02.01.01 — Sayı neden ortaya çıktı?

Haritadaki yerimiz

Dünya 2 — Sayılar, Aritmetik ve Temel Sayı Yapıları
Bölüm 2.01 — Sayma ve Doğal Sayılar

Bu birimde henüz toplama, çıkarma veya doğal sayıların yapısıyla uğraşmayacağız.

Daha temel bir soruyla başlayacağız:

İnsan neden sayı diye bir fikir geliştirdi?

Birimin sonunda özellikle üç şeyi birbirinden ayırabilmeliyiz:

• çokluk,
• sayı,
• sayıyı gösteren sembol.

Bu ayrım, ileride doğal sayıları gerçekten anlamamız için temel olacak.

Başlangıç problemi: Kaç koyunum var?

Bir çobanın küçük bir sürüsü olduğunu düşünelim.

Sabah koyunlarını ağıldan çıkarıyor. Akşam geri geldiklerinde şu soruyu cevaplamak istiyor:

Hepsi geri geldi mi?

Fakat henüz sayı adlarını bilmiyor.

“On iki koyunum vardı.” diyemiyor.

12 diye bir sembolü de yok.

Peki yine de bir koyunun eksik olup olmadığını anlayabilir mi?

Evet.

Burada dikkat çekici bir şey oldu:

Hiç sayı kullanmadık.

Yalnızca iki topluluğun elemanlarını birbirleriyle eşleştirdik.

Koyunlar:   ●     ●     ●     ●     ●
            │     │     │     │     │
Taşlar:     ○     ○     ○     ○     ○

Bu fikir, saymanın altında yatan en temel yapılardan biridir:

bire bir eşleme.

Sayıdan önce: “Aynı miktarda” olma fikri

İki topluluğun büyüklüğünü karşılaştırmak için onların elemanlarını bire bir eşleyebiliriz.

Örneğin beş tabak ve beş bardak olduğunu henüz “beş” kelimesini kullanmadan da anlayabiliriz:

Tabak      Bardak

  ○   ───   |
  ○   ───   |
  ○   ───   |
  ○   ───   |
  ○   ───   |

Her tabağa tam bir bardak düşüyorsa iki toplulukta aynı sayıda nesne vardır.

Bir tarafta eşleşmeden kalan nesne varsa o taraf daha kalabalıktır.

Modern matematikte bu düşünceyi çok daha kesin bir biçimde yeniden göreceğiz.

İki kümenin elemanları arasında bire bir eşleme kurulabiliyorsa bu kümelerin aynı kardinaliteye, yani aynı eleman sayısına sahip olduğunu söyleriz.

Örneğin

ve

olsun.

Her koyuna tam bir taş ve her taşa tam bir koyun karşılık geliyorsa:

yazarız.

Buradaki $|A|$, $A$ kümesinin kaç elemanı bulunduğunu ifade eder.

Fakat sayı fikrinin asıl büyük sıçraması bundan sonra gelir.

Taşlar işe yarıyor; öyleyse sayıya neden ihtiyaç var?

Taş yöntemi oldukça güçlü görünüyor.

Neden bununla yetinmedik?

Çünkü bire bir eşleme belirli problemleri çözse de yeni sorunlarla karşılaşır.

Bir tüccarın deposundaki çuvalları düşünelim.

Her çuval için bir taş ayırabilir.

Ama şimdi başka şehirdeki ortağına şu bilgiyi göndermek istiyor:

“Depoda şu kadar çuval kaldı.”

Bütün taşları ortağına göndermesi mi gerekir?

Ya da üç farklı deponun büyüklüğünü karşılaştırmak istiyorsa her depo için ayrı taş torbaları mı taşımalıdır?

Daha da önemlisi, ortada artık nesneler bulunmadığında ne olacak?

Geçen yıl sahip olduğu hayvanların miktarını nasıl kaydedecek?

“Üç elma”dan “üç”e

Şimdi önümüzde şu üç topluluk olsun:

Elmalar:   ● ● ●

Taşlar:    ■ ■ ■

Sesler:    tak tak tak

Fiziksel olarak birbirlerinden tamamen farklıdırlar.

Birinde meyveler vardır.

Birinde taşlar vardır.

Birinde ise elle tutulur bir nesne bile yoktur; yalnızca üç kez oluşan bir ses vardır.

Fakat bunların ortak bir özelliği vardır.

Her birini diğerleriyle bire bir eşleyebiliriz:

Elma       Taş        Ses

 ●  ─────  ■  ─────  tak
 ●  ─────  ■  ─────  tak
 ●  ─────  ■  ─────  tak

İşte insan zihninin yaptığı büyük soyutlama şudur:

Elmayı unut.
Taşı unut.
Sesi unut.
Hepsinde ortak kalan şeyi düşün.

Ortak kalan şey:

üçlük fikridir.

Bunu bugün üç sayısı ile ifade ediyoruz.

Bu, matematiğin en temel zihinsel hareketlerinden biri olan soyutlamanın çok erken bir örneğidir.

Somut nesnelerden ortak yapı çıkarılmıştır.

Çokluk ile sayı aynı şey değildir

Burada üç farklı düzeyi ayırmak çok önemlidir.

1. Nesneler

Masada gerçekten duran elmalar:

🍎 🍎 🍎

2. Çokluk

Bu topluluğun sahip olduğu nicelik.

Nesnelerin “kaç tane olduğu”.

3. Sayı

Bu çokluğu nesnelerin türünden bağımsız olarak düşünmemizi sağlayan soyut matematiksel kavram:

üç

Daha ileride sayı kavramını çok daha kapsamlı biçimde geliştireceğiz.

Negatif sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar ortaya çıktığında “sayı” artık yalnızca fiziksel nesneleri sayma anlamına gelmeyecek.

Fakat sayı fikrine açılan ilk kapı çokluk problemidir.

Çok önemli ayrım: Sayı ile sembol aynı şey değildir

Şimdi belki en sık gözden kaçan ayrımlardan birine gelelim.

Şu işarete bakalım:

Bu işaret üç sayısının kendisi değildir.

Üç sayısını gösteren bir semboldür.

Aynı sayı başka biçimlerde de gösterilebilir:

3

III

•••

üç

Bunların görünüşleri farklıdır.

Fakat ifade ettikleri çokluk aynı olabilir.

Bunu gündelik dilden bir benzetmeyle düşünebiliriz.

kedi kelimesi gerçek bir kedi değildir.

Kelime yalnızca kediyi temsil eder.

Benzer şekilde:

işareti de üç sayısının kendisi değil, onun bir gösterimidir.

Peki rakam nedir?

Türkçede özellikle sayı ve rakam sık sık birbirine karıştırılır.

Onluk sistemde kullandığımız rakamlar şunlardır:

Bunlar sayıların yazımında kullandığımız temel sembollerdir.

Örneğin:

bir sayı gösterimidir.

Bu gösterim üç rakamdan oluşur:

Dolayısıyla:

“5728 dört rakamlı bir sayıdır.”

doğrudur.

Ama:

“5728 bir rakamdır.”

doğru değildir.

Basamaklı sayı sisteminin neden böyle çalıştığını 02.05.01 — Basamak değeri ve sayı sistemleri biriminde ayrıca inceleyeceğiz.

Saymanın özü nedir?

Şimdi artık saymayı biraz daha iyi çözümleyebiliriz.

Bir grup nesne sayılırken kabaca iki şey yapılır:

1. Her nesneye tam bir sayı sözcüğü karşılık getirilir.
2. Hiçbir nesne atlanmaz ve aynı nesne iki kez sayılmaz.

Örneğin:

●     ●     ●     ●
│     │     │     │
bir   iki   üç   dört

Son söylenen sayı sözcüğü yalnızca son nesnenin adı değildir.

Bütün topluluğun çokluğunu ifade eder:

dört nesne.

Bir sayı neden nesnelerin özelliğinden daha güçlüdür?

Şu iki topluluğa bakalım:

🐘 🐘 🐘

🐜 🐜 🐜

Birinci gruptaki hayvanlar çok büyük, ikinci gruptakiler çok küçüktür.

Kütleleri aynı değildir.

Kapladıkları alan aynı değildir.

Türleri aynı değildir.

Ama:

anlamında çoklukları aynıdır.

Sayı bütün diğer özellikleri bilinçli olarak görmezden gelir.

Bu ilk bakışta bilgi kaybı gibi görünebilir.

Aslında matematiksel gücü tam da buradan gelir.

Matematiğin ilerleyen bölümlerinde bu düşünceyi tekrar tekrar göreceğiz:

Gereksiz ayrıntıları at, ilgilendiğin yapıyı koru.

Sayı olmadan neyi kaybederdik?

Bir an için sayı kavramımızın hiç bulunmadığını düşünelim.

Bire bir eşlemeyle bazı karşılaştırmaları yapabilirdik.

Ama şu tür bilgileri taşımak son derece zorlaşırdı:

• Depoda kaç ürün kaldı?
• Kaç hayvan geri dönmedi?
• Kaç gün geçti?
• Bir topluluk diğerinden ne kadar fazla?
• Bir kayıt geçmişte ne kadar büyüktü?
• Bir maldan müşteriye kaç adet verildi?
• Aynı miktarı başka yerde nasıl yeniden oluşturacağız?

Sayı, çokluğu taşınabilir bilgiye dönüştürür.

Bir sürüyü yanımızda taşımamız gerekmez.

Onun çokluğunu soyutlayabiliriz.

Bu adım olmadan aritmetik kurulamazdı.

Çünkü toplama, çıkarma, çarpma gibi işlemleri önce çoklukların kendilerinden bağımsız sayılar üzerinde yapabilmemiz gerekir.

Tarihsel olarak sayı nasıl gelişti?

Sayı yalnızca gündelik hayat için mi ortaya çıktı?

Başlangıçta sayı fikrini sürü, mal, insan veya gün gibi somut çokluklarla ilişkilendirmek kolaydır.

Fakat sayı çok kısa sürede kendi başına matematiksel bir nesne hâline gelir.

Artık yalnızca:

“Kaç koyun var?”

diye sormayız.

Şunları da sormaya başlarız:

• Bir sayı diğerinden büyük mü?
• İki sayıyı birleştirirsek ne olur?
• Her sayının ardından başka bir sayı gelir mi?
• Sayılar sonsuza kadar devam eder mi?
• Bazı sayılar neden yalnızca belirli biçimlerde bölünebilir?

Böylece pratik bir ihtiyaçtan doğan fikir, kendi iç soruları olan bir matematik alanına dönüşür.

Bugün sayı nerelerde kullanılıyor?

Sayının sınırı: “Kaç tane?” her şeyi söylemez

Sayı son derece güçlüdür ama yalnızca belirli bir soruyu cevaplar.

Şu iki grup yine üçer elemanlı olsun:

1. grup:  🚲 🚲 🚲

2. grup:  🏠 🏠 🏠

Her iki grubun kardinalitesi:

olabilir.

Ama bundan:

• değerlerinin aynı olduğu,
• ağırlıklarının aynı olduğu,
• büyüklüklerinin aynı olduğu,
• birbirlerine eşit nesneler oldukları

sonucu çıkmaz.

Bir başka önemli sorun da şudur:

Neyi “bir tane” sayacağız?

Bir ağaç açıkça tek nesne gibi görünebilir.

Peki bir orman?

Bir bulut?

İkiye ayrılmış bir hamur parçası?

Birbirine bağlı iki hücre?

Sayma işlemi her zaman önce hangi nesneleri ayrı birer birim kabul ettiğimize karar vermemizi gerektirir.

Dolayısıyla matematiksel modellemenin ilk sorularından biri daha sayı vermeden ortaya çıkar:

“Tam olarak neyi sayıyorum?”

Bir düşünme deneyi

Şu iki satıra bak:

● ● ● ● ● ●

■ ■ ■ ■ ■ ■

“Altı” kelimesini kullanmanın yasak olduğunu düşün.

Yine de iki grubun aynı çokluğa sahip olduğunu gösterebilir misin?

Evet.

Her daireyi tam bir kareyle eşleştirirsin.

Şimdi ikinci satıra bir kare daha ekleyelim:

● ● ● ● ● ●

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

Artık eşleme sonunda bir kare açıkta kalacaktır.

Dolayısıyla sayı adlarını bilmesek bile:

sonucunu görebiliriz.

Fakat sayı dili sayesinde bundan çok daha fazlasını söyleyebiliriz:

• çokluğun tam olarak ne olduğunu kaydedebilir,
• iki miktar arasındaki farkı ileride hesaplayabilir,
• miktarı başka insanlara aktarabilir,
• aynı miktarı bambaşka nesneler üzerinde yeniden kurabiliriz.

Sayı yalnızca karşılaştırmayı değil, çokluğun kendisini soyut bir nesne olarak düşünmeyi mümkün kılar.

Sayma, sayı ve sembolü ayıralım

🍎 🍎 🍎 🍎

bir → iki → üç → dört

Bu ayrımı tek zincirde gösterebiliriz:

Somut nesneler
     │
     │ sayma
     ▼
   Çokluk
     │
     │ soyutlama
     ▼
    Sayı
     │
     │ gösterim
     ▼
   Sembol

Bu dersin merkezindeki fikir tam olarak budur.

Neden bu ayrım ileride önemli olacak?

Şimdilik:

bize son derece doğal geliyor.

Fakat ileride aynı matematiksel nesnenin çok farklı biçimlerde gösterilebildiğini göreceğiz.

Örneğin aynı sayı farklı tabanlarda farklı yazılabilir.

Bir rasyonel sayı:

ve

gibi farklı gösterimlere sahip olabilir.

Bir reel sayı:

ile

gibi ilk bakışta farklı görünen gösterimlerle karşımıza çıkabilir.

Bu nedenle daha ilk sayı dersinde şu alışkanlığı edinmek çok önemlidir:

Matematiksel nesne ile onun gösterimini ayır.

Bu düşünce yalnızca sayılarda değil, fonksiyonlardan vektörlere ve matrislerden soyut cebire kadar tekrar tekrar karşımıza çıkacak.

Kısa sentez

nesneler
   ↓
çokluk
   ↓
sayı
   ↓
sayı gösterimi

Öğrenme kontrolü

A: ● ● ● ● ●

B: ■ ■ ■ ■ ■

27
VII
104