02.01.02 — Doğal sayılar ve sayı doğrusu

Haritadaki yerimiz

Bu birim Dünya 2 — Sayılar, Aritmetik ve Temel Sayı Yapıları içinde, Sayma ve Doğal Sayılar bölümündedir.

Bir önceki birimde sayı fikrinin, farklı nesne topluluklarının ortak çokluk özelliğini soyutlamaktan doğduğunu gördük:

üç elma,
üç taş,
üç insan

birbirinden tamamen farklı nesnelerden oluşur; fakat hepsinin ortak bir özelliği vardır:

üç tane olmaları.

Şimdi bir adım daha ileri gideceğiz.

Tek tek sayıları tanımak yetmez. Şunu da bilmek isteriz:

Hangisi önce gelir?
Hangisi sonra gelir?
Hangisi daha küçüktür?
Hangisi daha büyüktür?
Sayılar arasında nasıl düzenli bir yapı vardır?
Bu düzen bir yerde biter mi?

Bu birimin temel sorusu

Sayma sonuçlarını nasıl tek bir düzenli yapı hâline getiririz?

Bu birimden sonra doğal sayıları yalnızca sayma sonuçları olarak değil, sıralanmış bir sayı sistemi olarak görebileceğiz.

İleride bu yapı;

toplama ve çıkarmanın,
sayı sistemlerinin,
dizilerin,
matematiksel tümevarımın,
sayı teorisinin

zeminlerinden biri olacak.

1. Bir sayı bilmek neden yetmiyor?

İki sürü

Bir çobanın bir sürüsünde 7, diğer sürüsünde 12 koyun bulunduğunu düşünelim.

İki sayıyı biliyoruz:

7 \qquad\text{ve}\qquad 12

Ama şimdi yeni bir soru soruyoruz:

Hangi sürü daha büyük?

Bir önceki birimde kullandığımız bire bir eşleme yöntemini tekrar kullanabiliriz.

Birinci sürünün her koyununu ikinci sürünün bir koyunuyla eşleştirirsek ikinci sürüde koyunlar artacaktır.

Dolayısıyla ikinci sürü daha kalabalıktır.

Bu yöntem çalışır.

Fakat düşünelim:

Bir depoda 27 kutu, başka bir depoda 31 kutu olduğunu zaten biliyorsak gerçekten kutuları tekrar yan yana getirip eşleştirmemiz gerekir mi?

Hayır.

Şunu doğrudan biliriz:

27<31

Burada artık yalnızca iki çokluğu değil, iki sayıyı karşılaştırıyoruz.

Demek ki sayı fikrinin yanında başka bir yapıya daha ihtiyacımız var:

Sayıların birbirine göre bir sırası olmalı.

2. Saymadan sıralamaya

Saymaya başladığımızı düşünelim:

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ldots

Buradaki sayılar rastgele dizilmemiştir.

$2$ , $1$ 'den sonra gelir.

$3$ , $2$ 'den sonra gelir.

$4$ , $3$ 'ten sonra gelir.

Bu yapı sürekli devam eder.

Sayma bir yolculuk gibidir

Saymayı, üzerinde sırayla ilerlediğimiz bir yol gibi düşünebiliriz:

bir → iki → üç → dört → beş → ...

Her yeni adımda önceki çokluğa bir tane daha eklenmiş olur.

Bu nedenle sayma yalnızca sayı isimlerini söylemek değildir.

Sayma aynı zamanda sayıların doğal sırasını üretir.

Örneğin:

3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7

dizisinde $3$ , $7$ 'den önce gelir.

Bu yüzden:

3<7

yazarız.

Buradaki $<$ sembolü küçüktür anlamına gelir.

Ters yönden baktığımızda:

7>3

yazarız.

$>$ sembolü ise büyüktür anlamına gelir.

3. Doğal sayılar

Doğal sayılar

Sayma sürecinde kullandığımız

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ldots

sayıları doğal sayıların temel dizisini oluşturur.

Bu ders boyunca özellikle pozitif doğal sayılar, yani

1,\ 2,\ 3,\ldots

üzerinden ilerleyeceğiz.

Buradaki üç nokta çok önemlidir:

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ldots

$\ldots$ işareti:

“Burada yazmayı bıraktık ama sayı dizisi burada bitmedi.”

anlamına gelir.

Peki sıfır?

Matematik kaynaklarında $\mathbb N$ sembolünün sıfırı içerip içermediği konusunda iki yaygın gösterim geleneği vardır.

Bazı kaynaklar

\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}

kullanırken bazıları

\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}

kullanır.

Bu birimde sıfırın matematiksel statüsünü henüz kurmayacağız. 02.01.03 — Sıfır: “hiçbir şey” nasıl sayı oldu? biriminde sıfırı ayrıca inceleyeceğiz.

Bu nedenle burada asıl odağımız

1,2,3,\ldots

biçimindeki sayma dizisidir.

4. “Önce” ve “sonra” nasıl “küçük” ve “büyük” oluyor?

Sayma sırasına bakalım:

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ldots

$2$ , $5$ 'ten önce gelir.

Bu nedenle:

2<5

deriz.

$5$ , $2$ 'den sonra gelir.

Dolayısıyla:

5>2

deriz.

Sıralamanın temel fikri

Doğal sayılarda:

sayma sırasında daha önce gelen sayı daha küçüktür,
sayma sırasında daha sonra gelen sayı daha büyüktür.

Örneğin:

4<9

çünkü sayarken $4$ 'e $9$ 'dan önce ulaşırız.

Benzer şekilde:

12>7

çünkü sayarken $12$ 'ye $7$ 'den sonra ulaşırız.

Bu ilişki sayesinde herhangi iki sayıyı yalnızca semboller olarak değil, aynı düzenin içindeki konumları bakımından karşılaştırabiliriz.

5. Sayı doğrusu neden ortaya çıkıyor?

Şimdi sayıların sırasını yalnızca bir liste olarak yazmayalım.

Onları geometrik olarak görünür hâle getirelim.

Sayıları eşit aralıklarla bir çizgi üzerinde yerleştirebiliriz.

Doğal sayıların sayı doğrusu üzerindeki görünümü

      1       2       3       4       5       6
      ●-------●-------●-------●-------●-------●-------→
                                                      devam eder

                    küçük  ───────────────→  büyük

Doğal sayılar eşit aralıklı noktalar üzerinde soldan sağa 1, 2, 3, 4, 5 ve devamı biçiminde sıralanmıştır. Sağa doğru gidildikçe sayılar büyür.

Bu gösterime sayı doğrusu diyoruz.

Sayı doğrusu ne yaptı?

Sayı doğrusu soyut bir sıralamayı uzaydaki konuma dönüştürdü.

Artık:

önce → sol,
sonra → sağ,
küçük → daha solda,
büyük → daha sağda

olarak görülebilir.

Örneğin $3$ ile $6$ 'ya bakalım.

$3$ , sayı doğrusunda $6$ 'nın solundadır.

Dolayısıyla:

3<6

Aynı bilgiyi ters yönden:

6>3

şeklinde yazabiliriz.

6. Neden noktalar eşit aralıklı?

Sayı doğrusundaki noktaların eşit aralıklı çizilmesi rastgele değildir.

Sayarken her seferinde aynı temel değişikliği yapıyoruz:

bir tane daha

Bu nedenle $1$ 'den $2$ 'ye geçiş ile $7$ 'den $8$ 'e geçiş, sayma bakımından aynı büyüklükte bir adımdır.

Sayı doğrusunda bunu eşit uzunlukta adımlarla gösteririz.

Örneğin:

2 → 3

ile

8 → 9

sayma yapısı bakımından aynı tür geçiştir:

bir sonraki sayıya geçiş.

Bu fikir ileride toplama işleminin sayı doğrusu üzerindeki anlamını kurarken çok önemli olacak.

7. Sayı doğrusu yalnızca güzel bir çizim değildir

Sayı doğrusu bize aynı anda birkaç bilgi verir.

7.1. Sıra

2<3<4<5

ilişkisini tek bakışta görebiliriz.

7.2. Ardışıklık

$4$ 'ten hemen sonra $5$ gelir.

$5$ 'ten hemen sonra $6$ gelir.

Bu “hemen sonraki sayı” fikrini ileride ardıl kavramıyla daha kesin hâle getireceğiz.

7.3. Karşılaştırma

Örneğin:

17<23

olduğunu nesneleri yeniden saymadan söyleyebiliriz.

7.4. Adım sayısı

$3$ 'ten $7$ 'ye giderken:

3 → 4 → 5 → 6 → 7

dört birimlik adım atarız.

Bu fikir ileride;

toplama,
çıkarma,
uzaklık,
mutlak değer

gibi kavramlarda yeniden karşımıza çıkacak.

8. Çok önemli bir ayrım: sayı doğrusu ile doğal sayılar aynı şey değildir

Sık yapılan hata

Sayı doğrusunu çizdiğimizde çizginin tamamını doğal sayılar sanmamalıyız.

Doğal sayılar, şu anda çizgi üzerinde işaretlediğimiz belirli noktalardır:

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots

Örneğin $4$ ile $5$ arasında çizgi vardır ama bu iki doğal sayı arasında başka bir doğal sayı yoktur.

Şunu düşünelim:

4<\ ?\ <5

Buraya bir doğal sayı yazabilir miyiz?

Hayır.

$4$ 'ten sonraki doğal sayı doğrudan $5$ 'tir.

Bu nedenle doğal sayılar sayı doğrusu üzerinde ayrık noktalardır.

Ayrık yapı

Merdiven basamaklarını düşün.

Bir basamakta durursun veya sonraki basamağa geçersin.

İki basamak arasında başka bir basamak bulunmak zorunda değildir.

Doğal sayıların yapısı da buna benzer:

1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow\cdots

İleride kesirleri ve reel sayıları öğrendiğimizde sayı doğrusunun doğal sayı noktalarından çok daha zengin olduğunu göreceğiz.

9. Sonlu sayma ile sonsuz sayı sistemi arasındaki fark

Burada kolayca karıştırılabilecek iki farklı fikir var.

Bir kutuda $27$ kalem varsa kalemleri saymayı bitirebiliriz:

1,2,3,\ldots,27

Sayma işlemi $27$ 'de sona erer, çünkü saydığımız nesne topluluğu sonludur.

Fakat bundan:

“Doğal sayılar da $27$ 'de biter.”

sonucu çıkmaz.

Başka bir kutuda $28$ nesne olabilir.

Başka bir yerde $29$ nesne olabilir.

Sonra $30$ ...

Sonlu sayı ile sonsuz sayı sistemi

Her belirli doğal sayı sonlu bir sayma sonucudur.

Fakat doğal sayıların tamamı sonlu sayıda değildir.

Başka bir deyişle:

Her doğal sayı sonludur; fakat doğal sayılar kümesi sonsuzdur.

Bu ilk karşılaşmada biraz şaşırtıcı olabilir.

Örneğin:

$100$ sonlu bir sayıdır.
$1\,000\,000$ sonlu bir sayıdır.
Ne kadar büyük olursa olsun belirli bir doğal sayı yine sonludur.

Fakat sayıların oluşturduğu zincirin tamamının sonu yoktur.

10. En büyük doğal sayı var mı?

Şimdi önemli bir soru soralım.

Son sayı

Doğal sayıları yeterince uzun süre sayarsak sonunda en büyük doğal sayıya ulaşabilir miyiz?

Bir an için ulaştığımızı düşünelim.

Bu son sayının adını $N$ koyalım.

Yani:

$N$ 'den daha büyük doğal sayı yok.

diyelim.

Fakat $N$ tane nesnenin bulunduğu bir topluluğa bir nesne daha ekleyebiliriz.

Sonra yeniden sayabiliriz.

Böylece $N$ 'den sonra gelen yeni bir sayıya ulaşırız.

Bu sayı $N$ 'den büyüktür.

Demek ki $N$ aslında son sayı olamazmış.

Aynı akıl yürütme hangi sayıyı seçersek seçelim geçerlidir.

Doğal sayıların sınırsızlığı

En büyük doğal sayı yoktur.

Hangi doğal sayıya ulaşırsak ulaşalım, saymaya bir adım daha devam edebiliriz.

Bu nedenle sayı doğrusu doğal sayılar yönünde:

1,2,3,4,\ldots

diye sınırsız biçimde sürer.

Buradaki “sonsuzluk” henüz ulaşabileceğimiz özel bir sayı değildir.

$\ldots$ işaretinin söylediği şey şudur:

Süreç için son bir doğal sayı yoktur.

Sonsuzluk fikrini ileride ayrıca çok daha dikkatli inceleyeceğiz.

11. Doğal sayıların düzeninden çıkan temel sonuçlar

Şimdi elimizdeki yapıyı toparlayalım.

Birinci özellik: Doğal sayılar sıralıdır

Örneğin:

2<5<11

yazabiliriz.

İkinci özellik: Farklı doğal sayıları karşılaştırabiliriz

Örneğin $8$ ve $13$ için:

8<13

olduğunu söyleyebiliriz.

Üçüncü özellik: Bir doğal sayıdan sonra başka bir doğal sayı gelir

Örneğin:

6\rightarrow7

Bu düşünce sonraki birimlerde daha biçimsel hâle gelecek.

Dördüncü özellik: İki ardışık doğal sayı arasında doğal sayı yoktur

Örneğin:

8<\ ?\ <9

ifadesindeki boşluğa doğal sayı koyamayız.

Beşinci özellik: En büyük doğal sayı yoktur

Ne kadar ileri gidersek gidelim saymayı sürdürebiliriz.

12. Birkaç örnek

Örnek 1 — Karşılaştırma

Aşağıdaki iki sayıyı karşılaştıralım:

27 \qquad\text{ve}\qquad 31

Sayma sırasında $27$ 'ye önce ulaşılır.

Dolayısıyla:

27<31

Aynı ilişki:

31>27

şeklinde de yazılabilir.

Örnek 2 — Sıralama

Şu doğal sayıları küçükten büyüğe sıralayalım:

9,\ 2,\ 6,\ 4

Sayı doğrusu üzerindeki soldan sağa sıraları:

2,\ 4,\ 6,\ 9

olur.

Dolayısıyla:

2<4<6<9

Örnek 3 — Aradaki doğal sayılar

$5$ ile $9$ arasında hangi doğal sayılar bulunur?

Sayma sırasını yazalım:

5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9

Uç noktaları çıkardığımızda:

6,\ 7,\ 8

kalır.

Dolayısıyla $5$ ile $9$ arasında üç doğal sayı vardır.

Karşı örnek — Çizgi üzerindeki her nokta doğal sayı değildir

$3$ ile $4$ arasındaki geometrik parçanın üzerinde pek çok nokta bulunabilir.

Fakat doğal sayılar açısından:

3<\ ?\ <4

boşluğunu doldurabilecek doğal sayı yoktur.

Bu nedenle “sayı doğrusundaki her nokta doğal sayıdır” ifadesi yanlıştır.

13. Bu fikir tarihsel olarak nasıl gelişti?

Doğal sayı fikrinin tek bir mucidi yoktur.

Sayma ihtiyacı, yazılı matematikten çok daha eskidir. İnsan toplulukları hayvanları, malları, günleri veya değiş tokuş edilen nesneleri izlemek için farklı sayma ve kayıt yöntemleri geliştirmiştir.

Zaman içinde önemli bir soyutlama gerçekleşti:

sayılmakta olan nesneden bağımsız sayı fikri.

Böylece “on koyun”, “on taş” ve “on gün” ifadelerindeki ortak matematiksel yapı olan on bağımsız bir nesne gibi ele alınabilir hâle geldi.

Farklı uygarlıklar bu sayıları farklı semboller ve sayı sistemleriyle temsil etti. Ancak sayıların kendisi ile onları yazmak için kullanılan semboller aynı şey değildir.

Sayıların bir çizgi üzerinde düzenli noktalar olarak düşünülmesi ise sayma fikrinden çok daha sonraki bir geometrik soyutlamadır. Bu bakış, sayıların yalnızca çokluklarını değil sıralarını ve daha sonra uzaklıklarını da tek bir görsel yapı üzerinde incelemeyi mümkün kıldı.

Modern matematikte doğal sayıların yapısı daha sonra çok daha kesin biçimde aksiyomlarla incelenecektir. Bu noktaya 02.01.04 — Ardıl ilkesi, doğal sayıların yapısı ve tümevarım fikri biriminde döneceğiz.

14. Doğal sayılar bugün ne işe yarıyor?

Doğal sayılar matematiğin en basit görünen ama en temel yapılarından biridir.

Gündelik yaşam — adet

Bir mağazadaki:

ürün sayısı,
müşteri sayısı,
masa sayısı,
çalışan sayısı

doğal sayılarla ifade edilir.

Örneğin depoda $246$ ürün bulunduğunu söylemek, belirli bir sonlu topluluğun büyüklüğünü doğal sayıyla ifade etmektir.

Sıra ve indeks

Doğal sayılar yalnızca “kaç tane?” sorusunu cevaplamaz.

Nesneleri sıralamak ve etiketlemek için de kullanılır:

1. bölüm,
1. bölüm,
1. bölüm,
1. kayıt,
1. işlem.

Böylece aynı sayı sistemi hem çokluğu hem de bir dizideki konumu düzenlemeye yardım eder.

Bilgisayarlar ve algoritmalar

Bir bilgisayar programı:

“Bu işlemi $n$ kez yap.”

dediğinde $n$ bir doğal sayıdır.

Bir listedeki elemanların sayısı, bir algoritmanın kaç adım çalıştığı veya bir ağdaki düğüm sayısı gibi ayrık büyüklükler doğal sayılarla ifade edilir.

Bu nedenle doğal sayılar bilgisayar biliminin temel matematiksel araçlarından biridir.

Matematiğin içinde

Doğal sayılar ileride doğrudan şu alanlarda kullanılacak:

aritmetik,
sayı teorisi,
kombinatorik,
diziler,
olasılık,
graf teorisi,
matematiksel tümevarım.

Örneğin sayı teorisinde doğal sayıların bölünebilme yapısını inceleyeceğiz; kombinatorikte ise belirli özellikleri taşıyan nesnelerin kaç tane olduğunu bulacağız.

15. Doğal sayıların sınırı

Doğal sayılar sayma problemini olağanüstü iyi çözer.

Fakat her matematiksel problemi çözemez.

Örneğin ileride şu tür sorularla karşılaşacağız:

Elimizde hiç nesne kalmadığında bunu hangi sayı temsil edecek?
Küçük bir sayıdan daha büyük bir sayı çıkarırsak ne olacak?
Bir bütünü iki eşit parçaya bölersek ortaya çıkan miktarı nasıl göstereceğiz?

Bunların hepsinde doğal sayı sisteminin sınırlarına çarpacağız.

Matematiğin sayı sistemlerini sürekli genişletmesinin temel nedeni tam olarak budur.

Doğal sayılar bütün sayılar değildir

Doğal sayılar sayı dünyasının yalnızca ilk katmanıdır.

İleride sayı sistemimiz kabaca:

\mathbb N \longrightarrow \mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q \longrightarrow \mathbb R

biçiminde genişleyecek.

Her genişleme, mevcut sayı sisteminin çözemediği yeni bir problemden doğacak.

16. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Sayı ile sayı doğrusundaki noktayı aynı şey sanmak

$5$ soyut bir sayıdır.

Sayı doğrusundaki işaretli nokta ise bu sayının geometrik temsilidir.

Temsil ile temsil edilen nesne aynı şey değildir.

Hata 2 — Çizginin her noktasını doğal sayı sanmak

Doğal sayılar çizgide ayrık noktalardır.

$4$ ile $5$ arasında doğal sayı yoktur.

Hata 3 — Çok büyük sayı ile sonsuzluğu karıştırmak

Ne kadar büyük olursa olsun:

10^{100}

gibi belirli bir doğal sayı hâlâ sonlu bir sayıdır.

“Sonsuz sayıda doğal sayı vardır” demek, “çok büyük bir son doğal sayı vardır” demek değildir.

Tam tersine:

son doğal sayı yoktur.

Hata 4 — $<$ ve $>$ sembollerini ezberlemek

Sembolleri bir şekil kuralıyla ezberlemek yerine anlamlarını sayı doğrusuna bağlamak daha sağlamdır:

soldaki sayı daha küçük,
sağdaki sayı daha büyük.

17. Matematik haritasındaki bağlantı

Bu birimin ana zinciri:

Çokluk ve sayma
      │
      ▼
Doğal sayılar
      │
      ├──► sıralama
      │
      ├──► küçük / büyük
      │
      ├──► sayı doğrusu
      │
      └──► sınırsız sayma
              │
              ▼
       doğal sayıların yapısı

Nereden geldik?

02.01.01 — Sayı neden ortaya çıktı?

Sayıyı fiziksel nesneden bağımsız bir çokluk olarak elde ettik.

Şimdi ne yaptık?

Bu sayıları birbirinden kopuk nesneler olmaktan çıkarıp tek bir sıralı yapı içine yerleştirdik.

Nereye gidiyoruz?

02.01.03 — Sıfır: “hiçbir şey” nasıl sayı oldu?

Saymanın “bir tane, iki tane...” yapısında görünmeyen yeni bir problemle karşılaşacağız:

hiç nesne yoksa kaç tane vardır?

Ardından 02.01.04 biriminde doğal sayıların ardışık yapısını daha kesin biçimde inceleyeceğiz.

Daha sonra sayı doğrusu üzerinde hareket etme fikri toplama ve çıkarma işlemlerinin de doğal zeminini oluşturacak.

Kısa sentez

Bu birimde beş temel fikir kurduk:

Doğal sayılar yalnızca isimlendirilmiş çokluklar değildir; aralarında bir sıra vardır.
Sayma sırası:
$1,2,3,4,\ldots$
doğal sayıların küçükten büyüğe düzenini verir.
Bu düzen sayı doğrusu üzerinde geometrik hâle getirilebilir:

sol → küçük, sağ → büyük.
Doğal sayılar sayı doğrusu üzerinde ayrık noktalardır. Ardışık iki doğal sayı arasında başka doğal sayı bulunmaz.
En büyük doğal sayı yoktur. Hangi doğal sayıya ulaşırsak ulaşalım saymaya bir adım daha devam edebiliriz.

Dolayısıyla doğal sayılar bize yalnızca:

“Kaç tane?”

sorusunun cevabını değil;

“Hangisi önce, hangisi sonra ve hangisi daha büyük?”

sorularının da matematiksel cevabını verir.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Doğal sayıları yalnızca “sayma sonuçları” olarak görmek neden eksiktir? Sayıların oluşturduğu düzen bize ne kazandırır?
Sayı doğrusu hangi soyut matematiksel bilgiyi geometrik hâle getirir?
“Her doğal sayı sonludur ama doğal sayılar sonsuz tanedir.” cümlesini kendi sözlerinle açıkla.

Teknik

Aşağıdaki doğal sayıları küçükten büyüğe sırala ve $<$ sembolüyle yaz:
$14,\ 3,\ 9,\ 6$
Aşağıdaki boşluklara $<$ veya $>$ sembolünden uygun olanı yaz:
$7\ \square\ 11$ $23\ \square\ 18$
$8$ ile $13$ arasında bulunan doğal sayıları yaz.

Gerekçelendirme

Neden $6$ ile $7$ arasında başka bir doğal sayı yoktur?
Bir kişinin:

“En büyük doğal sayı çok büyüktür; sadece henüz adını bilmiyoruz.”

dediğini düşün.

Bu iddianın neden yanlış olduğunu “bir tane daha” fikrini kullanarak açıkla.

Transfer

Bir bilgisayar sistemindeki kayıtlar oluşturulma sırasına göre
$1,2,3,\ldots$
biçiminde numaralandırılıyor.

İki kaydın numaraları $128$ ve $143$ ise yalnızca bu bilgiden hangisinin daha sonra oluşturulduğunu nasıl anlarsın? Açıklamanı doğal sayıların sırasına bağla.
Bir program sayı etiketlerini metin gibi sıraladığı için şu sonucu üretiyor:

1, 10, 11, 2, 3

Bunun doğal sayıların matematiksel sırası olmadığını açıkla ve doğru sıralamayı yaz.