2.02.02 — Çarpma ve bölme

Birim kartı

Dünya: 2 — Sayılar, Aritmetik ve Temel Sayı Yapıları
Bölüm: 2.02 — İşlemler ve İşlem Yasaları
Seviye: Ana Matematik Gövdesi
Ön koşul: 2.02.01 — Toplama ve çıkarma
Temel soru: Tekrarlı toplama, gruplama ve paylaşma nasıl genellenir?
İleri bağlantılar: İşlem yasaları, kesirler, oran, bölünebilme, Kartezyen sayma, cebir
Tamamlanma ölçütü: Bölmenin paylaşma ve ölçme anlamlarını ayırabilmek; çarpmanın neden yalnızca ezberlenmiş bir tablo olmadığını açıklayabilmek.

Haritadaki yerimiz

Bir önceki birimde toplamanın birleştirme, çıkarmanın ise eksiltme ve fark bulma anlamlarını gördük.

Şimdi aynı büyüklükte grupların tekrar tekrar ortaya çıktığı durumları inceleyeceğiz:

6+6+6+6+6+6+6.

Buradan çarpma doğacak.

Sonra ters yönde soracağız:

Toplam miktarı biliyorum. Bunu eşit gruplara nasıl ayırırım?

Buradan da bölme doğacak.

Bu iki işlem daha sonra kesirlerin, oranların, bölünebilmenin ve cebirsel işlemlerin temelini oluşturacak.

1. Başlangıç problemi: Yedi kutu, her kutuda altı kalem

Aynı toplama neden tekrar tekrar yazılıyor?

Bir depoda 7 kutu olduğunu ve her kutuda 6 kalem bulunduğunu düşünelim.

Toplam kalem sayısını mevcut bilgimizle bulabiliriz:

6+6+6+6+6+6+6=42.

Bu hesap doğrudur.

Ama şimdi kutu sayısı 7 değil, 70 olsun.

Yine

6+6+6+\cdots+6

diye 70 tane $6$ mı yazacağız?

Peki 7.000 kutu varsa?

Toplama problemi çözebiliyor; fakat burada yeni bir örüntü var:

Aynı sayı tekrar tekrar toplanıyor.

Bu durum o kadar sık karşımıza çıkar ki onu ayrı bir işlem olarak düşünmek doğal hâle gelir.

Çarpmanın doğduğu ihtiyaç

Çarpma, doğal sayılar düzeyinde, eşit büyüklükte grupların toplamını tek bir işlemle ifade etme ihtiyacından doğar.

Yedi tane altılı grup için:

7\times6=42.

Buradaki ifade:

7 grup var ve her grupta 6 nesne var.

anlamına gelebilir.

Dolayısıyla

7\times6

ifadesini ilk aşamada şöyle düşünebiliriz:

\underbrace{6+6+6+6+6+6+6}_{7\text{ tane }6}.

Çarpma bize yeni bir sonuç üretme gücü vermekten çok, başlangıçta tekrarlanan bir yapıyı tek nesne olarak görme imkânı verir.

2. Eski araç neden yetmedi?

Toplama ile gerçekten her şeyi yapabiliyorsak çarpmaya neden ayrı bir isim ve sembol verdik?

Çünkü matematik yalnızca bir sonucun hesaplanmasıyla ilgilenmez. Yapının görülmesi de önemlidir.

Şu iki ifade aynı sonucu verir:

6+6+6+6+6+6+6

7\times6.

Fakat ikinci ifade bize ilkinden daha fazla bilgi verir.

İlk ifadeye baktığımızda yedi kez toplama görüyoruz.

İkinci ifadeye baktığımızda ise doğrudan:

grup sayısını,
grup büyüklüğünü,
bunlar arasındaki yapıyı

görüyoruz.

Çarpma, uzun bir toplamın yalnızca kısa yazımı değildir.

Daha önemli olan şudur:

Çarpma, “kaç grup?” ile “her grupta kaç tane?” bilgisini tek ilişkide birleştirir.

Bu fikir ileride çok daha güçlü hâle gelecek.

Örneğin çarpma:

ölçekleme,
alan,
kombinasyon sayma,
oran,
olasılık,
cebir

gibi alanlarda karşımıza çıkacak.

Bu nedenle “çarpma = tekrarlı toplama”, doğal sayılarda çok güçlü bir başlangıç modelidir; fakat çarpmanın bütün matematikteki nihai anlamı değildir.

Önemli sınır

Doğal sayılarda $4\times3$ ifadesini üçleri dört kez toplamak gibi düşünebiliriz.

Fakat ileride

\frac12\times 8

veya

1.7\times4.2

gibi ifadeler göreceğiz.

Burada “bir buçuk kez toplama” gibi bir düşünce artık yeterli değildir.

Dolayısıyla tekrarlı toplama çarpmanın başlangıç modelidir; çarpmanın evrensel tanımı değildir.

3. Çarpmanın ilk zihinsel modelleri

3.1. Eşit gruplar

Dört tabakta üçer elma olsun.

Dört eşit grup

● ● ●     ● ● ●     ● ● ●     ● ● ●
  1.        2.        3.        4.
 grup      grup      grup      grup

Dört ayrı grubun her birinde üç nesne vardır; toplamda on iki nesne bulunur.

Toplam:

3+3+3+3=12.

Bunu:

4\times3=12

diye ifade ederiz.

Burada:

$4$ : grup sayısı,
$3$ : her grubun büyüklüğü,
$12$ : toplam nesne sayısıdır.

3.2. Dikdörtgensel düzen

Aynı 12 nesneyi farklı biçimde düzenleyelim.

Satır ve sütun modeli

● ● ● ●
● ● ● ●
● ● ● ●

Üç satır ve dört sütundan oluşan dikdörtgensel bir düzende toplam on iki nokta vardır.

Burada:

3 satır,
her satırda 4 nokta

vardır.

Dolayısıyla:

3\times4=12.

Ama şekle diğer yönden de bakabiliriz:

4 sütun,
her sütunda 3 nokta.

Bu kez:

4\times3=12.

Bu gözlem ileride öğreneceğimiz

a\times b=b\times a

değişme özelliğinin güçlü bir geometrik ipucudur.

Ancak işlem yasalarını sistematik biçimde bir sonraki birimde inceleyeceğiz.

3.3. Sayı doğrusunda eşit adımlar

Çarpmayı sayı doğrusu üzerinde de görebiliriz.

$4\times3$ için sıfırdan başlayıp dört kez 3 birim ilerleyelim.

Sayı doğrusunda çarpma

0 ───► 3 ───► 6 ───► 9 ───► 12
    +3     +3     +3      +3

Sıfırdan başlayarak üçer birimlik dört eşit ilerleme sonunda on ikiye ulaşılır.

Yani:

4\times3 = 3+3+3+3 = 12.

Bu da çarpmanın doğal sayılar üzerindeki tekrarlı toplama modelidir.

4. Çarpmanın biçimsel tanımı

Daha önce doğal sayıların ardıl yapısını görmüştük.

Bir doğal sayının ardılını $S(a)$ ile gösterelim:

S(a)=a+1.

Çarpmayı yalnızca sezgiyle bırakmadan, toplama üzerinden kesin biçimde tanımlayabiliriz.

Doğal sayılarda çarpma

$a$ ve $b$ doğal sayılar olsun.

Çarpma özyinelemeli olarak:

0\cdot b=0

S(a)\cdot b=a\cdot b+b

ile tanımlanabilir.

İkinci satırın söylediği şey basittir:

Bir tane daha $b$ grubu eklediğimizde önceki toplamın üzerine bir $b$ daha ekleriz.

Örneğin:

$3\cdot4$ işlemini tanımdan üretmek

3\cdot4 = 2\cdot4+4

= 1\cdot4+4+4

= 0\cdot4+4+4+4

= 4+4+4

=12.

Böylece çarpma gökten inen yeni bir kural değildir.

Doğal sayılarda onu:

ardıl,
toplama,
tekrar

fikirlerinden inşa edebiliriz.

5. Sıfırla çarpma neden sıfırdır?

Bu kuralı ezberlemek yerine iki farklı modelle görelim.

Sıfır grup

Sıfır tane 8'li grup varsa kaç nesne vardır?

Hiç.

Dolayısıyla:

0\times8=0.

Her grubun içi boşsa

Beş grup var ama her grupta sıfır nesne olsun:

5\times0.

Her grup boş olduğundan toplam yine:

0

olur.

Dolayısıyla:

5\times0=0.

Sıfırla çarpmanın sonucu sıfır olmak zorundadır çünkü çarpmanın grup modelinde ya hiç grup yoktur ya da grupların her biri boştur.

6. Çarpmanın başka bir büyük anlamı: bağımsız seçimler

Çarpma yalnızca fiziksel nesne gruplarında ortaya çıkmaz.

Üç gömleğimiz ve dört pantolonumuz olduğunu düşünelim.

Her gömlek her pantolonla birlikte giyilebilsin.

Kaç farklı kombinasyon vardır?

Gömlekleri:

G_1,G_2,G_3

ve pantolonları:

P_1,P_2,P_3,P_4

olarak gösterelim.

İki bağımsız seçim

G1 ── P1
   ├─ P2
   ├─ P3
   └─ P4

G2 ── P1
   ├─ P2
   ├─ P3
   └─ P4

G3 ── P1
   ├─ P2
   ├─ P3
   └─ P4

Üç gömlek seçeneğinin her biri dört pantolon seçeneğiyle eşleşerek toplam on iki farklı ikili oluşturur.

Her gömlek için 4 pantolon seçeneği vardır ve 3 gömlek vardır:

3\times4=12.

Bu, daha önce gördüğümüz Kartezyen çarpım fikriyle yakından ilişkilidir.

Eğer $A$ kümesinde 3 ve $B$ kümesinde 4 eleman varsa, bütün sıralı seçimlerin oluşturduğu

A\times B

kümesinde 12 eleman bulunur.

Burada çarpma artık “aynı sayıyı tekrar toplama”dan daha yapısal görünmeye başlıyor:

Bir seçimin her olasılığı, başka bir seçimin her olasılığıyla birleşebiliyorsa toplam olasılık sayısı çarpımla ortaya çıkar.

Bu fikir ileride kombinatorik ve olasılığın çarpma ilkesine dönüşecek.

7. Şimdi ters soruyu soralım: Bölme

Çarpma bize şu tür bir problem çözdü:

6 grup var, her grupta 4 nesne var. Toplam kaç nesne vardır?

6\times4=24.

Şimdi toplamı biliyor olalım:

24 nesne var.

Fakat grup yapısına ilişkin bilgilerden biri eksik olsun.

İki farklı soru sorabiliriz.

8. Bölmenin birinci anlamı: eşit paylaşma

24 nesneyi 6 kişiye eşit dağıtmak

24 elmayı 6 kişiye eşit dağıtıyoruz.

Her kişi kaç elma almalıdır?

Burada bildiklerimiz:

toplam: 24,
grup sayısı: 6.

Bilmediğimiz:

her grubun büyüklüğü.

Şunu arıyoruz:

6\times ?=24.

Eksik sayı:

4

olduğundan:

24\div6=4.

Paylaştırma olarak bölme

Toplam miktar ve grup sayısı biliniyorsa, her grubun büyüklüğünü bulmaya yönelik bölmeye paylaştırma bölmesi diyebiliriz.

Soru:

“Her birine kaç tane düşer?”

Paylaştırma bölmesi

24 nesne
   │
   ▼
6 eşit grup

● ● ● ●    ● ● ● ●    ● ● ● ●
● ● ● ●    ● ● ● ●    ● ● ● ●

Her grupta 4 nesne

Yirmi dört nesne altı eşit gruba ayrıldığında her grupta dört nesne bulunur.

9. Bölmenin ikinci anlamı: ölçme veya gruplama

Şimdi çok benzer görünen başka bir problem düşünelim.

24 nesneden altışarlı kaç grup çıkar?

24 elma var.

Elmaları 6'şarlı paketler hâline getirmek istiyoruz.

Kaç paket oluşturabiliriz?

Bu kez bildiklerimiz:

toplam: 24,
her grubun büyüklüğü: 6.

Bilmediğimiz:

kaç grup olduğu.

Şunu arıyoruz:

?\times6=24.

Cevap yine:

4.

Dolayısıyla:

24\div6=4.

Ama soru ilk problemle aynı değildir.

Ölçme olarak bölme

Toplam miktar ve bir grubun büyüklüğü biliniyorsa kaç grup bulunduğunu hesaplayan bölme anlayışına ölçme bölmesi veya gruplama bölmesi denebilir.

Soru:

“Bu miktarın içine belirtilen büyüklükten kaç tane sığar?”

10. Aynı işlem, iki farklı soru

Bu ayrım önemlidir.

Problem	Bilinen	Aranan
24 nesneyi 6 kişiye paylaş	Grup sayısı = 6	Her grubun büyüklüğü
24 nesneyi 6'şarlı paketle	Grup büyüklüğü = 6	Grup sayısı

İkisinde de sonuç:

24\div6=4

olabilir.

Fakat 4'ün anlamı farklıdır.

Birinci problemde:

kişi başına düşen miktar.

İkinci problemde:

oluşturulabilen grup sayısı.

Bölme yalnızca paylaşmak değildir

“Bölme demek eşit paylaşmak demektir” ifadesi eksiktir.

Bölmenin en az iki temel doğal sayı modeli vardır:

Paylaştırma: Her gruba kaç tane?
Ölçme: Kaç grup oluşur?

Bu ayrım özellikle kesirler, oranlar ve ölçme problemlerinde önem kazanacaktır.

11. Bölme ile çarpma arasındaki ters ilişki

Toplama ve çıkarmada gördüğümüz ters ilişkiye benzer bir yapı burada da vardır.

Eğer:

6\times4=24

ise bu ilişki bize bölme hakkında da bilgi verir:

24\div6=4.

Aynı yapının farklı yönlerine bakıyoruz.

Çarpma ve bölme ilişkisi

6 ve 4
  │
  │ çarpma
  ▼
 24
  │
  │ bölme
  ▼
  4

Altı ile dördün çarpımı yirmi dört eder; yirmi dördü altıya bölmek yeniden dörde götürür.

Çarpma:

“Grupları biliyorum, toplamı bul.”

Bölme:

“Toplamı biliyorum, grup yapısındaki eksik bilgiyi bul.”

şeklinde düşünülebilir.

12. Bölmenin biçimsel anlamı

Tam bölme

$a$ ve $b$ doğal sayılar ve $b>0$ olsun.

Eğer

b\cdot q=a

olacak biçimde bir doğal sayı $q$ varsa,

a\div b=q

deriz.

Burada:

$a$ : bölünen,
$b$ : bölen,
$q$ : bölüm

olarak adlandırılır.

Örneğin:

35\div5=7

çünkü:

5\cdot7=35.

Burada bölmeyi gerçekten çarpmanın tersi olarak görüyoruz:

“Hangi sayı 5 ile çarpıldığında 35 verir?”

13. Ama her doğal sayı bölmesi tam çıkmaz

Şimdi:

17\div5

işlemini düşünelim.

Beşerli gruplar oluşturalım:

5+5+5=15.

17'nin içinde üç tane tam 5 vardır, fakat:

17-15=2

nesne artar.

Dolayısıyla doğal sayılar içinde:

17=5\cdot3+2.

Burada:

bölüm $3$ ,
kalan $2$ 'dir.

Kalanlı bölme

23 nesneyi 4'lü gruplara ayıralım.

4\cdot5=20

23-20=3.

Dolayısıyla:

23=4\cdot5+3.

Beş tam grup oluşur ve üç nesne kalır.

Bu küçük problem önemli bir sınıra işaret eder:

Doğal sayılar bölme altında her zaman doğal sayı sonucu üretmez.

Örneğin:

7\div2

işleminin doğal sayılarda tam bir sonucu yoktur.

Bu sorun ileride yeni bir sayı fikrinin kapısını açacak:

kesirler.

Çarpma doğal sayılar içinde rahatça çalışırken bölme bizi çok erken bir sınırla karşılaştırır:

7\div2=?

Doğal sayılar bu soruya tam cevap veremez.

Bu nedenle ileride sayı sistemimizi genişletip kesirleri ve rasyonel sayıları kuracağız.

14. Sıfır ve bölme

Sıfır söz konusu olduğunda özellikle dikkatli olmalıyız.

$0\div5$

Beş eşit gruba toplam sıfır nesne dağıtırsak her gruba:

0

nesne düşer.

Dolayısıyla:

0\div5=0.

Çünkü:

5\cdot0=0.

$5\div0$

Şimdi:

5\div0

işlemini düşünelim.

Bölmenin ters çarpma anlamını kullanalım.

Bir $q$ sayısı arıyor olurduk:

0\cdot q=5.

Fakat her doğal sayı $q$ için:

0\cdot q=0.

Hiçbir zaman 5 elde edemeyiz.

Bu nedenle:

5\div0

tanımsızdır.

$0\div0$

Burada durum daha da ilginçtir.

Bir $q$ ararsak:

0\cdot q=0

denklemini elde ederiz.

Ama bu yalnızca bir $q$ için değil, her doğal sayı için doğrudur:

0\cdot0=0,

0\cdot1=0,

0\cdot2=0,

ve böyle devam eder.

Dolayısıyla bölmenin tek bir sonuç vermesi mümkün değildir.

Sıfıra bölme

Sıradan aritmetikte:

\frac{a}{0}

tanımlı değildir.

Özellikle:

\frac00

ifadesine de keyfî olarak bir sayı atanamaz.

Sorun “çok büyük bir sayı çıkması” değildir.

Sorun, bölmenin tek ve tutarlı bir sonuç belirleyememesidir.

15. Tarihsel gelişim: Bu işlemleri kim buldu?

Çarpma ve bölmenin tek bir mucidi yoktur.

Bu işlemler, insanların:

ticaret,
ürün paylaşımı,
vergi,
arazi ölçümü,
takvim,
astronomi

gibi problemleri çözme ihtiyacıyla çok eski dönemlerden itibaren gelişmiştir.

Eski Mısır matematiğinde çarpma işlemleri ikiye katlama ve toplama yöntemleriyle yapılabiliyordu. Yaklaşık MÖ ikinci binyıldan kalan metinler bu tür yöntemlerin sistemli biçimde kullanıldığını gösterir.

Eski Babil matematiğinde ise altmışlık sayı sistemiyle hazırlanmış çarpım ve ters sayı tabloları vardı. Özellikle bölme işlemleri çoğu zaman bir sayının çarpımsal tersini kullanma fikriyle gerçekleştiriliyordu. Bu yaklaşım, çok daha ileride öğreneceğimiz “bölme = ters ile çarpma” düşüncesinin eski bir hesaplama biçimidir.

Çin matematiğinde sayma çubuklarıyla çalışan gelişmiş çarpma ve bölme yöntemleri oluştu. Matematik Sanatının Dokuz Bölümü gibi eserlerde bu işlemler pratik problemlerle birlikte sistematik olarak ele alındı.

Hindistan'da gelişen konumsal onluk sayı sistemi ve sıfırın kullanımı, yazılı aritmetik algoritmalarını son derece güçlü hâle getirdi. Bu yöntemler İslam dünyasındaki matematikçiler tarafından işlendi ve geliştirildi; daha sonra Avrupa'ya aktarıldı.

Bugün kullandığımız işlem sembolleri ise fikirlerin kendisinden çok daha yenidir. Çarpma için $\times$ sembolünün yaygınlaşması 17. yüzyılda William Oughtred ile; $\div$ bölme sembolünün kullanımı ise yine 17. yüzyılda Johann Rahn ile ilişkilidir.

Yani insanlık binlerce yıl boyunca çarpıyor ve bölüyordu; modern semboller çok daha sonra ortaya çıktı.

Bu tarih bize önemli bir ayrımı yeniden hatırlatır:

Matematiksel fikir ile onu yazmak için kullandığımız sembol aynı şey değildir.

16. Çarpma tablosu: Ezber mi, yapı mı?

Çarpma tablosunu hızlı bilmek hesap yapmayı kolaylaştırır.

Fakat çarpmanın kendisi çarpım tablosundan ibaret değildir.

Örneğin:

7\times5

sonucunu unuttuğumuzu varsayalım.

Çarpmanın anlamını biliyorsak her zaman geri dönebiliriz:

5+5+5+5+5+5+5=35.

Dolayısıyla:

7\times5=35.

Ezber ile bilgi arasındaki fark

Çarpım sonuçlarının otomatikleşmesi yararlıdır.

Fakat gerçek matematiksel bilgi:

$7\times5=35$ olduğunu hatırlamaktan önce, $7\times5$ ifadesinin ne söylediğini bilmektir.

Aynı şey bölme için de geçerlidir.

42\div6=7

sonucunu unutmuş olsak bile:

“Hangi sayı 6 ile çarpılınca 42 eder?”

diye sorabiliriz.

17. Örnekler

Örnek 1 — Eşit gruplar

Bir sinema salonunda 8 sıra ve her sırada 12 koltuk olsun.

Toplam koltuk sayısı:

8\times12=96.

Burada:

grup sayısı: 8 sıra,
grup büyüklüğü: 12 koltuk,
toplam: 96 koltuktur.

Örnek 2 — Paylaştırma

48 kitap 8 rafa eşit dağıtılacak.

Her rafta kaç kitap bulunur?

Aradığımız sayı $q$ :

8\cdot q=48.

Buradan:

q=6.

Dolayısıyla:

48\div8=6.

Buradaki 6, raf başına kitap sayısıdır.

Örnek 3 — Ölçme

48 metre kabloyu 8 metrelik parçalara ayırıyoruz.

Kaç parça elde ederiz?

48\div8=6.

Buradaki 6 ise parça sayısıdır.

Önceki örnekle aynı işlem yapılmıştır fakat sonucun anlamı farklıdır.

Örnek 4 — Kalan

29 kişi, her birinde en fazla 6 kişi bulunan araçlara yerleştirilecek.

Dört araç:

4\cdot6=24

kişiyi taşır.

Beş kişi kalır.

Bu nedenle dört araç yetmez.

Beşinci araca da ihtiyaç vardır.

Burada yalnızca

29\div6

hesabının bölümünü bilmek gerçek problemi çözmeye yetmez; kalanın bağlamdaki anlamını da yorumlamak gerekir.

18. Karşı örnekler ve yanlış genellemeler

Çarpma her zaman büyütür mü?

Doğal sayıların bu aşamasında $a>0$ ve $b>1$ ise $a\times b$ , genellikle $a$ 'dan büyüktür.

Bu durum ileride bizi yanıltabilir.

Kesirlere geçtiğimizde:

\frac12\times8=4

olacaktır.

Yani çarpma bir sayıyı küçültebilir.

Dolayısıyla:

“Çarpma her zaman büyütür.”

çarpmanın genel bir özelliği değildir.

Bölme her zaman küçültür mü?

Doğal sayılarda büyük bir sayıyı $2,3,4,\ldots$ gibi bir sayıya bölmek genellikle sonucu küçültür.

Fakat ileride:

8\div\frac12=16

olacaktır.

Dolayısıyla:

“Bölme her zaman küçültür.”

de genel bir matematiksel yasa değildir.

Bu iki örnek çok önemli bir alışkanlık kazandırır:

Bir özelliğin birkaç tanıdık örnekte doğru olması, onun bütün matematikte doğru olduğu anlamına gelmez.

19. Gerçek kullanım alanları

Gündelik yaşam: paketleme ve paylaşım

Bir mağazada 240 ürünün her kolide 12 ürün olacak şekilde paketlenmesi gerekiyorsa:

240\div12

bize gereken koli sayısını verir.

Burada kullanılan bölme ölçme bölmesidir:

“240'ın içinde kaç tane 12 var?”

Aynı 240 ürün 12 şubeye eşit gönderilecekse yine:

240\div12

hesaplanabilir.

Fakat bu kez soru:

“Her şubeye kaç ürün düşer?”

olduğu için paylaştırma bölmesidir.

Mühendislik ve üretim: düzenli diziler

Bir panelde 120 satır sensör ve her satırda 80 sensör varsa toplam sensör sayısı:

120\times80

ile bulunur.

Burada çarpma, fiziksel bir satır × sütun yapısını sayıya dönüştürür.

Aynı düşünce ekranlardaki piksel dizilerinde, hafıza düzenlerinde ve üretim hatlarındaki parça sayımlarında tekrar tekrar kullanılır.

Bilgisayar bilimi: olası kombinasyonları saymak

Bir sistemde:

4 kullanıcı rolü,
3 erişim seviyesi

varsa ve her rol her seviye ile birleştirilebiliyorsa:

4\times3=12

farklı rol-seviye kombinasyonu vardır.

Bu, Kartezyen çarpımın elemanlarını sayma problemidir.

İleride kombinatorikte bu fikir çok daha genel bir çarpma ilkesine dönüşecek.

Matematik içinde

Çarpma ve bölme ileride:

işlem yasaları,
kesirler,
oran ve orantı,
yüzde,
üsler,
bölünebilme,
asal sayılar,
cebir,
fonksiyonlar,
kombinatorik,
olasılık

gibi çok farklı konuların içine yerleşecektir.

Özellikle bölmenin doğal sayılarda her zaman sonuç vermemesi, yeni sayı sistemlerine geçmemizin önemli nedenlerinden biri olacaktır.

20. Sınırlar ve sık yapılan hatalar

1. İşlem ile bağlamı karıştırma

24\div6=4

tek başına yalnızca sayısal ilişkiyi verir.

Bir problem içinde 4'ün neyi temsil ettiği ayrıca belirlenmelidir:

kişi başına nesne mi?
grup sayısı mı?
metre mi?
kutu mu?

Matematiksel sonuç bağlamdan koparılmamalıdır.

2. Bölmeyi yalnızca paylaşma sanma

20\div5

hem:

“20 şeyi 5 kişiye dağıtırsam kişi başına kaç düşer?”

hem:

“20 şeyi 5'erli gruplarsam kaç grup çıkar?”

sorularını temsil edebilir.

Bu iki anlamı ayırt edebilmek bu birimin temel hedeflerinden biridir.

3. Çarpmayı yalnızca ezber tablosu sanma

Çarpım tablosu bir hesaplama aracıdır.

Çarpmanın matematiksel fikri ise eşit gruplar, tekrar, dikdörtgensel düzen ve bağımsız seçim gibi yapılardır.

4. Her bölmenin doğal sayı sonucu vereceğini sanma

12\div3=4

doğal sayılarda tamdır.

Ama:

7\div2

doğal sayılarda tam değildir.

Bu bir hata değil, doğal sayı sisteminin bir sınırıdır.

5. Sıfıra bölme

a\div0

sıradan aritmetikte tanımlı değildir.

“Sonuç sonsuzdur” demek doğru değildir.

Bölmenin ters çarpma koşulu tek ve tutarlı bir sayı belirlemez.

21. Matematik haritasındaki bağlantı

Şimdi elimizde dört temel işlem var:

Birleştirme
     │
     ▼
  Toplama
     │
     │ ters problem
     ▼
  Çıkarma


Eşit gruplar
     │
     ▼
   Çarpma
     │
     │ ters problem
     ▼
    Bölme

Bu noktada doğal bir sonraki soru ortaya çıkıyor:

Bu işlemler istediğimiz sırayla yapılabilir mi?

Örneğin:

3\times4

ile

4\times3

neden aynı sonucu veriyor?

Peki:

12\div3

ile

3\div12

neden aynı değil?

Ya da:

2(3+4)

ifadesi ile

2\cdot3+2\cdot4

arasındaki ilişki nedir?

Bu sorular bizi bir sonraki birime götürecek:

2.02.03 — İşlem yasaları ve aritmetiğin yapısı.

22. Kısa sentez

Neden vardı?

Aynı büyüklükte grupları tekrar tekrar toplamak ve toplam miktardan eksik grup bilgisini geri bulmak için çarpma ve bölmeye ihtiyaç duyduk.

Ne öğrendik?

Doğal sayılarda çarpma, eşit grupların toplamı olarak kurulabilir:

4\times3=3+3+3+3.

Bölme ise çarpmanın ters problemidir; fakat iki önemli yorumu vardır:

paylaştırma: her gruba kaç tane?
ölçme: kaç grup oluşur?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Eşit grup problemlerini çarpma ile modelleyebilir; toplamdan grup sayısını veya grup büyüklüğünü bölmeyle bulabilir; kalanlı durumları ve sıfıra bölmenin neden tanımsız olduğunu açıklayabiliriz.

Sırada ne var?

Şimdi bu işlemlerin hangi genel yasalara uyduğunu araştıracağız:

değişme,
birleşme,
dağılma,
birim eleman,
kapalılık.

Böylece hesap kurallarının arkasındaki aritmetik yapıyı görmeye başlayacağız.

23. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Çarpmanın doğal sayılarda “tekrarlı toplama” olarak yorumlanması ne demektir? Kendi örneğini ver.
“Çarpma yalnızca tekrarlı toplamadır” demek neden ileride yetersiz kalacaktır?
Aşağıdaki iki sorunun farkını kendi sözlerinle açıkla:
- 30 şekeri 5 çocuğa eşit paylaştırıyoruz.
- 30 şekeri 5'erli paketlere ayırıyoruz.
İkisinde de $30\div5$ yapılmasına rağmen bulunan sayının anlamı neden farklıdır?

Teknik

Aşağıdaki çarpımları önce tekrarlı toplam olarak yaz, sonra sonucu bul:
$5\times4$ $3\times7$
54 nesneyi 6 eşit gruba ayırırsak her grupta kaç nesne bulunur?
54 nesneden 6'şarlı kaç tam grup oluşturulabilir?
38 nesneyi 7'şerli gruplara ayır. Kaç tam grup oluşur ve kaç nesne artar?

Gerekçelendirme

Neden
$0\times9=0$
olmalıdır? Sonucu ezber kuralına başvurmadan grup modeliyle açıkla.
Neden
$12\div0$
tanımlı değildir? Bölmeyi ters çarpma problemi olarak kullanarak açıkla.
“Bölme her zaman sayıyı küçültür.” iddiasının bütün matematik için geçerli olamayacağını düşünüyorsan, ileride nasıl bir karşı örnek ortaya çıkabileceğini tahmin et.

Transfer

Bir konferans salonunda bütün sıralarda aynı sayıda koltuk vardır. 18 sıra ve toplam 432 koltuk bulunduğuna göre her sırada kaç koltuk vardır?

Önce bunun paylaştırma mı yoksa ölçme bölmesi mi olduğunu belirle.
Bir kilidin ilk hanesi için 5, ikinci hanesi için 8 farklı seçenek vardır. Her ilk hane her ikinci haneyle kullanılabiliyorsa kaç farklı iki haneli seçim vardır?

Bunun fiziksel “eşit gruplar” problemi olmamasına rağmen neden çarpma kullandığımızı açıkla.
Bir fırın 101 ekmeği, her kasada en fazla 12 ekmek olacak biçimde kasalara koyacak.

Yalnızca bölüm sonucunu bulmak yeterli midir? Gerçek problem için kaç kasa gerektiğini ve kalanın neden önemli olduğunu açıkla.

2.02.02 — Çarpma ve bölme

Birim kartı

1. Başlangıç problemi: Yedi kutu, her kutuda altı kalem

2. Eski araç neden yetmedi?

3. Çarpmanın ilk zihinsel modelleri

3.1. Eşit gruplar

3.2. Dikdörtgensel düzen

3.3. Sayı doğrusunda eşit adımlar

4. Çarpmanın biçimsel tanımı

5. Sıfırla çarpma neden sıfırdır?

Sıfır grup

Her grubun içi boşsa

6. Çarpmanın başka bir büyük anlamı: bağımsız seçimler

7. Şimdi ters soruyu soralım: Bölme

8. Bölmenin birinci anlamı: eşit paylaşma

9. Bölmenin ikinci anlamı: ölçme veya gruplama

10. Aynı işlem, iki farklı soru

11. Bölme ile çarpma arasındaki ters ilişki

12. Bölmenin biçimsel anlamı

13. Ama her doğal sayı bölmesi tam çıkmaz

14. Sıfır ve bölme

0÷50\div50÷5

5÷05\div05÷0

0÷00\div00÷0

15. Tarihsel gelişim: Bu işlemleri kim buldu?

16. Çarpma tablosu: Ezber mi, yapı mı?

17. Örnekler

18. Karşı örnekler ve yanlış genellemeler

19. Gerçek kullanım alanları

20. Sınırlar ve sık yapılan hatalar

21. Matematik haritasındaki bağlantı

22. Kısa sentez

23. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

$0\div5$

$5\div0$

$0\div0$