01.06.03 — Doğrudan ispat

Haritadaki yerimiz

Haritadaki Yerimiz

Şimdiye kadar bir matematiksel iddianın örneklerle doğrulanmasının ispat olmadığını gördük.

Artık şu soruya geçiyoruz:

Bir teorem gerçekten nasıl ispatlanır?

Bu birimde en temel ispat yöntemini öğreneceğiz:

doğrudan ispat (direct proof).

Ana fikir:

\text{varsayım} \longrightarrow \text{tanımlar ve bilinen doğrular} \longrightarrow \text{sonuç}

Doğrudan ispat daha sonra öğreneceğimiz:

karşıt ters ile ispatın,
çelişkiyle ispatın,
durumlara ayırmanın,
varlık ve teklik ispatlarının,
matematiksel tümevarımın

anlaşılması için temel oluşturur.

Bir iddiayı nasıl gerçekten kanıtlarız?

Şu iddiayı ele alalım:

İki çift tam sayının toplamı çifttir.

İlk tepkimiz birkaç örneğe bakmak olabilir:

2+4=6

8+12=20

100+246=346

Hepsinde sonuç çift.

Hatta bilgisayara milyonlarca çift sayı çifti kontrol ettirsek bile gözlediğimiz şey yalnızca şu olur:

Kontrol ettiğimiz bütün örneklerde iddia doğru çıktı.

Fakat teorem bundan daha güçlü bir şey söylüyor.

Teorem:

Hangi iki çift tam sayıyı seçersen seç, toplamları çifttir.

Burada belirli sayılar hakkında değil, sonsuz sayıda olasılığın tamamı hakkında konuşuyoruz.

Başlangıç Problemi

Tek tek bütün çift sayıları kontrol edemeyeceğimize göre

\text{iki çift sayının toplamının her zaman çift olduğunu}

nasıl gösterebiliriz?

Cevap, bütün çift sayılarda ortak olan yapıyı kullanmaktır.

Örneklerden yapıya geçmek

Bir sayının çift olduğunu söylemek ne demektir?

Örneğin:

8=2\cdot4

14=2\cdot7

100=2\cdot50

Bu örneklerin ortak özelliği, sayının 2 ile bir tam sayının çarpımı biçiminde yazılabilmesidir.

Çift Tam Sayı

Bir $n$ tam sayısı için bir $k$ tam sayısı bulunabiliyor ve

n=2k

yazılabiliyorsa $n$ sayısına çift denir.

Bu tanım son derece önemlidir.

Çünkü artık belirli çift sayıları tek tek ele almak zorunda değiliz.

Her çift sayı için ortak bir temsilimiz var:

2k.

Bir başka çift sayı da

2m

biçiminde yazılabilir.

Buradaki $k$ ve $m$ herhangi tam sayılar olabilir.

İşte doğrudan ispatın kapısı burada açılır.

Temel Sezgi

Bir teorem belirli örneklerden değil, bir nesneyi o nesne yapan genel özellikten ispatlanır.

“Çift sayı” hakkında bir şey ispatlıyorsak işe birkaç çift sayı seçerek değil, çift sayının tanımını açarak başlamak çoğu zaman çok daha güçlüdür.

Doğrudan ispat nedir?

Birçok teorem şu mantıksal biçimdedir:

P\Rightarrow Q.

Yani:

Eğer $P$ doğruysa, $Q$ doğrudur.

Burada:

$P$ : varsayım / öncül,
$Q$ : sonuç

rolündedir.

Doğrudan İspat

Bir

P\Rightarrow Q

iddiasının doğrudan ispatında:

$P$ doğru kabul edilerek başlanır.
$P$ 'nin verdiği bilgiler açılır.
Tanımlar, daha önce kanıtlanmış sonuçlar ve geçerli mantıksal çıkarımlar kullanılır.
Sonunda $Q$ 'nun doğru olduğu gösterilir.

Şematik olarak:

P \Rightarrow R_1 \Rightarrow R_2 \Rightarrow \cdots \Rightarrow Q.

Buradaki önemli nokta şudur:

Sonucun doğru olduğunu baştan kabul etmiyoruz.

Yalnızca teoremin bize verdiği varsayımdan başlıyoruz.

Doğrudan İspatın Yapısı

P doğru olsun
     │
     ▼
Varsayımın verdiği bilgiyi aç
     │
     ▼
Tanımları kullan
     │
     ▼
Bilinen sonuçları kullan
     │
     ▼
Geçerli mantıksal adımlar kur
     │
     ▼
Q sonucuna ulaş

Doğrudan ispatta varsayımdan başlanır; tanımlar açılır, geçerli sonuçlar kullanılır ve mantıksal adımlar sonunda istenen sonuca ulaşılır.

İlk gerçek ispatımız

Şimdi başlangıçtaki teoreme dönelim.

Teorem

İki çift tam sayının toplamı çifttir.

Bunu mantıksal olarak şöyle okuyabiliriz:

Eğer $a$ ve $b$ çift tam sayılarsa, $a+b$ çifttir.

Yani:

P: \text{$a$ ve $b$ çifttir}

Q: \text{$a+b$ çifttir}.

Doğrudan ispat yapacağımız için $P$ 'den başlayacağız.

İki Çift Sayının Toplamı Çifttir

$a$ ve $b$ çift tam sayılar olsun.

Çift sayının tanımına göre bazı $k,m\in\mathbb Z$ tam sayıları için

a=2k

b=2m

yazılabilir.

O hâlde

a+b=2k+2m.

Ortak çarpanı alırsak:

a+b=2(k+m).

$k$ ve $m$ tam sayı olduğundan $k+m$ de tam sayıdır.

Dolayısıyla $a+b$ , bir tam sayının $2$ katı biçimindedir.

Çift sayı tanımına göre:

a+b

çifttir.

Böylece iki çift tam sayının toplamının çift olduğu gösterilmiş olur.

Bu ispatta aslında ne yaptık?

İspat kısa olduğu için önemli düşünsel hareketleri gözden kaçırmak kolaydır.

Adım adım inceleyelim.

1. Varsayımdan başladık

Teorem bize:

$a$ ve $b$ çift olsun.

diyordu.

Biz de tam olarak bunu kabul ettik.

Henüz $a+b$ hakkında hiçbir şey kabul etmedik.

2. “Çift” kelimesini tanımına çevirdik

$a$ çiftse:

a=2k.

$b$ çiftse:

b=2m.

Burada yaptığımız şey bir hesap hilesi değildir.

Tanımı açtık.

3. İstenen nesneye baktık

Kanıtlamak istediğimiz şey $a+b$ hakkında olduğu için:

a+b

ifadesine ulaştık.

Varsayımdan elde ettiğimiz bilgileri yerine koyduk:

a+b=2k+2m.

4. İfadeyi hedef tanıma dönüştürdük

Çift olduğunu göstermek istiyorsak hedefimiz:

a+b=2\times\text{(bir tam sayı)}

biçimine ulaşmaktır.

Gerçekten:

a+b=2(k+m).

5. Son adımı gerekçelendirdik

Yalnızca

2(k+m)

yazmak yetmez.

$k+m$ 'nin tam sayı olduğunu da bilmemiz gerekir.

Tam sayılar toplama altında kapalıdır; dolayısıyla:

k,m\in\mathbb Z \quad\Rightarrow\quad k+m\in\mathbb Z.

Böylece çift sayı tanımına tam olarak ulaşmış olduk.

Doğrudan İspatın Kalbi

Doğrudan ispat çoğu zaman şu zihinsel harekete dayanır:

Varsayımın tanımını aç ve sonucu tanımının istediği biçime dönüştür.

Başlangıçta:

\text{$a$ ve $b$ çift}

vardı.

Tanımı açınca:

a=2k,\qquad b=2m

elde ettik.

Bunları işleyince:

a+b=2(k+m)

bulduk.

Bu ifade de doğrudan:

\text{$a+b$ çift}

demektir.

İspat, işlem dizisi değil mantıksal zincirdir

İspatın satırları yalnızca cebirsel işlemler değildir.

Aslında şu zinciri kurduk:

\begin{aligned} a,b\text{ çift} &\Rightarrow a=2k,\ b=2m \\ &\Rightarrow a+b=2k+2m \\ &\Rightarrow a+b=2(k+m) \\ &\Rightarrow a+b\text{ çift}. \end{aligned}

Her ok için şu soruyu sorabilmeliyiz:

Önceki bilgi sonraki bilgiyi gerçekten zorunlu kılıyor mu?

Bir ispatın gücü tam burada yatar.

Neden rastgele örnek seçmedik?

Şöyle başlayabilirdik:

$a=4$ , $b=10$ olsun.

O zaman:

a+b=14

ve 14 çifttir.

Ama bu yalnızca:

4+10

örneğini kanıtlar.

Teorem ise bütün çift tam sayıları kapsar.

Biz bunun yerine:

a=2k,\qquad b=2m

yazdık.

Buradaki $k$ ve $m$ belirli sayılar değildir.

Herhangi tam sayılardır.

Dolayısıyla ispat tek bir örneği değil, bütün çift sayıların ortak yapısını kapsar.

Örnek ile İspatı Karıştırma

Bir evrensel iddia için

2+4=6,\qquad 8+10=18,\qquad 20+100=120

gibi örnekler iddianın nasıl çalıştığını görmemizi sağlar.

Fakat bunların hiçbiri:

“Bütün çift sayı çiftleri için böyledir.”

sonucunu tek başına vermez.

Doğrudan ispatta belirli örneklerin yerine genel nesneler ve onların tanımlayıcı özellikleri kullanılır.

İkinci örnek: bölünebilme

Şu iddiayı düşünelim:

Eğer bir tam sayı $6$ ile bölünebiliyorsa, $3$ ile de bölünebilir.

Burada yine:

P\Rightarrow Q

biçimi vardır.

Varsayım:

P:\quad 6\mid n

Sonuç:

Q:\quad 3\mid n.

Burada

a\mid b

gösterimi:

$a$ , $b$ 'yi böler

anlamındadır.

Başka bir deyişle, bir $k$ tam sayısı için

b=ak

yazılabilir.

6 ile Bölünebilme 3 ile Bölünebilmeyi Gerektirir

$n$ tam sayısının $6$ ile bölünebildiğini varsayalım.

Bölünebilme tanımına göre bir $k\in\mathbb Z$ vardır ve

n=6k

yazılabilir.

Fakat

6k=3(2k).

Dolayısıyla

n=3(2k).

$k$ tam sayı olduğundan $2k$ de tam sayıdır.

O hâlde $n$ , $3$ ile bir tam sayının çarpımı biçimindedir.

Bölünebilme tanımına göre:

3\mid n.

Burada yine aynı yapı ortaya çıktı:

6\mid n \Rightarrow n=6k \Rightarrow n=3(2k) \Rightarrow 3\mid n.

Üçüncü örnek: kümelerde doğrudan ispat

Doğrudan ispat yalnızca sayılarla ilgili değildir.

Şu teoremi ele alalım:

Eğer $A\subseteq B$ ve $B\subseteq C$ ise $A\subseteq C$ 'dir.

Alt kümenin anlamını hatırlayalım:

A\subseteq B

demek:

$A$ 'nın her elemanı aynı zamanda $B$ 'nin elemanıdır.

Burada kanıtlamak istediğimiz:

A\subseteq C.

Bunun için $A$ 'dan herhangi bir eleman seçmek yeterlidir.

Alt Küme İlişkisinin Geçişliliği

A\subseteq B

B\subseteq C

olduğunu varsayalım.

Herhangi bir

x\in A

elemanı seçelim.

$A\subseteq B$ olduğundan:

x\in B.

Ayrıca $B\subseteq C$ olduğundan:

x\in C.

Dolayısıyla $A$ 'nın her elemanı $C$ 'nin de elemanıdır.

O hâlde:

A\subseteq C.

Burada cebir bile kullanmadık.

Doğrudan ispatın özünün hesap yapmak değil, mantıksal olarak ilerlemek olduğu daha açık görülüyor.

Zincir yalnızca:

x\in A \Rightarrow x\in B \Rightarrow x\in C

şeklindedir.

“Herhangi bir” kelimesi neden önemli?

Küme ispatında:

$x\in A$ olsun.

dedik.

Fakat belirli bir $x$ seçmedik.

Örneğin:

$x=7$ olsun.

demedik.

$x$ , $A$ 'nın keyfî / herhangi bir elemanını temsil ediyor.

Bu yüzden $x$ için ulaştığımız sonuç yalnızca belirli bir eleman için değil, bütün $A$ elemanları için geçerlidir.

Bu fikir matematikte son derece önemlidir.

Evrensel bir iddia:

\forall x,\; P(x)\Rightarrow Q(x)

kanıtlanırken çoğu kez:

$x$ koşulları sağlayan herhangi bir nesne olsun.

diye başlanır.

Daha sonra bu keyfî $x$ için $Q(x)$ gösterilir.

$x$ özel seçilmediği için sonuç bütün uygun $x$ 'ler için geçerli olur.

Bir doğrudan ispatı nasıl buluruz?

Bitmiş bir ispatı okumak kolay olabilir.

Asıl zor soru şudur:

İspatı yazmadan önce ne yapacağımı nasıl bulacağım?

Bunun için mekanik olmayan ama güçlü bir çalışma yöntemi vardır.

Doğrudan İspat Stratejisi

Bir

P\Rightarrow Q

iddiasıyla karşılaştığında şu sırayı dene:

Varsayımı belirle: Bana ne veriliyor?
Sonucu belirle: Tam olarak ne göstermem gerekiyor?
Varsayımdaki tanımları aç: Verilen bilgi matematiksel olarak ne demek?
Sonucun tanımını aç: Sonuca ulaşmış sayılmam için hangi biçimi elde etmeliyim?
İki taraf arasında köprü kur: Cebir, tanım veya daha önce bilinen sonuçlarla başlangıcı hedef biçime dönüştür.
Her adımı gerekçelendir: Bu adım neden geçerli?
Hedefe gerçekten ulaştığını kontrol et.

Bunu iki uçtan düşünmek özellikle yararlıdır:

BAŞLANGIÇ                              HEDEF

P                                     Q
│                                     ▲
│  "P bana ne veriyor?"               │
▼                                     │
elde edebildiğim bilgiler     "Q için ne göstermeliyim?"
                \             /
                 \           /
                  └── köprü ─┘

Bir ispat ararken çoğu zaman:

soldan ileri doğru,
sağdan geriye doğru

düşünürüz.

Ama yazdığımız nihai ispat varsayımdan sonuca doğru ilerler.

Hedef tanımı görmek neden önemlidir?

Şunu ispatlamak istediğimizi düşünelim:

Bir sayının çift olduğunu göster.

“Çift” sonucuna ulaşmak için aslında ne aradığımızı bilmeliyiz.

Tanım bize hedef biçimi verir:

n=2k

ve burada $k$ bir tam sayı olmalıdır.

Dolayısıyla hesap sırasında bir noktada

n=2(\text{tam sayı})

biçimini görürsek hedefe yaklaşmışız demektir.

Aynı durum başka kavramlarda da geçerlidir.

Örneğin:

$A\subseteq B$ göstermek istiyorsak, $x\in A\Rightarrow x\in B$ göstermeliyiz.
Bir sayının $d$ ile bölündüğünü göstermek istiyorsak, onu $dk$ biçiminde yazmalıyız.
İki kümenin eşit olduğunu göstermek istiyorsak çoğu zaman iki alt küme ilişkisini göstermeliyiz.

Matematikte tanımlar yalnızca terimlerin anlamını söylemez.

Aynı zamanda çoğu zaman ispatın nasıl yapılacağına dair talimat verir.

“Ne göstermeliyim?” sorusunun cevabı sıklıkla tanımın içinde saklıdır.

Sonucu baştan varsaymak neden yanlış?

Şu teoremi yeniden düşünelim:

İki çift sayının toplamı çifttir.

Yanlış bir başlangıç şöyle olabilir:

a+b=2r

yazalım.

Ama tam da kanıtlamak istediğimiz şey zaten budur.

$a+b$ 'nin:

2\times\text{bir tam sayı}

biçiminde olduğunu henüz bilmiyoruz.

Dolayısıyla sonucu baştan kullanmış oluruz.

Döngüsel Akıl Yürütme

Kanıtlanacak iddia:

$a+b$ çifttir.

Sözde ispat:

$a+b$ çift olduğundan $a+b=2r$ yazılır. Dolayısıyla $a+b$ çifttir.

Bu bir ispat değildir.

Çünkü sonuç ilk cümlede zaten doğru kabul edilmiştir.

Bu tür hataya döngüsel akıl yürütme denir.

Doğrudan ispatın doğru yönü:

\text{verilen} \longrightarrow \text{sonuç}

olmalıdır.

Sonuçtan başlayıp onu gizlice varsaymak değil.

Bir başka tehlike: teoremin tersini kullanmak

Şu doğru ifadeyi düşünelim:

4\mid n \Rightarrow 2\mid n.

Yani:

$n$ , 4 ile bölünüyorsa çifttir.

Fakat bunun tersi:

2\mid n \Rightarrow 4\mid n

doğru değildir.

Örneğin:

n=6.

6 çifttir ama 4 ile bölünmez.

Yönü Kaybetme

Bir

P\Rightarrow Q

teoremini ispatlarken elindeki bilgi $P$ 'dir.

P\Rightarrow Q

ile

Q\Rightarrow P

aynı ifade değildir.

Bir ispatta fark etmeden ters yöndeki önermeyi kullanmak yaygın bir hatadır.

Doğrudan ispatta hangi bilgiler kullanılabilir?

Bir ispatın her satırını sıfırdan kanıtlamamız gerekmez.

Matematik üst üste kurulan bir sistemdir.

Doğrudan ispatta şunlardan yararlanabiliriz:

teoremin varsayımları,
ilgili tanımlar,
aksiyomlar,
daha önce kanıtlanmış teoremler,
geçerli mantıksal çıkarımlar,
bilinen cebirsel işlemler.

Örneğin ilk ispatımızda:

k,m\in\mathbb Z \Rightarrow k+m\in\mathbb Z

özelliğini kullandık.

İspatın güvenilirliği, zincirdeki bütün adımların daha önce kabul edilmiş veya kanıtlanmış bilgilere dayanmasından gelir.

Doğrudan ispatın tarihsel yeri

Doğrudan ispatın tek bir “mucidi” yoktur.

Belirli varsayımlardan başlayıp zorunlu sonuçlara ulaşan dedüktif akıl yürütme, Antik Yunan matematiğinde sistematik bir biçim kazandı.

Özellikle Öklid'in yaklaşık MÖ 300 civarında derlediği Elementler, tanımlar, ortak kabuller ve önceden elde edilmiş sonuçlardan yeni sonuçların çıkarıldığı aksiyomatik-dedüktif matematiğin en etkili tarihsel örneklerinden biri oldu.

Bugün kullandığımız

P\Rightarrow Q

gibi biçimsel mantık dili ise çok daha sonraki dönemlerde gelişti.

Dolayısıyla doğrudan ispat bir kişinin bir anda icat ettiği bir teknikten çok, matematiğin “verilenlerden zorunlu olarak ne çıkar?” sorusuna dayanan temel akıl yürütme biçimidir.

Neden bu yöntem bu kadar temel?

Doğrudan ispatta matematiğin temel çalışma biçimi açık hâle gelir:

\text{tanım} + \text{varsayım} + \text{geçerli çıkarım} = \text{zorunlu sonuç}.

Bu yalnızca “ispat derslerinde” kullanılan özel bir teknik değildir.

İleride örneğin:

sayıların özelliklerinde,
fonksiyonlarda,
kümelerde,
lineer cebirde,
reel analizde,
soyut cebirde,
topolojide

sürekli aynı düşünceyle karşılaşacağız.

Matematikte Kullanımı

Örneğin ileride bir fonksiyonun belirli bir özelliğe sahip olduğunu ispatlamak istediğimizde:

fonksiyonun varsayımlarını açacağız,
ilgili tanımı kullanacağız,
bilinen teoremlerle ilerleyeceğiz,
istenen tanıma ulaşacağız.

Yani bugün öğrendiğimiz yapı, çok daha karmaşık ispatların içinde yaşamaya devam edecek.

Mantık ve Bilgisayar Bilimindeki Benzer Yapı

Programların doğruluğunu düşünürken de benzer bir soru sorulabilir:

Belirli başlangıç koşulları doğruysa, program çalıştıktan sonra istenen sonuç zorunlu olarak doğru mudur?

Burada:

başlangıç koşulları bir tür varsayım,
programın kuralları ara adımlar,
garanti edilmek istenen durum sonuç

gibi düşünülebilir.

Dolayısıyla varsayımdan sonuca güvenilir bir zincir kurma fikri yalnızca saf matematikte değil, biçimsel mantık ve program doğrulama gibi alanlarda da merkezi önemdedir.

Doğrudan ispat her zaman en iyi yol mudur?

Hayır.

Bir

P\Rightarrow Q

ifadesini doğrudan ispatlamak için $P$ 'den başlayıp $Q$ 'ya ulaşmaya çalışırız.

Fakat bazen bu yol:

çok karmaşık olabilir,
hangi adımın atılacağı belirsiz olabilir,
sonucun değili daha kullanışlı bilgi verebilir.

Bu durumda başka ispat yöntemlerine geçebiliriz.

Örneğin bazen:

P\Rightarrow Q

yerine onun mantıksal olarak eşdeğeri olan

\neg Q\Rightarrow\neg P

ifadesini ispatlamak çok daha kolaydır.

Bu, bir sonraki birimin konusu olacak:

karşıt ters ile ispat.

Doğrudan İspat Bir Zorunluluk Değildir

Bir teorem doğruysa onu mutlaka doğrudan ispatlamak zorunda değiliz.

Doğrudan ispat, özellikle varsayımın tanımları açıldığında bizi doğal biçimde sonuca götürdüğü durumlarda uygundur.

İspat yöntemi seçmek, zamanla gelişen matematiksel bir beceridir.

Sık yapılan hatalar

1. Birkaç örneği ispat sanmak

2+6=8

10+14=24

doğrudur; fakat bunlar genel teoremi ispatlamaz.

2. Sonucu baştan kabul etmek

Kanıtlamamız gereken şeyi ara adım olarak gerekçesiz kullanamayız.

3. Tanımları kullanmamak

“ $a$ çifttir” bilgisinin asıl gücü:

a=2k

yazabilmemizdir.

Tanımı açmadan yalnızca “çift olduğu belli” demek ispatın matematiksel motorunu kaybettirir.

4. Özel bir değer seçmek

Evrensel bir teoremde:

n=12

gibi özel bir sayı seçmek yalnızca o örneği inceler.

Bunun yerine koşulları sağlayan herhangi bir $n$ kullanılmalıdır.

5. Değişkenleri tanıtmamak

Bir anda

a=2k

yazıp $k$ 'nin ne olduğunu söylememek eksiktir.

Doğru ifade:

Bir $k\in\mathbb Z$ vardır ve $a=2k$ 'dir.

şeklindedir.

6. İspat yönünü ters çevirmek

P\Rightarrow Q

kanıtlanırken fark etmeden

Q\Rightarrow P

kullanılmamalıdır.

7. Son adımı söylememek

Bir hesap sonunda:

a+b=2(k+m)

bulduktan sonra neden bunun istediğimiz şeyi gösterdiğini belirtmeliyiz:

$k+m$ bir tam sayı olduğundan çift sayı tanımına göre $a+b$ çifttir.

İspatın matematiksel anlamını görünür kılan tam da bu cümledir.

Bir ispatı okurken kendine soracağın sorular

Bir doğrudan ispat gördüğünde yalnızca satırları takip etme.

Şunları sor:

Teoremin varsayımı nedir?
Kanıtlanmak istenen sonuç nedir?
İlk gerçek matematiksel adım hangisidir?
Hangi tanım açılmıştır?
Hangi bilinen sonuç kullanılmıştır?
Her adım bir öncekinden gerçekten çıkıyor mu?
Son satır, hedefin tanımını gerçekten karşılıyor mu?
İspat belirli örnekleri mi, yoksa bütün uygun nesneleri mi kapsıyor?

Bu sorular zamanla ispatı yalnızca okumayı değil, üretmeyi de kolaylaştırır.

Bir örneği birlikte tasarlayalım

Şu teoremi ele alalım:

İki tek tam sayının toplamı çifttir.

Tek tam sayıyı şu biçimde tanımlayabiliriz:

n=2k+1

burada $k\in\mathbb Z$ 'dir.

İki tek sayı için:

a=2k+1

b=2m+1

yazabiliriz.

Toplayalım:

\begin{aligned} a+b &=(2k+1)+(2m+1)\\ &=2k+2m+2\\ &=2(k+m+1). \end{aligned}

$k+m+1$ bir tam sayıdır.

Dolayısıyla:

a+b

çifttir.

Burada Ezberlenecek Şey Sonuç Değil

Asıl öğrenmemiz gereken:

“İki tek sayının toplamı çifttir.”

cümlesini ezberlemek değildir.

Önemli olan şu yöntemi görebilmektir:

Varsayım:
a ve b tek

        ↓ tanımı aç

a = 2k + 1
b = 2m + 1

        ↓ istenen ifadeyi oluştur

a + b

        ↓ cebirsel olarak dönüştür

a + b = 2(k + m + 1)

        ↓ hedef tanımı tanı

a + b çift

Doğrudan ispatın genel şablonu

Her doğrudan ispat birebir aynı biçimde yazılmaz.

Yine de başlangıç için şu iskelet yararlıdır:

Başlangıç İçin İspat İskeleti

Bir

P\Rightarrow Q

teoremi için:

1. Varsayım

$P$ doğru olsun.

2. Varsayımı aç

$P$ 'nin tanımına göre ...

3. Gerekli çıkarımları yap

P \Rightarrow R_1 \Rightarrow R_2 \Rightarrow \cdots

4. Hedefin tanımına ulaş

Böylece $Q$ 'nun tanımındaki koşullar sağlanır.

5. Sonucu belirt

Dolayısıyla $Q$ doğrudur.

Bu, düşünmeyi kolaylaştıran bir başlangıç şablonudur; gerçek matematiksel ispatlar konuya göre farklı biçimler alabilir.

Dersin büyük fikri

Doğrudan ispatın temel problemi:

Varsayımlardan sonucu adım adım nasıl çıkarırız?

Bir

P\Rightarrow Q

teoremini doğrudan ispatlarken:

\boxed{ P \longrightarrow \text{tanımları aç} \longrightarrow \text{bilinen sonuçları kullan} \longrightarrow \text{geçerli çıkarımlar yap} \longrightarrow Q }

yolunu kurarız.

Bu yöntemde:

birkaç örneğin doğru çıkmasıyla yetinmeyiz,
sonucu baştan kabul etmeyiz,
varsayımdan başlarız,
genel nesneler kullanırız,
tanımları matematiksel bilgiye dönüştürürüz,
her adımın neden geçerli olduğunu biliriz,
sonunda hedef tanıma ulaşırız.

En önemli zihinsel alışkanlık şudur:

“Bana ne verildi?” ve “Tam olarak ne göstermeliyim?”

Bu iki sorunun cevapları arasında geçerli bir köprü kurabilirsek doğrudan ispatı kurmuş oluruz.

Matematik haritasındaki bağlantı

Bu birimin yolu:

Mantıksal koşul: P ⇒ Q
        │
        ▼
İspat nedir?
        │
        ▼
DOĞRUDAN İSPAT
        │
        ├── varsayımdan başla
        ├── tanımları aç
        ├── bilinen sonuçları kullan
        └── sonuca ulaş
        │
        ▼
Karşıt ters ile ispat
        │
        ▼
Çelişkiyle ispat
        │
        ▼
Diğer ispat yöntemleri

Doğrudan ispat, bundan sonraki matematikte tekrar tekrar kullanacağımız temel ispat biçimidir.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Doğrudan ispatın temel fikrini kendi sözlerinle açıkla.
Bir $P\Rightarrow Q$ teoreminde neden $P$ doğru kabul edilerek başlanabilir, fakat $Q$ doğru kabul edilerek başlanamaz?
Doğrudan ispatta tanımları açmak neden bu kadar önemlidir?
“Herhangi bir $n$ ” seçmek ile “ $n=12$ seçmek” arasında ispat açısından ne fark vardır?

Teknik

Bir çift tam sayının karesinin çift olduğunu doğrudan ispatla.

İpucu: Çift bir $n$ için

n=2k

ile başla.

$10$ ile bölünebilen her tam sayının $5$ ile de bölünebildiğini doğrudan ispatla.

Gerekçelendirme

Aşağıdaki sözde ispatta hatayı bul:

$n^2$ çift olduğunu göstermek istiyoruz.
$n^2=2k$ yazabiliriz.
Dolayısıyla $n^2$ çifttir.

Bir öğrencinin:

“İlk 100 çift sayı çift sayıların toplamıyla toplandığında yine çift çıktı; dolayısıyla iki çift sayının toplamı her zaman çifttir.”

demesi neden ispat değildir?

Transfer

$A\subseteq B$ ve $B\subseteq C$ ise $A\subseteq C$ olduğunu, alt küme tanımından başlayarak kendi cümlelerinle yeniden ispatla.
Şu teorem için doğrudan ispatın ilk iki adımını kur:

Eğer $n$ bir tek tam sayıysa, $n+1$ çifttir.

Önce yalnızca:

varsayımın ne olduğunu,
varsayımın tanım gereği hangi biçimde yazılabileceğini

belirle; sonra ispatı tamamlamaya çalış.

Tamamlanma ölçütü

Bu birim, yalnızca “doğrudan ispatın ne olduğunu” söyleyebildiğinde değil; basit bir

P\Rightarrow Q

teoreminde:

varsayımı ve sonucu ayırabildiğinde,
ilgili tanımları açabildiğinde,
genel nesnelerle çalışabildiğinde,
geçerli mantıksal zinciri kurabildiğinde,
sonucun neden gerçekten elde edildiğini açıklayabildiğinde

tamamlanmış sayılır.

Hedef:

Basit bir “eğer $P$ ise $Q$ ” teoremini doğrudan ispatlayabilmek.