01.05.05 — Ters fonksiyon

1. Birim kartı

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.05 — Fonksiyonların Temel Yapısı
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar: 01.05.03 — Birebir, örten ve bijektif fonksiyonlar; 01.05.04 — Fonksiyonların bileşkesi
Temel soru: Bir dönüşümü tamamen geri almak için ne gerekir?

Bu birimin sonunda: Bir fonksiyonun tersinin neden her zaman bulunmadığını, ters fonksiyonun varlığı için neden bijektifliğin gerektiğini ve $f^{-1}$ gösteriminin ne anlama geldiğini açıklayabileceğiz.

Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar bir fonksiyonun:

bir kümeden başka bir kümeye nasıl eşleme yaptığını,
hangi elemanların hangi görüntülere gittiğini,
birebir olup olmadığını,
hedef kümenin tamamına ulaşıp ulaşmadığını,
iki fonksiyonun art arda nasıl uygulanabildiğini

öğrendik.

Şimdi doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor:

Bir fonksiyon bizi $A$ 'dan $B$ 'ye götürüyorsa, $B$ 'den tekrar $A$ 'ya dönebilir miyiz?

Bu soru bizi ters fonksiyon fikrine götürecek.

2. Başlangıç problemi: Geri dönebilir miyiz?

Şu iki küme arasında bir fonksiyon düşünelim:

A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{a,b,c\}.

Fonksiyonumuz şöyle olsun:

f(1)=b,\qquad f(2)=c,\qquad f(3)=a.

Bir bijektif eşleme

A                     B

1  ─────────────────▶ b

2  ─────────────────▶ c

3  ─────────────────▶ a

A kümesindeki 1 elemanı b'ye, 2 elemanı c'ye, 3 elemanı a'ya eşlenmektedir. Her hedef elemanına tam bir kaynak elemanı ulaşmaktadır.

Şimdi sonucu biliyoruz.

Örneğin:

2\longmapsto c.

Fakat ters yönde bir soru soralım:

Elimde $c$ varsa, bunun hangi elemandan geldiğini bulabilir miyim?

Evet:

c\longmapsto2.

Aynı şekilde:

b\longmapsto1, \qquad a\longmapsto3.

Yani okların yönünü tamamen ters çevirebiliyoruz.

İlk fikir

Bir fonksiyonun yaptığı eşlemeyi hiçbir belirsizlik bırakmadan geri alabiliyorsak, ters yönde çalışan yeni bir fonksiyon oluşturabiliriz.

Bu yeni fonksiyona ters fonksiyon diyeceğiz.

Ama henüz önemli bir soruyu çözmedik:

Her fonksiyonun oklarını ters çevirdiğimizde yine bir fonksiyon elde eder miyiz?

Cevap: Hayır.

Ters fonksiyon fikrinin asıl matematiği burada başlıyor.

3. Neden eski araçlar yetmiyor?

Bir fonksiyonda her girdi için tam bir çıktı bulunması gerektiğini biliyoruz.

Fakat okları ters çevirdiğimizde iki farklı problem çıkabilir.

Problem 1: Bilgi kaybolmuş olabilir

Şöyle bir fonksiyon düşünelim:

f(1)=a, \qquad f(2)=a, \qquad f(3)=b.

Birebir olmayan bir fonksiyon

A                     B

1  ──────────────┐
                 ├────▶ a
2  ──────────────┘

3  ───────────────────▶ b

1 ve 2 elemanlarının ikisi de a elemanına gönderilmektedir. Oklar ters çevrildiğinde a'nın hem 1'e hem 2'ye gönderilmesi gerekir.

Şimdi $a$ 'dan geriye dönmek istiyoruz.

Ama:

a

hangi girdiden geldi?

1?

yoksa

2?

İkisi de mümkün.

Okları ters çevirirsek:

a\longmapsto1

ve aynı zamanda

a\longmapsto2

olması gerekir.

Fakat bu durumda $a$ girdisinin iki farklı çıktısı olur.

Bu bir fonksiyon değildir.

Birinci engel

Fonksiyon birebir değilse, farklı girdiler aynı çıktıda birleşebilir.

Bu durumda çıktıdan geriye bakarak hangi girdiden geldiğimizi belirleyemeyiz.

Başka bir ifadeyle:

fonksiyon bilgi kaybetmiştir.

Problem 2: Bazı hedeflere hiç ulaşılmamış olabilir

Şimdi:

A=\{1,2\}, \qquad B=\{a,b,c\}

olsun ve

f(1)=a, \qquad f(2)=b

olsun.

Burada $c$ 'ye hiçbir ok ulaşmıyor.

Ters yönde bir fonksiyon kurmaya çalışırsak:

f^{-1}:B\to A

olmalıdır.

O zaman $c$ için de bir çıktı vermemiz gerekir.

Fakat $c$ hiçbir yerden gelmedi.

Dolayısıyla:

f^{-1}(c)=?

sorusunun cevabı yoktur.

İkinci engel

Fonksiyon örten değilse, hedef kümede hiçbir girdiden gelmeyen elemanlar vardır.

Bu elemanlardan geriye dönmek mümkün değildir.

İşte daha önce öğrendiğimiz iki kavramın neden ters fonksiyon için tam olarak gerekli olduğu ortaya çıktı:

birebirlik: geriye dönüşün belirsiz olmamasını sağlar,
örtenlik: her hedeften geriye dönebilecek bir yer bulunmasını sağlar.

Bu iki şart birlikte neydi?

Bijektiflik.

4. Tarihsel gelişim

Ters fonksiyon fikrinin tek bir mucidi yoktur.

Bir işlemi başka bir işlemle geri alma düşüncesi matematiğin çok eski dönemlerinden beri vardır:

toplamanın çıkarma ile,
çarpmanın bölme ile,
çeşitli cebirsel işlemlerin ters işlemlerle

geri alınabilmesi denklem çözmenin temel fikirlerinden biridir.

Ancak ters fonksiyon, yalnızca bir hesaplama işlemini geri almak değildir. Fonksiyonların bağımsız matematiksel nesneler olarak ele alınmaya başlamasıyla daha genel bir soru ortaya çıktı:

Bir eşlemenin tamamını ters yönde çalışan başka bir eşlemeye dönüştürebilir miyiz?

Fonksiyon kavramı modern biçimini kazandıkça ters fonksiyon da “ters işlem” fikrinden daha genel, yapısal bir kavram hâline geldi.

Dolayısıyla ters fonksiyonu tek bir kişinin bir anda icat ettiği bir fikir olarak değil, denklem çözme, ters işlemler ve fonksiyon kavramının gelişmesinin doğal sonucu olarak düşünmek daha doğrudur.

5. Sezgi: Ters fonksiyon bir “geri alma makinesi”dir

Bir fonksiyonu bir dönüşüm olarak düşünelim:

A\xrightarrow{f}B.

Fonksiyon bir $a\in A$ elemanını alıp:

b=f(a)

elemanına dönüştürüyor.

Ters fonksiyon ise bu sonucu alıp başlangıca dönüyor:

B\xrightarrow{f^{-1}}A.

Yani:

a\xrightarrow{f}b\xrightarrow{f^{-1}}a.

Fonksiyon ve ters fonksiyon

                 f
          ───────────────▶
       A                   B
          ◀───────────────
                f⁻¹

f fonksiyonu A kümesinden B kümesine giderken, f üzeri eksi bir ters fonksiyonu B kümesinden A kümesine geri dönmektedir.

Ters fonksiyon, fonksiyonun yaptığı şeyi başka bir şey yaparak dengeleyen bir işlem değildir.

Daha güçlü bir şey söyler:

Fonksiyonun ürettiği sonuç, başlangıç girdisini eksiksiz biçimde belirlemeye yeterlidir.

Bu nedenle ters fonksiyonun altında aslında bilginin korunması fikri vardır.

Örneğin iki farklı girdiyi aynı çıktıya gönderirsek bilgi kaybolur.

1\longmapsto a, \qquad 2\longmapsto a.

Sonuç olarak yalnızca $a$ 'yı görürsek başlangıçta $1$ mi yoksa $2$ mi olduğunu bilemeyiz.

Fakat bijektif bir fonksiyonda her çıktı:

tam bir girdiden gelir,
yalnızca bir girdiden gelir.

Bu yüzden geçmişi yeniden oluşturabiliriz.

6. Biçimsel tanım

Artık ihtiyacı gördüğümüze göre kesin tanımı verebiliriz.

Ters fonksiyon

$f:A\to B$ bijektif bir fonksiyon olsun.

Her $b\in B$ için

f(a)=b

olacak şekilde tam bir $a\in A$ vardır.

Bu $a$ 'yı $b$ 'ye eşleyen

f^{-1}:B\to A

fonksiyonuna $f$ 'nin ters fonksiyonu denir.

Başka bir ifadeyle:

f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a.

Burada çok önemli bir yön değişimi vardır.

Başlangıçta:

f:A\to B

iken ters fonksiyon:

f^{-1}:B\to A

olur.

Yani:

$f$ 'nin tanım kümesi, $f^{-1}$ 'in hedef kümesidir,
$f$ 'nin hedef kümesi, $f^{-1}$ 'in tanım kümesidir.

7. Neden tam olarak bijektiflik gerekiyor?

Bu noktada bunu yalnızca kural olarak ezberlememeliyiz.

“Tersi olması için bijektif olmalı.”

cümlesinin neden doğru olduğunu yeniden kurabilmeliyiz.

Birebirlik neden gerekli?

$f$ birebir değilse iki farklı eleman bulunabilir:

a_1\neq a_2

ama

f(a_1)=f(a_2)=b.

Ters fonksiyonun bu durumda hem

f^{-1}(b)=a_1

hem de

f^{-1}(b)=a_2

demesi gerekir.

Bu mümkün değildir.

Çünkü bir fonksiyon aynı girdiye iki farklı çıktı veremez.

Dolayısıyla ters fonksiyonun varlığı için birebirlik gereklidir.

Örtenlik neden gerekli?

$f$ örten değilse $B$ 'de en az bir $b$ vardır ve hiçbir $a\in A$ için

f(a)=b

olmaz.

Fakat ters fonksiyon:

f^{-1}:B\to A

bir fonksiyon olduğundan $B$ 'deki her $b$ için değer vermek zorundadır.

Bu $b$ için geri dönebileceğimiz hiçbir $a$ bulunmadığından bu mümkün değildir.

Dolayısıyla ters fonksiyonun varlığı için örtenlik de gereklidir.

İkisini birleştirelim

Bir fonksiyonun tersinin var olma koşulu

$f:A\to B$ fonksiyonunu ele alalım.

Ters fonksiyonun var olabilmesi için her $b\in B$ elemanının gerisinde:

en az bir $a\in A$ bulunmalıdır — bu örtenliktir,
en fazla bir $a\in A$ bulunmalıdır — bu birebirliktir.

Bu iki koşul birlikte her $b\in B$ için tam bir $a\in A$ bulunmasını sağlar.

Dolayısıyla:

f^{-1}\text{ vardır} \iff f\text{ bijektiftir}.

Ters fonksiyonun özü

Bijektiflik aslında şu cümledir:

Her çıktı, geçmişini tam ve benzersiz biçimde belirler.

Bu nedenle bijektiflik ile ters fonksiyon iki ayrı tesadüfi konu değildir.

Aynı yapının iki farklı görünümüdür.

8. Bileşke üzerinden ters fonksiyon

Bir önceki birimde fonksiyonların bileşkesini ve birim fonksiyonu öğrenmiştik.

Şimdi ters fonksiyonu çok güçlü bir biçimde ifade edebiliriz.

$f:A\to B$ bijektif olsun.

Bir $a\in A$ alalım.

Önce $f$ uygulanır:

a\longmapsto f(a).

Ardından $f^{-1}$ uygulanır:

f(a)\longmapsto a.

Dolayısıyla:

f^{-1}(f(a))=a.

Bu, bütün $a\in A$ için geçerlidir.

O hâlde:

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A.

Diğer yönde de:

f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.

Bileşke açısından ters fonksiyon

$f:A\to B$ ve $g:B\to A$ fonksiyonları için

g\circ f=\operatorname{id}_A

f\circ g=\operatorname{id}_B

ise

g=f^{-1}

olur.

Buradaki iki eşitliğin anlamı çok nettir:

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{f^{-1}}A

yolculuğu hiçbir şey olmamış gibi başlangıca döner.

Aynı şekilde:

B\xrightarrow{f^{-1}}A\xrightarrow{f}B

yolculuğu da başlangıca döner.

9. Basit bir örnek

Sonucu üç artıran fonksiyon

Bir sayı üzerinde

f(x)=x+3

işlemini düşünelim.

Bir sayıya önce $3$ eklenmişse başlangıçtaki sayıyı bulmak için ne yapmalıyız?

$3$ çıkarmalıyız.

Dolayısıyla:

f^{-1}(x)=x-3.

Gerçekten:

f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x+3) = (x+3)-3 = x.

Ters yönde de:

f(f^{-1}(x)) = f(x-3) = (x-3)+3 = x.

Her iki bileşke de başlangıç değerini geri verdi.

Burada “ $3$ eklemenin tersi $3$ çıkarmaktır” demek doğrudur.

Fakat ters fonksiyon bundan daha genel bir kavramdır.

Çünkü fonksiyonun mutlaka tek bir aritmetik işlemden oluşması gerekmez.

10. Ters ilişki ile ters fonksiyon

Dünya 1'de fonksiyonları önce bağıntılar üzerinden kurmuştuk.

Bu bakış burada çok işe yarar.

Bir fonksiyonun sıralı ikilileri:

(a,b)

biçimindeyse okların yönünü ters çevirmek:

(b,a)

ikilisini oluşturur.

Örneğin:

f=\{(1,b),(2,c),(3,a)\}

ise ters yöndeki bağıntı:

\{(b,1),(c,2),(a,3)\}

olur.

Bu yeni bağıntının fonksiyon olması için her ilk bileşenin tam bir ikinci bileşeni olmalıdır.

İşte bijektiflik tam olarak bunu garanti eder.

Her fonksiyonun oklarını ters çevirerek bir ters bağıntı oluşturabiliriz.

Fakat bu ters bağıntı ancak başlangıçtaki fonksiyon bijektifse bir ters fonksiyon olur.

Bu, ters fonksiyonun neden bağıntılar konusunun doğal devamı olduğunu da gösterir.

11. Ters görüntü ile ters fonksiyon aynı şey değildir

Burada özellikle dikkat etmemiz gereken bir gösterim vardır.

Daha önce bir kümenin ters görüntüsünü şöyle yazmıştık:

f^{-1}(S).

Şimdi ise ters fonksiyonu:

f^{-1}

ile gösteriyoruz.

Aynı sembol kullanılmasına rağmen bunlar aynı kavram değildir.

Çok önemli ayrım

Ters fonksiyon

f^{-1}:B\to A

başlı başına bir fonksiyondur ve yalnızca $f$ bijektifse vardır.

Ters görüntü

Bir $S\subseteq B$ kümesi için:

f^{-1}(S)

$S$ 'ye gönderilen bütün girdilerin kümesidir.

Ters görüntüyü tanımlamak için $f$ 'nin bijektif olması gerekmez.

Örneğin:

f(1)=a, \qquad f(2)=a, \qquad f(3)=b

olsun.

Bu fonksiyon birebir değildir; dolayısıyla ters fonksiyonu yoktur.

Ama:

f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}

ters görüntüsü gayet anlamlıdır.

Bu ayrım ileride özellikle analiz, topoloji ve olasılıkta çok önemli olacaktır.

12. $f^{-1}$ , $\frac{1}{f}$ değildir

Ters fonksiyon gösterimindeki $-1$ üstü başka bir yaygın karışıklığa yol açabilir.

Gösterime aldanma

f^{-1}

ifadesi genel olarak

\frac{1}{f}

anlamına gelmez.

Ters fonksiyon, fonksiyonun eşlemesini geri alır.

$\frac{1}{f(x)}$ ise sayısal bir çıktı varsa onun çarpımsal tersini alır.

Bunlar farklı işlemlerdir.

Örneğin:

f(x)=x+3

için ters fonksiyon:

f^{-1}(x)=x-3

iken

\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x+3}

tamamen başka bir ifadedir.

Üstteki $-1$ burada “üs olarak eksi bir” anlamında değil, ters eşleme anlamındadır.

13. Tanım kümesini kısıtlamak neden işe yarayabilir?

Bazı fonksiyonların başlangıçta tersi yoktur, fakat sorunun kaynağı yalnızca tanım kümesinin fazla geniş olması olabilir.

Şöyle bir fonksiyon düşünelim:

A=\{-2,-1,0,1,2\}, \qquad B=\{0,1,4\},

f(x)=x^2

olsun.

Burada:

f(-2)=4=f(2)

f(-1)=1=f(1).

Dolayısıyla fonksiyon birebir değildir.

Çıktı $4$ ise başlangıç girdisinin $-2$ mi yoksa $2$ mi olduğunu bilemeyiz.

Bu yüzden ters fonksiyon yoktur.

Şimdi tanım kümesini:

A'=\{0,1,2\}

olarak kısıtlayalım.

Fonksiyon artık:

f:A'\to B

şeklindedir ve

0\mapsto0, \qquad 1\mapsto1, \qquad 2\mapsto4.

Her hedefe tam bir girdi ulaşıyor.

Dolayısıyla fonksiyon bijektiftir.

Tersi:

f^{-1}(0)=0, \qquad f^{-1}(1)=1, \qquad f^{-1}(4)=2

olarak tanımlanabilir.

Tanım kümesini kısıtlama

Bazen bir fonksiyonun kendisini değiştirmeyiz; yalnızca hangi girdilere izin verdiğimizi değiştiririz.

Bu kısıtlama bilgi kaybını ortadan kaldırıyorsa fonksiyon tersinir hâle gelebilir.

Bu fikir ileride karekök, trigonometrik fonksiyonlar ve başka birçok fonksiyon ailesinde tekrar karşımıza çıkacak.

14. Bir formülden ters fonksiyon nasıl bulunur?

Ters fonksiyonun tanımı, “ $x$ ile $y$ 'yi yer değiştir” değildir.

Bu yalnızca uygun fonksiyonlarda kullanılabilen bir hesaplama tekniğidir.

Örneğin:

y=x+3

olsun.

Bu eşitlik bize:

x\longmapsto y

ilişkisini söylüyor.

Geri dönmek istiyorsak başlangıçtaki $x$ 'i $y$ cinsinden buluruz:

x=y-3.

Dolayısıyla ters eşleme:

y\longmapsto y-3

olur.

Değişkenin adının matematiksel bir önemi olmadığı için bunu alışılmış biçimde:

f^{-1}(x)=x-3

diye yazarız.

“Ters fonksiyon bulurken $x$ ve $y$ 'yi değiştir.”

tek başına kavramsal bir açıklama değildir.

Asıl yaptığımız şey:

çıktıyı biliyorken girdiyi benzersiz biçimde yeniden belirlemektir.

Cebirsel denklem çözme bunun için kullandığımız araçlardan yalnızca biridir.

15. Tersin tersi

$f$ bizi $A$ 'dan $B$ 'ye götürsün:

A\xrightarrow{f}B.

$f^{-1}$ bizi geri getirsin:

B\xrightarrow{f^{-1}}A.

Peki $f^{-1}$ 'in tersini alırsak ne olur?

Doğal olarak yeniden:

A\xrightarrow{f}B

eşlemesine ulaşırız.

Dolayısıyla:

\left(f^{-1}\right)^{-1}=f.

Bu yalnızca sembolik bir kural değildir.

Tersine çevirdiğimiz bir yönü yeniden tersine çevirdiğimiz için başlangıç yönüne döneriz.

16. Bileşkenin tersi neden sırayı değiştirir?

Bir önceki birimde iki fonksiyonun art arda uygulanmasını öğrenmiştik.

Şimdi iki bijektif fonksiyon olsun:

f:A\to B, \qquad g:B\to C.

Önce $f$ , sonra $g$ uygulanır:

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C.

Bu bütün işlem:

g\circ f

dir.

Şimdi $C$ 'den $A$ 'ya dönmek istiyoruz.

İlk olarak en son yaptığımız işlemi geri almalıyız:

g^{-1}.

Sonra $f$ 'yi geri almalıyız:

f^{-1}.

Dolayısıyla:

(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}.

Bileşkenin tersinde sıra

İLERİ:

A ─────f────▶ B ─────g────▶ C


GERİ:

A ◀───f⁻¹──── B ◀───g⁻¹──── C

İleri yönde önce f sonra g uygulanır. Geri dönüşte önce g'nin tersi sonra f'nin tersi uygulanır.

Bir işlem zincirini geri alırken son yapılan işlem ilk geri alınır.

Bu nedenle ters alma, bileşkenin sırasını tersine çevirir.

Bu fikir ileride:

matrislerin tersinde,
koordinat dönüşümlerinde,
cebirsel yapılarda,
karmaşık işlem zincirlerinde

yeniden karşımıza çıkacak.

17. Örnekler ve karşı örnekler

Örnek 1 — Tersi olan fonksiyon

A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{p,q,r\}

f(1)=q, \qquad f(2)=r, \qquad f(3)=p

olsun.

Fonksiyon birebirdir çünkü farklı girdiler farklı çıktılara gider.

Fonksiyon örtendir çünkü $p,q,r$ elemanlarının her birine ulaşılmıştır.

Dolayısıyla bijektiftir ve:

f^{-1}(p)=3, \qquad f^{-1}(q)=1, \qquad f^{-1}(r)=2.

Karşı örnek 1 — Bilgi kaybı

f(1)=a, \qquad f(2)=a

olsun.

$a$ 'dan geri dönerken:

1

ile

2

arasında seçim yapamayız.

Fonksiyon birebir olmadığı için ters fonksiyon yoktur.

Karşı örnek 2 — Ulaşılamayan hedef

A=\{1,2\}, \qquad B=\{a,b,c\}

f(1)=a, \qquad f(2)=b

olsun.

$c$ hiçbir elemanın görüntüsü değildir.

Ters yönde $c$ için bir değer veremeyiz.

Fonksiyon örten olmadığı için ters fonksiyon yoktur.

Örnek 2 — Tanım kümesini kısıtlayarak tersinirlik

f(x)=x^2

kuralı

\{-2,-1,0,1,2\}

kümesinde birebir değildir.

Fakat tanım kümesini:

\{0,1,2\}

olarak kısıtlarsak:

0\mapsto0,\qquad1\mapsto1,\qquad2\mapsto4

elde ederiz.

Hedef kümesini de:

\{0,1,4\}

seçtiğimizde fonksiyon bijektif olur ve ters fonksiyon tanımlanabilir.

18. Gerçek kullanım: Neden ters fonksiyonlarla ilgileniyoruz?

Ters fonksiyon yalnızca “bir fonksiyon konusu” değildir.

Birçok matematiksel ve gerçek sistemde temel soru şudur:

Sonucu biliyorsam başlangıç bilgisini geri elde edebilir miyim?

Kodlama ve çözme

Bir sistemde her nesneye benzersiz bir kod verdiğimizi düşünelim.

\text{nesne}\xrightarrow{\text{kodlama}}\text{kod}

Eğer:

iki nesne aynı kodu almıyorsa,
her geçerli kod bir nesneye aitse,

kodlama bijektiftir.

Bu durumda kodu gördüğümüzde hangi nesneye ait olduğunu bulan işlem, kodlamanın ters fonksiyonudur:

\text{kod}\xrightarrow{\text{çözme}}\text{nesne}.

Burada ters fonksiyonun yaptığı şey gerçekten kaybolmayan bilgiyi geri okumaktır.

Birim dönüşümleri

İki ölçüm sistemi arasında birebir ve örten bir dönüşüm varsa bir yöndeki dönüşümün tersi diğer yöndeki dönüşümdür.

Örneğin ileride sıcaklık veya uzunluk birimlerini birbirine dönüştürürken:

\text{birim A}\longrightarrow\text{birim B}

dönüşümünü biliyorsak ters fonksiyon:

\text{birim B}\longrightarrow\text{birim A}

dönüşümünü verir.

Matematiğin ilerleyen alanlarında

Ters fonksiyon fikri ileride çok daha güçlü biçimlerde geri döner.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar: Logaritma, uygun koşullarda üstel fonksiyonun tersidir.
Trigonometrik fonksiyonlar: Tanım kümeleri uygun biçimde kısıtlandığında ters trigonometrik fonksiyonlar ortaya çıkar.
Lineer cebir: Tersinir matris, bir doğrusal dönüşümü geri alır.
Analiz: Ters fonksiyonların ne zaman düzgün biçimde davranacağını inceleyen sonuçlar vardır.
Soyut cebir: Yapıyı koruyan bijektif dönüşümler matematiksel yapıların “aynı” olduğunu ifade etmede kullanılır.

Dolayısıyla bugün öğrendiğimiz fikir ileride farklı isimler altında sürekli yeniden ortaya çıkacaktır.

19. Sınırlar ve sık yapılan hatalar

Hata 1 — “Her fonksiyonun tersi vardır.”

Yanlış.

Ters fonksiyonun var olması için fonksiyonun bijektif olması gerekir.

Hata 2 — Yalnızca birebirlik yeterlidir.

Genel olarak yanlış.

$f:A\to B$ için ters fonksiyonun:

f^{-1}:B\to A

olmasını istiyorsak $B$ 'deki her elemandan geri dönebilmeliyiz.

Bu nedenle örtenlik de gerekir.

Hata 3 — Yalnızca örtenlik yeterlidir.

Yanlış.

Bir hedef elemanına birden fazla girdiden ulaşılıyorsa geriye dönüş benzersiz değildir.

Birebirlik de gerekir.

Hata 4 — $f^{-1}$ ile $\frac1f$ aynıdır.

Yanlış.

f^{-1}

eşlemeyi geri çevirir.

\frac1{f(x)}

ise sayısal çıktının çarpımsal tersidir.

Hata 5 — Ters görüntünün olması için ters fonksiyon gerekir.

Yanlış.

f^{-1}(S)

biçimindeki ters görüntü, $f$ bijektif olmasa bile tanımlanabilir.

Hata 6 — “ $x$ ve $y$ 'yi değiştir” ters fonksiyonun tanımıdır.

Yanlış.

Bu bazı formüllerde ters fonksiyonu hesaplamak için kullanılabilen bir tekniktir.

Asıl tanım:

f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a

ilişkisidir.

Hata 7 — Bir fonksiyonun kuralı aynıysa tanım ve hedef kümeleri önemsizdir.

Yanlış.

Tersinirlik yalnızca “formüle” bağlı değildir.

Fonksiyon:

f:A\to B

nesnesinin tamamına, yani:

kuralına,
tanım kümesine,
hedef kümesine

bağlıdır.

Aynı kural farklı kümeler üzerinde tersinir veya tersinmez olabilir.

20. Matematik haritasındaki bağlantı

Bu birimin mantıksal zinciri artık şöyle tamamlandı:

Fonksiyon
   │
   ▼
Görüntü ve ters görüntü
   │
   ▼
Birebir / örten
   │
   ▼
Bijektiflik
   │
   ├──────────────▶ Bilgi kaybolmuyor
   │
   └──────────────▶ Her hedefe ulaşılıyor
   │
   ▼
Fonksiyonların bileşkesi
   │
   ▼
Ters fonksiyon

Ters fonksiyonun özünü tek satırda:

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A, \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B

eşitlikleri ifade eder.

Bu noktada Dünya 1'deki fonksiyonların temel yapısı bölümü tamamlanmış oluyor.

İleride fonksiyonlara yeniden döndüğümüzde onları:

formüllerle,
grafiklerle,
değişen niceliklerle,
üstel ve logaritmik yapılarla,
türev ve integralle,
lineer dönüşümlerle

çok daha zengin biçimlerde inceleyeceğiz.

Ama bütün bu ileriki kullanımların altında bugün kurduğumuz soyut fikir kalacak:

Bir dönüşüm bilgiyi kaybetmeden ve bütün hedefi kapsayarak yapılıyorsa geri çevrilebilir.

21. Kısa sentez

Neden vardı?

Bir fonksiyonun yaptığı dönüşümden sonra başlangıç bilgisini yeniden elde edip edemeyeceğimizi açıklamak için.

Ne öğrendik?

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun bulunabilmesi için fonksiyonun bijektif olması gerekir.

f:A\to B

bijektifse:

f^{-1}:B\to A

vardır ve

f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a.

Ayrıca:

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A

f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir fonksiyonun tersinin olup olamayacağını açıklayabiliriz.
Bijektif bir eşlemenin oklarını ters çevirebiliriz.
Ters fonksiyon ile ters görüntüyü ayırabiliriz.
$f^{-1}$ ile $\frac1f$ arasındaki farkı açıklayabiliriz.
Bazı tersinmez fonksiyonların tanım kümesi kısıtlanarak neden tersinir hâle gelebildiğini görebiliriz.
Bir işlem zincirinin tersinin neden ters sırayla çalıştığını anlayabiliriz.

Sırada ne var?

Fonksiyonların soyut yapısını kurduk.

Şimdi Dünya 1'de matematiğin bir sonraki büyük sorusuna geçebiliriz:

Matematiksel bir iddianın doğru olduğunu kesin olarak nasıl biliriz?

Bu soru bizi ispat ve matematiksel kesinlik bölümüne götürecek.

22. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Ters fonksiyonun var olması için neden hem birebirlik hem örtenlik gerekir? Kendi sözlerinle açıkla.
“Bijektif fonksiyon bilgi kaybetmez.” cümlesinin ne anlama geldiğini bir örnekle açıkla.
$f^{-1}$ ters fonksiyonu ile $f^{-1}(S)$ ters görüntüsü arasındaki fark nedir?
Neden $f^{-1}$ genel olarak $\frac1f$ anlamına gelmez?

Teknik

Aşağıdaki fonksiyon verilsin:

A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{a,b,c,d\},

f(1)=c,\qquad f(2)=a,\qquad f(3)=d,\qquad f(4)=b.

$f^{-1}$ fonksiyonunu açıkça yaz.

Aşağıdaki eşlemenin ters fonksiyonunun olup olmadığını belirle ve gerekçelendir:

f(1)=a,\qquad f(2)=b,\qquad f(3)=b.

$f(x)=x+5$ ise $f^{-1}(x)$ 'i bul ve

f^{-1}(f(x))=x

olduğunu kontrol et.

Gerekçelendirme

$f:A\to B$ fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğunu varsay. Buradan $f$ 'nin birebir olmak zorunda olduğunu doğrudan gerekçelendir.
Aynı varsayımdan $f$ 'nin örten olmak zorunda olduğunu gerekçelendir.
$f$ ve $g$ bijektif fonksiyonlarsa neden

(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}

olduğunu işlem sırasından hareketle açıkla.

Transfer

Bir okulda her öğrenciye bir kart numarası veriliyor. İki farklı öğrenci aynı kart numarasını alabiliyorsa “kart numarasından öğrenciyi bulma” işlemi neden ters fonksiyon olamaz?
Bir kodlama sisteminde bazı geçerli kodlar hiçbir nesneye atanmadıysa kod çözme işleminin neden bütün kod kümesi üzerinde ters fonksiyon olamayacağını açıkla.
Bir fonksiyonun birebir olmadığı için tersi yok. Fonksiyonun kuralını değiştirmeden tersinir hâle getirmek için hangi tür değişiklik yapılabileceğini kendi örneğin üzerinde göster.

Birimi tamamladığını nasıl anlarsın?

Bu birimi tamamlamış sayılmak için yalnızca ters fonksiyon hesaplayabilmek yeterli değildir.

Şu cümleyi gerekçesiyle kurabiliyor olmalısın:

Bir fonksiyonun tersi vardır ancak ve ancak fonksiyon bijektiftir; çünkü her çıktı tam bir girdiden gelmelidir.

Ayrıca:

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}

fikrinin yalnızca sembolik bir kural değil, “yapılan dönüşümü tamamen geri alma” anlamına geldiğini açıklayabilmelisin.

01.05.05 — Ters fonksiyon

1. Birim kartı

2. Başlangıç problemi: Geri dönebilir miyiz?

3. Neden eski araçlar yetmiyor?

Problem 1: Bilgi kaybolmuş olabilir

Problem 2: Bazı hedeflere hiç ulaşılmamış olabilir

4. Tarihsel gelişim

5. Sezgi: Ters fonksiyon bir “geri alma makinesi”dir

6. Biçimsel tanım

7. Neden tam olarak bijektiflik gerekiyor?

Birebirlik neden gerekli?

Örtenlik neden gerekli?

İkisini birleştirelim

8. Bileşke üzerinden ters fonksiyon

9. Basit bir örnek

10. Ters ilişki ile ters fonksiyon

11. Ters görüntü ile ters fonksiyon aynı şey değildir

Ters fonksiyon

Ters görüntü

12. f−1f^{-1}f−1, 1f\frac{1}{f}f1​ değildir

13. Tanım kümesini kısıtlamak neden işe yarayabilir?

14. Bir formülden ters fonksiyon nasıl bulunur?

15. Tersin tersi

16. Bileşkenin tersi neden sırayı değiştirir?

17. Örnekler ve karşı örnekler

18. Gerçek kullanım: Neden ters fonksiyonlarla ilgileniyoruz?

19. Sınırlar ve sık yapılan hatalar

Hata 1 — “Her fonksiyonun tersi vardır.”

Hata 2 — Yalnızca birebirlik yeterlidir.

Hata 3 — Yalnızca örtenlik yeterlidir.

Hata 4 — f−1f^{-1}f−1 ile 1f\frac1ff1​ aynıdır.

Hata 5 — Ters görüntünün olması için ters fonksiyon gerekir.

Hata 6 — “xxx ve yyy'yi değiştir” ters fonksiyonun tanımıdır.

Hata 7 — Bir fonksiyonun kuralı aynıysa tanım ve hedef kümeleri önemsizdir.

20. Matematik haritasındaki bağlantı

21. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

22. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

12. $f^{-1}$ , $\frac{1}{f}$ değildir

Hata 4 — $f^{-1}$ ile $\frac1f$ aynıdır.

Hata 6 — “ $x$ ve $y$ 'yi değiştir” ters fonksiyonun tanımıdır.