01.06.09 — İspat okumak, bulmak ve yazmak

Haritadaki yerimiz

Dünya 1'in kapanış noktası

Bu birim, Dünya 1 — Matematiksel Dil ve Temeller içindeki İspat ve Matematiksel Kesinlik bölümünün son birimidir.

Şimdiye kadar ayrı ayrı şunları öğrendik:

tanım, aksiyom ve teoremin rollerini,
ispatın ne olduğunu,
doğrudan ispatı,
karşıt ters ile ispatı,
çelişkiyle ispatı,
durumlara ayırmayı,
“ancak ve ancak” ispatlarını,
varlık ve teklik ispatlarını,
matematiksel tümevarımı.

Fakat gerçek bir matematik problemi genellikle bize:

“Burada karşıt ters kullan.”

veya:

“Şimdi çelişkiyle ispat yap.”

demez.

Önümüzde yalnızca bir iddia bulunur.

Asıl beceri bundan sonra başlar:

\text{İddiayı oku} \rightarrow \text{yapısını çöz} \rightarrow \text{uygun fikri bul} \rightarrow \text{ispatı kur} \rightarrow \text{temiz biçimde yaz}

Bu nedenle bu ders yeni bir ispat yöntemi öğretmez.

Önceki bütün yöntemleri gerçek matematik yapma becerisine dönüştürür.

Başlangıç problemi

Hangi yöntemi kullanacağız?

Şu iddiayı ispatlamak istediğimizi düşünelim:

Her $n\in\mathbb Z$ için, $n^2$ çift ise $n$ çifttir.

Sembolik biçimi:

n^2\text{ çift} \Rightarrow n\text{ çift}.

Şimdiye kadar birçok ispat yöntemi biliyoruz.

Ama hangisini kullanacağız?

Doğrudan mı?

Çelişkiyle mı?

Karşıt tersle mi?

Durumlara mı ayıracağız?

Tümevarım mı yapacağız?

İşte gerçek ispat problemi budur.

İlk dürtümüz doğrudan başlamak olabilir:

n^2=2k.

Buradan

n=\sqrt{2k}

yazabiliriz.

Ama bu ifade bize $n$ 'nin

n=2m

biçiminde olduğunu göstermiyor.

Yani ispat yöntemini biliyor olmak, henüz ispata sahip olduğumuz anlamına gelmiyor.

Burada başka bir şey yapmamız gerekiyor:

İddianın mantıksal yapısına bakmak.

İddia:

P\Rightarrow Q

biçiminde.

Karşıt tersi:

\neg Q\Rightarrow\neg P.

Yani:

$n$ çift değilse, yani tekse, $n^2$ de tek olmalıdır.

Bu iddia çok daha kolay görünüyor.

Eğer $n$ tekse bir $k\in\mathbb Z$ için

n=2k+1

yazabiliriz.

O hâlde:

n^2=(2k+1)^2

n^2=4k^2+4k+1.

Bunu:

n^2=2(2k^2+2k)+1

biçiminde yazabiliriz.

$2k^2+2k$ bir tam sayı olduğundan $n^2$ tektir.

Böylece:

n\text{ tek} \Rightarrow n^2\text{ tek}

gösterilmiş olur.

Bu, ilk iddianın karşıt tersidir. Dolayısıyla:

n^2\text{ çift} \Rightarrow n\text{ çift}

sonucuna ulaşırız.

Bu dersteki temel fikir

İspat bulmak çoğu zaman:

Bir anda parlak bir fikir üretmek

değildir.

Daha çok:

İddianın yapısını doğru okuyarak olası yolları sistematik biçimde daraltmaktır.

Neden ayrı bir “ispat bulma” becerisine ihtiyacımız var?

İspat yöntemlerini ayrı ayrı öğrenirken problem yapay biçimde kolaylaştırılmıştır.

Örneğin:

“Bunu tümevarımla ispatlayın.”
“Karşıt ters kullanın.”
“Çelişkiyle gösterin.”

denebilir.

Bu durumda en önemli karar sizin yerinize verilmiştir.

Gerçek matematikte ise genellikle yalnızca:

İspatlayın.

yazar.

Dolayısıyla üç farklı beceriyi ayırmamız gerekir:

\boxed{ \text{İspat okumak} \neq \text{İspat bulmak} \neq \text{İspat yazmak} }

Bir insan çok iyi bir ispatı okuyup anlayabilir ama kendisi benzer bir ispat bulamayabilir.

Bir başkası doğru fikri bulabilir ama düşüncelerini anlaşılır bir ispat hâline getiremeyebilir.

Matematiksel olgunluk, bu üç becerinin birlikte gelişmesidir.

Köken, ihtiyaç ve kullanım

Bu fikir neden var?

Matematikte yeni sonuçlar çoğunlukla yalnızca hesap yapılarak elde edilmez.

Bir iddianın:

ne söylediğini çözmek,
hangi tanımların ilgili olduğunu görmek,
hangi önceki sonuçların kullanılabileceğini fark etmek,
uygun akıl yürütme yolunu seçmek

gerekir.

Bu nedenle ispat yapmak yalnızca mantık kurallarını bilmek değil, aynı zamanda problem çözme sanatıdır.

Hangi problemi çözer?

Önceki birimlerde bize bir ispat yönteminin nasıl çalıştığını öğrendik.

Fakat bu bilgi şu soruyu tek başına cevaplamaz:

“Önümde yeni bir teorem var. Nereden başlamalıyım?”

Bu birim tam olarak bu boşluğu doldurur.

Tarihsel gelişim

Matematiksel ispatın tek bir mucidi yoktur.

Dedüktif akıl yürütmenin çok eski örnekleri bulunmakla birlikte, Antik Yunan matematiğinde tanımlar, varsayımlar ve sonuçlar arasında sistematik çıkarım kurma düşüncesi belirgin bir biçim kazandı.

Özellikle Öklid'in Elementler adlı eseri, yaklaşık MÖ 300 civarında matematiksel bilgiyi:

tanımlar → başlangıç kabulleri → önermeler → ispatlar

şeklinde düzenleyen etkili örneklerden biri oldu.

Ancak bugün kullandığımız ispat dili bununla bir anda oluşmadı.

Cebirsel gösterimlerin gelişmesi, kalkülüsün ortaya çıkması ve özellikle 19. yüzyılda analizde kesinlik sorunlarının önem kazanmasıyla matematiksel ispatın dili ve standartları giderek değişti.

Dolayısıyla bugün “iyi bir ispat” dediğimiz biçim, tek bir kişinin icadı değil, yüzyıllar boyunca gelişen matematiksel pratiğin sonucudur.

Nerelerde kullanılır?

Matematiğin içinde:
Bundan sonraki hemen her ileri matematik alanında asıl çalışma biçimidir. Lineer cebirden reel analize, soyut cebirden topolojiye kadar bir tanımın sonuçlarını çıkarmak ve teoremleri anlamak ispat okumayı ve üretmeyi gerektirir.

Bilgisayar biliminde:
Bir algoritmanın her girdi için doğru çalıştığını göstermek, yalnızca birkaç örnekte programı çalıştırmakla mümkün değildir. Döngü değişmezleri, tümevarım ve mantıksal çıkarımlar kullanılarak algoritmanın doğruluğu ispatlanabilir.

Sayısal yöntemlerde:
Bir bilgisayar algoritmasının yaklaşık sonuç üretmesi yetmez. Hatanın ne kadar olabileceği veya yöntemin belirli koşullarda çözüme yakınsayıp yakınsamadığı matematiksel olarak gerekçelendirilir.

Bilim ve mühendislikte:
Fiziksel model deneyle sınanırken, modelin içindeki matematiksel sonuçlar ispat yoluyla elde edilir. Örneğin belirli varsayımlar altında bir diferansiyel denklemin çözümünün tek olduğunun gösterilmesi, aynı başlangıç durumunun iki farklı gelecek üretmeyeceğini matematiksel olarak garanti eder.

1. Bir ispatı okumadan önce teoremi okumak

İspat okumadaki en yaygın hata şudur:

Teoremi tam anlamadan doğrudan ispatın ilk satırına geçmek.

Oysa ispatın ne yaptığını anlamak için önce neyi ispatlamaya çalıştığını bilmeliyiz.

Bir teoremi okurken önce şu parçaları ayırırız:

Hangi nesnelerden söz ediliyor?
Bu nesnelerin hangi kümede olduğu belirtilmiş?
Varsayımlar nelerdir?
Sonuç nedir?
Niceleyiciler nelerdir?
Tanımların hangileri kullanılacak gibi görünüyor?

Teoremi parçalarına ayırmak

İddiayı tekrar ele alalım:

Her $n\in\mathbb Z$ için, $n^2$ çift ise $n$ çifttir.

Bunun mantıksal iskeleti:

\forall n\in\mathbb Z, \qquad n^2\text{ çift}\Rightarrow n\text{ çift}.

Burada:

evren: tam sayılar,
değişken: $n$ ,
varsayım: $n^2$ çifttir,
sonuç: $n$ çifttir,
mantıksal yapı: $P\Rightarrow Q$ .

Ayrıca “çift” kelimesinin tanımını hatırlamalıyız:

n\text{ çift} \iff \exists k\in\mathbb Z:\ n=2k.

İspatın büyük kısmı daha başlamadan görünür hâle geldi.

Bir teoremde geçen kelimeler günlük dildeki kelimeler değildir.

“Çift”, “sürekli”, “birebir”, “alt küme”, “yakınsak” gibi sözcüklerin her biri birer matematiksel tanımdır.

Bu nedenle ispat ararken en güçlü ilk sorulardan biri şudur:

Buradaki kelimelerin tanımı neydi?

2. İspat okumak

Bir ispat roman gibi okunmamalıdır.

İspatta her satırın bir görevi vardır.

İyi bir okuyucu her adımda üç soru sorar:

Bu satır ne söylüyor?
Neden doğru?
Bu satır bizi hedefe nasıl yaklaştırıyor?

Şimdi az önceki ispatı bu gözle okuyalım.

Satır satır okunan bir ispat

Teorem. Her $n\in\mathbb Z$ için, $n^2$ çift ise $n$ çifttir.

İspat. Karşıt tersini ispatlayacağız.

$n$ 'nin tek olduğunu varsayalım.

O hâlde bir $k\in\mathbb Z$ için

n=2k+1

yazılabilir.

Böylece:

n^2=(2k+1)^2 =4k^2+4k+1 =2(2k^2+2k)+1.

$2k^2+2k\in\mathbb Z$ olduğundan $n^2$ tektir.

Dolayısıyla

n\text{ tek}\Rightarrow n^2\text{ tek}

olduğunu gösterdik.

Bu, başlangıçtaki önermenin karşıt tersidir. O hâlde

n^2\text{ çift}\Rightarrow n\text{ çift}.

Şimdi satırların arkasındaki işlevleri açalım.

“Karşıt tersini ispatlayacağız.”

Bu bir hesap değildir.

Bu satır stratejiyi bildirir.

“ $n$ 'nin tek olduğunu varsayalım.”

Karşıt tersin öncülünü kabul ediyoruz.

“ $n=2k+1$ yazılabilir.”

Bu yeni bir teorem değil.

Tek sayı tanımını açıyoruz.

Kare alma ve düzenleme

Amaç yalnızca cebir yapmak değildir.

Hedefimiz sonucu:

2m+1

biçimine sokmaktır.

Çünkü tek sayı tanımına ulaşmak istiyoruz.

“ $2k^2+2k\in\mathbb Z$ ”

Bu küçük ayrıntı önemlidir.

$n^2$ 'yi

2(\text{bir şey})+1

şeklinde görmek yetmez.

Parantezin içindeki şeyin gerçekten bir tam sayı olduğunu bilmeliyiz.

Son satır

İspat yalnızca $n$ tekken $n^2$ 'nin tek olduğunu gösterdi.

Başlangıçtaki iddia farklıydı.

Son satır, iki önerme arasındaki mantıksal eşdeğerliği kullanarak köprüyü tamamlıyor.

İspat okumanın beş geçişi

Bir ispatı beş kez farklı amaçla oku

Bir ispatı anlamak için onu aynı biçimde tekrar tekrar okumak yerine beş farklı geçiş yapmak daha yararlıdır.

1. Teoremi oku

Henüz ispata bakma.

Varsayımı ve sonucu kendin belirle.

2. Stratejiyi bul

İspat:

doğrudan mı,
karşıt tersle mi,
çelişkiyle mı,
durumlara ayırarak mı,
tümevarımla mı

ilerliyor?

3. Her satırı gerekçelendir

Her eşitlik veya çıkarım için:

“Bunu neden yazabildi?”

diye sor.

4. Büyük resmi çıkar

Ayrıntıları bir an bırak.

İspatın özü bir cümlede ne?

Örneğimizde:

“Bir sayının tek olduğunu varsayıp karesinin de tek olduğunu gösteriyoruz.”

5. İspatı kapat ve yeniden kur

İspatı gerçekten anlayıp anlamadığımızın en iyi sınamalarından biri budur.

Metni kapat.

Aynı fikri kendi cümlelerinle yeniden üretmeye çalış.

Bir ispatı okurken:

“Evet, burası mantıklı.”

hissine kapılmak, ispatı gerçekten anladığımızı garanti etmez.

Tanıma (recognition) ile üretme (recall/reconstruction) farklı becerilerdir.

Bir ispatı kendi başına yeniden kuramıyorsan, büyük ihtimalle henüz yalnızca takip ediyorsundur.

3. İspat bulmak: nereden başlanır?

İspat bulmanın tek bir algoritması yoktur.

Eğer olsaydı, matematik yapmak büyük ölçüde mekanik bir işlem olurdu.

Fakat bu:

“İspat tamamen ilham işidir.”

anlamına da gelmez.

Aramayı büyük ölçüde yönlendiren sistematik araçlarımız vardır.

İspat üretme döngüsü

İDDİA
  │
  ▼
Mantıksal yapıyı çöz
  │
  ▼
Tanımları aç
  │
  ▼
Küçük örnekleri incele
  │
  ▼
Uygun stratejiyi seç
  │
  ▼
Taslak üzerinde çalış
  │
  ├───────────────┐
  │               │
  │ işlemiyor     │
  │               ▼
  │        başka yol dene
  │               │
  └───────────────┘
  │
  ▼
Argümanı doğrula
  │
  ▼
Temiz ispatı yaz

İspat süreci iddiayı çözümlemekle başlar; tanımlar ve örnekler incelendikten sonra bir strateji denenir, taslak test edilir ve gerekirse önceki aşamalara dönülür.

Bu süreç doğrusal olmak zorunda değildir.

Gerçek matematikte sık sık geri dönersiniz.

Bir yöntem denersiniz.

Çalışmaz.

Tanıma dönersiniz.

Bir örnek hesaplarsınız.

Yeni bir fikir görürsünüz.

Sonra başka bir yöntem denersiniz.

Bu başarısızlık değil, ispat arama sürecinin kendisidir.

4. İlk araç: mantıksal biçime bakmak

Önceki derslerde öğrendiğimiz ispat yöntemlerinin her biri belirli mantıksal yapılara doğal olarak uyar.

İddianın biçimi	İlk düşünülmesi gereken yol
$P\Rightarrow Q$	Doğrudan ispat
$P\Rightarrow Q$ fakat doğrudan yol zor	Karşıt ters
İmkânsızlık veya güçlü bir olumsuz sonuç	Çelişki
$P\Leftrightarrow Q$	İki yönü ayrı ispatlamak
$\exists x\,P(x)$	Bir örnek/inşa bulmak
$\exists!x\,P(x)$	Önce varlık, sonra teklik
Birkaç ayrık olasılık	Durumlara ayırmak
Bütün doğal sayılar için ardışık yapı	Tümevarım

Bu tablo bir mekanik karar algoritması değildir.

Örneğin bir $P\Rightarrow Q$ önermesi:

doğrudan,
karşıt tersle,
hatta bazen çelişkiyle

ispatlanabilir.

Tablo yalnızca:

“İlk olarak hangi kapıyı yoklamalıyım?”

sorusuna yardımcı olur.

5. İkinci araç: tanımları açmak

Yeni başlayanların sık yaptığı hata, teoremi uzun süre aynı kelimelerle düşünmektir.

Örneğin:

“ $A$ , $B$ 'nin alt kümesiyse ve $B$ , $C$ 'nin alt kümesiyse $A$ , $C$ 'nin alt kümesidir.”

Bunu uzun süre seyretmek yerine “alt küme” tanımını açalım.

A\subseteq B

demek:

\forall x,\qquad x\in A\Rightarrow x\in B

demektir.

Benzer şekilde:

B\subseteq C

demek:

x\in B\Rightarrow x\in C

demektir.

Hedefimiz:

A\subseteq C,

yani:

x\in A\Rightarrow x\in C.

Artık ispat neredeyse görünür hâle gelir.

Tanımı açarak bulunan ispat

$A\subseteq B$ ve $B\subseteq C$ olsun.

$A\subseteq C$ olduğunu göstereceğiz.

Keyfî bir $x\in A$ alalım.

$A\subseteq B$ olduğundan:

x\in B.

Ayrıca $B\subseteq C$ olduğundan:

x\in C.

Dolayısıyla her $x\in A$ için $x\in C$ olur.

Bu nedenle:

A\subseteq C.

İspatlarda çok güçlü bir alışkanlık:

Soyut kelimeyi tanımına dönüştür.

Çünkü çoğu zaman ispatın yolu doğrudan tanımın içindedir.

6. Üçüncü araç: hedeften geriye doğru düşünmek

İspatın yazılı hâli genellikle:

\text{varsayım} \rightarrow \cdots \rightarrow \text{sonuç}

şeklinde ilerler.

Fakat ispatı bulurken bazen ters yönde düşünmek daha kolaydır.

Diyelim hedefimiz:

A\subseteq C.

Bunu göstermek için ne gerekir?

Keyfî bir:

x\in A

aldığımızda:

x\in C

göstermemiz gerekir.

Peki $x\in C$ sonucuna nasıl ulaşabiliriz?

Elimizde:

B\subseteq C

var.

Dolayısıyla $x\in B$ gösterebilirsek yeterli.

Peki $x\in B$ 'yi nereden bulabiliriz?

A\subseteq B

varsayımından.

Böylece zihnimizde geriye doğru:

x\in C \Leftarrow x\in B \Leftarrow x\in A

zincirini buluruz.

Fakat temiz ispatı ileri yönde yazarız:

x\in A \Rightarrow x\in B \Rightarrow x\in C.

Keşif yönü ile yazım yönü farklı olabilir

İspatı:

geriye doğru keşfedip

ama

ileriye doğru yazabiliriz.

Bu son derece normaldir.

7. Dördüncü araç: küçük örneklerle araştırmak

Örnekler ispat değildir.

Bunu 01.06.02'de öğrendik.

Fakat örnekler ispat bulmak için son derece değerlidir.

Diyelim şu iddia verilmiş olsun:

İki ardışık tam sayının çarpımı çifttir.

Örnekler:

2\cdot3=6,

3\cdot4=12,

4\cdot5=20,

11\cdot12=132.

Bunlar teoremi ispatlamaz.

Ama bize yapıyı gösterir:

Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çifttir.

Şimdi ispat fikri ortaya çıkar.

Herhangi iki ardışık tam sayı $n$ ve $n+1$ biçimindedir.

Her tam sayı ya çift ya tektir.

Eğer $n$ çiftse, $n(n+1)$ çifttir.
Eğer $n$ tekse $n+1$ çifttir; dolayısıyla yine $n(n+1)$ çifttir.

Her iki durumda da çarpım çifttir.

Örneğin burada oynadığı rol:

\text{örnek} \not\Rightarrow \text{ispat}

ama:

\text{örnek} \rightarrow \text{örüntü} \rightarrow \text{ispat fikri}

olabilir.

8. Karşı örnek aramak da ispat aramanın parçasıdır

Bazen önümüzdeki iddia zaten yanlıştır.

Yanlış bir teoremin ispatını saatlerce aramanın anlamı yoktur.

Örneğin:

Eğer $ab$ çiftse hem $a$ hem $b$ çifttir.

İlk örnek:

a=2,\qquad b=3

alalım.

ab=6

çifttir.

Ama $b=3$ tektir.

Dolayısıyla iddia yanlıştır.

2\cdot3=6

olduğu hâlde $3$ çift değildir.

Bu nedenle:

“ $ab$ çiftse hem $a$ hem $b$ çifttir.”

önermesi doğru değildir.

Fakat karşı örnek bize daha doğru bir iddiayı da düşündürebilir:

$ab$ çiftse en az birisi çifttir.

İspat araştırması bazen yalnızca bir teoremi kanıtlamak değil, doğru teoremin ne olduğunu keşfetmek anlamına gelir.

9. İspat bulmak ile ispat yazmak aynı süreç değildir

Gerçek ispat çalışması çoğu zaman oldukça dağınıktır.

Karalama kâğıdında şunlar bulunabilir:

yarım kalmış denemeler,
başarısız cebir,
özel örnekler,
çizimler,
oklar,
“burada karşıt ters?” gibi notlar,
yanlış yollar,
geri dönüşler.

Bu normaldir.

Ama son ispat bu arama günlüğünün aynısı olmamalıdır.

Keşif ve sunum

KEŞİF

örnek → deneme → çıkmaz
            ↑       │
            │       ▼
      yeni fikir ← başka deneme
            │
            ▼
        doğru yol


SUNUM

varsayım
   │
   ▼
gerekçeli adım
   │
   ▼
gerekçeli adım
   │
   ▼
sonuç

İspatın keşif aşaması dağınık ve geri dönüşlü olabilir; son sunum ise yalnızca gerekli mantıksal yolu açık biçimde göstermelidir.

Bir matematikçinin yayımladığı temiz ispatı gördüğümüzde, ispatın da aynı temizlikte keşfedildiğini sanmamalıyız.

Son metin, keşif sürecinin ayıklanmış hâlidir.

10. İyi bir ispat nasıl yazılır?

İyi ispat yalnızca doğru olmak zorunda değildir.

Aynı zamanda başka bir insanın:

“Bu sonuç gerçekten buradan çıkıyor.”

diyebilmesini sağlamalıdır.

10.1. Başlangıç nesnelerini açıkça belirt

Örneğin:

$n\in\mathbb Z$ olsun.

veya:

$A,B,C$ kümeleri için $A\subseteq B$ ve $B\subseteq C$ olduğunu varsayalım.

Okuyucu hangi nesneler üzerinde çalışıldığını bilmelidir.

10.2. Keyfî nesneyi gerçekten keyfî seç

Bir evrensel iddiayı:

\forall x\in A

ispatlıyorsanız özel bir $x$ seçmemelisiniz.

“Keyfî bir $x\in A$ alalım.”

demenizin nedeni budur.

İspatın sonunda $x$ hakkında ulaştığınız sonuç, seçimde özel hiçbir özellik kullanmadığınız için bütün $x$ 'ler için geçerli olur.

10.3. Yeni değişkenleri tanımla

Şu ifade kötü yazımdır:

n=2k+1.

Eğer $k$ daha önce hiç tanımlanmadıysa okuyucu şunu sormalıdır:

$k$ nedir?

Daha doğru biçim:

$n$ tek olduğundan bir $k\in\mathbb Z$ vardır ve
$n=2k+1.$

10.4. Önemli stratejiyi söyle

Karşıt ters veya çelişki gibi doğrudan görünmeyen bir yöntem kullanılıyorsa okuyucuya söylemek yararlıdır:

Karşıt tersini ispatlayacağız.

veya:

Aksini varsayarak çelişkiye ulaşacağız.

Bu, ispatın yönünü görünür kılar.

10.5. Her küçük aritmetik ayrıntıyı açıklamak gerekmez

İspat:

$2+2=4$ çünkü doğal sayıların toplama işlemi...

şeklinde gereksiz açıklamalarla boğulmamalıdır.

Ama kritik mantıksal geçişler de saklanmamalıdır.

İyi yazımın amacı:

\text{gereksiz ayrıntı} \quad\text{ile}\quad \text{tehlikeli boşluk}

arasında doğru dengeyi kurmaktır.

10.6. Sonucun gerçekten hedef olduğunu göster

İspatın sonunda:

Dolayısıyla $A\subseteq C$ .

gibi hedefe dönmek yararlıdır.

Özellikle uzun ispatlarda okuyucunun hangi sonucu tamamladığımızı görmesini sağlar.

11. Aynı ispatın kötü ve iyi yazımı

Kötü yazılmış ispat

Teorem: İki tek tam sayının toplamı çifttir.

“Kendileri tek olduğu için $2k+1$ şeklindedir. Toplarsak $2k+1+2k+1=4k+2$ , bu da çift. Bitti.”

Burada fikir doğruya yakın olsa da yazımda sorunlar var.

İki farklı tek sayı aynı $k$ ile gösterilmiş.

Örneğin $3$ ve $7$ için:

3=2(1)+1,

7=2(3)+1.

Aynı $k$ olmak zorunda değiller.

Daha temiz ispat:

Düzeltilmiş ispat

$a$ ve $b$ tek tam sayılar olsun.

Tek sayı tanımından, bazı $k,m\in\mathbb Z$ için:

a=2k+1

b=2m+1

yazılabilir.

O hâlde:

a+b = (2k+1)+(2m+1)

ve dolayısıyla:

a+b = 2(k+m+1).

$k+m+1\in\mathbb Z$ olduğundan $a+b$ çift bir tam sayıdır.

Burada ispat yalnızca daha “resmî” görünmüyor.

Gerçek bir mantıksal hatayı da ortadan kaldırıyor.

12. Bir ispatın doğruluğunu nasıl denetleriz?

İspatı bitirdiğimizde hemen bırakmamalıyız.

Şimdi okuyucu rolüne geçeriz.

Kendi ispatımıza şüpheyle bakarız.

Aşağıdaki sorular güçlü bir kontrol listesidir.

1. Tam olarak istenen şeyi mi ispatladım?

Örneğin:

P\Rightarrow Q

istenirken yanlışlıkla:

Q\Rightarrow P

ispatlamış olabiliriz.

2. Sonucu bir yerde gizlice varsaydım mı?

Eğer ispatlanacak sonucu daha önce kabul edip sonra ona geri döndüysek döngüsel akıl yürütme yapmışızdır.

3. Kullandığım her değişken tanımlı mı?

Özellikle:

k,m,n,x

gibi değişkenlerin hangi kümelere ait olduğu önemlidir.

4. “Her” iddiasında nesnem gerçekten keyfî miydi?

Özel bir örnek seçerek evrensel iddia ispatlanamaz.

5. “Vardır” iddiasında gerçekten bir nesne ürettim mi?

Varlık ispatında bulduğumuz nesnenin istenen bütün özellikleri sağladığını kontrol etmeliyiz.

6. “Yalnız bir tane vardır” iddiasında tekliği de gösterdim mi?

Varlık:

\exists x

ile teklik:

\exists!x

aynı şey değildir.

7. “Ancak ve ancak”ta iki yönü de gösterdim mi?

P\Leftrightarrow Q

için hem:

P\Rightarrow Q

hem:

Q\Rightarrow P

gereklidir.

8. Durumlara ayırdıysam bütün durumları kapsıyor muyum?

Bir olasılığı unutmak bütün ispatı geçersiz kılabilir.

9. Tümevarımda başlangıç ve geçiş gerçekten tamam mı?

Özellikle:

P(k) \Rightarrow P(k+1)

yerine yalnızca $P(k+1)$ 'i yeniden yazmış olabiliriz.

10. Kullandığım sonuç, ispatlamaya çalıştığım teoreme bağlı mı?

Bir teoremi kendisini kullanarak ispatlayamayız.

13. İspatlarda sık görülen başarısızlık biçimleri

1. Örnekleri ispat sanmak

2^2,\ 4^2,\ 6^2,\ 8^2

çift diye:

“Bütün çift sayıların karesi çifttir.”

sonucu henüz ispatlanmış olmaz.

Örnekler fikir verir; evrenselliği ispat sağlamalıdır.

2. İddianın tersini ispatlamak

P\Rightarrow Q

ile:

Q\Rightarrow P

aynı şey değildir.

Bir teoremin tersini göstermek, asıl teoremi göstermeyebilir.

3. Hedefi varsaymak

İspatlamak istediğimiz sonucu başlangıçta doğru kabul edip ondan sonuçlar çıkararak tekrar aynı sonuca ulaşmak, döngüsel ispattır.

4. Tanımları belirsiz kullanmak

“Belli ki çift.”

yerine gerekiyorsa:

n=2k \qquad (k\in\mathbb Z)

biçimiyle çiftlik tanımının gerçekten sağlandığı gösterilmelidir.

5. ‘Açıktır’ kelimesini boşluğu örtmek için kullanmak

Bir adım gerçekten basitse açıklama gerekmeyebilir.

Ama:

“Açıktır ki...”

ifadesi anlamadığımız bir geçişi gizlemek için kullanılmamalıdır.

Kendine şu soruyu sor:

“Biri ‘neden?’ derse bir gerekçe verebilir miyim?”

6. Her probleme en gösterişli yöntemi uygulamak

Doğrudan iki satırda çözülebilecek bir teoremi gereksiz yere çelişkiyle ispatlamak ispatı zorlaştırabilir.

Amaç belirli bir yöntemi kullanmak değil:

En anlaşılır geçerli argümanı bulmaktır.

14. İspat bulamadığımızda ne yapmalıyız?

Bir teoreme bakıp hiçbir fikir gelmemesi normaldir.

Böyle bir durumda aşağıdaki sırayı kullanabiliriz.

İspat arama kontrol listesi

1. İddiayı kendi sözlerinle söyle.

Gerçekten ne söylendiğini anlıyor musun?

2. Niceleyicileri belirle.

“Her”, “vardır”, “yalnız bir tane vardır” gibi ifadeleri bul.

3. Varsayım ile sonucu ayır.

Nereden başlıyoruz, nereye gitmek istiyoruz?

4. Tanımları yaz.

Soyut terimleri kesin tanımlarına dönüştür.

5. Basit örnekler dene.

İddiayı anlamaya çalış; ama örnekleri ispat sanma.

6. Karşı örnek ara.

Belki iddia yanlıştır.

7. Sonuçtan geriye doğru düşün.

Sonuca ulaşmak için bir önceki adım ne olabilir?

8. Varsayımdan ileri doğru düşün.

Elindeki bilgiler doğal olarak ne veriyor?

9. Mantıksal biçime uygun ispat yöntemlerini dene.

Doğrudan, karşıt ters, çelişki, durumlar, tümevarım...

10. İki yöndeki zincirleri birleştirmeye çalış.

Varsayımdan ileri çıkanlarla hedeften geriye gerekenler aynı noktada buluşabilir.

15. Bir örnekte bütün süreci görelim

Yeni problem

$a,b\in\mathbb Z$ olsun.

Eğer:

a+b

tekse, $a$ ile $b$ 'den biri çift, diğeri tektir.

Bunu ispatlayalım.

Adım 1 — İddiayı çöz

Varsayım:

a+b\text{ tek}.

Sonuç:

$a$ ve $b$ farklı paritededir.

Yani iki olasılık var:

a\text{ çift},\ b\text{ tek}

veya:

a\text{ tek},\ b\text{ çift}.

Adım 2 — Hangi yollar mümkün?

Doğrudan ispat deneyebiliriz.

Fakat $a+b$ 'nin tek olmasından tek başına $a$ 'nın veya $b$ 'nin hangisinin çift olduğunu çıkaramayız.

Sonucun kendisi iki durum içeriyor.

Bu bize durumlara ayırmayı düşündürüyor.

Her tam sayı ya çifttir ya tektir.

$a$ için iki durum inceleyebiliriz.

Adım 3 — Taslak

Durum 1: $a$ çift

Bazı $k\in\mathbb Z$ için:

a=2k.

$a+b$ tek olduğundan bazı $m\in\mathbb Z$ için:

a+b=2m+1.

O hâlde:

b=(2m+1)-2k

ve:

b=2(m-k)+1.

Dolayısıyla $b$ tek.

Durum 2: $a$ tek

Bazı $k\in\mathbb Z$ için:

a=2k+1.

Yine:

a+b=2m+1.

O hâlde:

b=(2m+1)-(2k+1)

ve:

b=2(m-k).

Dolayısıyla $b$ çift.

Her iki durumda da biri çift, diğeri tektir.

Artık temiz ispatı yazabiliriz.

Temizlenmiş ispat

$a+b$ tek olsun.

Her tam sayı ya çift ya tek olduğundan $a$ için iki durum vardır.

1. $a$ çift olsun.

Bir $k\in\mathbb Z$ için:

a=2k.

$a+b$ tek olduğundan bir $m\in\mathbb Z$ için:

a+b=2m+1.

Böylece:

b = 2m+1-2k = 2(m-k)+1.

$m-k\in\mathbb Z$ olduğundan $b$ tektir.

2. $a$ tek olsun.

Bir $k\in\mathbb Z$ için:

a=2k+1.

Yine bir $m\in\mathbb Z$ için:

a+b=2m+1.

Dolayısıyla:

b = 2m+1-(2k+1) = 2(m-k).

$m-k\in\mathbb Z$ olduğundan $b$ çifttir.

Her iki durumda da $a$ ile $b$ 'den biri çift, diğeri tektir.

Burada önemli olan yalnızca ispatın kendisi değildir.

İspatın nasıl bulunduğudur:

\text{sonuç iki olasılıklı} \rightarrow \text{parite tanımı} \rightarrow \text{durumlara ayırma} \rightarrow \text{cebir} \rightarrow \text{tanıma geri dönme}.

16. Bir ispatın “özünü” çıkarmak

Uzun bir ispatı hatırlamanın en iyi yolu bütün satırlarını ezberlemek değildir.

Onun iskeletini bulmaktır.

Az önceki ispatın iskeleti:

a için iki olasılık var:

1. a çiftse:
   toplam tek → b tek.

2. a tekse:
   toplam tek → b çift.

İki durumda da pariteler farklı.

Bu iskeleti biliyorsanız cebirsel ayrıntıları yeniden üretebilirsiniz.

Bir ispatı öğrenirken:

Satırları değil, hareketleri hatırla.

Örneğin:

“Tanımı aç.”
“Keyfî eleman al.”
“Karşıt terse geç.”
“İki duruma ayır.”
“Aranan biçime dönüştür.”
“Çelişki üret.”
“Tümevarım varsayımını kullan.”

Bunlar farklı problemlerde yeniden kullanılabilen düşünme kalıplarıdır.

17. İspat okurken kendine soru sormak

Pasif biçimde:

“Sonra bunu yaptı, sonra bunu yaptı...”

demek yerine şu soruları kullan:

Başlangıçta

Teorem tam olarak ne söylüyor?
Varsayım nedir?
Sonuç nedir?
Hangi tanımlar burada önemli?

İspat sırasında

Neden bu değişkeni seçti?
Neden bu yönteme geçti?
Bu satır hangi önceki bilgiye dayanıyor?
Başka bir yol mümkün müydü?
Bu koşulu kullanmazsak ispat yine çalışır mı?

İspat sonunda

İspatın temel fikri tek cümlede nedir?
En kritik adım hangisiydi?
Hangi varsayım nerede kullanıldı?
Bir varsayımı kaldırırsak teorem hâlâ doğru mu?
Ben bunu metne bakmadan yeniden kurabilir miyim?

18. İspat yazımında matematiksel dil

İyi bir ispatta semboller ve Türkçe cümleler birbirinin rakibi değildir.

İkisini birlikte kullanırız.

Tercih edilmeyen:

n=2k+1\Rightarrow n^2=4k^2+4k+1 \Rightarrow2(2k^2+2k)+1 \Rightarrow\text{tek} \Rightarrow\dots

Bu sıkıştırılmış ifade, hesabı gösterir fakat akıl yürütmenin bağlamını zayıflatır.

Daha iyi:

$n$ tek olduğundan bir $k\in\mathbb Z$ için $n=2k+1$ yazılabilir. Dolayısıyla
$n^2=2(2k^2+2k)+1.$
$2k^2+2k$ bir tam sayı olduğundan $n^2$ tektir.

Matematiksel semboller kesinlik sağlar.

Cümleler ise sembollerin mantıksal rolünü açıklar.

19. Ne kadar ayrıntı yazmalıyız?

Tek bir mutlak cevap yoktur.

İspatın okuyucusuna ve seviyesine bağlıdır.

Bu aşamada temel ölçümüz şudur:

Okuyucu, her önemli geçiş için “neden?” sorusuna cevap bulabilmeli.

Örneğin:

2k+2m=2(k+m)

adımını uzun uzun açıklamak gereksiz olabilir.

Ama:

“Dolayısıyla $n$ çifttir.”

diyorsanız, çift sayı tanımına nasıl ulaştığınız görünür olmalıdır.

Matematiksel olgunluk arttıkça bazı standart adımlar daha kısa yazılır.

Fakat mantıksal boşluk, kısa yazmakla aynı şey değildir.

20. İspatın sınırı: ispat neyi garanti eder?

Bir teoremin ispatı şunu söyler:

Verilen varsayımlar doğruysa sonuç zorunlu olarak doğrudur.

Bu çok önemli bir koşullu ifadedir.

İspat:

varsayımların fiziksel dünyada doğru olduğunu,
matematiksel modelin gerçeği eksiksiz temsil ettiğini,
ölçümlerde hata bulunmadığını

tek başına garanti etmez.

Örneğin fiziksel bir model:

F=ma

gibi bir yasa ve bazı ideal varsayımlar kullanabilir.

Bu varsayımlar altında yapılan matematiksel çıkarımlar kesin olabilir.

Fakat modelin gerçek sistemi ne kadar iyi temsil ettiği ayrıca deneysel bir sorudur.

Böylece:

\text{matematiksel ispat}

ile:

\text{deneysel doğrulama}

arasındaki ayrımı koruruz.

21. Bundan sonra ispat nasıl çalışılmalı?

İspat becerisi yalnızca ispat dersleriyle gelişmez.

Bundan sonraki matematikte her yeni tanım ve teorem aynı zamanda ispat çalışmasıdır.

Bir teorem gördüğünde mümkünse şu sırayı dene:

Teoremi oku.
İspatı hemen açma.
Beş-on dakika kendin düşün.
Tanımları yaz.
Küçük örnekler dene.
Olası yöntemi tahmin et.
Sonra verilen ispatı oku.
Kendi yaklaşımınla karşılaştır.
İspatı kapat.
Ertesi gün ana fikrini yeniden kur.

Bu çalışma biçimi zamanla şu dönüşümü üretir:

\text{“İspatı anlayabiliyorum.”}

seviyesinden:

\text{“İspatı tahmin edebiliyorum.”}

ve sonunda:

\text{“İspatı kendim üretebiliyorum.”}

seviyesine geçiş.

Matematik haritasındaki bağlantı

Bu birimden sonra ispat artık ayrı bir konu değildir.

Dünya 2'de:

sayıların özelliklerini,
bölünebilirliği,
asal sayıları,

Dünya 3'te:

cebirsel sonuçları,
fonksiyon özelliklerini,

Dünya 4'te:

vektör uzaylarını,
lineer bağımsızlığı,
dönüşümleri,

Dünya 5'te:

limitleri,
sürekliliği,
yakınsaklığı,

ve daha ileride:

soyut cebiri,
topolojiyi,
analizi

öğrenirken sürekli aynı becerileri kullanacağız.

Dolayısıyla haritadaki ilişki artık şöyledir:

\text{Mantık} \rightarrow \text{İspat yöntemleri} \rightarrow \boxed{\text{İspat pratiği}} \rightarrow \text{geri kalan matematiğin tamamı}.

01.06.09 bir bölümün sonu olsa da aslında matematik öğrenme biçimimizin başlangıcıdır.

Alıştırmalar

1. Kavrama

Aşağıdaki üç kavramın neden farklı beceriler olduğunu kendi sözlerinle açıkla:

İspat okumak
İspat bulmak
İspat yazmak

2. İspatın yapısını tanıma

Şu iddia için hangi yöntem sana ilk olarak daha doğal geliyor?

$n\in\mathbb Z$ ve $n^2$ tek ise $n$ tektir.

doğrudan ispat,
karşıt ters,
çelişki,
durumlara ayırma?

Seçimini yalnızca yöntem adı vererek değil, neden açıklayarak gerekçelendir.

3. Tanımdan ispat üretme

$A,B,C$ kümeleri için:

A\subseteq B \qquad\text{ve}\qquad B\subseteq C

ise:

A\subseteq C

olduğunu, yukarıdaki ispatı ezberden tekrar etmek yerine yalnızca alt küme tanımından yeniden üret.

4. Hata bulma

Şu sözde ispatı incele:

İki tek sayı $a$ ve $b$ olsun. Tek olduklarından $a=2k+1$ ve $b=2k+1$ yazılır. Dolayısıyla
$a+b=4k+2=2(2k+1),$
yani toplam çifttir.

Sonuç doğru olmasına rağmen ispatta hangi sorun vardır?

İspatı düzelt.

5. Transfer

İspatla:

$a,b\in\mathbb Z$ ve $ab$ tek ise hem $a$ hem $b$ tektir.

Önce doğrudan ispata başlamadan şunları yaz:

Varsayım
Sonuç
Sonucun değili
Sana en doğal görünen ispat yöntemi
Kullanmayı beklediğin tanımlar

Sonra ispatı kur.

6. Karşı örnek

Şu iddia doğru mudur?

$a^2=b^2$ ise $a=b$ .

Doğruysa ispatla.

Yanlışsa karşı örnek ver ve doğru hâle getirilebilecek daha güçlü bir ifade öner.

7. İspat stratejisi

Şu ifadeler için önce ispat yazmadan yalnızca uygun ilk stratejiyi belirle:

Bir tam sayının karesi tekse sayı tektir.
İki ardışık tam sayının çarpımı çifttir.
$\sqrt2$ rasyonel değildir.
$A=B$ olduğunu göstermek istiyoruz.
Her $n\in\mathbb N$ için belirli bir toplam formülünü göstermek istiyoruz.
Bir denklemin tam olarak bir çözümü olduğunu göstermek istiyoruz.

Her seçim için bir cümle gerekçe yaz.

Aşağıdaki soruların çoğuna rahatça cevap verebiliyorsan birimin ana hedeflerine ulaşmışsın demektir.

Bir teoremi okumaya neden ispatın ilk satırından başlamamalıyız?
Bir $P\Rightarrow Q$ iddiasında varsayım ve sonuç nasıl belirlenir?
Tanımı açmak neden ispat bulmanın güçlü yollarından biridir?
Örnekler ispat değilse neden ispat ararken kullanılır?
Karşı örnek aramak neden önemlidir?
Hedeften geriye doğru çalışmak ne demektir?
İspatı bulma sırası ile yazma sırası neden farklı olabilir?
“Keyfî bir $x$ alalım” ifadesinin matematiksel görevi nedir?
İyi bir ispatta her adımın neden doğru olduğunun görünür olması neden önemlidir?
$P\Leftrightarrow Q$ ispatında kaç yön gösterilmelidir?
Bir varlık-teklik ispatının iki ayrı işi nedir?
İspat bittikten sonra hangi tür mantıksal hataları kontrol etmeliyiz?
Bir ispatı gerçekten anlayıp anlamadığını nasıl test edebilirsin?
İspat keşfi neden çoğu zaman son yazılmış ispat kadar temiz değildir?

Birim özeti

Bu derste yeni bir ispat yöntemi öğrenmedik.

Daha önemli bir şey yaptık:

ispat yapmayı bir problem çözme süreci olarak görmeye başladık.

Bir teoremle karşılaştığımızda temel çalışma düzenimiz artık:

\boxed{ \text{Oku} \rightarrow \text{Çözümle} \rightarrow \text{Tanımları aç} \rightarrow \text{Örnekle araştır} \rightarrow \text{Strateji seç} \rightarrow \text{Taslak kur} \rightarrow \text{Doğrula} \rightarrow \text{Temiz yaz} }

şeklindedir.

İspat okumak, başkasının mantıksal yolunu takip etmektir.

İspat bulmak, varsayımlar ile hedef arasında bir yol keşfetmektir.

İspat yazmak ise bu yolu başka bir insanın denetleyebileceği açık bir matematiksel argümana dönüştürmektir.

En önemli alışkanlıklardan bazıları:

Teoremi ispattan önce çözümlemek,
varsayım ve sonucu ayırmak,
tanımları açmak,
küçük örneklerle yapıyı araştırmak,
karşı örnek aramak,
mantıksal biçime uygun stratejiler denemek,
gerektiğinde hedeften geriye çalışmak,
başarısız denemelerden korkmamak,
keşif ile sunumu birbirinden ayırmak,
yazdığın ispatı sonradan eleştirel biçimde denetlemek.

Bir teoremin ispatını okuyabilmek başlangıçtır.

Asıl dönüm noktası şudur:

“Bu ispat neden böyle yapılmış?”

sorusundan:

“Ben olsaydım bu yolu nasıl bulabilirdim?”

sorusuna geçmek.

Bu noktadan sonra ispat, Dünya 1'de öğrenilmiş ayrı bir konu olmaktan çıkar ve geri kalan matematiği öğrenmenin temel araçlarından biri hâline gelir.

01.06.09 — İspat okumak, bulmak ve yazmak

Haritadaki yerimiz

Başlangıç problemi

Neden ayrı bir “ispat bulma” becerisine ihtiyacımız var?

Köken, ihtiyaç ve kullanım

Bu fikir neden var?

Hangi problemi çözer?

Tarihsel gelişim

Nerelerde kullanılır?

1. Bir ispatı okumadan önce teoremi okumak

2. İspat okumak

“Karşıt tersini ispatlayacağız.”

“nnn'nin tek olduğunu varsayalım.”

“n=2k+1n=2k+1n=2k+1 yazılabilir.”

Kare alma ve düzenleme

“2k2+2k∈Z2k^2+2k\in\mathbb Z2k2+2k∈Z”

Son satır

İspat okumanın beş geçişi

1. Teoremi oku

2. Stratejiyi bul

3. Her satırı gerekçelendir

4. Büyük resmi çıkar

5. İspatı kapat ve yeniden kur

3. İspat bulmak: nereden başlanır?

4. İlk araç: mantıksal biçime bakmak

5. İkinci araç: tanımları açmak

6. Üçüncü araç: hedeften geriye doğru düşünmek

7. Dördüncü araç: küçük örneklerle araştırmak

8. Karşı örnek aramak da ispat aramanın parçasıdır

9. İspat bulmak ile ispat yazmak aynı süreç değildir

10. İyi bir ispat nasıl yazılır?

10.1. Başlangıç nesnelerini açıkça belirt

10.2. Keyfî nesneyi gerçekten keyfî seç

10.3. Yeni değişkenleri tanımla

10.4. Önemli stratejiyi söyle

10.5. Her küçük aritmetik ayrıntıyı açıklamak gerekmez

10.6. Sonucun gerçekten hedef olduğunu göster

11. Aynı ispatın kötü ve iyi yazımı

12. Bir ispatın doğruluğunu nasıl denetleriz?

1. Tam olarak istenen şeyi mi ispatladım?

2. Sonucu bir yerde gizlice varsaydım mı?

3. Kullandığım her değişken tanımlı mı?

4. “Her” iddiasında nesnem gerçekten keyfî miydi?

5. “Vardır” iddiasında gerçekten bir nesne ürettim mi?

6. “Yalnız bir tane vardır” iddiasında tekliği de gösterdim mi?

7. “Ancak ve ancak”ta iki yönü de gösterdim mi?

8. Durumlara ayırdıysam bütün durumları kapsıyor muyum?

9. Tümevarımda başlangıç ve geçiş gerçekten tamam mı?

10. Kullandığım sonuç, ispatlamaya çalıştığım teoreme bağlı mı?

13. İspatlarda sık görülen başarısızlık biçimleri

14. İspat bulamadığımızda ne yapmalıyız?

15. Bir örnekte bütün süreci görelim

Adım 1 — İddiayı çöz

Adım 2 — Hangi yollar mümkün?

Adım 3 — Taslak

Durum 1: aaa çift

Durum 2: aaa tek

16. Bir ispatın “özünü” çıkarmak

17. İspat okurken kendine soru sormak

Başlangıçta

İspat sırasında

İspat sonunda

18. İspat yazımında matematiksel dil

19. Ne kadar ayrıntı yazmalıyız?

20. İspatın sınırı: ispat neyi garanti eder?

21. Bundan sonra ispat nasıl çalışılmalı?

Matematik haritasındaki bağlantı

Alıştırmalar

1. Kavrama

2. İspatın yapısını tanıma

3. Tanımdan ispat üretme

4. Hata bulma

5. Transfer

6. Karşı örnek

7. İspat stratejisi

“ $n$ 'nin tek olduğunu varsayalım.”

“ $n=2k+1$ yazılabilir.”

“ $2k^2+2k\in\mathbb Z$ ”

Durum 1: $a$ çift

Durum 2: $a$ tek