2.01.03 — Sıfır: “hiçbir şey” nasıl sayı oldu?

Birim kartı

Dünya: 2 — Sayılar, Aritmetik ve Temel Sayı Yapıları
Bölüm: 2.01 — Sayma ve Doğal Sayılar
Ön koşullar: 2.01.01 — Sayı neden ortaya çıktı?; 2.01.02 — Doğal sayılar ve sayı doğrusu
Temel soru: Yokluğu temsil etmek neden matematiksel olarak güçlü bir fikirdir?
Bağlantılar: Toplama, basamak değeri, doğal sayıların yapısı, negatif sayılar
Tamamlanma ölçütü: Sıfırın hem bir sayı olduğunu hem de toplamada birim eleman ve sayı yazımında yer tutucu gibi farklı roller üstlendiğini açıklayabilmek.

1. Elimizde hiçbir şey kalmazsa kaç tane vardır?

Başlangıç problemi

Bir masanın üzerinde üç taş olduğunu düşünelim.

Taşları tek tek kaldırıyoruz:

3 \rightarrow 2 \rightarrow 1

Son taşı da kaldırdık.

Şimdi masada kaç taş var?

“Hiç taş yok” diyebiliriz.

Ama matematik açısından bu cevap henüz yeterli değildir.

Çünkü daha önce yaptığımız şey şuydu:

üç taşın çokluğunu 3 ile,
iki taşın çokluğunu 2 ile,
bir taşın çokluğunu 1 ile

ifade etmek.

O hâlde boş masanın da bir çokluk değeri olması gerekmez mi?

Sıfırın temel fikri

Sıfır, “hiçlik” denen metafizik bir şey değildir.

Bir koleksiyonda hiçbir eleman bulunmamasının sayısal ifadesidir.

Başka bir deyişle:

Sıfır, boş çokluğun büyüklüğüdür.

Dünya 1'de öğrendiğimiz küme dilini kullanırsak boş kümeyi

\varnothing

ile gösteriyorduk.

Bu kümenin hiçbir elemanı yoktur.

Dolayısıyla eleman sayısı:

|\varnothing|=0

olur.

Burada iki farklı matematiksel nesne vardır:

$\varnothing$ : bir küme,
$0$ : bu kümenin eleman sayısını belirten bir sayı.

Bu ayrım önemlidir.

“Boş kutu” ile “kutuda bulunan nesnelerin sayısı” aynı şey değildir.

2. Neden $1$ ile başlamak yetmedi?

İlk bakışta şöyle düşünebiliriz:

“Sayma zaten $1,2,3,\ldots$ diye gidiyor. Sıfıra neden ihtiyaç olsun?”

Çünkü yalnızca var olan nesneleri saymakla ilgileniyorsak $1$ ile başlamak çoğu zaman yeterlidir.

Ama bir miktarın değişimini kaydetmeye başladığımız anda sorun çıkar.

Depodaki ürünler

Bir depoda başlangıçta $3$ kutu olsun.

Bir kutu çıkar:

3 \rightarrow 2

Bir tane daha çıkar:

2 \rightarrow 1

Son kutu da çıkar:

1 \rightarrow \; ?

Buradaki son durum gerçek bir durumdur.

Depo ortadan kaybolmadı.

“Kaç kutu var?” sorusu da anlamsızlaşmadı.

Cevap yalnızca:

0

oldu.

Sıfır sayesinde bir miktarın bulunmadığı durum da sayı sisteminin içinde temsil edilebilir.

Böylece sayılar yalnızca:

“Bir şeylerden kaç tane var?”

sorusuna değil,

“Şu anda miktar ne durumda?”

sorusuna da cevap verebilir.

3. Sıfır ile “hiçlik” aynı şey değildir

Bu ayrım sıfırı anlamanın en önemli noktalarından biridir.

Hiçlik bir sayı değildir.

Ama bir niceliğin miktarının bulunmaması sıfır sayısıyla ifade edilebilir.

Sıfır bu nedenle “hiçliğin kendisi” değil, belirli bir niceliğin değeridir.

Örneğin:

Sepette $0$ elma bulunabilir.
Bir hesabın bakiyesi $0$ olabilir.
Bir takımın puanı $0$ olabilir.
Bir koordinat ekseninde bir noktanın koordinatı $0$ olabilir.
Bir ölçekte gösterge $0$ değerini gösterebilir.

Bunların hiçbirinde “evrende hiçbir şey yoktur” demiyoruz.

Sadece belirli bir niceliğin değerinin sıfır olduğunu söylüyoruz.

0 °C hiçbir sıcaklık yok demek değildir

Bir termometrenin $0\,^\circ\mathrm{C}$ göstermesi:

“Sıcaklık diye bir şey yok.”

anlamına gelmez.

Sıfır burada belirli bir ölçekte seçilmiş bir sayısal değerdir.

Dolayısıyla:

$0$ görmek ile “hiçbir şey yok” demek aynı değildir.

4. Sayı olarak sıfır ile `0` sembolü aynı şey değildir

Önceki birimde sayı ile onu gösteren sembolü birbirinden ayırmıştık.

Aynı ayrım sıfır için de geçerlidir.

Sayı ve sembol

Sıfır, soyut matematiksel sayıdır.

0, bu sayıyı yazmak için kullandığımız semboldür.

Nasıl ki “beş” sayısı ile 5 işareti aynı şey değilse, sıfır sayısı ile 0 işareti de aynı şey değildir.

Bu ayrım birazdan çok önemli olacak.

Çünkü 0 sembolü, sayı yazımında bir başka görev daha üstlenecektir:

boş basamağı göstermek.

5. Sıfırın ikinci büyük görevi: boş yeri göstermek

Şu iki sayı gösterimine bakalım:

25

205

Bunlar aynı sayı değildir.

205 gösteriminde:

$2$ yüzlük,
$0$ onluk,
$5$ birlik

vardır.

Yani onluk basamağında hiçbir onluk bulunmadığını belirtmemiz gerekir.

Eğer sıfırı yazmazsak:

205 \longrightarrow 25

olur ve sayının değeri tamamen değişir.

Sıfırın yer tutucu rolü

205

Yüzlük   Onluk   Birlik
   │       │       │
   2       0       5
   │       │       │
 200       0       5

205 sayısında iki yüzlük, sıfır onluk ve beş birlik vardır; sıfır onluk basamağının boş olduğunu korur.

Buradaki 0 bize:

“Bu basamak yoktur.”

demez.

Tam tersine:

“Bu basamak vardır ama bu basamaktan sıfır tane vardır.”

der.

Bu küçük ayrım, konumsal sayı sistemlerinin gücünün merkezindedir.

7, 70 ve 700

Aynı 7 sembolü şu gösterimlerde farklı değerler taşır:

7,\qquad 70,\qquad 700

Sıfırlar, $7$ 'nin hangi basamakta bulunduğunu belirlememize yardım eder.

Bu nedenle sıfır yalnızca boş miktarı gösteren bir sayı değil, daha sonra ayrıntılı öğreneceğimiz basamaklı sayı yazımının temel araçlarından biridir.

6. Aynı fikir, iki farklı rol

Sıfırın tarihini ve matematiksel önemini anlamak için iki rolü birbirinden ayırmak gerekir.

Rol	Anlam
Sayı olarak sıfır	Bir çokluğun eleman sayısının hiç olmamasını ifade eder.
Yer tutucu olarak `0`	Konumsal sayı yazımında belirli bir basamakta o basamaktan hiç bulunmadığını gösterir.

Örneğin:

0

tek başına yazıldığında sıfır sayısını temsil eder.

Ama

304

içindeki 0, aynı zamanda onlar basamağındaki boşluğu korur.

Bu iki fikir birbirine çok yakın görünse de tarihsel olarak aynı anda ortaya çıkmamıştır.

7. Sıfır neden tarihsel olarak bu kadar zor bir fikirdi?

Bugün sıfır bize son derece doğal geliyor.

Çocukken sayı dizisini şöyle öğreniyoruz:

0,1,2,3,4,\ldots

Bu yüzden sıfırın şaşırtıcı bir fikir olduğunu fark etmiyoruz.

Ama ilk sayı fikrini düşünelim.

İnsan önünde:

bir koyun,
iki kap,
beş taş

görüyor ve bunların çokluklarını sayıyor.

Peki “sıfır koyun” nerede görülecek?

Ortada sayılacak hiçbir koyun yoktur.

Sıfır tek bir kişinin tek seferde yaptığı bir icat değildir

Sıfırın tarihi tek bir keşif anından oluşmaz.

Önce boş bir konumu göstermek, daha sonra bu boşluğu bağımsız bir sayı olarak ele almak gibi farklı fikirler farklı dönemlerde gelişmiştir.

Eski Babil matematiğinde konumsal sayı yazımı kullanılıyordu. Zamanla boş bir basamağı göstermek için özel işaretler kullanılmaya başlandı. Fakat bu işaret, başlangıçta bizim bugün anladığımız anlamda bağımsız bir “sıfır sayısı” değildi; daha çok yazımdaki boşluğu belirten bir işaretti.

Hindistan'da ise konumsal sayı sistemi içinde sıfır giderek hem bir sembol hem de üzerinde aritmetik yapılabilen bir sayı olarak ele alındı.

yüzyılda Hint matematikçi Brahmagupta, 628 yılında yazdığı Brahmasphutasiddhanta adlı eserinde sıfırla yapılan aritmetik işlemler için kurallar verdi. Bir sayının kendisinden çıkarılmasıyla sıfır elde edildiğini ve bir sayıya sıfır eklemenin sayıyı değiştirmediğini açık biçimde ele aldı.

Brahmagupta'nın sıfırla ilgili bütün kuralları bugünkü matematik açısından doğru değildi; özellikle sıfıra bölme önemli bir sorun olarak kalmaya devam etti. Fakat sıfırı aritmetiğin içine bağımsız bir sayı olarak yerleştirme girişimi büyük bir adımdı.

Hint sayı sistemi ve hesap yöntemleri daha sonra İslam dünyasındaki matematikçiler aracılığıyla geniş bir coğrafyaya yayıldı. El-Hârizmî'nin Hint hesap yöntemleri üzerine çalışmaları bu aktarımın önemli halkalarından biri oldu; daha sonra Hindu-Arap rakam sistemi Avrupa matematiğinde de yaygınlaştı.

Bundan bağımsız olarak Maya uygarlığı da kendi sayı ve takvim sistemlerinde sıfır kavramı ve sıfır sembolü geliştirmişti.

Dolayısıyla:

“Sıfırı kim icat etti?” sorusunun tek isimlik basit bir cevabı yoktur.

Bugünkü sıfır fikri; yer tutucu, sembol, sayı ve aritmetik nesne fikirlerinin uzun tarihsel gelişiminin sonucudur.

Bu tarih bize önemli bir matematik dersi verir:

Bir sembolü yazabilmek ile onun temsil ettiği kavramı matematiksel bir nesne olarak kabul etmek aynı şey değildir.

8. Sıfır toplamada neden özel bir sayıdır?

Şimdi sıfırın yalnızca “boş miktarı” göstermediğini fark edeceğiz.

Bir miktara hiçbir şey eklemezsek ne olur?

Örneğin elimizde $5$ taş olsun.

Üzerine sıfır taş ekleyelim.

Sonuç yine:

5

taştır.

Yani:

5+0=5

Aynı fikir herhangi bir sayı için geçerlidir.

a+0=a

Buradaki $a$ , hangi sayıyı seçersek seçelim onu temsil eden bir semboldür.

Aynı şekilde:

0+a=a

olur.

Toplamaya göre birim eleman

Bir sayıya eklendiğinde o sayıyı değiştirmeyen elemana toplamaya göre birim eleman denir.

Sayılar için bu eleman sıfırdır:

a+0=0+a=a

Okul matematiğinde buna sık sık toplamanın etkisiz elemanı da denir.

“Etkisiz” sözü burada çok açıklayıcıdır:

Sıfır toplama işlemine katılır ama mevcut miktarı değiştirmez.

9. Neden başka bir sayı bu görevi yapamaz?

Sıfırın bu özelliği yalnızca tesadüfi bir hesap kuralı değildir.

Bir sayı düşünelim ve ona $1$ ekleyelim:

5+1=6

Değer değişti.

$2$ ekleyelim:

5+2=7

Yine değişti.

Ama:

5+0=5

değişmedi.

Birim elemanın neden sıfır olduğu

Bir $e$ sayısının toplamada birim eleman olduğunu varsayalım.

O zaman her $a$ için:

a+e=a

olmalıdır.

Özellikle miktar açısından düşünürsek, $a$ nesneye $e$ tane yeni nesne ekliyor ve hâlâ $a$ nesne elde ediyorsak eklenen miktarın:

e=0

olması gerekir.

Bu yüzden toplamadaki birim eleman sıfırdır.

İleride cebir öğrenirken bu fikrin çok daha genel bir biçimde yeniden karşımıza çıktığını göreceğiz.

10. Sıfır sayı doğrusunda ne yapıyor?

Önceki birimde doğal sayıları bir sayı doğrusu üzerinde düşünmüştük.

Sıfırı eklediğimizde başlangıç kısmı şöyle görünür:

Sıfır ve doğal sayıların başlangıcı

0────1────2────3────4────▶

Sayı doğrusu üzerinde sıfırın ardından bir, iki, üç ve dört sayıları eşit aralıklarla sağa doğru sıralanır.

Burada sıfır:

$1$ 'den küçüktür,
sayı doğrusunda belirli bir konuma sahiptir,
diğer sayılar gibi karşılaştırılabilir,
bir çokluğun büyüklüğünü ifade edebilir.

Yani sıfır artık yalnızca “boşluğu gösteren işaret” değildir.

Sayı doğrusunda yaşayan gerçek bir sayıdır.

Matematik kitapları arasında $\mathbb N$ doğal sayılar kümesine $0$ 'ın dahil edilip edilmemesi konusunda iki farklı gösterim geleneği vardır.

Bazı kaynaklar:

\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}

bazıları ise:

\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}

kabul eder.

Bu matematiksel bir anlaşmazlık değil, gösterim tercihidir. Bir kaynakta $\mathbb N$ kullanıldığında sıfırın dahil olup olmadığı belirtilmelidir.

11. Sıfır bize ne kazandırdı?

Sıfır olmadan yalnızca pozitif miktarları kaydetmek mümkündür.

Sıfır geldiğinde ise yeni bir durum sayı sisteminin içine girer:

\text{“hiç yok”} \quad\longrightarrow\quad 0

Bu ilk bakışta küçük bir genişleme gibi görünür.

Fakat etkisi çok büyüktür.

Gündelik kayıt

Bir stok sisteminde:

Ürün A : 17 adet
Ürün B :  4 adet
Ürün C :  0 adet

yazabilmek, “Ürün C” kaydını silmeden stok miktarının bulunmadığını ifade etmemizi sağlar.

Burada sıfır bilgi taşır:

Ürünü bilmiyoruz değil; ürünün stok miktarının tam olarak sıfır olduğunu biliyoruz.

Bilgisayar ve teknoloji

Modern hesaplama sistemlerinde sayısal değer olarak sıfır sürekli kullanılır.

Sayaçların başlangıç değeri, koordinatlar, dizilerin bazı indeksleme sistemleri, sayısal ölçümler ve çok sayıda algoritma sıfırı özel bir başlangıç veya nötr değer olarak kullanabilir.

Buradaki ortak mekanizma şudur:

Sıfır, “değer hakkında bilgi yok” demek yerine belirli ve kesin bir sayısal durum ifade eder.

Matematik içinde

Sıfır ileride:

toplama ve çıkarma işlemlerinin yapısında,
negatif sayıların ortaya çıkışında,
koordinat sistemlerinde başlangıç noktasında,
denklemlerde,
fonksiyonların köklerinde,
cebirsel yapılardaki birim ve sıfır eleman kavramlarında

tekrar tekrar karşımıza çıkacaktır.

Aynı sayı, matematiğin çok farklı alanlarını birbirine bağlayan temel yapılardan biri olacaktır.

12. Sık yapılan kavramsal hatalar

1. Sıfır ile boş kümeyi aynı tür nesne sanmak

Boş küme bir kümedir.

Sıfır ise onun eleman sayısını ifade eden bir sayıdır:

|\varnothing|=0

Nesne ile nesnenin büyüklüğünü birbirine karıştırmamalıyız.

2. Sıfırı yalnızca yer tutucu sanmak

205 içindeki 0 gerçekten yer tutucu görevi görür.

Ama sıfır bundan ibaret değildir.

0

başlı başına bir sayıdır.

3. Sıfırı 'hiçlik' ile özdeşleştirmek

Sıfır belirli bir niceliğin değeridir.

“ $0$ metre”, “ $0$ puan” veya “ $0$ nesne” ifadeleri anlamlı ve kesin bilgiler verir.

4. Sıfırın bütün işlemlerde etkisiz olduğunu düşünmek

Bu derste öğrendiğimiz özellik:

a+0=a

özelliğidir.

Yani sıfır toplamaya göre birim elemandır.

Buradan sıfırın ileride öğreneceğimiz bütün işlemlerde aynı biçimde davranacağı sonucu çıkarılamaz.

Her işlem ayrıca incelenmelidir.

13. Bir adım daha düşünelim

Sıfır aslında boşluğu matematiğin içine aldı

Sıfırdan önce:

“Bir şey yok.”

bir durum tarifidir.

Sıfırla birlikte:

\text{“Bir şey yok.”} \longrightarrow \text{“Miktarı }0\text{.”}

dönüşümü yapılabilir.

Bu dönüşüm çok güçlüdür.

Çünkü artık yokluk durumu da:

karşılaştırılabilir,
kaydedilebilir,
işlemlere sokulabilir,
sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir,
başka matematiksel yapılara dahil edilebilir.

Sıfırın büyük fikri budur.

14. Matematik haritasındaki yerimiz

Şimdiye kadar yolumuz:

\text{Somut çokluk} \rightarrow \text{soyut sayı} \rightarrow \text{doğal sayıların sırası} \rightarrow \boxed{\text{sıfır}}

şeklindeydi.

Sıfır sayesinde sayı sistemimizin artık bir başlangıç durumu var.

Bu bizi doğrudan sonraki soruya götürür:

$0$ 'dan başlayıp her seferinde “bir sonraki sayı”ya geçerek bütün doğal sayıları kurabilir miyiz?

Bir sonraki birim:

2.01.04 — Ardıl ilkesi, doğal sayıların yapısı ve tümevarım fikri

bu soruyu ele alacak.

Daha sonra toplama ve çıkarma öğrenirken sıfırın “toplamaya göre birim eleman” rolü de işlemlerin genel yapısının bir parçasına dönüşecek.

15. Kısa sentez

Neden vardı?

Sayma yalnızca $1,2,3,\ldots$ ile ifade edildiğinde hiç eleman bulunmayan durumu sayı olarak gösteremiyorduk.

Ne öğrendik?

Sıfır:

boş çokluğun büyüklüğünü ifade eden bir sayıdır,
0 sembolüyle gösterilir,
konumsal sayı yazımında boş basamağı koruyabilir,
toplamada sayıyı değiştirmeyen birim elemandır:

a+0=a.

Neyi artık yapabiliyoruz?

“Hiç yok” durumunu matematiğin dışındaki bir ifade olmaktan çıkarıp sayı sisteminin içinde kesin biçimde temsil edebiliyoruz.

Sırada ne var?

Sıfırı başlangıç kabul edip:

0,1,2,3,\ldots

yapısının nasıl sistematik olarak kurulduğunu inceleyeceğiz.

16. Öğrenme kontrolü

Kavrama

“Sıfır hiçliktir.” cümlesi neden matematiksel olarak yanıltıcıdır?
Boş küme $\varnothing$ ile $|\varnothing|=0$ ifadelerindeki nesneler arasındaki fark nedir?
Sıfırın sayı olarak kullanılması ile 0 sembolünün yer tutucu olarak kullanılması arasındaki farkı kendi sözlerinle açıkla.

Teknik

507 sayısındaki 0 hangi basamağın bilgisini koruyor? 0 kaldırılırsa elde edilen sayı neden aynı sayı değildir?
Aşağıdaki ifadeleri tamamla:

8+0=\ ?

0+13=\ ?

0+0=\ ?

Bu üç örnekte ortak olan matematiksel özellik nedir?

Gerekçelendirme

Bir $e$ sayısının toplamada birim eleman olduğunu,

a+e=a

şartıyla ifade ediyoruz. Neden $e=1$ olamaz? Neden $e=0$ olmak zorundadır? 7. Bir kişinin “Sıfır yalnızca sayı yazarken boşluk bırakmamak için kullandığımız bir işarettir.” dediğini düşün. Buna bir karşı örnek vererek neden eksik düşündüğünü göster.

Transfer

Bir tiyatro salonunda belirli bir sıradaki boş koltuk sayısını kaydeden sistem düşün. Hiç boş koltuk kalmadığında kaydın silinmesi ile değerin 0 olarak tutulması arasında bilgi bakımından ne fark vardır?
Bir ölçüm cihazı 0 gösteriyor. Bundan “ölçülen şey mevcut değildir” sonucunun neden her zaman çıkarılamayacağını sıfır kavramını kullanarak açıkla.