01.06.04 — Karşıt ters ile ispat

Haritadaki yerimiz

Dünya: Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: İspat ve Matematiksel Kesinlik
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar: 01.02.03 — “Eğer… ise…”: matematiksel koşul; 01.06.03 — Doğrudan ispat
Temel soru: Sonucu doğrudan ispatlamak yerine eşdeğer bir iddiayı neden ispatlayalım?

Bir önceki birimde bir teoremi

P\Rightarrow Q

biçiminde gördüğümüzde, $P$ varsayımından başlayıp adım adım $Q$ sonucuna ulaşmaya çalıştık.

Şimdi çok önemli bir şey fark edeceğiz:

Bazen teoremin kendisi zor görünür, fakat onunla tamamen eşdeğer başka bir cümle çok daha kolay ispatlanabilir.

Bu başka cümle teoremin karşıt tersidir.

Başlangıç problemi

Bir kare çiftse sayının kendisi de çift midir?

$n$ bir tam sayı olsun.

Şu iddiayı ispatlamak istiyoruz:

Eğer $n^2$ çift ise $n$ çifttir.

Sembolik olarak:

n^2\text{ çift} \Rightarrow n\text{ çift}.

Bir önceki dersteki doğrudan ispat yöntemini deneyelim.

Varsayımımız:

n^2\text{ çifttir}.

Çift sayının tanımına göre bir $k\in\mathbb Z$ için

n^2=2k

yazabiliriz.

Ama hedefimiz:

n=2m

biçiminde bir $m\in\mathbb Z$ bulunduğunu göstermek.

Burada elimizde

n^2=2k

var; fakat bundan doğrudan

n=2m

sonucuna geçmek pek doğal görünmüyor.

Ne yapacağız?

Doğrudan yol neden zorlaştı?

Doğrudan ispatta hareket yönümüz şuydu:

n^2\text{ çift} \longrightarrow ? \longrightarrow ? \longrightarrow n\text{ çift}.

Başlangıç bilgisi, sayının karesi hakkında.

Ulaşmak istediğimiz sonuç ise sayının kendisi hakkında.

Kare alma işlemini geriye doğru çözmeye çalışmak bizi hemen kullanışlı bir yapıya götürmüyor.

Ama soruyu ters taraftan düşünelim.

Bir tam sayı çift değilse nedir?

Tek sayıdır.

Ve tek bir sayının karesinin ne olduğunu hesaplamak son derece kolaydır.

Bir tek sayı

n=2k+1

biçimindedir.

Karesini alırsak:

n^2=(2k+1)^2.

Açalım:

n^2=4k^2+4k+1.

Ortak $2$ çarpanını ayıralım:

n^2=2(2k^2+2k)+1.

Bu da tek sayının biçimidir.

Yani şu cümleyi kolayca gösterebiliyoruz:

Eğer $n$ çift değilse, $n^2$ de çift değildir.

Başka bir deyişle:

Eğer $n$ tekse, $n^2$ tektir.

İşte burada yeni ispat stratejimiz ortaya çıkıyor.

Temel sezgi

Bazen

P\Rightarrow Q

yönünde ilerlemek zordur.

Ama teoremin başarısız olmasının nasıl görüneceğini düşünürsek:

“ $Q$ gerçekleşmemişse, $P$ de gerçekleşemez.”

şeklinde başka bir yol açılır.

Bu yol:

\neg Q\Rightarrow\neg P

şeklindedir.

Ve şaşırtıcı derecede önemli gerçek şudur:

P\Rightarrow Q

ile

\neg Q\Rightarrow\neg P

mantıksal olarak eşdeğerdir.

Dolayısıyla ikincisini ispatlamak, birincisini de ispatlamaktır.

Karşıt ters nedir?

Daha önce koşullu önermelerde dört farklı biçim görmüştük.

Bir önerme:

P\Rightarrow Q

olsun.

Bundan şu ifadeleri oluşturabiliriz:

Adı	İfade
Asıl önerme	$P\Rightarrow Q$
Tersi	$Q\Rightarrow P$
Karşıtı	$\neg P\Rightarrow\neg Q$
Karşıt tersi	$\neg Q\Rightarrow\neg P$

Karşıt ters

Bir

P\Rightarrow Q

koşullu önermesinin karşıt tersi (contrapositive):

\neg Q\Rightarrow\neg P

önermesidir.

Asıl önerme ile karşıt tersi mantıksal olarak eşdeğerdir:

(P\Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q\Rightarrow\neg P).

Buradaki dönüşüme dikkat et:

P\Rightarrow Q

ifadesinde yalnızca iki tarafı değillemiyoruz.

Aynı zamanda yerlerini de değiştiriyoruz:

P\Rightarrow Q

\Downarrow

\neg Q\Rightarrow\neg P.

Asıl önerme

P  ───────────────►  Q
varsayım              sonuç

          karşıt ters

¬Q ───────────────► ¬P
varsayım              sonuç

P ise Q önermesinden karşıt ters oluşturulurken sonuç Q değillenerek başa, varsayım P değillenerek sona alınır.

Neden aynı şeyi söylüyorlar?

Bu eşdeğerliği yalnızca ezberlememeliyiz.

Neden doğru olduğunu görelim.

Bir koşullu önerme ne zaman yanlıştır?

P\Rightarrow Q

önermesi yalnızca şu durumda yanlıştır:

$P$ doğru,
$Q$ yanlış.

Yani:

P\land\neg Q.

Örneğin:

“Yağmur yağıyorsa yer ıslaktır.”

cümlesini yanlışlayan durum şudur:

Yağmur yağıyor ama yer ıslak değil.

Şimdi karşıt tersine bakalım:

\neg Q\Rightarrow\neg P.

Bu önerme ne zaman yanlıştır?

Ön kısmı doğru, son kısmı yanlış olduğunda:

$\neg Q$ doğru, yani $Q$ yanlış,
$\neg P$ yanlış, yani $P$ doğru.

Yine aynı duruma geldik:

P\land\neg Q.

Aynı başarısızlık durumu

Asıl önerme

P\Rightarrow Q

ile karşıt tersi

\neg Q\Rightarrow\neg P

tam olarak aynı durumda yanlış olur.

Bu nedenle doğruluk değerleri her durumda aynıdır.

Bunu doğruluk tablosunda da görebiliriz:

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$	$\neg Q\Rightarrow\neg P$
Doğru	Doğru	Doğru	Doğru
Doğru	Yanlış	Yanlış	Yanlış
Yanlış	Doğru	Doğru	Doğru
Yanlış	Yanlış	Doğru	Doğru

Son iki sütun aynıdır.

Dolayısıyla:

P\Rightarrow Q \equiv \neg Q\Rightarrow\neg P.

Bu, karşıt tersle ispatın bütün mantıksal temelidir.

Karşıt ters ile ispat nasıl yapılır?

Bir teorem:

P\Rightarrow Q

biçiminde olsun.

Karşıt tersle ispatta şu yolu izleriz:

$P$ ve $Q$ 'yu açıkça belirleriz.
$Q$ 'nun değili olan $\neg Q$ 'yu yazarız.
$P$ 'nin değili olan $\neg P$ 'yi yazarız.
Doğrudan

\neg Q\Rightarrow\neg P

önermesini ispatlarız. 5. Asıl önerme ile karşıt tersi eşdeğer olduğu için

P\Rightarrow Q

sonucunun da doğru olduğunu söyleriz.

İspatlanmak istenen:

P ─────────────────────► Q
         zor olabilir


Bunun yerine:

¬Q ────────────────────► ¬P
          daha kolay


Mantıksal eşdeğerlik:

(P → Q)  ≡  (¬Q → ¬P)

Karşıt tersle ispatta P'den Q'ya doğrudan gitmek yerine Q'nun değilinden P'nin değiline gidilir.

Bu mekanik bir numara değildir

Karşıt tersle ispat, teoremin yerine başka ve daha zayıf bir şey ispatlamak değildir.

İspatladığımız önerme asıl teoremle mantıksal olarak eşdeğerdir.

Dolayısıyla karşıt ters doğruysa asıl teorem de zorunlu olarak doğrudur.

Ana örnek: karenin çiftliği

Şimdi başlangıç problemimize dönelim.

Teorem:

$n$ bir tam sayı olsun. Eğer $n^2$ çiftse $n$ çifttir.

Önermeleri belirleyelim:

P:\quad n^2\text{ çifttir}

Q:\quad n\text{ çifttir}.

Karşıt ters:

\neg Q\Rightarrow\neg P.

Yani:

Eğer $n$ çift değilse, $n^2$ çift değildir.

$n$ bir tam sayı olduğundan “çift değil” demek “tek” demektir. Böylece daha doğal biçimde:

Eğer $n$ tekse $n^2$ tektir.

Karşıt ters ile ispat

$n$ 'nin tek olduğunu varsayalım.

Tek sayı tanımından bir $k\in\mathbb Z$ vardır ve

n=2k+1

yazabiliriz.

Karesini alalım:

n^2=(2k+1)^2.

Açarsak:

n^2=4k^2+4k+1.

Bunu

n^2=2(2k^2+2k)+1

biçiminde yazabiliriz.

$2k^2+2k$ bir tam sayı olduğundan $n^2$ ,

2m+1

biçimindedir.

Dolayısıyla $n^2$ tektir.

Böylece

n\text{ tek} \Rightarrow n^2\text{ tek}

olduğunu gösterdik.

Bu, asıl önermenin karşıt tersidir.

O hâlde:

n^2\text{ çift} \Rightarrow n\text{ çift}.

İspat tamamlandı.

Burada dikkat edilmesi gereken şey yalnızca sonucun doğru olması değildir.

Neden karşıt ters daha kullanışlıydı?

Çünkü:

“ $n^2$ çifttir” bilgisi $n$ hakkında doğrudan kullanışlı bir biçim vermiyordu.
“ $n$ çift değildir” bilgisi ise tam sayı evreninde bize hemen

n=2k+1

biçimini verdi.

Bu somut biçim karesini hesaplamamıza izin verdi.

Yani karşıt ters, problemi daha fazla yapısal bilgi veren taraftan başlatmamızı sağladı.

Karşıt ters ile ters önerme aynı şey değildir

Burada çok yaygın bir hata vardır.

Bir

P\Rightarrow Q

önermesinden:

Q\Rightarrow P

yazarsak bu ters önermedir.

Karşıt ters değildir.

Bunların aynı doğruluk değerine sahip olması gerekmez.

4'e bölünebilme

Şu doğru ifadeyi düşünelim:

Bir tam sayı $4$ 'e bölünüyorsa çifttir.

Sembolik olarak:

4\mid n \Rightarrow n\text{ çift}.

Buradaki $4\mid n$ gösterimi, “ $4$ , $n$ 'yi böler” yani $n$ sayısı $4$ 'ün bir tam sayı katıdır anlamına gelir.

Tersi

n\text{ çift} \Rightarrow 4\mid n.

Bu doğru değildir.

Örneğin:

n=6.

$6$ çifttir fakat $4$ 'e bölünmez.

Karşıt tersi

Asıl önerme:

4\mid n \Rightarrow n\text{ çift}

ise karşıt tersi:

n\text{ çift değil} \Rightarrow 4\nmid n.

Tam sayılar için bunu:

n\text{ tek} \Rightarrow 4\nmid n

diye okuyabiliriz.

Bu, asıl önerme ile eşdeğerdir.

En önemli ayrım

P\Rightarrow Q

ile eşdeğer olan:

\boxed{\neg Q\Rightarrow\neg P}

ifadesidir.

Genel olarak şu ifade değildir:

Q\Rightarrow P.

Bir teoremin tersini yanlışlıkla ispatlamak, asıl teoremi ispatlamış olmak anlamına gelmez.

Sonuç birden fazla koşul içeriyorsa ne olur?

Karşıt ters oluşturmanın zor kısmı çoğu zaman okların yerini değiştirmek değildir.

Asıl dikkat gerektiren şey sonucun değilini doğru yazmaktır.

Şu teoremi düşünelim:

$a$ ve $b$ tam sayılar olsun. Eğer $ab$ tekse hem $a$ hem $b$ tektir.

Sembolik yapı:

P\Rightarrow(Q\land R)

biçimindedir.

Burada:

P:\quad ab\text{ tek},

Q:\quad a\text{ tek},

R:\quad b\text{ tek}.

Karşıt ters için önce sonucun değilini almalıyız:

\neg(Q\land R).

De Morgan yasasına göre:

\neg(Q\land R) \equiv \neg Q\lor\neg R.

Yani:

“ $a$ ve $b$ 'nin ikisi birden tek değildir.”

demek:

“ $a$ çift veya $b$ çifttir.”

demektir.

Karşıt tersimiz böylece:

Eğer $a$ çift veya $b$ çiftse $ab$ çifttir.

olur.

Bu ise çok kolaydır.

Çarpım tekse iki çarpan da tektir

Karşıt tersi ispatlayalım.

$a$ veya $b$ 'den en az birinin çift olduğunu varsayalım.

Eğer $a$ çiftse bir $k\in\mathbb Z$ için

a=2k

yazılabilir.

Böylece:

ab=(2k)b=2(kb).

$kb$ bir tam sayı olduğundan $ab$ çifttir.

Benzer biçimde $b$ çiftse de $ab$ çifttir.

Dolayısıyla:

(a\text{ çift})\lor(b\text{ çift}) \Rightarrow ab\text{ çift}.

Bu, asıl teoremin karşıt tersidir.

O hâlde:

ab\text{ tek} \Rightarrow (a\text{ tek})\land(b\text{ tek}).

Bu örnek karşıt tersle ispatın başka bir önemli yönünü gösteriyor:

Karşıt ters oluştururken mantıksal değilleme kurallarını gerçekten bilmek gerekir.

Küme dilinde aynı fikir

Karşıt ters yalnızca tek-çift sayılarla ilgili bir yöntem değildir.

Kümelerde bile aynı mantık vardır.

$A\subseteq B$ olsun.

Alt küme tanımına göre:

x\in A\Rightarrow x\in B.

Bunun karşıt tersi:

x\notin B\Rightarrow x\notin A

olur.

Yani:

$B$ 'de bulunmayan bir eleman, $A$ 'da da bulunamaz.

Bu iki cümle aslında aynı kapsama ilişkisini iki farklı yönden anlatır.

              B
      ┌─────────────────┐
      │                 │
      │      A          │
      │   ┌───────┐     │
      │   │   x   │     │
      │   └───────┘     │
      │                 │
      └─────────────────┘

x ∈ A  →  x ∈ B

eşdeğer olarak:

x ∉ B  →  x ∉ A

A kümesi B'nin içinde olduğunda A'da bulunan her eleman B'dedir; eşdeğer olarak B'nin dışında bulunan bir eleman A'da bulunamaz.

Böylece karşıt tersin yalnızca belirli bir sayı problemi için geliştirilmiş bir hile olmadığını görüyoruz.

Bu, koşullu ifadelerin genel mantıksal yapısına ait bir yöntemdir.

Karşıt tersi ne zaman düşünmeliyim?

Her $P\Rightarrow Q$ teoremini karşıt tersle ispatlamamız gerekmez.

Doğrudan ispat çoğu zaman daha basittir.

Ama özellikle şu durumda karşıt ters iyi bir adaydır:

1. $P$ 'den başlayınca ilerleyemiyorsan

Varsayımı açıyorsun fakat seni sonuca taşıyacak kullanışlı bir yapı çıkmıyorsa.

Başlangıç örneğimizde:

n^2\text{ çift}

bilgisi böyleydi.

2. $\neg Q$ çok somut bilgi veriyorsa

Örneğin tam sayılar dünyasında:

n\text{ çift değil}

dediğimiz anda:

n\text{ tek}

olduğunu biliyoruz.

Bu da:

n=2k+1

gibi hesap yapılabilir bir biçim verir.

3. Sonucun gerçekleşmemesi daha kolay analiz ediliyorsa

Bazen:

“Bu özellik neden mutlaka vardır?”

sorusu zor,

ama

“Bu özellik yoksa ne olmak zorundadır?”

sorusu kolaydır.

Karşıt ters tam olarak bu bakış değişikliğini kullanır.

Strateji sorusu

Bir

P\Rightarrow Q

teoremi gördüğünde yalnızca:

“ $P$ 'den $Q$ 'ya nasıl giderim?”

diye sorma.

Gerekirse şunu da sor:

“ $Q$ yanlış olsaydı, bunun $P$ hakkında bana verdiği bilgi daha kullanışlı olur muydu?”

Eğer cevap evetse karşıt ters güçlü bir adaydır.

Karşıt ters ile çelişki aynı şey midir?

Hayır.

Bir sonraki birimde çelişkiyle ispatı ayrıca öğreneceğiz.

İki yöntem birbirine yakın görünür, çünkü ikisinde de değilleme kullanılır. Fakat mantıksal yapıları farklıdır.

Karşıt tersle ispatta:

P\Rightarrow Q

yerine doğrudan

\neg Q\Rightarrow\neg P

ispatlanır.

Yani:

$\neg Q$ varsayılır.
$\neg P$ sonucu elde edilir.

Çelişkiyle ispatta ise genellikle ispatlamak istediğimiz iddianın yanlış olduğu varsayılır ve bu varsayımdan imkânsız bir durum çıkarılır.

Bir sonraki yöntem

Şimdilik ayrımı şöyle tut:

Karşıt ters:

\neg Q \longrightarrow \neg P

Çelişki:

Bir varsayım yapılır ve sonunda aynı anda bağdaşamayacak sonuçlara ulaşılır.

Bir sonraki birimde bu ikinci yöntemi ayrıntılı olarak kuracağız.

Tarihsel konum

Karşıt tersle ispatı tek bir kişinin belirli bir tarihte “icat ettiği” bağımsız bir matematiksel araç gibi düşünmek doğru bir zihinsel model değildir.

Yöntemin özü, koşullu önermelerin mantıksal yapısındadır:

P\Rightarrow Q \equiv \neg Q\Rightarrow\neg P.

Dolayısıyla burada tarihsel açıdan önemli olan yeni bir hesaplama tekniğinin ortaya çıkması değil, mantıksal eşdeğerliğin bir ispat stratejisi olarak kullanılmasıdır.

Bu birimin kaynak müfredatı belirli bir matematikçi veya tarihsel olay vermediği için burada doğrulanmamış bir kişi ya da tarih atfı yapılmaz.

Nerelerde kullanılır?

Karşıt tersle ispatın temel kullanım alanı matematiğin kendi içidir.

Özellikle bir teoremin sonucu gerçekleşmediğinde varsayım hakkında güçlü bilgi elde edebildiğimiz durumlarda kullanışlıdır.

Bölünebilme ve sayı özellikleri

Örneğin ileride:

bir sayının karesinin bölünebilmesinden sayının kendisinin bölünebilmesine,
asal çarpan özelliklerine,
tek-çift ilişkilerine

ait birçok teoremde bu düşünceyle karşılaşacağız.

Kümeler ve fonksiyonlar

x\in A\Rightarrow x\in B

gibi üyelik ifadeleri gerektiğinde

x\notin B\Rightarrow x\notin A

biçiminde ele alınabilir.

Analiz ve daha ileri matematik

İleride teoremler çok daha karmaşık hâle geldiğinde de aynı temel soru devam eder:

“Sonucun gerçekleşmemesi, varsayımın gerçekleşemeyeceğini göstermeyi kolaylaştırıyor mu?”

Yani karşıt ters, Dünya 1'e özgü geçici bir soru çözme tekniği değil; ileride kullanılmaya devam edecek temel bir ispat stratejisidir.

Sık yapılan hatalar

1. Ters önerme ile karşıt tersi karıştırmak

Asıl:

P\Rightarrow Q

Karşıt ters:

\neg Q\Rightarrow\neg P.

Tersi:

Q\Rightarrow P.

Bunlar aynı değildir.

2. Sadece değilleyip sırayı değiştirmemek

Şu:

\neg P\Rightarrow\neg Q

karşıt ters değildir.

Bu, asıl önermenin karşıtıdır.

Karşıt terste hem:

iki önerme değillenir,
hem de yön değişir.

3. Değili yanlış yazmak

Örneğin:

Q:\quad a\text{ tek ve }b\text{ tek}

ise değili:

a\text{ çift ve }b\text{ çift}

değildir.

Doğrusu:

a\text{ çift veya }b\text{ çift}.

Çünkü:

\neg(Q\land R) \equiv \neg Q\lor\neg R.

4. Evreni unutmak

“Çift değilse tektir” ifadesini kullandık.

Bu, sayının tam sayı olduğunu bildiğimiz için doğrudur.

Örneğin:

\frac12

çift değildir ama “tek tam sayı” da değildir.

Dolayısıyla bir ispatta hangi nesneler üzerinde konuştuğumuz önemlidir.

Tanım kümesi ve evren önemlidir

Bir değillemenin sana hangi bilgiyi verdiği, üzerinde çalıştığın matematiksel evrene bağlı olabilir.

Bu nedenle ispatın başında:

“ $n$ bir tam sayı olsun.”

gibi koşullar süs değildir.

İspatın mantıksal yapısının bir parçasıdır.

5. Karşıt tersi yazıp ispatlamamak

Şunu yazmak:

P\Rightarrow Q \quad\Longleftrightarrow\quad \neg Q\Rightarrow\neg P

henüz ispat değildir.

Bu yalnızca hangi ifadeyi ispatlamamız gerektiğini belirler.

Asıl matematiksel çalışma bundan sonra başlar:

\neg Q \longrightarrow \cdots \longrightarrow \neg P.

6. Her probleme zorla karşıt ters uygulamak

Yöntemin kullanılabilir olması, her zaman en iyi yöntem olduğu anlamına gelmez.

Eğer

P\Rightarrow Q

doğrudan birkaç açık adımda ispatlanabiliyorsa karşıt ters kullanmak gereksiz yere ispatı uzatabilir.

İspat yöntemi seçmek de matematiksel düşünmenin bir parçasıdır.

Karşıt tersle ispat için çalışma şablonu

Bir teorem gördüğünde şu çalışma düzenini kullanabilirsin:

Adım 1 — Teoremi parçala

P\Rightarrow Q.

$P$ nedir?

$Q$ nedir?

Adım 2 — Sonucu değille

\neg Q.

Adım 3 — Varsayımı değille

\neg P.

Adım 4 — Karşıt tersi yaz

\neg Q\Rightarrow\neg P.

Adım 5 — Yeni önermeyi doğrudan ispatla

\neg Q \longrightarrow \text{tanımlar} \longrightarrow \text{bilinen sonuçlar} \longrightarrow \neg P.

Adım 6 — Asıl teoreme dön

Son olarak:

“Bu, asıl önermenin karşıt tersi olduğundan asıl önerme de doğrudur.”

denir.

Yöntemin özü

Karşıt tersle ispat aslında yeni bir ispat mantığı değildir.

Bir önceki derste öğrendiğimiz doğrudan ispatı, asıl teoremin yerine onunla eşdeğer olan başka bir koşullu önermeye uygularız:

P\Rightarrow Q

yerine

\neg Q\Rightarrow\neg P.

Yani öğrendiğimiz yeni şey:

Hangi önermeyi doğrudan ispatlamanın daha akıllıca olduğunu seçmek.

Matematik haritasındaki bağlantı

Nereden geldik?

01.02.03 — Matematiksel koşul

Burada:

P\Rightarrow Q

ile

\neg Q\Rightarrow\neg P

arasındaki mantıksal ilişkiyi öğrenmiştik.

Ardından:

01.06.03 — Doğrudan ispat

bir varsayımdan sonuca mantıksal zincir kurmayı öğretti.

Şimdi ne ekledik?

Artık bir teorem:

P\Rightarrow Q

biçiminde olduğunda yalnız doğrudan yolu aramak zorunda olmadığımızı biliyoruz.

Eşdeğer olan:

\neg Q\Rightarrow\neg P

yoluna geçebiliriz.

Nereye gidiyoruz?

Sıradaki birim:

01.06.05 — Çelişkiyle ispat

olacak.

Orada değillemeyi bu kez başka biçimde kullanacağız:

Bir iddianın yanlış olduğunu varsayacağız ve bu varsayımın matematiksel olarak imkânsız bir sonuca götürdüğünü göstereceğiz.

Kısa sentez

Neden vardı?

Bazı

P\Rightarrow Q

teoremlerinde $P$ 'den başlayıp doğrudan $Q$ 'ya gitmek zordur. Fakat $Q$ 'nun gerçekleşmediğini varsaymak çok daha kullanışlı bilgi verebilir.

Ne öğrendik?

Bir koşullu önerme ile karşıt tersi mantıksal olarak eşdeğerdir:

\boxed{ P\Rightarrow Q \equiv \neg Q\Rightarrow\neg P }

Bu nedenle karşıt tersi ispatlamak asıl teoremi ispatlamak için yeterlidir.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir teoremi gördüğümüzde yalnız:

“Varsayımdan sonuca nasıl giderim?”

diye değil,

“Sonucun değili bana daha kullanışlı bir başlangıç verir mi?”

diye de düşünebiliriz.

Sırada ne var?

Bir sonraki adımda değillemeyi daha güçlü başka bir ispat stratejisinde kullanacağız:

çelişkiyle ispat.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Kendi sözlerinle açıkla: Neden $\neg Q\Rightarrow\neg P$ 'yi ispatlamak $P\Rightarrow Q$ 'yu ispatlamak için yeterlidir?
Aşağıdaki dört ifadeden hangisi $P\Rightarrow Q$ 'nun karşıt tersidir?

a. $Q\Rightarrow P$
b. $\neg P\Rightarrow\neg Q$
c. $\neg Q\Rightarrow\neg P$
d. $P\Rightarrow\neg Q$
“Karşıt tersle ispat aslında doğrudan ispatı tamamen terk etmek değildir.” Bu cümleyi açıklayabilir misin?

Teknik

Şu önermenin karşıt tersini yaz:

Eğer bir tam sayı $6$ 'ya bölünüyorsa $3$ 'e bölünür.
Şu önermenin karşıt tersini yaz:

Eğer $x\in A$ ise $x\in B$ .
Şu önermenin karşıt tersini dikkatlice yaz:

Eğer $n$ belirli bir özelliğe sahipse, $A$ ve $B$ özelliklerinin ikisine de sahiptir.

Burada De Morgan yasasının nerede kullanıldığını belirt.

Gerekçelendirme

$n$ bir tam sayı olsun. Şu teoremi karşıt ters kullanarak ispatla:

Eğer $n^2$ tekse $n$ tektir.

Önce $P$ ve $Q$ 'yu açıkça yaz.
Şu doğru önermeyi düşün:

Bir tam sayı $10$ 'a bölünüyorsa çifttir.

Bunun tersini yaz ve bir karşı örnek bularak tersinin neden doğru olmak zorunda olmadığını göster.

Transfer

Bir arkadaşın şu teoremi ispatlamaya çalışıyor:

$a$ ve $b$ tam sayılar olsun. Eğer $a+b$ tekse $a$ ile $b$ aynı paritede değildir.

Doğrudan ispata başlamadan önce teoremin karşıt tersini oluştur. Karşıt tersin daha kolay bir ispat yolu verip vermediğini araştır.
Henüz ispatını yapmadan şu strateji sorusunu cevapla:

Bir $P\Rightarrow Q$ teoreminde $\neg Q$ varsayımı sana çok güçlü ve somut bir matematiksel biçim veriyorsa hangi ispat yöntemini ilk aday olarak düşünmelisin?

01.06.04 — Karşıt ters ile ispat

Haritadaki yerimiz

Başlangıç problemi

Doğrudan yol neden zorlaştı?

Karşıt ters nedir?

Neden aynı şeyi söylüyorlar?

Bir koşullu önerme ne zaman yanlıştır?

Karşıt ters ile ispat nasıl yapılır?

Ana örnek: karenin çiftliği

Karşıt ters ile ters önerme aynı şey değildir

Tersi

Karşıt tersi

Sonuç birden fazla koşul içeriyorsa ne olur?

Küme dilinde aynı fikir

Karşıt tersi ne zaman düşünmeliyim?

1. PPP'den başlayınca ilerleyemiyorsan

2. ¬Q\neg Q¬Q çok somut bilgi veriyorsa

3. Sonucun gerçekleşmemesi daha kolay analiz ediliyorsa

Karşıt ters ile çelişki aynı şey midir?

Tarihsel konum

Nerelerde kullanılır?

Bölünebilme ve sayı özellikleri

Kümeler ve fonksiyonlar

Analiz ve daha ileri matematik

Sık yapılan hatalar

1. Ters önerme ile karşıt tersi karıştırmak

2. Sadece değilleyip sırayı değiştirmemek

3. Değili yanlış yazmak

4. Evreni unutmak

5. Karşıt tersi yazıp ispatlamamak

6. Her probleme zorla karşıt ters uygulamak

Karşıt tersle ispat için çalışma şablonu

Adım 1 — Teoremi parçala

Adım 2 — Sonucu değille

Adım 3 — Varsayımı değille

Adım 4 — Karşıt tersi yaz

Adım 5 — Yeni önermeyi doğrudan ispatla

Adım 6 — Asıl teoreme dön

Matematik haritasındaki bağlantı

Nereden geldik?

Şimdi ne ekledik?

Nereye gidiyoruz?

Kısa sentez

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

1. $P$ 'den başlayınca ilerleyemiyorsan

2. $\neg Q$ çok somut bilgi veriyorsa