02.02.01 — Toplama ve çıkarma

1. Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar doğal sayıları esas olarak saymak için kullandık.

Bir masada beş nesne varsa bu çokluğu

sayısıyla temsil edebiliyoruz.

Ayrıca doğal sayıların ardıl yapısını gördük:

Her sayıdan sonra bir sonraki doğal sayıya geçebiliyoruz.

Fakat gerçek problemlerde yalnızca mevcut çoklukları saymayız.

Çokluklar değişir.

• İki grup birleşir.
• Bir gruba yeni elemanlar gelir.
• Bazı elemanlar ayrılır.
• İki grubun büyüklüğü karşılaştırılır.
• Başlangıçtaki miktarla son miktar arasındaki değişim bulunur.

İşte toplama ve çıkarma, sayıları yalnızca isimlendirdiğimiz bir yapıdan, sayılar üzerinde işlem yaptığımız bir yapıya geçişimizin ilk büyük adımıdır.

2. Başlangıç problemi: Yeniden saymak zorunda mıyız?

Elbette bütün elmaları baştan sayabiliriz:

● ● ● ● ●    ● ● ●

↓ birleştir

● ● ● ● ● ● ● ●

1 2 3 4 5 6 7 8

Sonuç:

Fakat burada dikkat edilmesi gereken bir şey var.

Biz aslında şu iki bilgiyi zaten biliyorduk:

ve

Yani yeniden tek tek saymak yerine, iki çokluğun büyüklüğünden birleşmiş çokluğun büyüklüğünü doğrudan elde edebilmeliyiz.

Bu ihtiyacı karşılayan işlem toplama olacaktır:

3. Neden yalnızca saymak yetmiyor?

Küçük çokluklarda yeniden saymak sorun değildir.

Üç taşla beş taşı bir araya getirip sekiz taşı kolayca sayabiliriz.

Ama düşünelim:

• Bir depoda 184 ürün var.
• Sabah 73 yeni ürün geliyor.
• Öğleden sonra 46 ürün daha geliyor.

Her teslimatta depodaki bütün ürünleri baştan saymak mantıklı değildir.

İhtiyacımız şudur:

Bildiğimiz sayıları kullanarak yeni çokluğu hesaplamak.

Benzer bir problem ters yönde ortaya çıkar.

Bir depoda 20 ürün olduğunu ve 7 tanesinin satıldığını biliyorsak geriye kalanı bulmak için de bütün ürünleri yeniden saymak istemeyiz.

Burada yeni soru:

Başlangıçtaki çokluktan bir kısmı ayrıldığında geriye ne kalır?

Bu ihtiyaç bizi çıkarmaya götürür.

Fakat birazdan göreceğimiz gibi çıkarma yalnızca “bir şeyleri eksiltmek” anlamına gelmez.

4. Bu işlemlerin tek bir mucidi yoktur

5. Toplamanın ilk anlamı: Birleştirme

İki ayrık çokluğumuz olsun:

• birinci grupta 4 nesne,
• ikinci grupta 3 nesne.

Birleştirildiğinde:

olur.

● ● ● ●       ● ● ●
   4            3

        birleşir
           │
           ▼

● ● ● ● ● ● ●
       7

Buradaki $+$ işareti:

“Bu iki sayıyı yan yana yaz.”

demek değildir.

Şunu söyler:

Bu iki çokluğun büyüklüklerini birleştir.

6. Ama toplama yalnızca nesne gruplarını birleştirmek değildir

Şimdi başka bir problem düşünelim.

Burada ortada birleştirilen iki elma grubu yoktur.

Yine de hesap aynıdır:

Çünkü $5$'ten başlayıp üç kez ardıla geçiyoruz:

0──1──2──3──4──5──6──7──8──9
               │  │  │  │
               ●──→──→──●
               5   +3    8

Bu ikinci model özellikle önemlidir çünkü toplamanın doğal sayıların ardıl yapısından nasıl doğduğunu gösterir.

7. Ardıl fikrinden toplama nasıl çıkar?

02.01.04 biriminde bir sayının ardılını gördük.

Bir sayının ardılını $S(n)$ ile gösterirsek:

demektir.

O hâlde:

aslında bir kez ardıl almakla aynıdır:

Peki:

nedir?

Bir kez:

iki kez:

üç kez:

Dolayısıyla:

Toplama burada gizemli yeni bir hareket değildir.

Ardıl işleminin tekrar tekrar uygulanmasının genelleştirilmiş biçimidir.

8. Toplamanın biçimsel çekirdeği

İkinci ifade ilk bakışta soyut görünebilir.

Bir örnekle açalım.

ifadesinde $3$, $2$'nin ardılıdır:

Bu yüzden:

Benzer biçimde:

ve

olduğundan:

Burada önemli olan bu hesap dizisini ezberlemek değildir.

Önemli fikir şudur:

Toplama doğal sayılara dışarıdan yapıştırılmış rastgele bir kural değildir; doğal sayıların ardıl yapısıyla uyumlu biçimde kurulabilir.

9. Sıfır neden toplamayı değiştirmiyor?

Bir gruba hiç yeni nesne eklemezsek büyüklük değişmez.

Örneğin beş nesnemiz varsa:

Sayı doğrusu açısından da aynıdır.

$5$'ten başlayıp sıfır adım ilerlersek hâlâ $5$'teyiz.

Bu yüzden sıfırın toplamadaki özel rolü tesadüf değildir.

Bu kavramı sonraki işlem yasaları biriminde daha sistematik inceleyeceğiz.

10. Çıkarma problemi nereden doğuyor?

Şimdi işlemi ters çevirelim.

Başlangıç:

Üç nesne ayrılıyor:

Sonuç:

Bunu:

diye yazarız.

● ● ● ● ● ● ● ●
       8

      üçü ayrılır
          │
          ▼

● ● ● ● ●
    5

Bu, çıkarmanın ilk ve en tanıdık anlamıdır:

Eksiltme.

11. Sayı doğrusunda çıkarma

Toplamada sayı doğrusu üzerinde sağa ilerlemiştik.

Çıkarmada bunun tersini yapabiliriz.

için 8'den başlarız ve üç adım geriye gideriz:

0──1──2──3──4──5──6──7──8──9
               │  │  │  │
               ●──←──←──●
               5   -3    8

Bu bize toplama ile çıkarma arasındaki ilk güçlü ilişkiyi gösteriyor.

ise ters yönde:

olur.

Ayrıca:

olur.

Aynı üç sayı, birbirine bağlı üç farklı ifadede karşımıza çıkar.

12. Çıkarma yalnızca “bir şeyleri almak” değildir

Şimdi hiçbir nesnenin ortadan kaldırılmadığı bir problem düşünelim.

Kimsenin kitabını almıyoruz.

Yine de:

hesabını yapıyoruz.

Burada çıkarma:

eksiltme

değil,

iki çokluk arasındaki farkı bulma

anlamındadır.

Büyük grup : ● ● ● ● ● ● ● ●
Küçük grup : ● ● ● ● ●
             └─────────┘

Eşleşmeyen :           ● ● ●
                         3

Bu ayrım önemlidir.

Çünkü:

aynı matematiksel işlem olmasına rağmen iki farklı probleme cevap verebilir.

Eksiltme

“8 elmadan 5'ini yedim. Kaç kaldı?”

Fark

“Bir sepette 8, diğerinde 5 elma var. Aralarında kaç elma fark var?”

Sonuç aynı:

ama sorulan şey farklıdır.

13. Çıkarmanın üçüncü yorumu: Eksik olanı bulmak

Bir başka problem:

Burada:

diye düşünebiliriz.

Eksik sayı:

olduğundan:

ve dolayısıyla:

elde ederiz.

Bu bakış çok önemlidir:

Çıkarma, çoğu zaman bilinmeyen bir toplananı bulma problemidir.

14. Toplama ve çıkarma neden ters işlemlerdir?

Şimdi iki işlemin bağlantısını tam olarak kurabiliriz.

Eğer:

ise:

ve

ilişkileri ortaya çıkar.

Örneğin:

olduğundan:

ve:

olur.

15. Çıkarmayı toplama üzerinden tanımlamak

Bu bağlantıyı daha kesin söyleyebiliriz.

Örneğin:

çünkü:

Bu tanım çıkarma işleminin neden toplamayla bu kadar sıkı bağlı olduğunu açıkça gösterir.

16. Önemli kırılma: Her çıkarma doğal sayılarda yapılamaz

Şimdi çok önemli bir soruya gelelim.

işlemini yapabiliyoruz:

çünkü:

Fakat:

ne olacak?

Tanımımıza göre bir doğal sayı $c$ bulmamız gerekir ki:

olsun.

Ama doğal sayılarda böyle bir $c$ yoktur.

Çünkü $7$'ye bir doğal sayı ekleyerek $3$'e ulaşamayız.

Bu, matematiğin tekrar tekrar izleyeceği çok önemli bir örüntüdür:

Bir işlem yapmak istiyoruz
        │
        ▼
Mevcut sayı sistemi yetmiyor
        │
        ▼
Sayı sistemini genişletiyoruz

Bugün bunun ilk işaretlerinden birini gördük.

17. Toplamada aynı sorun neden çıkmıyor?

İki doğal sayıyı topladığımızda yine doğal sayı elde ederiz.

Örneğin:

Doğal sayılar içinde ne kadar ilerlersek ilerleyelim yine bir doğal sayıya ulaşırız.

Buna karşılık çıkarma bizi sayı doğrusunda sola götürür.

Bazen sıfıra ulaşırız:

Bazen sıfırdan önce gitmemiz gerekir:

İşte mevcut doğal sayı doğrusu burada sona erer.

18. Üç farklı çıkarma problemi, tek işlem

Şu üç probleme bakalım.

Problem A — Eksiltme

10 bardaktan 4'ü kırıldı.

Problem B — Fark

Bir rafta 10, diğerinde 4 kitap var.

İki raf arasındaki kitap sayısı farkı:

Problem C — Tamamlama

4 kilometre yürüdük. Hedefimiz 10 kilometre.

Daha ne kadar yürümeliyiz?

dolayısıyla:

19. Bazı temel sonuçları neden bekleyebiliriz?

Toplama ve çıkarmanın yapısından birkaç basit sonuç hemen çıkar.

Bir sayıya sıfır eklemek

Çünkü hiç ilerlemiyoruz veya mevcut gruba hiçbir şey eklemiyoruz.

Bir sayıdan sıfır çıkarmak

Çünkü hiçbir şey eksiltmiyoruz.

Ayrıca tanımdan:

olduğu için:

elde edilir.

Bir sayıdan kendisini çıkarmak

Çünkü:

olduğundan, $a$'ya eklenip yine $a$ veren eksik miktar sıfırdır.

Toplamayı çıkarma ile kontrol etmek

Eğer:

hesabını yaptıysak:

olup olmadığına bakarak sonucu kontrol edebiliriz.

Benzer biçimde:

olmalıdır.

Bu yalnızca pratik bir kontrol yöntemi değildir; iki işlemin ters ilişkisinin sonucudur.

20. Her iki işlem aynı biçimde davranmaz

Toplama ve çıkarma birbirleriyle bağlantılıdır; fakat aynı işlem değildirler.

Örneğin:

ve:

sonucunu verir.

Fakat:

iken:

doğal sayılar içinde bir sonuç vermez.

Daha basit bir örnekte bile:

ama:

aynı sonuç değildir.

21. Örnekler

22. Karşı örnekler ve sınır durumları

23. İşaretleri değil ilişkileri okuyalım

Şu ifadeyi görünce:

yalnızca:

“Yedi artı beş eşittir on iki.”

diye okumakla yetinmeyelim.

Aynı ifade şu anlamları taşıyabilir:

• 7 nesne ile 5 nesneyi birleştirirsek 12 nesne olur.
• 7'den başlayıp 5 adım ilerlersek 12'ye geliriz.
• 7'lik bir başlangıca 5'lik bir artış eklenirse sonuç 12 olur.

Benzer biçimde:

şunları söyleyebilir:

• 12'den 5 eksiltirsek 7 kalır.
• 12 ile 5 arasındaki uygun yönlü fark 7'dir.
• 5'i 12'ye tamamlamak için 7 gerekir.
• $5+7=12$ ilişkisinin ters yönden okunmasıdır.

24. Gerçek hayatta neden bu kadar temel?

25. Sık yapılan düşünce hataları

26. Şimdi geriye dönüp büyük resmi görelim

Başlangıçta yalnızca çoklukları sayabiliyorduk:

nesneler
   │
   ▼
 sayı

Şimdi sayılar arasında işlem kurmaya başladık:

Çoklukları saymak
        │
        ▼
      Sayılar
        │
        ├── birleştirme ──────► Toplama
        │
        ├── ilerleme ─────────► Toplama
        │
        ├── eksiltme ─────────► Çıkarma
        │
        ├── karşılaştırma ─────► Çıkarma
        │
        └── eksik miktar ─────► Çıkarma

Ve iki işlem birbirinden bağımsız değildir:

       +3
  5 ───────► 8
  ▲          │
  │          │
  └──────────┘
       -3

5 + 3 = 8
8 - 3 = 5
8 - 5 = 3

Bu ters ilişki, ileride matematiğin çok farklı yerlerinde yeniden karşımıza çıkacak:

• çarpma ↔ bölme,
• üs alma ↔ kök alma,
• üstel fonksiyon ↔ logaritma,
• fonksiyon ↔ ters fonksiyon,
• çeşitli cebirsel dönüşümler ↔ ters dönüşümler.

27. Sırada ne var?

Toplama bize:

“Bir miktarı başka bir miktar kadar artırmak”

fikrini verdi.

Şimdi şu problem ortaya çıkıyor:

Aynı sayıyı tekrar tekrar topluyorsak bunu her seferinde uzun uzun yazmak zorunda mıyız?

Benzer biçimde:

20 nesneyi beşerli gruplara ayırırsak kaç grup oluşur?

Bu sorular bizi bir sonraki birime götürecek:

02.02.02 — Çarpma ve bölme

Daha sonra da şu soruyu soracağız:

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme hangi genel yasalara uyuyor?

Bu ise:

02.02.03 — İşlem yasaları ve aritmetiğin yapısı

biriminin konusu olacak.

Ve çıkarmanın bugün gördüğümüz:

sınırı ileride çok daha büyük bir kapı açacak:

negatif sayılar ve tam sayılar.

28. Kısa sentez

29. Öğrenme kontrolü