01.06.06 — Durumlara Ayırma ve “Ancak ve Ancak” İspatları

Birim kartı

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.6 — İspat ve Matematiksel Kesinlik
Ön koşullar: 01.02.03 — “Eğer… ise…”; 01.06.03 — Doğrudan ispat
Temel soru: Tek bir argüman bütün ihtimalleri kapsamıyorsa ne yaparız? Bir iddianın iki koşulun birbirine tam olarak denk olduğunu söylemesi durumunda neyi ispatlamamız gerekir?

Tamamlanma ölçütü: Bütün olasılıkları kapsayan bir durum ayrımı kurabilmek ve $P\Leftrightarrow Q$ biçimindeki bir iddianın iki yönünü ayrı ayrı ispatlayabilmek.

Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar bir teoremin

P\Rightarrow Q

biçiminde olduğunu ve böyle bir iddiayı doğrudan, karşıt ters veya çelişki yöntemleriyle ispatlayabileceğimizi gördük.

Fakat matematiksel iddialar her zaman tek bir doğrusal yol izlemez.

Bazen elimizde:

A\text{ veya }B

gibi bir ayrım vardır ve sonuç her iki durumda da ayrı gerekçelerle ortaya çıkar.

Bazen de iddiamız tek yönlü değildir:

P\Leftrightarrow Q.

Bu durumda yalnızca $P$ 'den $Q$ 'ya gitmek yetmez; $Q$ 'dan $P$ 'ye de dönmemiz gerekir.

Bu birim, ispatın dallanması ve iki yönlü hâle gelmesi durumlarını ele alır.

1. Başlangıç problemi: İspatın yolu çatallanırsa ne olur?

Üç küme düşünelim:

A,\qquad B,\qquad C.

Şu iddiayı göstermek istediğimizi varsayalım:

A\cap(B\cup C) \subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C).

Bir $x$ elemanı seçip

x\in A\cap(B\cup C)

olduğunu varsayalım.

Kesişimin anlamından:

x\in A

x\in B\cup C

olduğunu biliyoruz.

Birleşimin anlamı ise bize şunu söylüyor:

x\in B \quad\text{veya}\quad x\in C.

Buraya kadar doğrudan ispat ilerliyor. Fakat şimdi yol ikiye ayrıldı.

Ne yapacağız?

İspatın çatallanması

Elimizde şunlar var:

x\in A

x\in B\text{ veya }x\in C.

Tek bir sonraki adım yoktur.

Çünkü $x$ 'in $B$ 'de olduğunu bilmiyoruz.

$x$ 'in $C$ 'de olduğunu da bilmiyoruz.

Yalnızca bu iki ihtimalden en az birinin gerçekleştiğini biliyoruz.

İspatın geri kalanını tamamlamak için her ihtimalin sonuca götürdüğünü ayrı ayrı göstermeliyiz.

İşte durumlara ayırma tam olarak bu ihtiyaçtan doğar.

2. Neden eski araç yetmedi?

Doğrudan ispatta zihinsel modelimiz çoğunlukla şöyleydi:

Varsayım
   │
   ▼
Sonuç 1
   │
   ▼
Sonuç 2
   │
   ▼
Hedef

Fakat bazı ispatlarda yapı şöyledir:

Durumlara ayrılan bir ispat

                    Başlangıç
                        │
                        ▼
                 İki olasılık var
                    /       \
                   /         \
              Durum 1       Durum 2
                 │             │
                 ▼             ▼
              Argüman       Argüman
                   \         /
                    \       /
                     ▼     ▼
                       Hedef

Bir başlangıç bilgisinden iki farklı durum ortaya çıkar; her iki durum ayrı argümanlarla aynı hedef sonuca ulaştırılır.

Burada matematikçi hangi durumun gerçekleştiğini bilmek zorunda değildir.

Bilmesi gereken şudur:

Mümkün olan bütün durumlar ele alındı mı ve her biri aynı sonucu veriyor mu?

Eğer cevap evetse sonuç genel olarak ispatlanmıştır.

Temel fikir

Durumlara ayırmak, bilinmeyen bir seçeneği tahmin etmek değildir.

Mantık şudur:

yalnızca belirli ihtimallerin mümkün olduğunu göster,
her ihtimali ayrı ayrı incele,
her ihtimalde hedef sonuca ulaştığını göster.

Böylece gerçek durum hangisi olursa olsun sonuç kaçamaz.

3. Durumlara ayırma nedir?

Elimizde iki durum olduğunu düşünelim:

C_1\quad\text{ve}\quad C_2.

Öncelikle bütün olasılıkların bunlardan ibaret olduğunu bilmeliyiz:

C_1\lor C_2.

Daha sonra iki ayrı ispat yaparız:

C_1\Rightarrow P

C_2\Rightarrow P.

Bunların üçü birlikte bize:

P

sonucunu verir.

Durumlara ayırma ile ispat

Bir iddiayı durumlara ayırarak ispatlamak, bütün olası durumları belirleyip hedef sonucu her durumda ayrı ayrı göstermektir.

Genel yapı:

C_1\lor C_2\lor\cdots\lor C_n

ve her $i$ için

C_i\Rightarrow P

gösterilirse:

P

sonucuna ulaşılır.

Buradaki en kritik koşul, durumların bütün olasılıkları kapsamasıdır.

4. “Bütün durumlar” ile “birbirinden ayrı durumlar” aynı şey değildir

İki farklı özellik vardır.

Kapsayıcı olmak

Durumlarımız bütün ihtimalleri kapsamalıdır.

Örneğin bir eleman için:

x\in B \quad\text{veya}\quad x\notin B

bütün ihtimalleri kapsar.

Üçüncü bir seçenek yoktur.

Ayrık olmak

İki durumun aynı anda gerçekleşememesi ise başka bir özelliktir.

Örneğin:

x\in B

x\notin B

aynı anda gerçekleşemez.

Fakat durumlara ayırmada durumların her zaman birbirini dışlaması gerekmez.

Örneğin:

x\in B \quad\text{veya}\quad x\in C

dediğimizde bir $x$ hem $B$ 'de hem $C$ 'de olabilir.

Bu bir sorun değildir.

Asıl zorunluluk

Durumlara ayırmada esas koşul:

Hiçbir mümkün durumun dışarıda bırakılmamasıdır.

Durumların birbirini dışlaması ispatı çoğu zaman daha düzenli yapar, fakat yöntem için zorunlu değildir.

5. İlk tam örnek: Küme dağılımı

Başlangıçtaki iddiaya dönelim:

A\cap(B\cup C) \subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C).

Durumlara ayırarak ispat

Rastgele bir

x\in A\cap(B\cup C)

seçelim.

Kesişimin tanımından:

x\in A

x\in B\cup C.

Birleşimin tanımından:

x\in B \quad\text{veya}\quad x\in C.

Şimdi iki durumu ayrı ayrı ele alalım.

Durum 1: $x\in B$

Zaten $x\in A$ olduğunu biliyorduk.

Dolayısıyla:

x\in A\cap B.

O hâlde:

x\in(A\cap B)\cup(A\cap C).

Durum 2: $x\in C$

Yine $x\in A$ olduğunu biliyoruz.

Bu kez:

x\in A\cap C.

Dolayısıyla:

x\in(A\cap B)\cup(A\cap C).

Her iki mümkün durumda da:

x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)

sonucuna ulaştık.

Bu nedenle:

A\cap(B\cup C) \subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C).

Buradaki önemli nokta, $x$ 'in gerçekten hangi durumda olduğunu belirlememiş olmamızdır.

Buna ihtiyacımız yoktu.

Her durumda sonucun doğru olduğunu göstermek yeterliydi.

6. Durumlara ayırmanın mantıksal gücü nereden geliyor?

Şu bilgiyi düşünelim:

P\lor Q.

Yani $P$ veya $Q$ doğru.

Ayrıca:

P\Rightarrow R

Q\Rightarrow R

olduğunu gösterelim.

Gerçek dünyada hangi ihtimal gerçekleşirse gerçekleşsin:

$P$ gerçekleşirse $R$ ,
$Q$ gerçekleşirse yine $R$ .

Dolayısıyla:

R

kaçınılmazdır.

Durumlara ayırma yöntemi yeni bir “matematik hilesi” değildir.

Daha önce öğrendiğimiz veya bağlacının ispat içindeki doğal sonucudur.

Bir “veya” ile karşılaştığımızda ispat ağacı dallanır.

Bu nedenle durumlara ayırma, özellikle şu tür yapılarda sık görülür:

bir tanım zaten parçalıysa,
bir ifade “veya” içeriyorsa,
nesneler doğal sınıflara ayrılıyorsa,
farklı geometrik konumlarda farklı argümanlar gerekiyorsa,
genel bir yöntem bazı özel durumlarda değişiyorsa.

7. Kötü durum ayrımı: Bir ihtimali unutmak

Şöyle bir ispat stratejisi düşünelim:

Bir $x$ sayısı için yalnızca $x>0$ ve $x<0$ durumlarını inceleyelim.

İlk bakışta iki zıt durum varmış gibi görünüyor.

Ama eksik bir durum var:

x=0.

Eksik durum problemi

Bir iddianın:

$x>0$ için doğru,
$x<0$ için doğru

olduğunu göstermek, onun bütün reel sayılar için doğru olduğunu henüz göstermez.

Çünkü:

x=0

incelenmemiştir.

Bir durum ispatında en tehlikeli hata, ele alınan durumların doğal görünmesine aldanıp gerçekten bütün ihtimalleri kapsayıp kapsamadığını kontrol etmemektir.

İspatın başında mümkünse şu soru açıkça cevaplanmalıdır:

Neden başka durum yok?

8. İkinci problem: “Ancak ve ancak” neden farklıdır?

Şimdi başka tür bir iddiaya bakalım.

İki küme $A$ ve $B$ için:

A=B

olduğunda elbette:

A\subseteq B

olur.

Yani:

A=B\Rightarrow A\subseteq B.

Peki bunun tersini söyleyebilir miyiz?

A\subseteq B\Rightarrow A=B?

Hayır.

Örneğin:

A=\{1\}, \qquad B=\{1,2\}

alalım.

Burada:

A\subseteq B

doğrudur ama:

A\neq B.

Demek ki tek yönlü bir sonuç ile iki koşulun birbirine tam olarak denk olması farklı şeylerdir.

9. “Ancak ve ancak” ne söylüyor?

Daha önce:

P\Rightarrow Q

ifadesinin:

$P$ doğruysa $Q$ da doğrudur.

anlamına geldiğini görmüştük.

Fakat:

P\Leftrightarrow Q

bundan daha güçlüdür.

Ancak ve ancak

P\Leftrightarrow Q

ifadesi:

(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow P)

anlamına gelir.

Yani iki ayrı iddia birlikte ileri sürülmektedir:

$P$ doğruysa $Q$ doğrudur.
$Q$ doğruysa $P$ doğrudur.

Bu yüzden “ancak ve ancak” ispatının doğal yapısı iki bölümlüdür.

Ancak ve ancak ispatının iki yönü

          1. yön
      P ─────────► Q

      P ◄───────── Q
          2. yön

P ancak ve ancak Q ifadesini kanıtlamak için önce P'den Q'ya, sonra Q'dan P'ye ayrı bir ispat yapılır.

10. Gerekli ve yeterli koşulla bağlantısı

Şu ifadeyi ele alalım:

P\Rightarrow Q.

Burada $P$ , $Q$ için yeterli koşuldur.

Çünkü $P$ 'yi bilirsek $Q$ 'ya ulaşabiliriz.

Aynı ilişkinin diğer tarafından baktığımızda $Q$ , $P$ için gerekli koşuldur.

Çünkü $P$ gerçekleşiyorsa $Q$ mutlaka gerçekleşmelidir.

Şimdi:

P\Leftrightarrow Q

olduğunda iki yön de doğrudur.

Dolayısıyla:

$P$ , $Q$ için hem gerekli hem yeterlidir.
$Q$ , $P$ için hem gerekli hem yeterlidir.

Zihinsel model

Tek yönlü çıkarım bir tek yönlü yol gibidir:

P\rightarrow Q.

“Ancak ve ancak” ise iki taraf arasında gidiş-dönüş yolu bulunduğunu söyler:

P\leftrightarrow Q.

Bir taraftan diğerine gidebilmek yetmez.

Geri dönüşün de mümkün olduğunu kanıtlamamız gerekir.

11. Bir “ancak ve ancak” ispatı nasıl yazılır?

İspatlanacak önerme:

P\Leftrightarrow Q

olsun.

Standart yapı şöyledir.

Birinci yön

$P$ 'yi varsayarız ve $Q$ 'yu gösteririz:

P\Rightarrow Q.

İkinci yön

Bu kez önceki varsayımı bırakırız.

$Q$ 'yu varsayar ve $P$ 'yi gösteririz:

Q\Rightarrow P.

İki yön tamamlandığında:

P\Leftrightarrow Q

ispatlanmış olur.

Varsayımları yönler arasında taşımayın

Birinci yönde $P$ 'yi varsaymış olmamız, ikinci yönde de $P$ 'yi kullanabileceğimiz anlamına gelmez.

İkinci yön yeni bir ispattır.

Orada başlangıç varsayımımız $Q$ 'dur.

Aksi hâlde ispatlamamız gereken sonucu gizlice varsaymış ve döngüsel bir akıl yürütme yapmış olabiliriz.

12. Tam bir “ancak ve ancak” örneği

Şu teoremi ispatlayalım:

Kümeler $A$ ve $B$ için:

A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad A\cap B=A.

Bu ifade iki şey söylüyor:

A\subseteq B \Rightarrow A\cap B=A

A\cap B=A \Rightarrow A\subseteq B.

İkisini de göstermeliyiz.

Çift yönlü ispat

$(\Rightarrow)$ yönü

A\subseteq B

olduğunu varsayalım.

$A\cap B=A$ olduğunu göstermek istiyoruz.

Küme eşitliği için iki yönlü kapsama gösterebiliriz.

Her zaman:

A\cap B\subseteq A

olur.

Şimdi diğer yönü gösterelim.

Rastgele bir:

x\in A

alalım.

$A\subseteq B$ olduğundan:

x\in B.

Dolayısıyla hem $x\in A$ hem $x\in B$ olduğu için:

x\in A\cap B.

Böylece:

A\subseteq A\cap B.

İki kapsama birlikte:

A\cap B=A.

Dolayısıyla:

A\subseteq B \Rightarrow A\cap B=A.

$(\Leftarrow)$ yönü

Şimdi:

A\cap B=A

olduğunu varsayalım.

$A\subseteq B$ olduğunu göstereceğiz.

Rastgele:

x\in A

seçelim.

Varsayımımıza göre:

A=A\cap B.

Bu nedenle:

x\in A\cap B.

Kesişimin tanımından:

x\in B.

Dolayısıyla her $x\in A$ için $x\in B$ olduğundan:

A\subseteq B.

İki yönü de kanıtladık.

O hâlde:

A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad A\cap B=A.

Bu ispatta dikkat edilmesi gereken nokta şudur:

İki yön birbirine benzese bile mantıksal olarak iki ayrı görevdir.

13. Tek yönü ispatlamak neden yetmez?

Birisi şu iddiayı ileri sürsün:

A=B \quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B.

Birinci yön doğrudur:

A=B \Rightarrow A\subseteq B.

Fakat bu, bütün “ancak ve ancak” iddiasını kanıtlamaz.

Şu kümeleri alalım:

A=\{1\}, \qquad B=\{1,2\}.

Burada:

A\subseteq B

ama:

A\neq B.

Demek ki:

A\subseteq B\not\Rightarrow A=B.

Bu nedenle başlangıçtaki “ancak ve ancak” iddiası yanlıştır.

Önemli sonuç

Bir “ancak ve ancak” teoreminin yalnızca bir yönünün ispatlanması, teoremin yarısının ispatlanmasıdır.

P\Rightarrow Q

doğru olabilirken:

Q\Rightarrow P

yanlış olabilir.

14. İki yönün aynı yöntemle ispatlanması gerekmez

Bir başka önemli nokta:

P\Leftrightarrow Q

ispatında iki yönün aynı ispat tekniğini kullanması gerekmez.

Örneğin:

$P\Rightarrow Q$ doğrudan ispatlanabilir,
$Q\Rightarrow P$ karşıt tersle ispatlanabilir.

Ya da:

bir yön durumlara ayrılabilir,
diğer yön tek bir doğrudan argümanla çözülebilir.

“Ancak ve ancak” bir ispat yöntemi seçmez.

Yalnızca iki ayrı yönün ispat edilmesi gerektiğini söyler.

Her yön için en uygun ispat tekniği ayrıca seçilir.

Bu nokta, şimdiye kadar öğrendiğimiz tekniklerin birbirinden kopuk olmadığını gösterir.

Bir gerçek ispatın içinde:

doğrudan ispat,
durumlara ayırma,
karşıt ters,
çelişki

aynı teoremin farklı parçalarında birlikte kullanılabilir.

15. Eşdeğerlik zinciri

Bazen:

P\Leftrightarrow Q

ifadesini doğrudan iki uzun ispatla göstermek yerine arada başka eşdeğer ifadeler bulabiliriz:

P \Leftrightarrow R \Leftrightarrow S \Leftrightarrow Q.

Eğer bütün adımlar gerçekten iki yönlü eşdeğerlikse, başlangıç ile son da eşdeğerdir.

Ancak burada önemli bir tehlike vardır.

Okları rastgele değiştirmeyin

Şunları göstermiş olalım:

P\Rightarrow R \Rightarrow Q.

Buradan yalnızca:

P\Rightarrow Q

çıkar.

Bunu:

P\Leftrightarrow R\Leftrightarrow Q

şeklinde yazamayız.

$\Rightarrow$ ile $\Leftrightarrow$ aynı şey değildir.

Her $\Leftrightarrow$ işareti iki yönlü bir iddia taşır ve iki yönünün de gerekçesi bulunmalıdır.

16. Durumlara ayırma ile “ancak ve ancak” nasıl birleşir?

Bu iki başlığın aynı birimde bulunmasının önemli bir nedeni vardır:

Gerçek ispatlarda sıklıkla iç içe geçerler.

Örneğin:

P\Leftrightarrow Q

ispatlamak isteyelim.

Birinci yön kolay olabilir:

P\Rightarrow Q.

Fakat ikinci yönde $Q$ 'yu varsaydığımızda iki farklı durum ortaya çıkabilir:

C_1\lor C_2.

O zaman ispatın yapısı şöyle olur:

Çift yönlü ve dallanan ispat

P ─────────────────────────────► Q


P ◄──────── Durum 1 ◄─────────┐
                               │
                               Q
                               │
P ◄──────── Durum 2 ◄─────────┘

P ancak ve ancak Q ispatında P'den Q'ya tek bir yön bulunurken Q'dan P'ye giden yön iki duruma ayrılır ve her iki durum da P sonucuna ulaşır.

Burada artık ispat yöntemlerini tek tek ezberlemek yerine bir ispat mimarisi kuruyoruz.

17. Bu fikirler neden var?

Durumlara ayırma ve çift yönlü ispat, özel bir işlem problemini çözmek için icat edilmiş formüller değildir.

Bunlar matematiksel iddiaların mantıksal biçiminden doğar.

Durumlara ayırmanın ihtiyacı

Bir bilgi:

C_1\lor C_2

biçimindeyse, gerçek durumun hangisi olduğunu bilmeden genel bir sonuca ulaşabilmek isteriz.

Bunun çözümü:

Her durumda hedefin doğru olduğunu göstermek.

“Ancak ve ancak” ispatının ihtiyacı

Bazen iki koşul arasında yalnızca tek yönlü bir bağlantı değil, tam bir karakterizasyon bulmak isteriz.

Yani:

“Bu özellik ne zaman gerçekleşir?”

sorusuna hem gerekli hem yeterli bir cevap ararız.

Böyle bir karakterizasyon:

P\Leftrightarrow Q

biçimindedir.

Bu nedenle “ancak ve ancak” teoremleri matematikte özellikle değerlidir: bize yalnızca bir sonuç değil, bir özelliği tam olarak tanımamızı sağlayan ölçüt verir.

18. Tarihsel gelişim

Durumlara göre akıl yürütme ve iki yönlü koşullar tek bir matematikçinin belirli bir tarihte icat ettiği teknikler değildir.

Bunlar tümdengelimli matematiğin doğal yapısından gelişmiştir.

Antik matematikte geometrik problemlerin farklı konumlara veya olasılıklara göre ayrı ayrı ele alındığı argümanlar bulunuyordu. Mantığın sistemleşmesiyle birlikte “veya”, “eğer… ise” ve iki koşulun birbirine denk olması gibi yapılar giderek daha açık biçimde ayrıştırıldı.

Modern sembolik mantık ise bu ilişkileri bugün kullandığımız türden sembollerle görünür hâle getirdi:

P\lor Q, \qquad P\Rightarrow Q, \qquad P\Leftrightarrow Q.

Dolayısıyla burada öğrendiğimiz yöntemlerin tek bir “mucidi” yoktur. Bunlar matematiksel ispatın yüzyıllar boyunca biçimselleşmesiyle bugünkü açık mantıksal yapısına kavuşmuştur.

19. Matematikte nerelerde kullanılır?

Durumlara ayırmanın kullanımı

Durumlara ayırma, özellikle bir matematiksel nesnenin davranışının farklı bölgelerde değiştiği durumlarda kullanılır.

İleride örneğin:

pozitif, negatif ve sıfır durumları,
çift ve tek tam sayılar,
farklı kalan sınıfları,
mutlak değerli ifadeler,
parçalı fonksiyonlar,
geometrik konumlar,
bir denklemin parametreye göre farklı çözüm durumları

ayrı ayrı incelenecektir.

Mekanizma hep aynıdır:

\text{bütün durumları belirle} \rightarrow \text{her birini çöz} \rightarrow \text{genel sonucu birleştir}.

Ancak ve ancak teoremlerinin kullanımı

“Ancak ve ancak” teoremleri matematiğin her alanında karakterizasyon vermek için kullanılır.

İleride örneğin şöyle ifadelerle karşılaşacağız:

bir fonksiyonun belirli bir özelliğe tam olarak hangi koşulda sahip olduğu,
bir matrisin ne zaman tersinir olduğu,
bir sistemin ne zaman tek çözüme sahip olduğu,
bir bağıntının ne zaman denklik bağıntısı olduğu,
bir yapının hangi koşullarda belirli bir sınıfa girdiği.

Bu tür sonuçların değeri şudur:

Bir özelliği doğrudan incelemek zor olabilir; fakat ona eşdeğer başka bir koşulu kontrol etmek kolay olabilir.

Bir teorem:

P\Leftrightarrow Q

diyorsa, artık $P$ 'yi anlamak için $Q$ 'yu veya $Q$ 'yu anlamak için $P$ 'yi kullanabiliriz.

20. İspat yazımında pratik yapı

Bir durum ispatını yazarken aşağıdaki zihinsel kontrol yararlıdır:

Önce: Neden bu durumlar bütün ihtimalleri kapsıyor?

Sonra: Her durumda neyi varsayıyorum?

Ardından: Her durum hedef sonuca gerçekten ulaşıyor mu?

Son olarak: Durumların tamamlandığını açıkça belirttim mi?

Bir “ancak ve ancak” ispatında ise:

Birinci yön:

P\Rightarrow Q

İkinci yön:

Q\Rightarrow P

şeklinde iki ayrı görevi açıkça görmek gerekir.

Yazım önerisi

Uzun bir çift yönlü ispatta yönleri açıkça işaretlemek okunabilirliği ciddi biçimde artırır:

(\Rightarrow)

(\Leftarrow).

Aynı şekilde durum ispatlarında:

Durum 1, Durum 2, ...

başlıkları kullanmak mantıksal yapıyı görünür kılar.

Bu yalnızca biçimsel güzellik değildir; eksik yön veya eksik durum bırakıp bırakmadığımızı kontrol etmeyi de kolaylaştırır.

21. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Durumların tümünü kapsamamak

İki durum incelenir ama üçüncü bir ihtimal unutulur.

Bu durumda genel teorem kanıtlanmış olmaz.

Hata 2 — Durumları belirleyip yalnızca birini ispatlamak

C_1\lor C_2

olduğunu bilmek ve yalnızca:

C_1\Rightarrow P

göstermek yeterli değildir.

Gerçek durum $C_2$ olabilir.

Hata 3 — “Ancak ve ancak”ın yalnızca bir yönünü göstermek

P\Rightarrow Q

tek başına:

P\Leftrightarrow Q

anlamına gelmez.

Hata 4 — İkinci yönde sonucu gizlice varsaymak

$Q\Rightarrow P$ ispatlanırken $P$ 'yi gerekçesiz kullanmak döngüsel akıl yürütmeye yol açabilir.

Hata 5 — Her dönüşümü eşdeğerlik sanmak

Bir işlem yalnızca:

P\Rightarrow Q

veriyorsa geriye dönüş otomatik değildir.

Hata 6 — Durumların ayrık olmasını gereksiz yere zorunlu sanmak

Durumlar çakışabilir.

Önemli olan bütün olasılıkların kapsanması ve her durumda sonuca ulaşılmasıdır.

22. İki yöntemi ayırt et

Durumlara ayırma

Sorun:

Başlangıç bilgisi birden fazla ihtimale mi ayrılıyor?

Yapı:

C_1\lor C_2\lor\cdots\lor C_n

ve:

C_i\Rightarrow P

her durum için gösterilir.

Amaç:

P

sonucuna ulaşmaktır.

Ancak ve ancak ispatı

Sorun:

Teorem iki koşulun birbirine eşdeğer olduğunu mu söylüyor?

Yapı:

P\Rightarrow Q

ve:

Q\Rightarrow P.

Amaç:

P\Leftrightarrow Q

sonucuna ulaşmaktır.

Bunlar aynı teknik değildir.

Fakat aynı ispatın içinde birlikte kullanılabilirler.

23. Bir adım daha derine: İspatı cümlenin biçimi yönlendirir

Şimdi ispat yöntemleri arasında önemli bir ortaklık görebiliriz.

Bir teorem gördüğümüzde yalnızca matematiksel nesnelere değil, cümlenin mantıksal biçimine de bakarız.

Örneğin:

P\Rightarrow Q

görürsek bir koşullu önerme vardır.

P\lor Q

görürsek dallanma ihtimali doğar.

P\Leftrightarrow Q

görürsek iki yönlü bir görev vardır.

\forall x

görürsek rastgele bir $x$ seçmek doğal olabilir.

\exists x

görürsek bir örnek üretmek gerekebilir.

Bu nedenle Dünya 1'in başında öğrendiğimiz mantık yalnızca sembolik bir giriş bölümü değildi.

İspat yaparken:

bağlaçlar,
niceleyiciler,
gerekli ve yeterli koşullar

bize ispatın hangi biçime sahip olması gerektiğini söyler.

Matematiksel dil artık doğrudan matematiksel çalışma yöntemine dönüşmektedir.

24. Sınırlar: Durumlara ayırmak her zaman iyi fikir midir?

Durumlara ayırma geçerli bir yöntem olsa da her zaman verimli değildir.

Bir problem on farklı duruma ayrılıyorsa ve aynı temel fikir bütün durumları tek argümanla kapsayabiliyorsa, on ayrı ispat yazmak gereksiz olabilir.

Örneğin bazen daha genel bir tanım veya daha güçlü bir teorem bütün durumları tek seferde çözer.

Geçerli bir ispat yöntemi ile iyi bir ispat stratejisi aynı şey değildir.

Durumlara ayırma mantıksal olarak doğru olabilir; fakat gereksiz sayıda durum oluşturuyorsa daha genel bir fikir aramak daha iyi olabilir.

Matematikte amaç yalnızca doğru ispat bulmak değil, mümkün olduğunda yapının neden doğru olduğunu görünür kılan ispatı bulmaktır.

25. Kısa sentez

Neden vardı?

Tek bir doğrusal argümanın bütün olasılıkları kapsamadığı ve bazı teoremlerin iki yönlü iddialar taşıdığı durumlarda yeni bir ispat düzenine ihtiyaç duyduk.

Ne öğrendik?

Durumlara ayırmada:

C_1\lor\cdots\lor C_n

bütün olasılıkları kapsamalı ve her durumda:

C_i\Rightarrow P

gösterilmelidir.

“Ancak ve ancak” ispatında ise:

P\Leftrightarrow Q

ifadesinin aslında iki iddia taşıdığını gördük:

P\Rightarrow Q

Q\Rightarrow P.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir ispatın dallanması gerektiğini fark edebilir, bütün durumları sistematik biçimde ele alabilir ve gerekli-yeterli koşul veren çift yönlü teoremleri doğru biçimde ispatlayabiliriz.

Sırada ne var?

Bir sonraki adımda “bir nesne vardır” demek ile “tam olarak bir tane vardır” demek arasındaki farkı inceleyeceğiz:

01.06.07 — Varlık ve teklik ispatları.

26. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Durumlara ayırma yönteminin çalışması için durumların sahip olması gereken en önemli özellik nedir?
Durumların birbirini dışlaması neden zorunlu değildir?
$P\Leftrightarrow Q$ ifadesi hangi iki koşullu önermenin birlikte doğru olduğunu söyler?
“Gerekli koşul” ile “yeterli koşul” arasındaki ilişkiyi kendi sözlerinle açıkla.

Teknik

Aşağıdaki iddianın durumlara ayırma gerektirip gerektirmediğini incele:

Bir $x$ elemanı için $x\in A\cup B$ olduğu biliniyor ve $x$ 'in belirli bir $C$ kümesine ait olduğu gösterilmek isteniyor.

İspatın mantıksal iskeletini yaz.
Şu ifadeyi iki ayrı ispat görevi hâline getir:

A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad A\cup B=B.

Ardından iki yönü de ispatlamaya çalış.

Gerekçelendirme

Bir kişi şu cümleyi kuruyor:

“ $P\Rightarrow Q$ 'yu ispatladım; dolayısıyla $P\Leftrightarrow Q$ doğrudur.”

Bu akıl yürütmenin neden geçersiz olduğunu açıkla.

Bir durum ispatında yalnızca:

x>0

x<0

durumları ele alınmışsa, hangi soruyu sormalısın?

Durumlara ayırmada durumların neden mutlaka ayrık olmak zorunda olmadığını bir küme örneğiyle göster.

Transfer

Bir teoremin ispatına başladıktan sonra şu bilgiye ulaştığını düşün:

x\in A \quad\text{ve}\quad (x\in B\text{ veya }x\in C).

Hedefin $R(x)$ olduğunu varsay.

Elindeki bilgiden hareketle ispatın bundan sonraki mantıksal yapısını, $R(x)$ 'in ne olduğunu bilmeden kur.

Bir matematik kitabında şu ifadeyi görüyorsun:

“Bir yapı $X$ özelliğine sahiptir ancak ve ancak $Y$ koşulu sağlanır.”

İspata başlamadan önce oluşturman gereken iki ayrı hedefi sembolik olarak yaz.

Bir teorem için bir yönün doğrudan ispatla, diğer yönün ise çelişkiyle daha kolay gösterilebileceğini fark ettin.

Bu durum “ancak ve ancak” ispatının yapısıyla çelişir mi? Neden?

Birim tamamlanma ölçütü

Bu birimi gerçekten tamamlamış sayılmak için yalnızca “iki durum varsa ikiye ayırırım” veya “ancak ve ancakta iki yön vardır” cümlelerini hatırlamak yeterli değildir.

Şunları yapabiliyor olmalısın:

bir durum ayrımının bütün ihtimalleri kapsayıp kapsamadığını kontrol etmek,
her durum için bağımsız ve geçerli bir argüman kurmak,
$P\Leftrightarrow Q$ ifadesini iki ayrı ispat görevine dönüştürmek,
tek yönlü bir çıkarım ile gerçek mantıksal eşdeğerliği ayırmak,
eksik durum veya eksik yön içeren bir ispatı teşhis etmek,
gerektiğinde durumlara ayırma ile başka ispat yöntemlerini aynı argüman içinde birlikte kullanmak.

Asıl kazanım şudur:

İspatın biçimini, ispatlamak istediğimiz cümlenin mantıksal yapısından okuyabilmek.

01.06.06 — Durumlara Ayırma ve “Ancak ve Ancak” İspatları

Birim kartı

1. Başlangıç problemi: İspatın yolu çatallanırsa ne olur?

2. Neden eski araç yetmedi?

3. Durumlara ayırma nedir?

4. “Bütün durumlar” ile “birbirinden ayrı durumlar” aynı şey değildir

Kapsayıcı olmak

Ayrık olmak

5. İlk tam örnek: Küme dağılımı

Durum 1: x∈Bx\in Bx∈B

Durum 2: x∈Cx\in Cx∈C

6. Durumlara ayırmanın mantıksal gücü nereden geliyor?

7. Kötü durum ayrımı: Bir ihtimali unutmak

8. İkinci problem: “Ancak ve ancak” neden farklıdır?

9. “Ancak ve ancak” ne söylüyor?

10. Gerekli ve yeterli koşulla bağlantısı

11. Bir “ancak ve ancak” ispatı nasıl yazılır?

Birinci yön

İkinci yön

12. Tam bir “ancak ve ancak” örneği

(⇒)(\Rightarrow)(⇒) yönü

(⇐)(\Leftarrow)(⇐) yönü

13. Tek yönü ispatlamak neden yetmez?

14. İki yönün aynı yöntemle ispatlanması gerekmez

15. Eşdeğerlik zinciri

16. Durumlara ayırma ile “ancak ve ancak” nasıl birleşir?

17. Bu fikirler neden var?

Durumlara ayırmanın ihtiyacı

“Ancak ve ancak” ispatının ihtiyacı

18. Tarihsel gelişim

19. Matematikte nerelerde kullanılır?

20. İspat yazımında pratik yapı

21. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Durumların tümünü kapsamamak

Hata 2 — Durumları belirleyip yalnızca birini ispatlamak

Hata 3 — “Ancak ve ancak”ın yalnızca bir yönünü göstermek

Hata 4 — İkinci yönde sonucu gizlice varsaymak

Hata 5 — Her dönüşümü eşdeğerlik sanmak

Hata 6 — Durumların ayrık olmasını gereksiz yere zorunlu sanmak

22. İki yöntemi ayırt et

23. Bir adım daha derine: İspatı cümlenin biçimi yönlendirir

24. Sınırlar: Durumlara ayırmak her zaman iyi fikir midir?

25. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

26. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

Durum 1: $x\in B$

Durum 2: $x\in C$

$(\Rightarrow)$ yönü

$(\Leftarrow)$ yönü