01.06.01 — Tanım, Aksiyom, Teorem ve Matematiksel Teori

Haritadaki yerimiz

Dünya 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm 1.06 — İspat ve Matematiksel Kesinlik
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi

Temel soru: Matematiksel bilginin yapı taşları nelerdir?

Bu noktaya kadar önermeleri, mantıksal bağlaçları, niceleyicileri, kümeleri, bağıntıları ve fonksiyonları öğrendik.

Fakat şimdi farklı bir soru soracağız:

Bütün bunların hangileri tanım, hangileri kabul, hangileri kanıtlanmış sonuç?

Bu ayrımı anlamadan matematiksel bir metni gerçekten okumak mümkün değildir.

Bu birimin sonunda özellikle şu kavramları birbirinden ayırabilmeliyiz:

tanım,
aksiyom,
önerme,
varsayım,
teorem,
lemma,
sonuç,
konjektür,
matematiksel teori.

Matematikte her cümle aynı statüde midir?

Bir matematik kitabını açtığımızı düşünelim

Karşımıza şu tür cümleler çıkıyor:

“Bir fonksiyon hem birebir hem örtense bijektif denir.”
“Aynı elemanlara sahip iki küme eşittir.”
“Bir fonksiyonun tersi varsa fonksiyon bijektiftir.”
“ $f$ fonksiyonunun bijektif olduğunu varsayalım.”
“Önce şu yardımcı sonucu gösterelim.”
“Buradan ana teoremin şu sonucu hemen çıkar.”
“Bunun her durumda doğru olduğunu düşünüyoruz fakat henüz ispatlayamadık.”

Bunların hepsi matematiksel metnin parçasıdır.

Ama hepsi aynı işi yapmaz.

Birinci cümle bir kavrama isim ve anlam verir.

İkinci türden bir cümle teorinin başlangıç kabullerinden biri olabilir.

Üçüncü cümle kanıtlanması gereken bir iddiadır.

Dördüncü cümle belirli bir argüman boyunca geçici olarak kabul edilen bir varsayımdır.

Beşinci cümlede bir lemma hazırlanıyor olabilir.

Altıncı cümle bir sonuç olabilir.

Yedinci ise bir konjektürdür.

Matematiksel metni okuyabilmek için yalnızca cümlelerin ne söylediğini değil, hangi statüde söylendiğini de anlamamız gerekir.

Neden böyle bir ayrıma ihtiyacımız var?

Şöyle bir matematik düşünelim:

Her cümle için sürekli

“Peki bunu neden kabul ediyoruz?”

diye soruyoruz.

Bir teorem için cevap verebiliriz:

Çünkü ispatladık.

Peki ispatta kullandığımız önceki sonuçlar neden doğru?

Onların da ispatları vardır.

Onların ispatında kullanılanlar?

Bu zinciri sonsuza kadar geriye götürürsek hiçbir ispat başlayamaz.

Bir yerde matematiksel sistemin başlangıç noktalarının bulunması gerekir.

Öte yandan kullandığımız sözcüklerin de ne anlama geldiğini bilmeliyiz.

Örneğin:

“Bijektif fonksiyon tersinirdir.”

dediğimizde önce “bijektif”, “fonksiyon” ve “ters” sözcüklerinin anlamlarının sabit olması gerekir.

Dolayısıyla matematiksel bilgi en az üç farklı ihtiyaca cevap vermelidir:

Neden söz ediyoruz?
Nereden başlıyoruz?
Başlangıçtan hangi sonuçları çıkarabiliyoruz?

Üç temel görev

Bu üç görev kabaca şu yapılara karşılık gelir:

Tanımlar: Kullandığımız kavramların anlamını belirler.
Aksiyomlar: Teorinin başlangıç kabullerini belirler.
Teoremler: Bu başlangıçlardan mantık yoluyla çıkarılan sonuçlardır.

Bunların arasındaki bağlantıyı ise mantıksal çıkarım kurar.

Matematiksel bilginin iskeleti

Bir matematiksel teorinin temel yapısı

İlkel kavramlar
      │
      ├──────────────► Tanımlar
      │                    │
      │                    ▼
      │             Matematiksel dil
      │                    │
      ▼                    │
   Aksiyomlar ─────────────┤
                           │
                           ▼
                  Mantıksal çıkarım
                           │
              ┌────────────┼────────────┐
              ▼            ▼            ▼
            Lemma       Teorem       Sonuç
                           ▲
                           │ ispat
                           │
                       Konjektür

İlkel kavramlar ve tanımlar matematiksel dili oluşturur. Aksiyomlar başlangıç kabullerini sağlar. Mantıksal çıkarım kullanılarak lemma, teorem ve sonuçlar elde edilir. Konjektürler ise henüz ispatlanmamış iddialardır.

Bu şemada önemli bir şey var:

Teorem gökten düşmez.

Bir teorem;

anlamları belirlenmiş kavramlardan,
kabul edilmiş başlangıç ilkelerinden,
daha önce kanıtlanmış sonuçlardan,
geçerli mantıksal çıkarımlardan

oluşan bir zincirin sonunda ortaya çıkar.

1. Tanım nedir?

Önce en temel ayrımdan başlayalım.

Tanım

Bir tanım (definition), matematikte kullanılacak bir kavramın veya terimin ne anlama geldiğini kesin biçimde belirleyen ifadedir.

Daha önce çok sayıda tanım kullandık.

Örneğin:

Bijektif fonksiyon

Bir fonksiyon hem birebir hem örten ise bu fonksiyona bijektif denir.

Burada yeni bir teorem ispatlamıyoruz.

“Bijektif” sözcüğünün ne anlama geleceğini belirliyoruz.

Benzer biçimde:

Alt küme

$A$ kümesinin her elemanı aynı zamanda $B$ kümesinin elemanıysa $A$ , $B$ 'nin alt kümesidir.

Sembolik olarak:

A\subseteq B \iff \forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B).

Bu ifade bize $\subseteq$ ilişkisinin anlamını veriyor.

Tanım neden ispatlanmaz?

Burada çok önemli bir ayrım vardır.

Şu soruyu düşünelim:

“Bijektif fonksiyon, birebir ve örten fonksiyondur” cümlesini nasıl ispatlarız?

İspatlamayız.

Çünkü bu cümle bijektifliğin ne anlama geldiğini belirliyor.

Bir tanımın görevi bir gerçek keşfetmek değil, matematiksel dili kesinleştirmektir.

Bir tanım matematiksel tartışmanın sözlüğünü oluşturur.

Teorem ise bu sözlükle ifade edilen ve doğru olduğu gösterilmesi gereken bir iddiadır.

Bu nedenle:

Tanım ile teorem aynı tür şey değildir.

Tanımlar tamamen keyfî midir?

Bir kelimeye istediğimiz anlamı verebiliriz gibi görünebilir.

Teknik olarak yeni bir terim tanımlamakta belirli bir özgürlüğümüz vardır.

Fakat iyi matematiksel tanımlar rastgele seçilmez.

Genellikle:

önemli bir ortak yapıyı yakalar,
tekrar tekrar ortaya çıkan bir özelliğe isim verir,
teoremleri daha sade ifade etmeyi sağlar,
başka kavramlarla güçlü bağlantılar kurar.

Örneğin “bijektif” kavramını tanımlamamızın nedeni yalnızca yeni bir kelime istememiz değildir.

Birebirlik ile örtenliğin birlikte bulunduğu fonksiyonlar, özellikle ters fonksiyon problemi açısından özel davranır.

Dolayısıyla tanımın arkasında matematiksel bir ihtiyaç vardır.

Her kavram tanımlanabilir mi?

Burada ilginç bir problem ortaya çıkar.

Diyelim ki:

“Nokta nedir?”

sorusuna bir tanım verdik.

Fakat tanımda başka sözcükler kullanacağız.

Sonra onların tanımlarını sorabiliriz.

Sonra onların...

Eğer her şeyi daha önce tanımlanmış başka şeylerle tanımlamaya çalışırsak yine sonsuz bir geriye gidişle karşılaşırız.

Bu nedenle modern aksiyomatik sistemlerde bazı kavramlar ilkel kavram (primitive notion) olarak bırakılabilir.

İlkel kavram

Bir ilkel kavramın anlamı başka matematiksel kavramlarla tam bir tanım verilerek kurulmaz.

Onun nasıl davranacağı, içinde bulunduğu aksiyom sistemi ve diğer kavramlarla ilişkileri üzerinden belirginleşir.

Örneğin modern aksiyomatik geometrilerde “nokta”, “doğru” ve “üzerinde olma” gibi kavramlar ilkel terimler olarak ele alınabilir.

Bu ilk bakışta garip gelebilir ama aslında gerekli bir duraktır:

Her şeyi tanımlayamayız; aksi hâlde tanımların zinciri hiçbir zaman başlayamaz.

2. Aksiyom nedir?

Şimdi ikinci ihtiyaca geçelim.

Bir teoride yalnızca sözcüklerin anlamını belirlemek yetmez.

Bir şeylerin hangi temel kurallara göre davranacağını da belirlememiz gerekir.

Aksiyom

Bir aksiyom (axiom), belirli bir matematiksel teori içerisinde ispatlanmadan başlangıç ilkesi olarak kabul edilen önermedir.

Buradaki en önemli ifade:

belirli bir teori içerisinde

ifadesidir.

Aksiyom:

“Bütün evrende tartışmasız, kendiliğinden doğru olan cümle”

demek değildir.

Modern matematik açısından aksiyom daha çok:

“Bu teoriyi kurarken hangi başlangıç kurallarını kabul ediyoruz?”

sorusunun cevabıdır.

Kümelerden bir örnek: extensionality

Daha önce kümelerin eşitliğini ele aldık.

Modern küme teorisinin temel ilkelerinden biri kabaca şunu söyler:

Kümelerin extensionality ilkesi

İki kümenin aynı elemanlara sahip olması durumunda bu kümeler eşittir.

\forall x\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B) \Rightarrow A=B.

Aksiyomatik küme teorisinde bunun uygun biçimi bir aksiyom olarak alınır.

Bu bize kümeler hakkında temel bir kural verir:

Bir kümeyi belirleyen şey, hangi elemanlara sahip olduğudur.

Şimdi dikkat edin:

Bu başlangıç ilkesini ve daha önce öğrendiğimiz alt küme tanımını birlikte kullanarak yeni bir sonuç çıkarabiliriz.

3. Teorem nedir?

Teorem

Bir teorem (theorem), kabul edilen aksiyomlardan, tanımlardan ve daha önce kanıtlanmış sonuçlardan geçerli mantıksal çıkarımlar kullanılarak doğruluğu ispatlanan matematiksel önermedir.

Örneğin şu ifadeyi ele alalım:

A\subseteq B \quad\text{ve}\quad B\subseteq A \quad\Rightarrow\quad A=B.

Bu bir tanım değildir.

Yeni bir iddiadır.

Ve bu iddiayı gerekçelendirebiliriz.

İki yönlü alt küme olmanın küme eşitliğini vermesi

$A\subseteq B$ olduğundan, alt küme tanımı gereği:

\forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B).

Aynı şekilde $B\subseteq A$ olduğundan:

\forall x\,(x\in B\Rightarrow x\in A).

Bu iki ifadeyi birleştirirsek:

\forall x\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B).

Yani $A$ ve $B$ tam olarak aynı elemanlara sahiptir.

Kümelerin extensionality ilkesine göre:

A=B.

Burada matematiksel yapının bütün parçalarını aynı anda gördük.

Bir teoremin nasıl doğduğu

Alt küme tanımı
       │
       │
       ├──────────┐
       │          │
       ▼          ▼
 A ⊆ B          B ⊆ A
       │          │
       └────┬─────┘
            ▼
Her eleman için
x ∈ A ↔ x ∈ B
            │
            ▼
Extensionality aksiyomu
            │
            ▼
          A = B
          TEOREM

Alt küme tanımı ile kümelerin aynı elemanlara sahip olmaları hâlinde eşit olduklarını söyleyen temel ilke, mantıksal çıkarım yoluyla karşılıklı alt kümelerin eşit olduğu teoremini verir.

Bu küçük örnek, aksiyomatik yöntemin özünü gösterir.

Aksiyom ile teorem arasındaki fark

Aynı biçimde yazılmış iki matematiksel cümleden biri aksiyom, diğeri teorem olabilir.

Aralarındaki fark cümlenin görünüşünde değildir.

Aralarındaki fark sistemde oynadıkları roldedir.

Tür	Sistemdeki rolü
Tanım	Kavramın anlamını belirler
Aksiyom	Başlangıç ilkesi olarak kabul edilir
Teorem	Önceki bilgilerden ispatlanır

“Aksiyom çok açık olduğu için ispat gerektirmeyen teoremdir.”

şeklinde düşünmek doğru değildir.

Modern matematikte aksiyomun temel özelliği apaçık olması değil, teorinin başlangıç kabullerinden biri olarak seçilmiş olmasıdır.

4. Aksiyom neden gerekli?

Şimdi daha derin bir soruya gelebiliriz.

Neden her şeyi ispatlamıyoruz?

Çünkü bir ispat başka önermelere dayanmak zorundadır.

Örneğin:

P_1\Rightarrow P_2\Rightarrow P_3\Rightarrow P_4.

$P_4$ 'ü $P_3$ 'ten,

$P_3$ 'ü $P_2$ 'den,

$P_2$ 'yi $P_1$ 'den

çıkarabiliriz.

Fakat:

$P_1$ nereden geldi?

sorusunun bir cevabı olmalıdır.

Eğer:

“Onu da $P_0$ 'dan ispatladık.”

dersek bu kez $P_0$ 'ı sorarız.

Dolayısıyla dedüktif bir sistemin bir başlangıç noktasına ihtiyacı vardır.

İspat zincirinin başlangıcı

Aksiyomlar ispat edemediğimiz için çaresizce kabul ettiğimiz cümleler değildir.

Onlar:

“Bu teorinin dünyasında hangi temel kurallar geçerli olacak?”

sorusuna verdiğimiz cevaplardır.

5. Aksiyom değişirse matematik değişir mi?

Evet.

Ve aksiyomatik yöntemin en güçlü taraflarından biri tam olarak budur.

Bir teorinin aksiyomlarından birini değiştirirsek farklı bir matematiksel yapı ortaya çıkabilir.

Bunun tarihsel olarak en önemli örneklerinden biri geometridir.

Öklid'den modern aksiyomatik yönteme

Antik Yunan matematiğinin en etkili eserlerinden biri, yaklaşık MÖ 300 civarında derlenen Öklid'in Elementler adlı eseridir.

Öklid geometrik bilgiyi sistemli biçimde düzenlemeye çalıştı:

tanımlar,
postulatlar,
ortak kabuller,
bunlardan çıkarılan geometrik önermeler.

Bu yaklaşım, matematiği tek tek sonuçlardan oluşan bir koleksiyon olmaktan çıkarıp başlangıç ilkelerinden sonuçların türetildiği bir sistem hâline getiren çok önemli bir adımdı.

Ancak özellikle Öklid'in paralellerle ilgili postulatı yüzyıllar boyunca matematikçileri rahatsız etti.

Matematikçiler uzun süre bu postulatın diğer geometrik kabullerden ispatlanabileceğini düşündüler.

yüzyılda Nikolai Lobachevsky ve János Bolyai gibi matematikçilerin çalışmalarıyla çok önemli bir kırılma gerçekleşti:

Paralellik hakkında farklı bir temel kabul kullanıldığında da kendi içinde anlamlı ve zengin geometriler kurulabiliyordu.

Böylece önemli bir düşünce güç kazandı:

Aksiyomlar yalnızca “evren hakkında apaçık gerçekler” olarak değil, hangi matematiksel yapıyı inceleyeceğimizi belirleyen temel kurallar olarak da düşünülebilir.

yüzyılın sonlarına doğru Giuseppe Peano'nun doğal sayıları aksiyomatik biçimde ele alan çalışmaları ve özellikle David Hilbert'in 1899 tarihli geometrinin temelleri çalışması modern aksiyomatik yaklaşımın gelişiminde önemli dönüm noktaları oldu.

Modern matematikte bu yöntem tek bir kişinin icadı değildir. Öklid'den 19. ve 20. yüzyıl matematiksel mantığına kadar uzanan uzun bir gelişimin ürünüdür.

Bu tarih bize çok önemli bir zihinsel değişimi gösteriyor:

Bir aksiyomun rolü, hangi matematiksel dünyada çalıştığımızı belirlemektir.

Aynı mantık, farklı aksiyomlar

Bunu şematik olarak şöyle düşünebiliriz:

Aksiyom değişince teori değişebilir

                 Aynı mantık
                     │
          ┌──────────┴──────────┐
          │                     │
          ▼                     ▼
    Aksiyom sistemi A     Aksiyom sistemi B
          │                     │
          ▼                     ▼
     Teoremler A           Teoremler B
          │                     │
          ▼                     ▼
       Teori A               Teori B

Aynı mantıksal çıkarım yöntemi farklı aksiyom sistemlerine uygulandığında farklı teorem kümeleri ve dolayısıyla farklı matematiksel teoriler ortaya çıkabilir.

Bu nedenle matematikte bir teoremi okurken yalnızca sonucu değil, hangi varsayımlar altında geçerli olduğunu da bilmek gerekir.

6. Varsayım nedir?

Aksiyom ile varsayım sık karıştırılır.

Varsayım

Bir varsayım veya bir teoremin hipotezi (hypothesis), belirli bir problem, teorem veya argüman boyunca geçici olarak doğru kabul edilen koşuldur.

Örneğin:

“ $f:A\to B$ bijektif bir fonksiyon olsun.”

dediğimizde:

f \text{ bijektiftir}

ifadesi bütün matematiğin aksiyomu değildir.

Yalnızca üzerinde çalıştığımız teorem için kabul ettiğimiz koşuldur.

Daha sonra bu varsayımdan sonuçlar çıkarırız.

Yerel varsayım

Şöyle bir teorem düşünelim:

Eğer $f:A\to B$ bijektifse, $f^{-1}:B\to A$ ters fonksiyonu vardır.

Burada:

Varsayım:

f \text{ bijektiftir.}

Sonuç:

f^{-1} \text{ vardır.}

“ $f$ bijektiftir” bütün fonksiyon teorisinin aksiyomu değildir.

Sadece bu teoremde başlangıç koşuludur.

Aksiyom ile varsayım

Aksiyom: Teorinin genel başlangıç kurallarından biridir.

Varsayım: Belirli bir argüman içinde geçici olarak kabul edilen koşuldur.

7. Önerme nedir?

“Önerme” sözcüğünü daha önce mantıkta öğrenmiştik.

Mantıksal önerme

Bir önerme, doğru veya yanlış olduğu anlamlı biçimde sorulabilen bildirim cümlesidir.

Dolayısıyla:

aksiyomlar önermedir,
teoremler önermedir,
konjektürler önermedir,
bir teoremin varsayımları da önerme olabilir.

Fakat her önerme teorem değildir.

Örneğin:

2+2=4

bir önermedir.

2+2=5

de bir önermedir.

İkincisinin yanlış olması onun önerme olmasını engellemez.

“Önerme” bize cümlenin mantıksal türünü söyler.

“Teorem” ise bize onun ispatlanmış matematiksel statüsünü söyler.

Terminoloji uyarısı

Matematik kitaplarında İngilizce proposition sözcüğü de bazen Türkçeye “önerme” diye çevrilir.

Bu kullanımda proposition, ispatlanmış fakat yazarın “teorem” kadar merkezi görmediği bir sonuç anlamına gelebilir.

Dolayısıyla bağlama dikkat etmek gerekir:

mantıksal önerme: doğruluk değeri taşıyan ifade,
Proposition olarak önerme: kitapta ispatlanmış matematiksel sonuç için kullanılan bir başlık.

Bu iki kullanım aynı şey değildir.

8. Lemma nedir?

Bazen büyük bir teoremi doğrudan ispatlamak zor olur.

İspatın içinde tekrar tekrar kullanılacak daha küçük bir sonuç önce ayrı olarak kanıtlanır.

Lemma

Bir lemma, genellikle başka bir teoremin ispatında kullanılmak amacıyla önceden kanıtlanan yardımcı teoremdir.

Örneğin bir teoremi ispatlamak için önce:

“Şu özel durumda bu özellik mutlaka geçerlidir.”

sonucuna ihtiyaç duyabiliriz.

Bunu ayrı ayrı tekrar kanıtlamak yerine bir lemma hâline getiririz.

Sonra ana teoremde lemmayı kullanırız.

Lemma ile ana teorem arasındaki ilişki

Aksiyomlar + Tanımlar
          │
          ▼
        Lemma
          │
          ▼
     Ana Teorem

Bir yardımcı sonuç önce lemma olarak ispatlanır ve daha sonra ana teoremin ispatında kullanılır.

Lemma, “ispatlanmasına gerek olmayan küçük sonuç” değildir.

Lemma da ispatlanır.

Mantıksal açıdan lemma ile teorem arasında temel bir fark yoktur.

Fark çoğunlukla sonucun metin içindeki görevidir.

Hatta matematik tarihinde başlangıçta “lemma” olarak adlandırılmış bazı sonuçlar sonradan kendi başlarına son derece önemli hâle gelmiştir.

9. Sonuç — corollary nedir?

Bazen zor bir teoremi ispatladıktan sonra başka bir iddianın doğruluğu neredeyse hemen ortaya çıkar.

Sonuç

Bir sonuç (corollary), genellikle daha önce kanıtlanmış bir teoremden az sayıda ek adımla doğrudan elde edilen teoremdir.

Şematik olarak:

\text{Teorem} \Rightarrow \text{Sonuç}.

Örneğin bir teorem bütün $x$ değerleri için güçlü bir özellik gösteriyorsa, bunun özel bir $x$ değeri için geçerli olması doğrudan bir sonuç olabilir.

Burada da önemli nokta şudur:

“Sonuç” ayrı bir mantık türü değildir.

O da kanıtlanmış bir önermedir.

Sadece önceki bir teoreme çok yakın bir sonuç olduğunu belirtmek için bu isim kullanılır.

10. Teorem, lemma ve sonuç arasındaki fark ne kadar kesindir?

Bu üç kelimenin arasında düşündüğümüz kadar sert bir matematiksel sınır yoktur.

Mantıksal açıdan:

lemma,
proposition,
theorem,
corollary

hepsi ispatlanmış matematiksel önermelerdir.

İsimleri çoğunlukla metin içindeki rollerini anlatır.

Kabaca:

Ad	Tipik rol
Lemma	Başka bir sonucu kanıtlamak için yardımcı sonuç
Proposition	İspatlanmış, genellikle daha yerel sonuç
Teorem	Merkezi veya önemli sonuç
Corollary / Sonuç	Önceki bir teoremden hızlı biçimde çıkan sonuç

Dolayısıyla bir matematikçinin “lemma” dediği bir sonucu başka bir kitap “teorem” diye adlandırabilir.

Bu, matematiksel bir çelişki değildir.

11. Konjektür nedir?

Şimdi çok farklı bir statüye geçiyoruz.

Matematikçiler bazen çok sayıda örnek görür ve güçlü bir örüntü fark ederler.

Şöyle düşünürler:

“Bunun her zaman doğru olması gerekiyor gibi görünüyor.”

Fakat henüz ispat yoktur.

Konjektür

Bir konjektür (conjecture), doğru olduğuna dair matematiksel gerekçeler veya güçlü kanıtlar bulunan fakat henüz ispatlanmamış iddiadır.

Bir konjektür için iki temel ihtimal vardır.

Bir konjektürün kaderi

             KONJEKTÜR
                 │
        ┌────────┴────────┐
        │                 │
        ▼                 ▼
     İspat             Karşı örnek
        │                 │
        ▼                 ▼
     TEOREM          ÇÜRÜTÜLMÜŞ İDDİA

Bir konjektür için ispat bulunursa teorem olur. Bir karşı örnek bulunursa yanlış olduğu gösterilmiş olur.

Bu ayrım matematiğin en temel ilkelerinden birine hazırlanıyor:

Çok sayıda doğru örnek, evrensel bir iddiayı tek başına teorem yapmaz.

Bunu bir sonraki birimde ayrıntılı olarak ele alacağız.

Bir konjektür zamanla teorem olabilir

Tarih boyunca birçok önemli sonuç önce konjektür olarak ortaya çıkmıştır.

Örneğin Fermat'nın 17. yüzyılda ortaya koyduğu ünlü sayı teorisi iddiası yüzyıllar boyunca kanıtlanamadığı için bir konjektür olarak kaldı.

Andrew Wiles'ın çalışmaları sonucunda 1990'larda ispat tamamlandığında iddianın statüsü değişti:

Artık yalnızca güçlü biçimde inanılan bir iddia değil, teorem olmuştu.

Buradaki önemli fikir isimlerden çok şudur:

\text{İnanmak} \neq \text{ispatlamak}.

Matematikte iddianın statüsünü değiştiren şey güven derecesi değil, geçerli bir ispatın varlığıdır.

12. Matematiksel teori nedir?

Şimdi bütün parçaları tek yapıda birleştirebiliriz.

Matematiksel teori

Bir matematiksel teori, belirli matematiksel nesneleri ve ilişkileri inceleyen; kavramları, tanımları, temel kabulleri ve bunlardan mantıksal olarak çıkarılan sonuçları bir bütün hâlinde örgütleyen yapıdır.

Bir teori tek bir teorem değildir.

Tek bir formül de değildir.

Örneğin:

küme teorisi,
sayı teorisi,
grup teorisi,
olasılık teorisi,
Öklid geometrisi

birer matematiksel teori veya geniş matematiksel teori alanı oluşturabilir.

Bir teoriyi kabaca şöyle düşünebiliriz:

Matematiksel teori

                 MATEMATİKSEL TEORİ
                         │
        ┌────────────────┼────────────────┐
        │                │                │
        ▼                ▼                ▼
     Nesneler        Tanımlar         Aksiyomlar
        │                │                │
        └────────────────┼────────────────┘
                         ▼
                       Mantık
                         │
                         ▼
               İspatlanmış sonuçlar
                         │
             ┌───────────┼───────────┐
             ▼           ▼           ▼
           Lemma       Teorem      Sonuç

Matematiksel teori; incelenen nesneler, kullanılan dil ve tanımlar, aksiyomlar ile bunlardan çıkarılan lemma, teorem ve sonuçların oluşturduğu bağlantılı yapıdır.

“Teori” kelimesi “tahmin” anlamına gelmez

Gündelik dilde bazen:

“Benim bir teorim var.”

denildiğinde:

“Bir tahminim var.”

anlamı kastedilir.

Matematikte bu kullanım yanıltıcıdır.

Matematiksel teori, rastgele tahminler toplamı değildir.

Birbiriyle ilişkili:

kavramların,
tanımların,
varsayımların veya aksiyomların,
ispatlanmış sonuçların

oluşturduğu sistematik matematiksel yapıdır.

13. Hepsini tek örnekte görelim

Şimdi daha önce öğrendiğimiz fonksiyonları kullanarak kavramları sınıflandıralım.

Ters fonksiyon çevresindeki yapı

Tanım

Bir fonksiyon hem birebir hem örtense bijektif olarak adlandırılır.

Bu bir tanımdır.

Varsayım

Bir ispatın başında:

$f:A\to B$ bijektif olsun.

diyebiliriz.

Bu, söz konusu teoremin varsayımıdır.

Teorem

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun bulunması ile fonksiyonun bijektif olması arasında güçlü bir ilişki vardır; uygun tanımlar altında bir fonksiyon ancak ve ancak bijektif olduğunda terslenebilirdir.

Bu artık yalnızca bir isimlendirme değildir.

İspatlanması gereken bir matematiksel sonuçtur.

Lemma

Bu teoremi ispatlarken önce örneğin:

Birebirlik nedeniyle her hedef elemanı için en fazla bir kaynak elemanı bulunabilir.

gibi yardımcı bir sonuç ayrı biçimde kanıtlanıp kullanılabilir.

Bu yardımcı sonuç bir lemma rolü oynayabilir.

Sonuç

Ana teoremi elde ettikten sonra belirli özel durumların hemen çıkması birer corollary/sonuç olarak adlandırılabilir.

Aynı matematiksel konu içinde bile farklı cümlelerin farklı görevleri vardır.

14. Bir tanım ile teoremi nasıl ayırt ederiz?

Pratik bir yöntem kullanalım.

Bir ifadeye baktığımızda şu soruyu sorabiliriz:

“Bu cümle bir sözcüğün anlamını mı belirliyor?”

Evetse büyük olasılıkla tanımdır.

Örneğin:

“ $f$ , birebir ve örtense bijektiftir.”

“Bu cümle teori içinde başlangıçta kabul edilen bir ilke mi?”

Evetse aksiyomdur.

“Bu cümlenin doğruluğunu önceki bilgilerden göstermemiz mi gerekiyor?”

Evetse, kanıtlandıktan sonra teorem, lemma, proposition veya sonuç gibi bir statü alabilir.

“Bu koşulu yalnızca mevcut problem boyunca mı kabul ediyoruz?”

Evetse varsayımdır.

“Doğru olmasını bekliyoruz ama henüz ispat yok mu?”

Evetse konjektürdür.

15. “Tanımı teorem gibi” kullanmanın tehlikesi

Matematikte sık yapılan bir hata şudur:

Bir öğrenci bir tanımı görür ve:

“Bunun neden doğru olduğunu anlamadım.”

der.

Bazen bu çok iyi bir sorudur.

Ama önce şu ayrımı yapmalıyız:

Burada bir doğruluk iddiası mı var, yoksa bir anlam belirleme mi var?

Örneğin:

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki farklı elemanlar hedefte farklı elemanlara gidiyorsa fonksiyon birebir olarak adlandırılır.

Burada:

“Neden birebir fonksiyon böyle?”

sorusu iki farklı anlama gelebilir.

Birinci anlam:

“Bu tanımı neden seçmişiz, bunun matematiksel motivasyonu nedir?”

Bu son derece anlamlıdır.

İkinci anlam:

“Bunun teoremini nasıl ispatlarız?”

Bu ise yanlış kategoridedir; çünkü cümle zaten kavramın tanımıdır.

Bir tanım için sorulacak temel soru:

“Neden bu kavramı böyle tanımlamak yararlı?”

Bir teorem için sorulacak temel soru:

“Bu iddianın doğru olduğunu neden biliyoruz?”

16. “Aksiyomu ispatlamak” neden çelişkili görünebilir?

Bir teoride aksiyom olarak alınmış bir önermeyi yine aynı teorinin daha temel sonuçlarından ispatlayabiliyorsak, aslında o önerme bağımsız bir başlangıç aksiyomu olmak zorunda değildir.

Bu yüzden aksiyom sistemleri oluşturulurken şu sorular önem kazanır:

Aksiyomlar birbirleriyle çelişiyor mu?
Bazı aksiyomlar diğerlerinden çıkarılabiliyor mu?
Hangi aksiyom hangi sonuç için gerçekten gerekli?
Aksiyomu değiştirirsek hangi teoremler değişiyor?

Bunlar ileri matematiksel mantığın önemli sorularına açılan kapılardır.

Bu birimde bunların teknik teorisine girmeyeceğiz.

Fakat şu fikri şimdiden koruyalım:

Aksiyomatik sistem yalnızca bir başlangıç listesi değil; sonuçların hangi temele dayandığını görünür hâle getiren bir yapıdır.

17. Matematikte “doğru” ne demektir?

Burada önemli ve ilk bakışta şaşırtıcı bir ayrım vardır.

Bir teorem:

“Hiçbir varsayıma bağlı olmadan mutlak biçimde doğrudur.”

demek değildir.

Teoremin mantıksal yapısı daha çok şöyledir:

\text{Aksiyomlar ve varsayımlar doğruysa} \Rightarrow \text{teorem zorunlu olarak doğrudur}.

Örneğin geometrik bir teorem belirli bir geometri aksiyomları altında doğru olabilir.

Aksiyomları değiştirirsek aynı ifade artık teorem olmayabilir.

Matematiksel ispatın gücü:

“Sonuç kesinlikle doğrudur.”

demesinden önce,

“Bu başlangıçlardan bu sonuç kaçınılmaz olarak çıkar.”

diyebilmesidir.

Bu fikir ileride ispatı anlamamız açısından son derece önemlidir.

18. Aksiyom seçmek “istediğimizi kabul etmek” midir?

Hayır.

Matematikçi kâğıda istediği cümleleri yazıp anlamlı bir teori elde etmiş olmaz.

Bir aksiyom sistemi için özellikle şunlar önemlidir:

çelişkisiz olması,
ilginç yapılar tarif etmesi,
incelenmek istenen matematiksel problemi yakalaması,
yeterince güçlü fakat mümkün olduğunca anlaşılır olması.

Örneğin bir geometri kurmak istiyorsak aksiyomlarımızın noktalar, doğrular ve bunların ilişkileri hakkında tutarlı bir yapı ortaya çıkarması gerekir.

“Aksiyom ispatlanmıyorsa istediğimiz şeyi aksiyom yapabiliriz ve böylece istediğimiz sonucu doğru yaparız.”

çıkarımı matematiğin aksiyomatik yöntemini yanlış anlamaktır.

Aksiyom seçilebilir; fakat seçimin:

nasıl bir teori oluşturduğu,
teorinin tutarlı olup olmadığı,
hangi yapıların bu aksiyomları sağladığı,
hangi sonuçların ortaya çıktığı

ayrıca incelenir.

19. Matematiksel teorinin gerçek kullanım alanları

Matematik içinde

Aksiyomatik yapı matematiğin hemen hemen bütün ileri alanlarının temel çalışma biçimidir.

Örneğin ileride:

doğal sayıların yapısını,
vektör uzaylarını,
grupları,
topolojik uzayları,
olasılık uzaylarını

belirli tanımlar ve temel koşullar üzerinden kuracağız.

Örneğin “vektör” sözcüğünün yalnızca geometrik ok anlamına gelmediğini göreceğiz.

Bir nesne belirli vektör uzayı aksiyomlarını sağladığında vektör uzayının elemanı olarak incelenebilecek.

Bu sayede görünüşte çok farklı nesnelerin aynı teorinin altında birleştiğini göreceğiz.

Bilimsel modelleme

Bir fiziksel sistem matematikle modellenirken önce hangi varsayımların yapıldığı açıkça belirtilir.

Örneğin bir model:

sürtünmeyi ihmal edebilir,
cismin noktasal olduğunu varsayabilir,
belirli bir kuvvet yasasını kabul edebilir.

Matematik daha sonra bu varsayımların zorunlu sonuçlarını çıkarır.

Burada çok önemli bir ayrım vardır:

Matematik, modelin varsayımlarından sonucun doğru çıkarılıp çıkarılmadığını belirleyebilir.

Fakat fiziksel varsayımın gerçek dünyayı ne kadar iyi temsil ettiği ayrıca deneysel bir sorudur.

Bilgisayar destekli ispat ve doğrulama

Modern theorem prover ve proof assistant sistemlerinde matematiksel yapının bu ayrımı çok açık hâle gelir.

Bilgisayara:

kavramların tanımları,
kullanılabilecek temel ilkeler,
kanıtlanacak önerme,
geçerli ispat adımları

kesin biçimde verilmek zorundadır.

Sistem daha sonra ispat zincirinin kurallara uygun olup olmadığını denetleyebilir.

Bu yaklaşım yalnızca saf matematikte değil, yazılım ve donanım sistemlerinin biçimsel doğrulanmasında da benzer bir kesinlik anlayışına temel oluşturur.

20. En sık karıştırılan kavramlar

Tanım ≠ teorem

Tanım:

“Şu kelimeyle bunu kastediyoruz.”

Teorem:

“Bu iddianın doğru olduğunu gösterebiliriz.”

Aksiyom ≠ varsayım

Aksiyom: Teorinin genel başlangıç ilkesi.

Varsayım: Belirli bir teorem veya problem boyunca kabul edilen koşul.

Teorem ≠ konjektür

Teorem: İspatlanmış.

Konjektür: Henüz ispatlanmamış.

Lemma ≠ ispatlanmamış yardımcı fikir

Lemma da ispatlanmış bir sonuçtur.

Sonuç ≠ önemsiz teorem

Corollary, başka bir teoremden hızlı çıkması nedeniyle böyle adlandırılır; matematiksel olarak yanlış veya değersiz bir sonuç değildir.

Teori ≠ tahmin

Matematiksel teori, bağlantılı kavramlar ve sonuçlardan oluşan sistematik yapıdır.

21. Bir matematik metnini artık farklı okuyabiliriz

Bundan sonra bir matematik kitabında şunları gördüğümüzde aynı gözle bakmayacağız:

Tanım. ...

Varsayalım ki ...

Lemma. ...

Teorem. ...

İspat. ...

Sonuç. ...

Artık her bölümün görevini görebiliriz.

Bir matematik metninin mantıksal akışı

Tanımlar
   │
   ▼
Varsayımlar
   │
   ├────► Gerekirse Lemma
   │             │
   └─────────────┤
                 ▼
              Teorem
                 │
                 ▼
               İspat
                 │
                 ▼
              Sonuçlar

Önce kavramlar tanımlanır. Teoremin varsayımları belirlenir. Gerekirse yardımcı lemmalar kanıtlanır. Bunlar kullanılarak ana teorem ispatlanır ve teoremden yeni sonuçlar çıkarılır.

Burada küçük bir düzeltmeye dikkat edelim:

Gerçek bir kitapta “teorem” önce yazılır, ardından ispatı verilir.

Şemadaki mantıksal anlam ise şudur:

Bir iddianın teorem statüsünü hak etmesini sağlayan şey ispattır.

22. Aktif düşünme

Şimdi kısa süreliğine durup şu ifadeleri sınıflandırmaya çalışalım.

İfade 1

Bir fonksiyon hem birebir hem örtense bijektif olarak adlandırılır.

Bu hangi türden bir ifadedir?

İfade 2

$f$ bijektif olsun.

Bu bütün fonksiyon teorisinin temel kabulü müdür, yoksa mevcut argümanın koşulu mudur?

İfade 3

Her bijektif fonksiyonun bir ters fonksiyonu vardır.

Bu kavramın anlamını mı belirliyor, yoksa doğruluğunun gösterilmesi gereken bir iddia mı?

İfade 4

Bir iddianın yüz milyar örnekte doğru çıktığını gördük ve bütün örneklerde doğru olduğunu düşünüyoruz.

Bu bilgi tek başına iddiayı teorem yapar mı?

İfade 5

Ana teoremi ispatlamak için önce kullanılacak küçük bir yardımcı sonuç kanıtlanıyor.

Bu sonuca hangi adın verilmesi doğaldır?

Cevapları hemen okumadan önce kendi sınıflandırmanızı yapmaya çalışın.

23. Sınırlar: Aksiyomatik yöntem bize neyi garanti etmez?

Aksiyomatik yöntem son derece güçlüdür fakat yanlış anlaşılmamalıdır.

Aksiyomların fiziksel gerçekliği otomatik değildir

Bir matematiksel teori mantıksal olarak kusursuz olabilir fakat gerçek bir fiziksel sistemi temsil etmeyebilir.

Matematiksel tutarlılık ile deneysel doğruluk farklı sorulardır.

İyi tanım, varlık garantisi değildir

Bir şeyin nasıl olması gerektiğini tanımlayabiliriz.

Fakat böyle bir nesnenin gerçekten var olduğunu ayrıca göstermek gerekebilir.

Örneğin ileride matematikte sık sık:

“Şu özelliklere sahip bir nesne vardır.”

şeklinde varlık teoremleri göreceğiz.

Bir iddianın doğru görünmesi ispat değildir

Bu ayrıntıyı bir sonraki birimde merkezî problem hâline getireceğiz.

Bir teoremin koşulları unutulamaz

Bir teoremin yalnızca sonucunu ezberlemek tehlikelidir.

Asıl yapı:

\text{Varsayımlar} \Rightarrow \text{Sonuç}

biçimindedir.

Varsayımları kaldırdığımızda sonuç artık doğru olmayabilir.

24. Matematik haritasındaki bağlantı

Bu birim, Dünya 1'de önemli bir kırılma noktasıdır.

Şimdiye kadar matematiksel dili kurduk:

Önerme
   ↓
Mantıksal bağlaçlar
   ↓
Niceleyiciler
   ↓
Kümeler
   ↓
Bağıntılar
   ↓
Fonksiyonlar

Şimdi bu dilin içinde matematiksel bilginin nasıl örgütlendiğini öğrendik:

Tanım
   │
Aksiyom
   │
Mantık
   ▼
Teorem

Sıradaki soru ise kaçınılmazdır:

Bir iddiaya “teorem” diyebilmek için gereken ispat tam olarak nedir?

Bir sonraki birim:

01.06.02 — İspat nedir ve neden örnek yeterli değildir?

bu soruyla başlayacak.

Daha ileride ise:

doğrudan ispat,
karşıt ters,
çelişki,
varlık ve teklik,
tümevarım

gibi farklı ispat yöntemlerini öğreneceğiz.

Aksiyomatik düşünce daha sonra yeniden:

sayı sistemlerinde,
lineer cebirde,
olasılıkta,
soyut cebirde,
topolojide

karşımıza çıkacak.

Kısa sentez

Neden vardı?

Matematiksel bir metindeki bütün cümlelerin aynı görevde olmadığını ayırabilmek ve ispatların nereden başladığını anlayabilmek için.

Ne öğrendik?

Tanım kavramın anlamını belirler.
Aksiyom teorinin başlangıç ilkelerinden biridir.
Varsayım belirli bir argüman boyunca kabul edilen koşuldur.
Önerme doğruluk değeri taşıyan matematiksel ifadedir.
Teorem ispatlanmış bir önermedir.
Lemma genellikle başka bir teoreme yardımcı olan ispatlanmış sonuçtur.
Sonuç / corollary önceki bir teoremden hızlı biçimde çıkan sonuçtur.
Konjektür henüz ispatlanmamış iddiadır.
Matematiksel teori, bütün bu yapıların örgütlü biçimde oluşturduğu sistemdir.

Temel yapı:

\boxed{ \text{Tanımlar} + \text{Aksiyomlar} + \text{Mantık} \longrightarrow \text{Teoremler} }

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir matematiksel metni düz bir cümle listesi olarak değil, farklı görevleri olan yapı taşlarından oluşan dedüktif bir sistem olarak okuyabiliriz.

Sırada ne var?

Şimdi en kritik kavram eksik:

Aksiyomlardan ve önceki sonuçlardan bir teoreme geçtiğimizi nasıl kanıtlıyoruz?

Sıradaki birimde matematiksel ispatın ne olduğunu ve neden binlerce doğru örneğin bile tek başına ispat sayılamayacağını inceleyeceğiz.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Kendi sözlerinizle tanım ile teorem arasındaki farkı açıklayın.
Bir aksiyomun “ispatlanamamış teorem” olarak düşünülmesi neden yanıltıcıdır?
Aksiyom ile bir teoremdeki varsayım arasındaki fark nedir?
Lemma ile teorem arasında mantıksal açıdan zorunlu bir fark var mıdır?
Matematikte “teori” neden “tahmin” anlamına gelmez?

Teknik sınıflandırma

Aşağıdaki ifadelerin her birini uygun kategoriyle eşleştirin:

tanım — aksiyom — varsayım — teorem — lemma — sonuç — konjektür

“ $f$ birebir ve örtense bijektif olarak adlandırılır.”
“ $f$ 'nin bijektif olduğunu kabul edelim.”
“Bu yardımcı sonucu önce kanıtlayacağız; ana teoremde iki kez kullanacağız.”
“Ana teoremden $x=0$ özel durumu hemen elde edilir.”
“İddia milyonlarca durumda doğrulandı fakat genel ispatı henüz bilinmiyor.”
“Bu önerme önceki tanımlar ve sonuçlar kullanılarak ispatlandı.”

Gerekçelendirme

Birisi şöyle diyor:

“Aksiyomlar ispatlanmadığına göre matematik aslında kanıtsız kabuller üzerine kuruludur ve bu yüzden teoremler de kesin değildir.”

Bu cümlenin hangi kısmının doğru bir gözleme dayandığını, hangi kısmının matematiksel çıkarımı yanlış yaptığını açıklayın.

Transfer

Yeni bir matematiksel teori tasarladığınızı düşünün.

Bu teoride:

bazı temel nesneleriniz,
iki aksiyomunuz,
üç tanımınız

olsun.

Bir iddianın teorem olabilmesi için hangi aşamalardan geçmesi gerektiğini kendi oluşturacağınız küçük bir şemayla gösterin.

Tamamlanma ölçütü

Bu birim, matematiksel bir metinde karşılaştığınız:

tanımı,
aksiyomu,
varsayımı,
lemmayı,
teoremi,
sonucu,
konjektürü

yalnızca isimlerinden değil, metin içinde oynadıkları rolden hareketle ayırabiliyor ve matematiksel bir teorinin bunların nasıl birleşmesiyle oluştuğunu açıklayabiliyorsanız temel düzeyde tamamlanmış sayılır.