02.03.02 — Tam Sayılarda İşlemler ve İşaret Kuralları

Haritadaki yerimiz

Bu birimde artık negatif sayıların neden gerekli olduğunu değil, negatif sayıları kabul ettiğimizde aritmetiğin nasıl çalışması gerektiğini araştıracağız.

Önceki iki önemli adımımız şunlardı:

02.02.03 — İşlem yasaları ve aritmetiğin yapısı: değişme, birleşme, dağılma, birim ve ters işlem fikirlerini gördük.
02.03.01 — Negatif sayılara neden ihtiyaç duyuldu?: doğal sayıların çıkarma işlemine yetmediğini ve sayı doğrusunu sıfırın soluna genişleterek tam sayılara geçtiğimizi gördük.

Şimdi temel sorumuz şu:

Temel soru

Neden

(-2)(-3)=6

olmalıdır?

Bu gerçekten ezberlememiz gereken keyfî bir kural mıdır, yoksa daha önce kabul ettiğimiz işlem yasaları bizi buna zorlar mı?

Bu birimin sonunda işaret kurallarını yalnızca kullanmak değil, gerektiğinde yeniden türetebilmek hedeflenmektedir.

1. Sorun nerede başlıyor?

Pozitif doğal sayılarla çalışırken işlemlerin anlamı oldukça rahattır.

Örneğin:

3+5=8

üç nesne ile beş nesneyi birleştirmek olarak düşünülebilir.

Benzer biçimde:

3\cdot 5=15

ifadesini üç tane beşin toplamı olarak görebiliriz:

5+5+5=15.

Fakat tam sayılara geçince yeni ifadeler ortaya çıkar:

5+(-3)

5-(-3)

(-5)\cdot 3

(-5)(-3).

İlk ikisini sayı doğrusu veya borç-alacak gibi modellerle anlamlandırmak nispeten kolaydır.

Ama özellikle

(-5)(-3)

ifadesinde bir sorun vardır.

“Üç tane $-5$ ” diyebiliriz:

3(-5)=(-5)+(-5)+(-5)=-15.

Fakat “eksi üç tane $-5$ ” ne demektir?

Tekrarlı toplama modeli burada artık bize doğrudan cevap vermez.

Yeni ihtiyaç

Tam sayılarda işlemleri genişletirken yalnızca yeni örnekler için ayrı kurallar uyduramayız.

Yeni sayı sistemi, daha önce öğrendiğimiz aritmetiğin temel yasalarıyla tutarlı kalmalıdır.

Özellikle:

toplamanın değişme ve birleşme özellikleri,
çarpmanın değişme ve birleşme özellikleri,
sıfırın toplamadaki birim olması,
her sayının toplamsal tersinin bulunması,
çarpmanın toplama üzerine dağılması

korunmalıdır.

İşaret kurallarının gerçek kaynağı budur.

2. Önce “eksi” işaretini doğru okuyalım

Aynı - sembolünü birkaç farklı görevde kullanıyoruz.

Negatif sayı

-5

bir tam sayıdır.

Çıkarma işlemi

8-5

iki sayı arasında yapılan bir işlemdir.

Bir sayının toplamsal tersi

-a

$a$ ile toplandığında sıfır veren sayıyı ifade eder:

a+(-a)=0.

Bu üçüncü anlam özellikle önemlidir.

Toplamsal ters

Bir $a$ tam sayısının toplamsal tersi, $a$ ile toplandığında $0$ veren sayıdır.

a+(-a)=0.

Örneğin $7$ 'nin toplamsal tersi $-7$ 'dir:

7+(-7)=0.

Benzer biçimde $-7$ 'nin toplamsal tersi $7$ 'dir:

(-7)+7=0.

Dolayısıyla - işaretini yalnızca “bu sayı negatiftir” biçiminde okumak eksiktir.

$-a$ esas olarak:

$a$ 'nın toplamsal tersi

demektir.

Bu nedenle $a$ zaten negatif olabilir.

Örneğin:

-(-5)

ifadesi “eksi eksi beş” diye okunabilir; ama matematiksel anlamı şudur:

$-5$ 'in toplamsal tersi.

$-5$ 'in toplamsal tersi $5$ olduğuna göre:

-(-5)=5.

Neden negatifin negatifi pozitiftir?

$-a$ sayısının toplamsal tersini arıyoruz.

$a$ ile $-a$ 'yı toplarsak:

(-a)+a=0.

Demek ki $-a$ 'yı sıfıra götüren sayı $a$ 'dır.

Bu nedenle:

\boxed{-(-a)=a}

Bu henüz çarpma kuralı değildir.

Ama biraz sonra negatifle negatifin çarpımının neden pozitif olduğunu anlamamızda önemli rol oynayacaktır.

3. Tam sayılarda toplama

Toplamada işaretleri ezberlemek yerine sayıların ne ifade ettiğine bakalım.

Aynı yöndeki değişimler

Örneğin:

3+5=8.

İki değişim de pozitif yönde olduğu için toplam etki pozitiftir.

Benzer biçimde:

(-3)+(-5)=-8.

İki değişim de negatif yöndedir.

Aynı yönde toplama

Negatif yön                         Pozitif yön
      ←                                  →

-8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
                    ←──── -5 ────
                              ← -3

Pozitif sayılar sayı doğrusunda sağa, negatif sayılar sola hareketi temsil eder. Aynı işaretli hareketler aynı yönde birleşir.

Bu nedenle:

(-3)+(-5)=-(3+5)=-8.

Zıt yöndeki değişimler

Şimdi:

7+(-3)

düşünelim.

$7$ bizi sıfırdan sağa götürürken $-3$ üç birim sola götürür.

Sonuç:

7+(-3)=4.

Başka bir örnek:

3+(-7)=-4.

Burada negatif yöndeki hareket daha büyüktür.

Farklı işaretli iki sayıyı toplarken aslında birbirine zıt iki etkiyi birleştiriyoruz.

Bir kısmı birbirini götürür.

Örneğin:

5+(-5)=0.

Bu nedenle farklı işaretli sayılarda önemli olan yalnızca sembollere bakmak değil, hangi yönün daha güçlü kaldığını görmektir.

Toplama için pratik sonuç

İki sayı aynı işaretliyse büyüklükleri toplanır ve ortak işaret korunur.
İşaretler farklıysa zıt etkiler birbirini götürür; aradaki fark kalır ve daha büyük etkinin yönü sonucu belirler.

Fakat bu, ezberlenmesi gereken bağımsız bir yasa değil; sayı doğrusu ve toplamsal ters fikrinin kısa bir özetidir.

Örnekler

(-4)+(-6)=-10

9+(-4)=5

4+(-9)=-5

(-7)+7=0

4. Çıkarma aslında nedir?

Doğal sayılarda çıkarmayı daha önce toplamanın ters işlemi olarak görmüştük.

Tam sayılar bize bunu daha güçlü bir biçimde ifade etme imkânı verir.

Çıkarmayı toplama olarak yeniden yazmak

Bir sayıdan $b$ çıkarmak, $b$ 'nin toplamsal tersini eklemektir:

\boxed{a-b=a+(-b)}

Örneğin:

7-3=7+(-3)=4.

Bu ifade bildiğimiz sonuçla uyumludur.

Fakat şimdi daha önce garip görünen ifadeleri de açıklayabiliriz.

Negatif sayı çıkarmak

5-(-3)

ifadesini ele alalım.

Çıkarma tanımına göre:

5-(-3) = 5+\bigl(-(-3)\bigr).

Az önce:

-(-3)=3

olduğunu gördük.

Dolayısıyla:

5-(-3)=5+3=8.

Neden eksi bir negatifi çıkarmak artıya dönüşür?

Başlangıç:

a-(-b)

Çıkarmayı toplamsal ters eklemek olarak yazalım:

a+\bigl(-(-b)\bigr).

Negatifin negatifi:

-(-b)=b.

Dolayısıyla:

\boxed{a-(-b)=a+b}

Burada “iki eksi yan yana gelince artı olur” diye yeni bir sihirli kural oluşturmadık.

Sonuç, iki eski fikirden çıktı:

çıkarma = toplamsal tersi eklemek,
$-(-b)=b$ .

İki eksi görünce otomatik olarak artı yapma

- sembolünün hangi görevde kullanıldığına bakmadan “iki eksi artı olur” demek tehlikelidir.

Örneğin:

-3-5=-8

olur.

Burada yan yana iki negatif sayı çarpılmıyor ve negatif bir sayı çıkarılmıyor.

Her ifadeyi önce işlem yapısına göre okumak gerekir.

5. Çarpmada ilk işaret kuralı

Pozitif bir sayı ile negatif bir sayıyı çarpalım:

3(-4).

Burada tekrarlı toplama hâlâ kullanılabilir:

3(-4) = (-4)+(-4)+(-4) = -12.

Dolayısıyla:

3(-4)=-12.

Çarpmanın değişme özelliğini kullanırsak:

(-4)3=3(-4)=-12.

Yani bir pozitif ve bir negatif sayının çarpımı negatiftir.

Ama bunu yalnızca örneklerden gözlemlemek yeterli değildir.

İşlem yasalarından da çıkarabiliriz.

Pozitif ile negatifin çarpımı neden negatiftir?

$b$ ile $-b$ birbirinin toplamsal tersidir:

b+(-b)=0.

Her iki tarafı $a$ ile çarpalım:

a\bigl(b+(-b)\bigr)=a\cdot0.

Dağılma yasasını kullanalım:

ab+a(-b)=0.

Bu denklem bize $a(-b)$ 'nin $ab$ 'nin toplamsal tersi olduğunu söyler.

Dolayısıyla:

\boxed{a(-b)=-(ab)}

Benzer biçimde:

\boxed{(-a)b=-(ab)}

Örneğin:

4(-7)=-(4\cdot7)=-28.

6. Asıl soru: negatif ile negatif neden pozitiftir?

Şimdi dersin başındaki soruya geldik:

(-2)(-3)=?

Burada “eksiyle eksi artıdır” demek istemiyoruz.

Bunu dağılma yasasından çıkarmak istiyoruz.

Aşağıdaki üç şeyi aynı anda korumak istediğimizi düşün:

$3+(-3)=0$
$(-2)\cdot0=0$
Çarpma toplama üzerine dağılsın.

Bu üç koşul $(-2)(-3)$ 'ün değerini belirleyebilir mi?

$3+(-3)=0$ olduğuna göre:

(-2)\bigl(3+(-3)\bigr)=(-2)\cdot0.

Sağ taraf:

(-2)\cdot0=0.

Sol tarafa dağılma yasasını uygulayalım:

(-2)\cdot3+(-2)(-3)=0.

Bir negatif ile bir pozitifin çarpımını biliyoruz:

(-2)\cdot3=-6.

Dolayısıyla:

-6+(-2)(-3)=0.

$-6$ 'yı sıfıra götürecek sayı nedir?

6.

Öyleyse:

\boxed{(-2)(-3)=6}

Kritik fikir

Negatif ile negatifin çarpımının pozitif olması keyfî bir anlaşma değildir.

Tam sayı aritmetiğinde daha önce kullandığımız

toplamsal ters,
sıfır,
çarpma
ve özellikle dağılma yasasını

korumak istiyorsak bu sonuç zorunlu hâle gelir.

Genel türetme

$a$ ve $b$ pozitif olsun.

(-a)\bigl(b+(-b)\bigr)=(-a)\cdot0=0.

Dağıtalım:

(-a)b+(-a)(-b)=0.

İlk çarpım:

(-a)b=-ab.

O hâlde:

-ab+(-a)(-b)=0.

$-ab$ 'nin toplamsal tersi $ab$ olduğundan:

\boxed{(-a)(-b)=ab}

İşaret kuralının özü

(+)(+)=(+)

(+)(-)=(-)

(-)(+)=(-)

(-)(-)=(+)

Bu tablo, dört ayrı ezber kuralı değildir.

Özellikle son üç satır, işlem yasalarının tam sayılara tutarlı biçimde genişletilmesinin sonuçlarıdır.

7. Başka bir bakış: $-1$ bütün işaret meselesini taşıyor

Her negatif tam sayı şöyle yazılabilir:

-a=(-1)a.

Örneğin:

-7=(-1)\cdot7.

Bu nedenle bütün çarpma işaretlerini aslında $-1$ 'in davranışından anlayabiliriz.

Önce:

(-1)a=-a.

Şimdi:

(-1)(-1)

ifadesini bulalım.

$1+(-1)=0$ olduğundan:

(-1)\bigl(1+(-1)\bigr)=0.

Dağıtırsak:

(-1)\cdot1+(-1)(-1)=0.

Yani:

-1+(-1)(-1)=0.

Bunun gerçekleşmesi için:

\boxed{(-1)(-1)=1}

olmak zorundadır.

Şimdi:

(-a)(-b)

ifadesini yazabiliriz:

[(-1)a][(-1)b].

Çarpmanın birleşme ve değişme özelliklerini kullanırsak:

(-1)(-1)ab.

Ama:

(-1)(-1)=1.

Dolayısıyla:

(-a)(-b)=ab.

Bu, aynı kuralın daha yapısal bir açıklamasıdır.

8. Bölmede işaret kuralları

Bölme için yeni bir işaret sistemi icat etmemize gerek yoktur.

Çünkü bölme çarpmanın tersidir.

Örneğin:

\frac{-12}{3}

ifadesi şu soruyu sorar:

3 ile hangi sayıyı çarparsam $-12$ elde ederim?

Biliyoruz ki:

3(-4)=-12.

O hâlde:

\frac{-12}{3}=-4.

Benzer biçimde:

\frac{12}{-3}

için:

(-3)(-4)=12.

Dolayısıyla:

\frac{12}{-3}=-4.

Şimdi:

\frac{-12}{-3}

için şu sayıyı arıyoruz:

(-3)x=-12.

Çünkü:

(-3)\cdot4=-12,

sonuç:

\frac{-12}{-3}=4.

Böylece:

\boxed{ \frac{(+)}{(+)}=(+),\qquad \frac{(-)}{(+)}=(-),\qquad \frac{(+)}{(-)}=(-),\qquad \frac{(-)}{(-)}=(+) }

olur.

Bölmedeki işaret kuralları bağımsız kurallar değildir.

Çarpmadaki işaret kurallarının ters işlem yoluyla yeniden görünmesidir.

9. Sıfırın özel durumu

İşaret kurallarını konuşurken sıfırı unutmamak gerekir.

Her tam sayı için:

a\cdot0=0.

Bunu da işlem yasalarından çıkarabiliriz.

Neden herhangi bir sayı ile sıfırın çarpımı sıfırdır?

0+0=0.

Her iki tarafı $a$ ile çarpalım:

a(0+0)=a\cdot0.

Dağıtınca:

a\cdot0+a\cdot0=a\cdot0.

Her iki tarafa $-(a\cdot0)$ eklersek:

a\cdot0=0.

Fakat bölmede durum farklıdır.

\frac{a}{0}

tanımlı değildir.

Çünkü bölmeyi çarpmanın tersi olarak okursak:

\frac{a}{0}=x

demek:

0\cdot x=a

demektir.

Fakat her $x$ için:

0\cdot x=0.

$a\neq0$ ise böyle bir $x$ bulunamaz.

$a=0$ olduğunda ise:

0\cdot x=0

her $x$ için doğrudur; tek bir sonuç belirlenemez.

Sıfıra bölme

Hiçbir durumda

\frac{a}{0}

ifadesine sıradan bir sayı değeri veremeyiz.

“Sıfıra bölünce sonsuz olur” ifadesi bu düzeyde doğru değildir.

10. Tam sayılarda hangi işlemler bizi yine tam sayılarda tutar?

Tam sayı kümemiz:

\mathbb Z = \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.

Şimdi işlemleri inceleyelim.

Toplama

İki tam sayının toplamı yine tam sayıdır:

(-4)+7=3.

Çıkarma

İki tam sayının farkı yine tam sayıdır:

3-8=-5.

Doğal sayılardan tam sayılara geçmemizin önemli kazançlarından biri tam olarak buydu.

Çarpma

İki tam sayının çarpımı yine tam sayıdır:

(-4)(6)=-24.

Bölme

Fakat iki tam sayının bölümü her zaman tam sayı değildir:

1\div2=\frac12.

$\frac12$ bir tam sayı değildir.

Önemli yapısal fark

Tam sayılar:

toplama altında kapalıdır,
çıkarma altında kapalıdır,
çarpma altında kapalıdır,

fakat bölme altında kapalı değildir.

Bu eksiklik ileride bizi sayı sistemini yeniden genişletmeye ve rasyonel sayılara götürecektir.

11. İşaret kurallarını ezbersiz kullanmak

Şimdi birkaç örneği yalnızca sonuç açısından değil, neden açısından çözelim.

Örnek 1 — Toplama

-8+3

$-8$ negatif yönde sekiz birimlik, $3$ pozitif yönde üç birimlik etkidir.

Üç birim birbirini götürür:

-8+3=-5.

Örnek 2 — Negatif sayı çıkarmak

4-(-6)

Çıkarmayı toplamsal ters eklemek olarak yazalım:

4+\bigl(-(-6)\bigr).

-(-6)=6

olduğundan:

4-(-6)=10.

Örnek 3 — Negatifle çarpma

7(-4)

Bir pozitif ile bir negatifin çarpımı, pozitif çarpımın toplamsal tersidir:

7(-4)=-(7\cdot4)=-28.

Örnek 4 — İki negatifin çarpımı

(-8)(-5)

Dağılma yasasını koruyan işaret kuralından:

(-8)(-5)=8\cdot5=40.

Örnek 5 — Birden fazla işaret

(-2)(-3)(-4)

İlk iki çarpan:

(-2)(-3)=6.

Sonra:

6(-4)=-24.

Dolayısıyla:

(-2)(-3)(-4)=-24.

Buradan genel bir örüntü görebiliriz.

Negatif çarpanların sayısı çiftse, sonuç pozitiftir.
Negatif çarpanların sayısı tekse, sonuç negatiftir.

Çünkü her iki negatif çarpan birlikte:

(-)(-)=(+)

oluşturur.

Örneğin:

(-2)(-3)(-4)(-5)>0

çünkü dört negatif çarpan vardır.

Ama:

(-2)(-3)(-4)<0

çünkü üç negatif çarpan vardır.

12. En sık karıştırılan durumlar

$-3^2$ ile $(-3)^2$ aynı değildir

İşlem önceliğini hatırlayalım.

-3^2

ifadesinde önce kuvvet alınır:

-(3^2)=-9.

Fakat:

(-3)^2

ifadesinde taban $-3$ 'tür:

(-3)(-3)=9.

Dolayısıyla:

\boxed{-3^2=-9}

ama

\boxed{(-3)^2=9}.

Eksi işareti bir sayının parçası mı, yoksa daha büyük bir ifadenin toplamsal tersini mi gösteriyor?

Parantez bu ayrımı belirler.

Çıkarma ile negatif sayıyı karıştırmak

5-3

ifadesindeki -, çıkarma işlemidir.

-3

ifadesindeki -, $3$ 'ün toplamsal tersini belirtir.

Bu iki kullanım bağlantılıdır ama aynı görev değildir.

Toplamada çarpma kuralını kullanmak

Şu ifade:

(-4)+(-3)

iki negatif sayının toplamıdır.

“Eksi eksi artı” diyerek $7$ bulamayız.

Doğru sonuç:

(-4)+(-3)=-7.

Çarpmadaki

(-)(-)=(+)

kuralı toplama için geçerli değildir.

13. Neden bu kuralları böyle seçiyoruz?

Burada daha derin bir matematiksel fikir vardır.

Negatif sayıları sisteme eklediğimizde iki seçeneğimiz olabilirdi:

Eski aritmetiğin yasalarını terk etmek.
Yeni sayıları eski yasalarla uyumlu olacak şekilde tanımlamak.

Matematik ikinci yolu seçer.

Çünkü böylece doğal sayılarda doğru olan büyük yapı bozulmaz.

Örneğin:

a(b+c)=ab+ac

yasası yalnızca pozitif sayılar için değil, bütün tam sayılar için çalışmaya devam eder.

Bu büyük bir kazançtır.

Sayı sistemini genişletirken amaç yalnızca “daha fazla sayı elde etmek” değildir.

Asıl amaç, eski yapıyı mümkün olduğunca koruyarak daha önce çözülemeyen problemleri çözebilen daha büyük ve tutarlı bir yapı kurmaktır.

Bu düşünce ileride tekrar tekrar karşımıza çıkacaktır:

\mathbb N \longrightarrow \mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q \longrightarrow \mathbb R \longrightarrow \mathbb C.

Her genişlemede aynı soru sorulur:

Yeni nesneleri eklerken eski matematiğin hangi özelliklerini koruyabiliriz?

14. Kısa tarihsel çerçeve

Negatif niceliklerle hesap yapma ihtiyacı, özellikle borç-alacak, kazanç-kayıp ve karşıt yönlü büyüklüklerin hesaplanmasıyla tarih boyunca farklı matematik geleneklerinde ortaya çıktı.

Eski Çin hesap geleneğinde pozitif ve negatif nicelikler karşıt türde hesaplama çubuklarıyla temsil edilerek denklem çözme işlemlerinde kullanıldı. Hint matematik geleneğinde de pozitif ve negatif miktarlar servet ve borç gibi karşıt niceliklerle yorumlanarak bunlar için aritmetik kurallar geliştirildi.

Negatif sayıların Avrupa matematiğinde tam anlamıyla sıradan sayılar gibi kabul edilmesi ise daha yavaş gerçekleşti. Sorun yalnızca “eksi işaretli bir şey” yazabilmek değildi; bu yeni nesnelerin bilinen aritmetik yasalarıyla tutarlı biçimde nasıl çalıştığını kabul etmek gerekiyordu.

Dolayısıyla bugün kullandığımız işaret kuralları tek bir kişinin bir anda icat ettiği bağımsız kurallar olarak değil, negatif sayıların yüzyıllar içinde sayı sistemine yerleşmesinin ve aritmetiğin tutarlılığını koruma çabasının sonucu olarak düşünülmelidir.

15. Nerelerde kullanılır?

Borç, alacak ve net değişim

Bir hesabın bakiyesini işaretli sayılarla gösterebiliriz.

Örneğin $-500$ TL, kişinin hesabının sıfırın 500 TL altında olduğunu ifade etsin.

300 TL ödeme yapılırsa:

-500+300=-200.

Borç hâlâ vardır ama küçülmüştür.

200 TL'lik borcun silinmesini ise:

-500-(-200)

olarak düşünürsek:

-500+200=-300.

Negatif bir miktarı çıkarmanın neden pozitif yönde değişim oluşturduğu burada somut biçimde görülür.

Yönlü hareket ve koordinatlar

Bir doğrultuda sağ yönü pozitif, sol yönü negatif kabul edelim.

$-4$ birimlik hareket sola dört birimdir.

Bu hareketin üç kez gerçekleşmesi:

3(-4)=-12

olur.

İşaretli sayılar bu nedenle konum, yer değiştirme, hız ve daha sonra vektörler gibi yönlü niceliklerin temelinde bulunur.

Sıcaklık ve değişim

Sıcaklık $-3^\circ\text{C}$ iken sıcaklık $5^\circ\text{C}$ azalırsa:

-3+(-5)=-8.

Sıcaklığın $-8^\circ\text{C}$ 'den $-2^\circ\text{C}$ 'ye çıkması ise:

-2-(-8)=6

derecelik bir artıştır.

Matematiğin içinde

Tam sayı işlemleri ileride:

cebirsel ifadelerde,
denklemlerde,
eşitsizliklerde,
polinomlarda,
koordinat geometrisinde,
modüler aritmetikte,
sayı teorisinde

sürekli kullanılacaktır.

Daha soyut matematikte ise tam sayıların toplama ve çarpma altında sahip olduğu yapı, halka adı verilen cebirsel yapıların temel örneklerinden biri olacaktır.

Bugün işaret kurallarını dağılma yasasından türetmemiz, ileride soyut cebirde göreceğimiz bu düşüncenin çok erken bir örneğidir.

16. İşaret kurallarını tek tabloda görmek

Artık aşağıdaki tabloyu kullanabiliriz; fakat tablo artık başlangıç noktamız değil, vardığımız sonuçtur.

Toplama

Aynı işaret:

(+a)+(+b)=+(a+b)

(-a)+(-b)=-(a+b)

Farklı işaretlerde zıt etkiler birbirini götürür; kalan taraf sonucu belirler.

Çıkarma

\boxed{a-b=a+(-b)}

Özellikle:

\boxed{a-(-b)=a+b}

Çarpma

\boxed{ \begin{aligned} (+)(+) &= (+)\\ (+)(-) &= (-)\\ (-)(+) &= (-)\\ (-)(-) &= (+) \end{aligned} }

Bölme

Sıfır olmayan bölenler için:

\boxed{ \begin{aligned} (+)/(+) &= (+)\\ (+)/(-) &= (-)\\ (-)/(+) &= (-)\\ (-)/(-) &= (+) \end{aligned} }

Asıl öğrenmemiz gereken

İşaret kurallarının özü “iki eksi artı yapar” değildir.

Temel yapı şudur:

$-a$ , $a$ 'nın toplamsal tersidir.

a+(-a)=0.

Çıkarma, toplamsal ters eklemektir.

a-b=a+(-b).

Negatifin negatifi ilk sayıyı verir.

-(-a)=a.

Çarpmanın toplama üzerine dağılması korunursa:

a(-b)=-(ab)

ve zorunlu olarak

(-a)(-b)=ab.

Bölmenin işaret kuralları çarpmanın ters işlem olmasından gelir.

Dolayısıyla bir gün işaret tablosunu unutursan, özellikle dağılma yasasını kullanarak yeniden kurabilirsin.

17. Matematik haritasındaki bağlantı

Şimdiye kadarki yolumuz:

02.02.01  Toplama ve çıkarma
      │
      ▼
02.02.02  Çarpma ve bölme
      │
      ▼
02.02.03  İşlem yasaları
      │
      ▼
02.03.01  Negatif sayılar
      │
      ▼
02.03.02  Tam sayılarda işlemler
      │
      ▼
02.03.03  Mutlak değer, uzaklık ve yön

Bu birimde iki önemli ilerleme elde ettik:

çıkarma işlemi artık tam sayılar içinde her zaman yapılabilir;
işlem yasalarının yeni sayı sistemini nasıl belirlediğini ilk kez açık biçimde gördük.

Bir sonraki birimde işaretli bir sayının yönünü bir kenara bırakıp yalnızca sıfıra olan uzaklığını inceleyecek ve mutlak değer kavramına geçeceğiz.

Daha ileride ise bugün kullandığımız işlem yasaları soyutlaştırılarak halka gibi cebirsel yapılara dönüşecektir.

18. Öğrenme kontrolü

Kavrama

$-a$ ifadesindeki eksi işaretinin matematiksel anlamını kendi sözlerinle açıkla.
Neden

-(-7)=7

olduğunu “iki eksi artı yapar” demeden açıkla.

Toplamadaki işaret davranışı ile çarpmadaki işaret davranışının neden aynı kural olmadığını açıkla.

Teknik

Aşağıdaki işlemleri hesapla:

-13+8

6-(-9)

(-7)(5)

(-8)(-6)

\frac{-42}{-7}

İşlem önceliğine dikkat ederek karşılaştır:

-4^2

(-4)^2.

Gerekçelendirme

Dağılma yasasını kullanarak

5(-3)=-15

olması gerektiğini göster.

Aşağıdaki eşitliği yalnızca işaret tablosunu kullanarak söylemek yerine işlem yasalarından türet:

(-4)(-6)=24.

Transfer

Birisi şöyle bir alternatif kural öneriyor:

“Negatif ile negatifin çarpımı da negatif olsun.”

Yani:

(-2)(-3)=-6

diyor.

Bu kuralı kabul ettiğimizi varsay. Ardından

(-2)\bigl(3+(-3)\bigr)

ifadesini:

önce parantezin içini hesaplayarak,
sonra da dağılma yasasını kullanarak

iki farklı biçimde hesapla.

İki sonucun neden çeliştiğini göster.

Bu soru, negatif ile negatifin çarpımının pozitif olmasının neden keyfî olmadığını test ediyor.

Birimi tamamladım diyebilmek için

Bu birim tamamlandığında şunları yapabiliyor olmalısın:

Tam sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini doğru yapmak.
$-a$ sembolünü toplamsal ters olarak yorumlamak.
Çıkarmayı

a-b=a+(-b)

biçiminde açıklamak.

$-(-a)=a$ sonucunu gerekçelendirmek.
Bir pozitif ile bir negatifin çarpımının neden negatif olduğunu göstermek.
En önemlisi,

(-a)(-b)=ab

kuralını dağılma yasasından yeniden türetebilmek.

Tam sayıların toplama, çıkarma ve çarpma altında kapalı; bölme altında ise kapalı olmadığını fark etmek.
İşaret kurallarının ezberlenmiş bir tablo değil, aritmetiğin yapısını korumanın sonucu olduğunu açıklamak.

Bu birimin ana fikrini tek cümlede özetlersek:

Negatif sayılar aritmetiğe eklendiğinde işaret kuralları keyfî olarak seçilmez; eski işlem yasalarını tutarlı biçimde koruma isteğinden doğar.

02.03.02 — Tam Sayılarda İşlemler ve İşaret Kuralları

Haritadaki yerimiz

1. Sorun nerede başlıyor?

2. Önce “eksi” işaretini doğru okuyalım

Negatif sayı

Çıkarma işlemi

Bir sayının toplamsal tersi

3. Tam sayılarda toplama

Aynı yöndeki değişimler

Zıt yöndeki değişimler

Toplama için pratik sonuç

4. Çıkarma aslında nedir?

Negatif sayı çıkarmak

5. Çarpmada ilk işaret kuralı

6. Asıl soru: negatif ile negatif neden pozitiftir?

Genel türetme

7. Başka bir bakış: −1-1−1 bütün işaret meselesini taşıyor

8. Bölmede işaret kuralları

9. Sıfırın özel durumu

10. Tam sayılarda hangi işlemler bizi yine tam sayılarda tutar?

Toplama

Çıkarma

Çarpma

Bölme

11. İşaret kurallarını ezbersiz kullanmak

12. En sık karıştırılan durumlar

−32-3^2−32 ile (−3)2(-3)^2(−3)2 aynı değildir

Çıkarma ile negatif sayıyı karıştırmak

Toplamada çarpma kuralını kullanmak

13. Neden bu kuralları böyle seçiyoruz?

14. Kısa tarihsel çerçeve

15. Nerelerde kullanılır?

16. İşaret kurallarını tek tabloda görmek

Toplama

Çıkarma

Çarpma

Bölme

17. Matematik haritasındaki bağlantı

18. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

7. Başka bir bakış: $-1$ bütün işaret meselesini taşıyor

$-3^2$ ile $(-3)^2$ aynı değildir