01.06.07 — Varlık ve teklik ispatları

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.06 — İspat ve Matematiksel Kesinlik
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar: Niceleyiciler, doğrudan ispat, temel ispat dili
Temel soru: Bir matematiksel nesnenin gerçekten var olduğunu ve onu sağlayan başka hiçbir nesne bulunmadığını nasıl kanıtlarız?

Tamamlanma ölçütü: Bir “vardır ve tektir” iddiasını varlık ve teklik olmak üzere iki ayrı ispat yükümlülüğüne ayırıp her ikisini de doğru biçimde kanıtlayabilmek.

Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar çoğunlukla şu biçimdeki iddiaları ispatladık:

P \Rightarrow Q

Yani:

“Eğer şu koşullar doğruysa, şu sonuç doğrudur.”

Fakat matematikte çok sık başka bir soru ortaya çıkar:

Aradığımız nesne gerçekten var mı?

Ve bundan hemen sonra daha güçlü bir soru gelir:

Varsa yalnızca bir tane mi?

Bu bizi iki yeni ispat türüne götürür:

\text{Varlık} \qquad\text{ve}\qquad \text{Teklik}

Varlık ve teklik ispatının mantıksal yapısı

             "Vardır ve tektir"
                     │
          ┌──────────┴──────────┐
          │                     │
          ▼                     ▼
       VARLIK                 TEKLİK
          │                     │
   En az bir tane var      En fazla bir tane var
          │                     │
      ∃x P(x)          P(x) ve P(y) ⇒ x = y
          │                     │
          └──────────┬──────────┘
                     ▼
             Tam olarak bir tane

Bir vardır ve tektir iddiası iki ayrı parçadan oluşur: en az bir nesnenin varlığının ispatı ve özelliği sağlayan iki nesnenin zorunlu olarak aynı olduğunun ispatı.

Bu birim özellikle daha önce öğrendiğimiz:

niceleyiciler,
fonksiyonlar,
birebirlik ve örtenlik,
ters fonksiyon,
doğrudan ispat

fikirlerini tek bir noktada birleştirir.

İleride ise denklem çözümlerinden ters fonksiyonlara, lineer cebirden diferansiyel denklemlere kadar tekrar tekrar karşımıza çıkacaktır.

Başlangıç problemi: Bir cevap bulmak yeterli mi?

Şu denklemi düşünelim:

2x+3=7

Biraz hesap yaparak:

2x=4

x=2

buluruz.

Şimdi iki farklı şey söyleyebiliriz.

Birincisi:

$x=2$ bu denklemin bir çözümüdür.

Gerçekten:

2(2)+3=7

olduğu için bir çözümün var olduğunu biliyoruz.

Fakat bundan otomatik olarak şu sonuç çıkmaz:

$x=2$ denklemin tek çözümüdür.

Belki başka bir sayı da denklemi sağlıyordur.

Biz yalnızca bir çözüm bulduk.

Bir nesne bulmuş olmamız neden onun tek olduğunu göstermez?

Örneğin

x^2=1

denkleminde $x=1$ bulmak, denklemin çözümünü tamamen belirlemeye yeter mi?

Hayır.

Çünkü:

1^2=1

ama aynı zamanda:

(-1)^2=1.

Dolayısıyla burada çözüm vardır, hatta birden fazla vardır.

Demek ki:

“Bir tane buldum.” ile “yalnızca bir tane var.” aynı iddia değildir.

Bu ayrım varlık ve teklik ispatlarının temel nedenidir.

Neden böyle bir ispat türüne ihtiyaç duyuyoruz?

Matematikte çoğu zaman bir nesneyi tanımlayabilmek için onun gerçekten var olduğunu ve mümkünse tek olduğunu bilmemiz gerekir.

Örneğin bir işlem şöyle tanımlanmak istenebilir:

“Her $a$ için belirli özelliği sağlayan $b$ sayısına $F(a)$ diyelim.”

Burada iki soru zorunludur:

Böyle bir $b$ gerçekten var mı?
Birden fazla $b$ varsa hangisini $F(a)$ kabul edeceğiz?

Eğer ikinci soru çözülemiyorsa $F(a)$ belirsiz kalabilir.

Dolayısıyla varlık ve teklik yalnızca özel bir “ispat tekniği” değildir.

Matematiksel nesnelerin iyi tanımlanabilmesinin temel araçlarından biridir.

Temel Fikir

Bir matematiksel nesnenin belirli bir özellikle tanımlanması üç farklı durumda olabilir:

Özelliği sağlayan hiçbir nesne yoktur.
Özelliği sağlayan birden fazla nesne vardır.
Özelliği sağlayan tam olarak bir nesne vardır.

Varlık ispatı birinci ihtimali ortadan kaldırır.

Teklik ispatı ikinci ihtimali ortadan kaldırır.

İkisi birlikte üçüncü durumu verir.

Tarihsel gelişim

Varlık ve teklik düşüncesinin tek bir mucidi yoktur.

Problemin kökleri matematiğin çok eski dönemlerine kadar uzanır. Antik Yunan geometrisinde bir geometrik nesnenin inşa edilmesi, onun varlığını göstermenin önemli yollarından biriydi. Bir üçgen, kesişim noktası veya başka bir geometrik nesne tarif edildiğinde, bunun gerçekten kurulabilir olması gerekiyordu.

Modern matematiğin gelişmesiyle “bir nesneyi açıkça oluşturmak” ile “onun var olmak zorunda olduğunu kanıtlamak” birbirinden daha belirgin biçimde ayrıldı.

Özellikle 19. yüzyıldan itibaren analiz ve diferansiyel denklemlerde şu tür sorular merkezi hâle geldi:

Verilen koşulları sağlayan bir çözüm gerçekten var mı?

ve:

Bu çözüm başlangıç verileri tarafından tek olarak belirleniyor mu?

Daha sonra matematiksel mantığın biçimselleşmesiyle bu düşünce bugün kullandığımız niceleyici diliyle açık biçimde yazılabilir hâle geldi:

\exists x

\exists!x.

Dolayısıyla varlık-teklik ispatları tek bir tarihsel buluş değil; matematiğin “tanımladığımız nesne gerçekten var mı ve belirlenmiş mi?” sorusunun zamanla kesinleşmiş biçimidir.

Varlık: “En az bir tane var”

Varlık ifadesinin mantıksal biçimi

Bir $A$ kümesinde $P$ özelliğini sağlayan bir eleman bulunduğunu söylemek:

\exists x\in A\; P(x)

biçiminde yazılır.

Okunuşu:

“ $A$ kümesinde $P(x)$ özelliğini sağlayan en az bir $x$ vardır.”

Buradaki önemli ifade:

en az bir

olmasıdır.

Varlık iddiası bize nesnenin tek olduğunu söylemez.

Varlık var, teklik yok

A=\{1,2,3\}

olsun ve

P(x): x>1

özelliğini düşünelim.

$2$ bu özelliği sağlar.

Dolayısıyla:

\exists x\in A\;(x>1)

doğrudur.

Fakat $3$ de özelliği sağlar.

Yani varlık doğrudur ama teklik yoktur.

Bir varlık iddiasını nasıl ispatlarız?

En doğal yöntem şudur:

Özelliği sağlayan bir nesne göster.

Böyle bir nesneye bazen tanık (witness) denir.

Yapıcı varlık ispatı

\exists x\in A\;P(x)

iddiasını ispatlamak için belirli bir

a\in A

seçer ve:

P(a)

olduğunu gösteririz.

Böylece aradığımız nesneyi yalnızca var olduğunu söylemekle kalmamış, gerçekten üretmiş oluruz.

Örnek: Bir çözümün varlığını ispatlamak

Yapıcı varlık ispatı

İddia:

$2x+3=7$ denkleminin bir reel çözümü vardır.

$2$ sayısını seçelim.

Yerine koyarsak:

2(2)+3=4+3=7.

Dolayısıyla $x=2$ denklemi sağlar.

O hâlde:

\exists x\;(2x+3=7).

İspat tamamlandı.

Burada dikkat edilmesi gereken şey şudur:

Biz denklemi çözerek yalnızca bir sayı elde etmedik.

Elde ettiğimiz sayının gerçekten istenen özelliği sağladığını kontrol ettik.

Bir aday yazmak varlık ispatı değildir.

Örneğin:

“ $x=2$ olsun.”

demek tek başına hiçbir şeyi ispatlamaz.

Ardından mutlaka:

P(2)

olduğu gösterilmelidir.

Varlık her zaman nesneyi açıkça vermeyi gerektirir mi?

Hayır.

Matematikte bazen bir nesnenin var olması gerektiğini, nesnenin kendisini açıkça bulmadan da ispatlayabiliriz.

Buna genel olarak yapıcı olmayan varlık ispatı denir.

İki farklı bilgi düzeyi düşünelim:

Birinci düzey

“Aradığın nesne budur.”

İkinci düzey

“Nesnenin hangisi olduğunu henüz bilmiyorum ama böyle bir nesnenin bulunmaması matematiksel olarak mümkün değildir.”

İkincisi de geçerli bir varlık ispatı olabilir.

Örneğin ileride analizde bazı teoremler bize bir denklemin belirli bir aralıkta mutlaka bir kökü olduğunu söyleyecek; kökün tam değerini henüz hesaplamamış olsak bile varlığını bileceğiz.

Bu ayrım önemlidir:

\text{var olduğunu bilmek} \neq \text{onu hesaplayabilmek}.

Teklik: “En fazla bir tane var”

Şimdi ikinci probleme gelelim.

Bir özelliği sağlayan nesnenin tek olduğunu nasıl ispatlarız?

İlk bakışta şöyle bir yöntem düşünülebilir:

Bir çözüm buldum, başka da bulamadım; demek ki tektir.

Bu ispat değildir.

Çünkü bizim başka bir örnek bulamamamız, başka örnek bulunmadığını göstermez.

Teklik için bütün olası adayları kapsayan bir argümana ihtiyacımız vardır.

Tekliğin mantıksal biçimi

$P$ özelliğini sağlayan en fazla bir eleman bulunduğunu şu şekilde ifade edebiliriz:

\forall x,y\in A,\qquad (P(x)\land P(y))\Rightarrow x=y.

Bunu yavaşça okuyalım:

$P$ özelliğini sağlayan herhangi iki $x$ ve $y$ seçersek, bunların aslında aynı nesne olması gerekir.

Teklik ispatının ana fikri

Teklik ispatında genellikle:

Özelliği sağlayan iki keyfî nesne alırız.
İkisine de aynı özelliğin geçerli olduğunu kullanırız.
Sonunda:

x=y

olmak zorunda olduğunu gösteririz.

Böylece iki farklı çözümün bulunamayacağını kanıtlamış oluruz.

Bu çok önemli bir ispat şablonudur:

P(x) \qquad\text{ve}\qquad P(y)

varsayılır;

amaç:

x=y.

İlk tam varlık-teklik ispatımız

Şimdi başlangıçtaki denkleme dönelim.

İddia:

$2x+3=7$ denkleminin tam olarak bir çözümü vardır.

Bu iddianın iki ayrı kısmını ispatlamamız gerekiyor.

1. Varlık

Varlık

$x=2$ seçelim.

2(2)+3=7

olduğundan $x=2$ bir çözümdür.

Dolayısıyla en az bir çözüm vardır.

2. Teklik

Teklik

$x$ ve $y$ denklemin herhangi iki çözümü olsun.

O hâlde:

2x+3=7

2y+3=7.

Birinci eşitlikten:

2x=4,

ikinci eşitlikten:

2y=4.

Dolayısıyla:

2x=2y.

Her iki tarafı $2$ 'ye bölersek:

x=y.

Demek ki denklemin herhangi iki çözümü zorunlu olarak aynıdır.

Bu nedenle en fazla bir çözüm vardır.

Varlık kısmında en az bir çözüm bulunduğunu zaten göstermiştik.

O hâlde denklem tam olarak bir çözüme sahiptir.

Burada varlık ve teklik arasındaki görev paylaşımı çok nettir:

x = 2 çözümünü göstermek
        │
        ▼
En az bir çözüm vardır.
        │
        │
        │        Her iki çözüm x ve y için
        │              x = y olduğunu göstermek
        │                       │
        │                       ▼
        │              En fazla bir çözüm vardır.
        │                       │
        └───────────┬───────────┘
                    ▼
            Tam olarak bir çözüm

“Vardır ve tektir” ne demektir?

Matematikte “tam olarak bir tane vardır” ifadesi için özel bir sembol kullanılır:

\exists!

Dolayısıyla:

\exists!x\in A\;P(x)

şu anlama gelir:

$A$ içinde $P(x)$ özelliğini sağlayan tam olarak bir $x$ vardır.

Tek varoluş

\exists!x\in A\;P(x)

ifadesi iki şartı birlikte söyler:

Varlık

\exists x\in A\;P(x)

Teklik

\forall x,y\in A,\qquad (P(x)\land P(y))\Rightarrow x=y.

Yani:

\boxed{ \text{tam olarak bir} = \text{en az bir} + \text{en fazla bir} }

Bu formül varlık-teklik ispatlarının özüdür.

Üç durumu birbirinden ayıralım

Aşağıdaki ayrım çok önemlidir:

Durum	Varlık	Teklik	Sonuç
Hiç çözüm yok	Hayır	En fazla bir olabilir	“Vardır” denemez
Birden fazla çözüm	Evet	Hayır	Vardır ama tek değildir
Tam bir çözüm	Evet	Evet	Vardır ve tektir

Burada ince bir mantık noktası vardır.

“En fazla bir” ile “tam bir” aynı şey değildir

Teklik aşaması varlığı garanti etmez

Boş kümeyi düşünelim:

A=\varnothing.

“A'nın $P$ özelliğini sağlayan iki farklı elemanı yoktur.” demek kolaydır; zaten hiç elemanı yoktur.

Dolayısıyla:

“İki tane olamaz.”

ifadesi doğru olabilir.

Ama bundan:

“Bir tane vardır.”

sonucu çıkmaz.

Bu yüzden bir “vardır ve tektir” ispatında yalnızca teklik göstermek yeterli değildir.

Teklik ispatının iki yaygın biçimi

Yöntem 1 — İki aday alıp eşit olduklarını göstermek

Bu en standart yöntemdir.

İspatlanacak:

\text{P özelliğini sağlayan en fazla bir nesne vardır.}

Başlangıç:

P(x),\qquad P(y)

varsay.

Sonra özelliklerden hareket et:

P(x),P(y) \Rightarrow \cdots \Rightarrow x=y.

Sonuç:

İki çözüm sandığımız nesneler aslında aynı nesnedir.

Yöntem 2 — Her çözümün belirli bir nesneye eşit olduğunu göstermek

Bazen elimizde zaten belirli bir aday vardır.

Örneğin $a$ 'nın çözüm olduğunu biliyoruz.

Bu durumda keyfî bir çözüm $x$ alıp:

x=a

olduğunu göstermek yeterlidir.

Çünkü her çözüm $a$ 'ya eşitse başka bir çözüm olamaz.

Teklik için iki eşdeğer düşünme biçimi:

P(x)\land P(y)\Rightarrow x=y

veya belirli bir aday $a$ için:

P(x)\Rightarrow x=a.

İkinci biçim özellikle çözümü zaten açıkça bildiğimiz durumlarda kullanışlıdır.

Fonksiyonlarla varlık ve teklik

Bu fikir daha önce öğrendiğimiz birebir, örten ve bijektif fonksiyonların gerçekte ne söylediğini de aydınlatır.

Bir fonksiyon düşünelim:

f:A\to B.

Belirli bir:

b\in B

elemanını seçelim.

Şu soruyu soruyoruz:

$f(a)=b$ olacak bir $a\in A$ var mı?

Bu doğrudan bir varlık sorusudur.

Örtenlik = varlık

$f$ örtense her:

b\in B

için en az bir:

a\in A

vardır ve:

f(a)=b.

Yani örtenlik bize:

\forall b\in B\;\exists a\in A: f(a)=b

der.

Örtenliğin varlık anlamı

Örten fonksiyon:

Her hedef elemanın en az bir öncülü vardır.

Bu bir varlık garantisidir.

Birebirlik = teklik

$f$ birebirse:

f(a_1)=f(a_2)

olması:

a_1=a_2

sonucunu verir.

Dolayısıyla aynı $b$ 'ye giden iki farklı eleman bulunamaz.

Birebirliğin teklik anlamı

Birebir fonksiyon:

Belirli bir hedef elemanın en fazla bir öncülü vardır.

Bu bir teklik garantisidir.

Bijektiflik = varlık + teklik

Şimdi ikisini birleştirelim.

Bijektif fonksiyonlarda tek öncül

$f:A\to B$ bijektif olsun.

Herhangi bir:

b\in B

seçelim.

Varlık

$f$ örten olduğundan en az bir:

a\in A

vardır ve:

f(a)=b.

Teklik

$a_1$ ve $a_2$ elemanlarının ikisinin de $b$ 'ye gittiğini varsayalım:

f(a_1)=b

ve:

f(a_2)=b.

Böylece:

f(a_1)=f(a_2).

$f$ birebir olduğundan:

a_1=a_2.

Dolayısıyla $b$ 'nin en fazla bir öncülü vardır.

Varlık ve teklik birlikte:

\exists!a\in A: f(a)=b.

sonucunu verir.

Bu, ters fonksiyonun neden bijektiflik gerektirdiğini de açıklamaktadır.

Bir fonksiyonun tersini tanımlamak istediğimizi düşünelim:

f^{-1}(b)=a.

Bunun anlamlı olması için:

$a$ var olmalı → örtenlik,
$a$ tek olmalı → birebirlik.

Dolayısıyla:

\boxed{ \text{bijektiflik} = \text{her çıktı için varlık} + \text{her çıktı için teklik} }

Bu nedenle bijektif fonksiyonların tersi vardır.

Varlık ve teklik ispatının genel şablonu

Bir teorem şu biçimde olsun:

Her $a\in A$ için $P(a,x)$ özelliğini sağlayan tek bir $x\in X$ vardır.

Sembolik biçimde:

\forall a\in A\;\exists!x\in X\;P(a,x).

Böyle bir teoremi ispatlarken şu yapı çok sık kullanılır.

Genel ispat şablonu

1. Keyfî girdiyi seç

a\in A

keyfî olsun.

2. Varlığı göster

Bir:

x\in X

bul veya var olmak zorunda olduğunu kanıtla ve:

P(a,x)

olduğunu göster.

3. Tekliği göster

P(a,x_1)

ve:

P(a,x_2)

olsun.

Bu iki varsayımdan:

x_1=x_2

sonucunu çıkar.

4. Sonucu yaz

Dolayısıyla her $a\in A$ için $P(a,x)$ özelliğini sağlayan tam olarak bir $x$ vardır.

Neden iki parçayı ayrı yazmak yararlıdır?

Bazen varlık ve teklik aynı hesap içinde birlikte ortaya çıkabilir.

Fakat özellikle öğrenirken iki başlık kullanmak çok değerlidir:

Varlık

Ne gösteriyorum?

En az bir nesne var.

Teklik

Ne gösteriyorum?

İki farklı nesne olamaz.

Bu ayrım ispatta hangi görevin henüz yerine getirilmediğini görmemizi sağlar.

Aşağıdaki ispat eksiktir:

“ $x=2$ denklemi sağlıyor. Dolayısıyla tek çözüm $2$ 'dir.”

Burada yalnızca varlık ispatlanmıştır.

Teklik için başka herhangi bir çözümün de $2$ olmak zorunda olduğu ayrıca gösterilmelidir.

Bir nesneyi bulmak ile varlığını ispatlamak arasındaki fark

Varlık ispatlarının önemli bir özelliği daha vardır.

Bazen matematikte üç ayrı problem bulunur:

Varlık: Böyle bir nesne var mı?
Teklik: Kaç tane var?
Hesaplama: O nesneyi nasıl bulabiliriz?

Bunlar birbirinden farklı sorulardır.

Varlık, teklik ve hesaplama

Bir problem
    │
    ├── Var mı?
    │      └── VARLIK
    │
    ├── Kaç tane?
    │      └── TEKLİK / ÇOKLUK
    │
    └── Nasıl buluruz?
           └── HESAPLAMA / ALGORİTMA

Bir problemde nesnenin varlığını, tekliğini ve onu hesaplama yöntemini bulmak üç ayrı matematiksel görevdir.

Bu ayrım ileride çok önemli olacaktır.

Bir teorem:

“Çözüm vardır ve tektir.”

diyebilir.

Ama bize çözümü hesaplamanın kolay bir yolunu vermeyebilir.

Varlık ile yapıcılık arasındaki ayrım

Matematikte iki genel yaklaşım göreceğiz.

Yapıcı ispat

Nesneyi gerçekten üretir.

Örneğin:

\exists x\;(2x+3=7)

için:

x=2

tanığı açıkça verilebilir.

Yapıcı olmayan ispat

Nesnenin var olmak zorunda olduğunu gösterir fakat onu açıkça üretmek zorunda değildir.

Bu ayrımın felsefî ve mantıksal açıdan çok daha derin biçimleri vardır. Şimdilik bilmemiz gereken nokta şudur:

Matematiksel olarak “bir nesnenin var olduğunu ispatlamak” her zaman “o nesneyi hesaplamak” anlamına gelmez.

İleride analiz, olasılık ve ileri cebirde bunun güçlü örnekleriyle karşılaşacağız.

Teklik ispatında doğrudan ispat nasıl kullanılır?

Teklik ispatlarının büyük bölümü aslında daha önce öğrendiğimiz doğrudan ispat biçimindedir.

İddiamız:

(P(x)\land P(y))\Rightarrow x=y.

Yani:

P(x)\land P(y)

varsayılır ve buradan:

x=y

sonucuna ulaşılır.

Dolayısıyla “teklik ispatı” bütünüyle yeni bir mantık sistemi değildir.

Daha önce öğrendiğimiz ispat araçlarının belirli bir hedef için örgütlenmesidir.

Tekliği çelişkiyle ispatlamak

Teklik bazen çelişki yöntemiyle de gösterilebilir.

Tek olmadığını varsayarsak iki farklı çözüm bulunduğunu söylemiş oluruz:

P(x),\qquad P(y),\qquad x\neq y.

Bu varsayımlardan bir çelişki çıkarabilirsek iki farklı çözüm bulunamayacağını göstermiş oluruz.

Çelişkiyle teklik şablonu

Tek olmadığını varsay:

\exists x,y: P(x)\land P(y)\land x\neq y.

Ardından:

P(x),P(y) \Rightarrow \cdots \Rightarrow x=y

elde et.

Fakat başlangıçta:

x\neq y

varsaymıştık.

Çelişki.

Dolayısıyla iki farklı çözüm bulunamaz.

Bu yöntem özellikle doğrudan $x=y$ göstermenin doğal biçimde bir çelişkiye dönüştüğü problemlerde kullanışlıdır.

Karşı örneklerle üç kavramı netleştirelim

1. Varlık yok

Hiç eleman yok

A=\varnothing

için:

\exists x\in A

yanlıştır.

Dolayısıyla tek bir elemandan da söz edemeyiz.

2. Varlık var ama teklik yok

Birden fazla eleman

A=\{1,2\}

ve:

P(x): x\in A

olsun.

Hem $1$ hem $2$ özelliği sağlar.

Dolayısıyla:

\exists x\in A\;P(x)

doğrudur fakat:

\exists!x\in A\;P(x)

yanlıştır.

3. Varlık ve teklik var

Tam olarak bir

A=\{1,2,3\}

ve:

P(x):x+2=4

olsun.

$x=2$ özelliği sağlar.

Ayrıca $P(x)$ sağlayan herhangi bir $x$ için:

x+2=4

olduğundan:

x=2.

Dolayısıyla:

\exists!x\in A\;P(x).

Niceleyiciler açısından dikkat edilmesi gereken nokta

“Her $a$ için tek bir $x$ vardır” biçimindeki ifadelerde niceleyici sırası son derece önemlidir.

Şu ifade:

\forall a\in A\;\exists!x\in X\;P(a,x)

şunu söyler:

Her $a$ için ona bağlı olarak farklı bir $x$ seçilebilir.

Bu:

\exists!x\in X\;\forall a\in A\;P(a,x)

ile aynı değildir.

İkinci ifade:

Bütün $a$ 'lar için aynı tek $x$ çalışıyor.

demektir.

Niceleyici sırası

\forall a\;\exists!x

ile:

\exists!x\;\forall a

genellikle tamamen farklı iddialardır.

Varlık-teklik ispatlarında “hangi nesnenin neye bağlı olduğu” mutlaka izlenmelidir.

“Tek” kelimesinin günlük dil ile matematikteki farkı

Günlük dilde:

“Tek çözüm bu.”

dediğimizde çoğu zaman hem varlığı hem tekliği birlikte kastederiz.

Fakat ispat yazarken iki ayrı mantıksal yükümlülük vardır.

Matematiksel olarak:

En az bir

\exists x\;P(x)

En fazla bir

\forall x,y\;(P(x)\land P(y)\Rightarrow x=y)

Tam olarak bir

\exists!x\;P(x)

Bu üç ifade birbirine karıştırılmamalıdır.

İyi tanımlılık ile bağlantı

Varlık ve teklik yalnızca denklemlerde kullanılmaz.

Bir matematiksel nesneyi tanımlarken de aynı problem ortaya çıkar.

Örneğin:

“Her $a$ için $P(a,x)$ özelliğini sağlayan $x$ 'e $F(a)$ diyelim.”

Bunun gerçekten bir fonksiyon oluşturabilmesi için:

\forall a\;\exists!x\;P(a,x)

gerekir.

Neden?

Çünkü fonksiyon her girdiye tam olarak bir çıktı vermelidir.

Bu nedenle:

\boxed{ \forall a\;\exists!x\;P(a,x) }

biçimindeki varlık-teklik teoremleri çoğu zaman yeni bir fonksiyonun veya matematiksel yapının kurulmasına izin verir.

Teklik yalnızca “fazladan güzel bir özellik” değildir; bazen tanımın anlamlı olmasının koşuludur.

Nerelerde kullanılır?

Matematik içinde

Varlık ve teklik matematiğin hemen her alanında görülür.

Ters fonksiyon

Bir $b$ için:

f(a)=b

denklemindeki $a$ 'nın varlığı ve tekliği, ters fonksiyonun tanımlanmasını sağlar.

Denklem sistemleri

İleride lineer cebirde:

Ax=b

sisteminin:

çözümü var mı?
tek mi?
sonsuz sayıda mı?

sorularını sistematik olarak inceleyeceğiz.

Analiz

Bir denklemin tam çözümünü bilmeden belirli koşullar altında bir kökün varlığı kanıtlanabilir. Başka koşullar kökün tekliğini sağlayabilir.

Diferansiyel denklemler

Bir fiziksel sistemin başlangıç durumu verildiğinde:

“Bu başlangıçtan geçen çözüm var mı ve geleceği tek biçimde mi belirleniyor?”

sorusu diferansiyel denklemlerin temel problemlerinden biridir.

Optimizasyon

Bir en küçük değerin:

gerçekten elde edilip edilmediği bir varlık problemidir,
yalnızca tek noktada elde edilip edilmediği bir teklik problemidir.

Bilim, mühendislik ve teknoloji

Bir fiziksel model düşünelim.

Başlangıç durumu tamamen verilmiş bir sistem için model iki farklı gelecek öngörebiliyorsa modelin deterministik anlamı sorunlu olabilir.

Bu nedenle diferansiyel denklem modellerinde varlık-teklik sonuçları yalnızca soyut matematik değildir:

Verdiğimiz fizik yasası başlangıç durumundan gerçekten bir hareket üretiyor mu ve bu hareket belirlenmiş mi?

sorusunu cevaplar.

Benzer biçimde sayısal hesaplamada da bir algoritmanın aradığı çözümün tek olup olmadığını bilmek önemlidir. Aksi hâlde farklı başlangıçlar farklı geçerli sonuçlara gidebilir.

Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Bir örnek bulunca tekliği de ispatladığını sanmak

P(a)

göstermek yalnızca:

\exists x\;P(x)

iddiasını kanıtlar.

Şunu kanıtlamaz:

\exists!x\;P(x).

Hata 2 — Teklik ispatında belirli birkaç adayı kontrol etmek

“ $1$ değil, $2$ değil, $3$ değil...” biçimindeki kontrol ancak evren sonlu ve bütün olasılıklar gerçekten tüketiliyorsa yeterli olabilir.

Genel matematikte teklik ispatı keyfî adayları kapsamalıdır.

Hata 3 — “İki çözüm alalım” deyip onların farklı olduğunu varsaymak

Standart teklik ispatında:

x

ve:

y

özelliği sağlayan iki keyfî nesne seçilir.

Başlangıçta:

x\neq y

varsaymak zorunda değiliz.

Amaç zaten:

x=y

olduğunu göstermektir.

Yalnızca çelişkiyle teklik yönteminde ayrıca:

x\neq y

varsayılır.

Hata 4 — “En fazla bir” ile “bir tane”yi karıştırmak

Hiç çözüm olmaması da “iki farklı çözüm yoktur” şartını sağlayabilir.

Bu nedenle:

\text{teklik aşaması}

tek başına:

\text{varlık}

anlamına gelmez.

Hata 5 — Varlığı göstermek için aday verip kontrol etmemek

Bir sayı veya nesne önermek değil, onun gerçekten istenen özelliği sağladığını göstermek gerekir.

Bir ispatı okurken ne aramalıyız?

Varlık-teklik teoremi gördüğümüzde metni iki renge ayırıyormuş gibi düşünmek yararlıdır:

Varlık kısmı

Şu sorunun cevabını ara:

“Yazar bir nesnenin var olduğunu nerede gösterdi?”

Genellikle:

aday üretir,
inşa yapar,
daha önceki bir teoremi uygular,
veya var olmamasının çelişki doğuracağını gösterir.

Teklik kısmı

Şu sorunun cevabını ara:

“İki adayın farklı olamayacağını nerede gösterdi?”

Genellikle:

x,y

alınır ve:

x=y

çıkarılır.

Bu iki görevi ayırt etmek, uzun ispatları okumayı önemli ölçüde kolaylaştırır.

Bir varlık-teklik ispatını yazarken kontrol listesi

İspat kontrolü

Bir “vardır ve tektir” ispatından sonra şu soruları sor:

Evreni belirledim mi?
Nesne hangi kümede aranıyor?
Özelliği açık yazdım mı?
Tam olarak hangi $P(x)$ koşulu sağlanacak?
Varlık gösterildi mi?
En az bir nesne gerçekten üretildi veya varlığı gerekçelendirildi mi?
Aday doğrulandı mı?
Verdiğim nesnenin gerçekten $P$ özelliğini sağladığını kontrol ettim mi?
Teklik gösterildi mi?
İki keyfî çözümün eşit olmak zorunda olduğunu kanıtladım mı?
Sonuç doğru güçte mi?
Yalnız “vardır” ispatlayıp “vardır ve tektir” mi yazdım?

Matematik haritasındaki bağlantı

Varlık ve tekliğin matematik haritasındaki yeri

Niceleyiciler
     │
     ├──────────────┐
     │              │
     ▼              ▼
Doğrudan ispat   Çelişkiyle ispat
     │              │
     └──────┬───────┘
            ▼
   VARLIK ve TEKLİK
            │
   ┌────────┼───────────────┬──────────────┐
   │        │               │              │
   ▼        ▼               ▼              ▼
Ters     Lineer          Analiz      Diferansiyel
fonksiyon cebir                        denklemler
                            │
                            ▼
                       Optimizasyon

Niceleyiciler ve temel ispat yöntemleri varlık-teklik ispatlarına temel olur; bu fikir ters fonksiyon, denklem sistemleri, analiz, diferansiyel denklemler ve optimizasyonda yeniden kullanılır.

Bu birimde öğrendiğimiz en önemli düşünce şudur:

Bir matematiksel problemde “cevap nedir?” sorusundan önce bazen daha temel iki soru vardır:

\boxed{\text{Cevap var mı?}}

ve:

\boxed{\text{Varsa tek mi?}}

İleri matematikte bu soruların önemi azalmaz; tam tersine giderek büyür.

Kısa sentez

Neden vardı?

Bir matematiksel nesne bulmak onun tek olduğunu göstermediği için; ayrıca bazı nesnelerin tanımlanabilmesi için gerçekten var ve tek olduklarını bilmemiz gerektiği için.

Ne öğrendik?

Varlık:

\exists x\;P(x)

“en az bir” demektir.

Teklik:

P(x)\land P(y)\Rightarrow x=y

“en fazla bir” demektir.

İkisi birlikte:

\exists!x\;P(x)

“tam olarak bir” demektir.

Yani:

\boxed{ \text{Vardır ve tektir} = \text{Varlık} + \text{Teklik} }

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir “vardır ve tektir” teoremini iki ayrı ispat görevine ayırabiliriz:

Bir nesnenin varlığını göstermek.
Özelliği sağlayan herhangi iki nesnenin aynı olduğunu göstermek.

Sırada ne var?

Şimdiye kadar belirli iddiaları tek tek ispatladık.

Bir sonraki büyük fikirde ise doğal sayıların sonsuz dizisi boyunca geçerli iddiaları tek bir ispat mekanizmasıyla nasıl gösterebileceğimizi inceleyeceğiz:

matematiksel tümevarım.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

“Bir çözüm buldum” neden “tek çözümü buldum” anlamına gelmez?
Aşağıdaki üç ifadeyi kendi sözlerinle ayır:

\exists x\;P(x)

\forall x,y\;(P(x)\land P(y)\Rightarrow x=y)

\exists!x\;P(x)

Neden teklik ispatı tek başına varlığı garanti etmez?
“Varlık”, “teklik” ve “hesaplama” neden üç ayrı matematiksel problem olabilir?

Teknik

Aşağıdaki denklemin bir çözümünün var olduğunu göster:

3x+1=10.

Ardından çözümün tek olduğunu ayrıca ispatla.

$A=\{1,2,3,4\}$ kümesinde:

P(x):x^2=4

olsun.

$P(x)$ özelliğini sağlayan elemanın $A$ içinde var ve tek olduğunu göster.

Gerekçelendirme

$f:A\to B$ bijektif olsun. Her $b\in B$ için:

f(a)=b

eşitliğini sağlayan tek bir $a\in A$ bulunduğunu, varlık ve teklik aşamalarını ayrı ayrı yazarak ispatla.

Şu sözde ispatın hatasını bul:

“ $x^2=1$ denkleminde $x=1$ çözümünü bulduk. Dolayısıyla çözüm tektir.”

Transfer

Bir matematikçi şu şekilde yeni bir fonksiyon tanımlamak istiyor:

“Her $a\in A$ için $P(a,x)$ özelliğini sağlayan $x$ 'e $F(a)$ diyelim.”

Bu tanımın gerçekten bir fonksiyon oluşturabilmesi için hangi varlık-teklik teoreminin ispatlanması gerekir? Niceleyicilerle yaz.

Bir problem için yalnızca şu sonuç ispatlanmış olsun:

P(x)\land P(y)\Rightarrow x=y.

Bundan aşağıdakilerden hangilerini kesin olarak söyleyebiliriz?

Çözüm vardır.
Çözüm yoktur.
En fazla bir çözüm vardır.
Tam olarak bir çözüm vardır.

Cevabını gerekçelendir.

Birimin tamamlanma ölçütü

Bu birim, yalnızca $\exists!$ sembolünün anlamını hatırladığında değil; yeni bir iddia gördüğünde:

varlık ile tekliği birbirinden ayırabildiğinde,
varlık için uygun bir tanık veya gerekçe kurabildiğinde,
teklik için iki keyfî aday alıp eşit olduklarını gösterebildiğinde,
“en az bir”, “en fazla bir” ve “tam olarak bir” arasındaki mantıksal farkı açıklayabildiğinde,
bir varlık-teklik ispatını temiz biçimde yazabildiğinde

tamamlanmış sayılır.