb R

olarak tanımladık.

Hedef küme:

\mathbb R

dir.

Fakat hiçbir reel sayının karesi negatif değildir.

Bu yüzden fonksiyonun gerçek görüntü kümesi:

f(\mathbb R)=[0,\infty)

olur.

Yani:

f(\mathbb R)\subsetneq\mathbb R

dir.

Örneğin:

-5\in\mathbb R

olmasına rağmen hiçbir reel $x$ için:

x^2=-5

olmaz.

Dolayısıyla:

f^{-1}(\{-5\})=\varnothing

dır.

Ulaşılamayan hedef

f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2

için:

hedef küme: $\mathbb R$
görüntü kümesi: $[0,\infty)$

dir.

Dolayısıyla hedef küme, fonksiyonun gidebileceği yerleri belirtir; görüntü kümesi ise gerçekten ulaştığı yerleri belirtir.

17. Görüntü küme işlemleriyle nasıl davranır?

Şimdi fonksiyonun iki farklı girdi kümesini nasıl taşıdığına bakalım.

$S_1,S_2\subseteq A$ olsun.

17.1. Birleşimin görüntüsü

Bir eleman:

S_1\cup S_2

içindeyse ya $S_1$ 'de ya da $S_2$ 'dedir.

Dolayısıyla görüntüsü de ya $f(S_1)$ 'de ya da $f(S_2)$ 'dedir.

Bu nedenle:

f(S_1\cup S_2) = f(S_1)\cup f(S_2)

olur.

Birleşim neden korunur?

Bir $y$ elemanı için:

y\in f(S_1\cup S_2)

demek, bir

x\in S_1\cup S_2

bulunduğu ve:

f(x)=y

olduğu anlamına gelir.

Ama:

x\in S_1\cup S_2

ise $x$ , $S_1$ veya $S_2$ kümelerinden en az birindedir.

Dolayısıyla:

y\in f(S_1)\cup f(S_2)

olur.

Aynı düşünce ters yönde de çalışır.

Bu yüzden:

\boxed{ f(S_1\cup S_2) = f(S_1)\cup f(S_2) }

18. Kesişimin görüntüsünde beklenmedik bir durum

İlk bakışta şunu da bekleyebiliriz:

f(S_1\cap S_2) \stackrel{?}{=} f(S_1)\cap f(S_2)

Fakat bu her zaman doğru değildir.

Başlangıçtaki fonksiyonumuza dönelim:

f(b)=2,\qquad f(c)=2

olsun.

Şimdi:

S_1=\{b\}

S_2=\{c\}

seçelim.

Bu kümelerin kesişimi:

S_1\cap S_2=\varnothing

olduğundan:

f(S_1\cap S_2)=\varnothing

dır.

Fakat:

f(S_1)=\{2\}

ve:

f(S_2)=\{2\}

olduğundan:

f(S_1)\cap f(S_2)=\{2\}

dir.

Yani:

\varnothing\neq\{2\}

ve dolayısıyla eşitlik bozuldu.

Görüntü kesişimi her zaman korumaz

S_1=\{b\},\qquad S_2=\{c\}

ve:

f(b)=f(c)=2

ise:

f(S_1\cap S_2)=\varnothing

ama:

f(S_1)\cap f(S_2)=\{2\}

olur.

Peki her durumda söyleyebileceğimiz bir şey var mı?

Evet:

\boxed{ f(S_1\cap S_2) \subseteq f(S_1)\cap f(S_2) }

Her iki kümede gerçekten ortak olan bir girdinin görüntüsü elbette her iki görüntü kümesinde de bulunur.

Fakat farklı girdiler aynı çıktıya gidebildiği için sağ tarafta fazladan elemanlar ortaya çıkabilir.

Burada ortaya çıkan sorun tam olarak şudur:

Farklı girdiler aynı çıktıda birleşebiliyor.

Bir sonraki birimde öğreneceğimiz birebirlik, tam olarak bu bilgi kaybını engelleyen özelliktir.

19. Ters görüntü küme işlemleriyle daha düzenli davranır

Şimdi $T_1,T_2\subseteq B$ olsun.

Ters görüntü için şaşırtıcı derecede temiz kurallar elde ederiz.

Birleşim

\boxed{ f^{-1}(T_1\cup T_2) = f^{-1}(T_1)\cup f^{-1}(T_2) }

Çünkü bir girdinin çıktısı $T_1\cup T_2$ içindeyse, çıktı $T_1$ veya $T_2$ kümelerinden en az birindedir.

Kesişim

\boxed{ f^{-1}(T_1\cap T_2) = f^{-1}(T_1)\cap f^{-1}(T_2) }

Burada görüntüde karşılaştığımız problem oluşmaz.

Neden?

Çünkü aynı girdiyi inceliyoruz.

Bir $x$ için:

f(x)\in T_1\cap T_2

olması tam olarak:

f(x)\in T_1

ve:

f(x)\in T_2

olması demektir.

Ters görüntü neden kesişimi tam olarak korur?

x\in f^{-1}(T_1\cap T_2)

ise tanım gereği:

f(x)\in T_1\cap T_2

dir.

Bu da:

f(x)\in T_1 \qquad\text{ve}\qquad f(x)\in T_2

demektir.

Dolayısıyla:

x\in f^{-1}(T_1) \qquad\text{ve}\qquad x\in f^{-1}(T_2)

olur.

Yani:

x\in f^{-1}(T_1)\cap f^{-1}(T_2)

dir.

Ters yön de aynı mantıkla geçerlidir.

Böylece:

f^{-1}(T_1\cap T_2) = f^{-1}(T_1)\cap f^{-1}(T_2)

elde edilir.

20. Ters görüntü tümleyeni de korur

$T\subseteq B$ olsun.

$T$ 'nin dışında kalan hedef elemanları:

B\setminus T

ile gösterelim.

Bir girdinin görüntüsü $T$ 'nin dışında ise, o girdi $T$ 'nin ters görüntüsünde değildir.

Dolayısıyla:

\boxed{ f^{-1}(B\setminus T) = A\setminus f^{-1}(T) }

olur.

Bu çok önemli bir yapısal özelliktir.

Ters görüntünün güçlü özelliği

Ters görüntü temel küme işlemlerini korur:

f^{-1}(T_1\cup T_2) = f^{-1}(T_1)\cup f^{-1}(T_2)

f^{-1}(T_1\cap T_2) = f^{-1}(T_1)\cap f^{-1}(T_2)

f^{-1}(B\setminus T) = A\setminus f^{-1}(T)

Bu nedenle ters görüntü ileride küme yapılarının fonksiyonlar üzerinden taşınmasında son derece önemli olacaktır.

21. Alt kümeler de korunur

Eğer:

S_1\subseteq S_2

ise $S_1$ 'deki bütün girdiler zaten $S_2$ 'de bulunduğundan:

f(S_1)\subseteq f(S_2)

olur.

Benzer biçimde:

T_1\subseteq T_2

ise:

f^{-1}(T_1)\subseteq f^{-1}(T_2)

olur.

Daha fazla girdi verirsen ulaşılabilecek çıktıların sayısı azalmaz.

Daha geniş bir çıktı koşulu verirsen bu koşulu sağlayabilecek girdilerin sayısı da azalmaz.

22. İleri gidip sonra geri gelirsek ne olur?

Şimdi çok öğretici bir deney yapalım.

Başlangıç fonksiyonumuzda:

f(b)=2

ve:

f(c)=2

idi.

Yalnızca:

S=\{b\}

kümesini seçelim.

Önce görüntüsünü bulalım:

f(S)=\{2\}

Şimdi bunun ters görüntüsünü alalım:

f^{-1}(\{2\})=\{b,c\}

Başlangıçta yalnızca $b$ vardı; geri döndüğümüzde $c$ de geldi.

Yani:

S\subseteq f^{-1}(f(S))

ama eşitlik zorunlu değildir.

Genel olarak:

\boxed{ S\subseteq f^{-1}(f(S)) }

olur.

Neden?

Çünkü $S$ 'deki her eleman önce kendi görüntüsüne gider; o görüntünün ters görüntüsünü aldığımızda başlangıçtaki eleman mutlaka geri gelir.

Fakat aynı çıktıya giden başka girdiler de geri gelebilir.

Bu fazladan elemanların gelmesini engellemek için fonksiyonun farklı girdileri birbirine karıştırmaması gerekir.

Bu da yine birebirlik fikridir.

23. Önce geri bakıp sonra ileri gidersek ne olur?

Şimdi hedef kümesinden:

T=\{2,3\}

seçelim.

Ters görüntü:

f^{-1}(T)=\{b,c\}

olur.

Çünkü $2$ 'ye ulaşan girdiler var fakat $3$ 'e ulaşan hiçbir girdi yoktur.

Şimdi tekrar görüntü alalım:

f(f^{-1}(T))=\{2\}

Başlangıçta:

T=\{2,3\}

idi ama geri geldiğimizde $3$ kayboldu.

Dolayısıyla:

f(f^{-1}(T))\subseteq T

olur; eşitlik zorunlu değildir.

Genel olarak:

\boxed{ f(f^{-1}(T))\subseteq T }

olur.

$T$ içindeki bazı elemanlara fonksiyon hiç ulaşamıyorsa, ters görüntü alındığında bu elemanların arkasında hiçbir girdi bulunmaz.

Bu nedenle tekrar ileri gittiğimizde onlar geri gelemez.

Bu kez sorun:

Hedefteki bütün elemanlara ulaşılamaması.

Bu da bizi sonraki birimde örtenlik kavramına götürecektir.

24. İki farklı bilgi kaybı

Artık fonksiyonlarda iki farklı sorun görmeye başladık.

Birebirlik ve örtenliğe hazırlık

1. FARKLI GİRDİLER BİRLEŞEBİLİR

b ─────┐
       ├────► 2
c ─────┘

{b} ──► {2} ──► {b,c}

Geri dönerken fazladan eleman geldi.


2. HEDEFTE ULAŞILAMAYAN ELEMAN OLABİLİR

              2 ◄──── b,c

              3 ◄──── hiçbir girdi yok

{2,3} ──► {b,c} ──► {2}

Tekrar ileri giderken 3 kayboldu.

Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi geri dönüşte fazladan girdiler doğurur; hedef kümedeki ulaşılamayan elemanlar ise ters görüntüden sonra yeniden ileri gidildiğinde kaybolur.

Bir sonraki birimde bu iki problemi isimlendireceğiz:

Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmemesi → birebirlik
Hedef kümedeki her elemana ulaşılması → örtenlik

Her ikisi aynı anda sağlandığında ise bijektiflik ortaya çıkacak.

25. Görüntü ve ters görüntü arasındaki temel fark

Soru	Görüntü	Ters görüntü
Nereden başlarız?	Tanım kümesinden	Hedef kümeden
Seçtiğimiz şey	$S\subseteq A$	$T\subseteq B$
Sorduğumuz soru	“Bunlar nereye gider?”	“Buraya neler gelir?”
Sonuç nerede?	$B$ içinde	$A$ içinde
Gösterim	$f(S)$	$f^{-1}(T)$
Ters fonksiyon gerekir mi?	Hayır	Hayır

Zihinsel ayrım

\boxed{ S\subseteq A \quad\Longrightarrow\quad f(S)\subseteq B }

Görüntü: $A$ 'dan başlar, $B$ 'ye gider.

\boxed{ T\subseteq B \quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(T)\subseteq A }

Ters görüntü: $B$ 'de bir koşul seçer, o koşulu sağlayan girdileri $A$ 'da bulur.

26. Gerçekte nerelerde kullanılır?

1. Denklem ve eşitsizlik çözümü

Bir fonksiyon:

f:A\to\mathbb R

için:

f(x)=0

denkleminin çözüm kümesi:

f^{-1}(\{0\})

dır.

Benzer biçimde:

f(x)>0

eşitsizliğinin çözümü:

f^{-1}((0,\infty))

dir.

Yani cebirde yaptığımız birçok “çözüm kümesi bulma” işlemi aslında ters görüntü problemidir.

2. Veri filtreleme

Bir sistemde her kayıt belirli bir kategoriye atanıyor olsun:

f:\text{Kayıtlar}\to\text{Durumlar}

Örneğin durumlar:

Açık
İnceleniyor
Tamamlandı

olsun.

“Durumu Açık veya İnceleniyor olan bütün kayıtları getir.” dediğimizde aslında:

f^{-1}(\{\text{Açık},\text{İnceleniyor}\})

kümesini istiyoruz.

Bir veritabanındaki filtreleme işlemlerinin önemli bir bölümü bu düşünceye benzer.

3. Olasılıkta

İleride bir rastgele değişkeni:

X:\Omega\to\mathbb R

biçiminde bir fonksiyon olarak tanımlayacağız.

“Sonuç $1$ ile $5$ arasında olsun.” olayı:

X^{-1}([1,5])

biçiminde ifade edilecektir.

Yani olasılık teorisinde olaylar ile fonksiyonlar arasındaki ilişkinin merkezinde ters görüntü bulunur.

4. Topolojide ve analizde

İleride sürekliliği çok daha genel uzaylarda incelerken ters görüntü olağanüstü önemli hâle gelecektir.

Bir fonksiyonun sürekli olup olmadığını, belirli türdeki kümelerin ters görüntülerinin nasıl davrandığı üzerinden ifade edebileceğiz.

Bunun nedeni bugün gördüğümüz temel özelliktir:

Ters görüntü; birleşim, kesişim ve tümleyen gibi küme yapılarını çok düzenli biçimde korur.

Dolayısıyla burada öğrendiğimiz basit görünen işlem, ileride topoloji ve ölçü teorisinin temel dilinin bir parçası olacaktır.

27. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Hedef küme = görüntü kümesi sanmak

f:A\to B

yazılması:

f(A)=B

anlamına gelmez.

Her zaman yalnızca:

f(A)\subseteq B

garantidir.

Hata 2 — Ters görüntüyü ters fonksiyon sanmak

f^{-1}(T)

yazabilmek için $f$ 'nin ters fonksiyonunun bulunması gerekmez.

Ters görüntü her fonksiyonda tanımlıdır.

Hata 3 — Ters görüntüde elemanları yanlış tarafta aramak

Eğer:

T\subseteq B

ise:

f^{-1}(T)\subseteq A

olmalıdır.

Ters görüntünün elemanları çıktılar değil, girdilerdir.

Hata 4 — Görüntünün kesişimi her zaman koruduğunu sanmak

Genel olarak:

f(S_1\cap S_2) = f(S_1)\cap f(S_2)

olmak zorunda değildir.

Garanti edilen:

f(S_1\cap S_2) \subseteq f(S_1)\cap f(S_2)

ilişkisidir.

28. Bu birimin özü

Bu birimde fonksiyona artık yalnızca:

x\mapsto f(x)

düzeyinde bakmadık.

Fonksiyonun kümeleri nasıl taşıdığını gördük.

Elemanın görüntüsü

x\in A \quad\Longrightarrow\quad f(x)\in B

Kümenin görüntüsü

S\subseteq A

için:

f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}

Kümenin ters görüntüsü

T\subseteq B

için:

f^{-1}(T)=\{x\in A\mid f(x)\in T\}

Hedef ve görüntü kümesi

f(A)\subseteq B

olur; eşitlik zorunlu değildir.

Küme işlemleri

Görüntü:

f(S_1\cup S_2) = f(S_1)\cup f(S_2)

fakat genel olarak yalnızca:

f(S_1\cap S_2) \subseteq f(S_1)\cap f(S_2)

garantidir.

Ters görüntü ise:

f^{-1}(T_1\cup T_2) = f^{-1}(T_1)\cup f^{-1}(T_2)

f^{-1}(T_1\cap T_2) = f^{-1}(T_1)\cap f^{-1}(T_2)

ve:

f^{-1}(B\setminus T) = A\setminus f^{-1}(T)

özelliklerini sağlar.

En önemli zihinsel ayrım:

Görüntü: “Bu girdiler nereye gider?”

Ters görüntü: “Bu çıktılara hangi girdiler gelir?”

29. Matematik haritasında nereden geldik, nereye gidiyoruz?

01.05.01
Fonksiyon neden vardır?
        │
        │  Her girdi tek çıktıya gider.
        ▼
01.05.02
Görüntü ve ters görüntü
        │
        │  Kümeler nereye gider?
        │  Bir çıktı bölgesine hangi girdiler gelir?
        ▼
01.05.03
Birebir, örten ve bijektif fonksiyonlar
        │
        ├── Farklı girdiler birleşiyor mu?
        └── Hedefte ulaşılamayan eleman var mı?

Bugün gördüğümüz iki durum özellikle önemlidir:

S\subseteq f^{-1}(f(S))

ve:

f(f^{-1}(T))\subseteq T

Neden bazen eşitlik olmadığını gördük.

Bir sonraki birimde şu soruyu soracağız:

Bir fonksiyon hangi koşullarda bu bilgi kayıplarını ortadan kaldırır?

Bu bizi birebirlik, örtenlik ve bijektiflik kavramlarına götürecek.

30. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Bir fonksiyonun hedef kümesi ile görüntü kümesi arasındaki farkı kendi sözlerinle açıkla.
Şu iki sorudan hangisi görüntü, hangisi ters görüntü sorusudur?
- “ $S$ kümesindeki elemanlar nereye gider?”
- “Çıktısı $T$ kümesinde bulunan girdiler hangileridir?”
Neden $f^{-1}(T)$ yazabilmek için $f$ 'nin bir ters fonksiyonunun bulunması gerekmez?

Teknik

Aşağıdaki fonksiyon verilsin:

a ──► 1
b ──► 2
c ──► 2
d ──► 3
e ──► 1

Bul:

f(\{a,b,d\})

f^{-1}(\{1\})

f^{-1}(\{2,3\})

ve bütün fonksiyonun görüntü kümesini.

Fonksiyon:

f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2

olsun.

Bul:

f([-3,-1])

f^{-1}(\{9\})

f^{-1}([0,9])

f^{-1}((-5,-1))

Gerekçelendirme

Neden her $S_1,S_2\subseteq A$ için:

f(S_1\cup S_2) = f(S_1)\cup f(S_2)

olduğunu kendi cümlelerinle açıkla.

Aşağıdaki eşitliğin neden her fonksiyon için doğru olmadığını gösteren bir karşı örnek üret:

f(S_1\cap S_2) = f(S_1)\cap f(S_2)

Transfer

Bir şirket sisteminde her talebe tam bir durum atanıyor:

f:\text{Talepler}\to \{\text{Yeni},\text{İşlemde},\text{Tamamlandı}\}

“Henüz tamamlanmamış bütün talepler” kümesini ters görüntü kullanarak nasıl ifade edersin?

Bir fonksiyon için:

f^{-1}(\{y\})=\varnothing

olduğunu öğrenirsen, $y$ hakkında ne söyleyebilirsin?

Bir $S\subseteq A$ için:

f^{-1}(f(S))

kümesinin $S$ 'den daha büyük çıkmasının fonksiyon hakkında ne anlattığını düşün.

Kısa sentez

Neden vardı?
Fonksiyonların yalnızca tek tek elemanları değil, bütün kümeleri nasıl taşıdığını ifade etmeye ihtiyaç duyduk.

Ne öğrendik?
Görüntünün girdilerden çıktılara; ters görüntünün ise çıktı koşullarından bu koşulu sağlayan girdilere geçtiğini öğrendik.

Neyi artık yapabiliyoruz?
Denklem ve eşitsizlik çözümü gibi birçok problemi “hangi kümenin ters görüntüsünü arıyorum?” biçiminde yeniden okuyabiliyoruz.

Sırada ne var?
Farklı girdilerin aynı çıktıda birleşmesini ve bazı hedef elemanlarına hiç ulaşılamamasını ayrı ayrı inceleyeceğiz:

01.05.03 — Birebir, örten ve bijektif fonksiyonlar.

01.05.02 — Görüntü ve ters görüntü

1. Fonksiyon bize henüz ne söylüyordu?

2. Başlangıç problemi: Tek bir eleman değil, bir grup eleman

3. Neden yalnızca f(x)f(x)f(x) yetmiyor?

4. Tarihsel olarak bu fikir nasıl ortaya çıktı?

5. Elemanın görüntüsü

6. Bir kümenin görüntüsü

7. Aynı çıktıya giden elemanlar neden yalnızca bir kez görünür?

8. Hedef küme ile görüntü kümesi aynı şey değildir

9. Şimdi soruyu tersine çevirelim

10. Ters görüntünün biçimsel tanımı

11. Görüntü ve ters görüntünün yönleri

12. Çok önemli: f−1f^{-1}f−1 burada ters fonksiyon demek değildir

13. Bir formül üzerinde görelim: f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2

13.1. Elemanın görüntüsü

13.2. Bir kümenin görüntüsü

13.3. Bir kümenin ters görüntüsü

14. Denklem çözmek aslında bir ters görüntü problemi olabilir

15. Eşitsizlikler de ters görüntüdür

16. Hedef küme neden görüntü kümesinden büyük olabilir?

17. Görüntü küme işlemleriyle nasıl davranır?

17.1. Birleşimin görüntüsü

18. Kesişimin görüntüsünde beklenmedik bir durum

19. Ters görüntü küme işlemleriyle daha düzenli davranır

Birleşim

Kesişim

20. Ters görüntü tümleyeni de korur

21. Alt kümeler de korunur

22. İleri gidip sonra geri gelirsek ne olur?

23. Önce geri bakıp sonra ileri gidersek ne olur?

24. İki farklı bilgi kaybı

25. Görüntü ve ters görüntü arasındaki temel fark

26. Gerçekte nerelerde kullanılır?

27. Sık yapılan hatalar

28. Bu birimin özü

Elemanın görüntüsü

Kümenin görüntüsü

Kümenin ters görüntüsü

Hedef ve görüntü kümesi

Küme işlemleri

29. Matematik haritasında nereden geldik, nereye gidiyoruz?

30. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

3. Neden yalnızca $f(x)$ yetmiyor?

12. Çok önemli: $f^{-1}$ burada ters fonksiyon demek değildir

13. Bir formül üzerinde görelim: $f(x)=x^2$