Mathesis

Seviye: [A]

Soru: Doğal sayılar hangi çıkarma problemlerini çözemiyor?

Ön: 2.02.01

Yaklaşık 12 dk okuma

02.03.01 — Negatif sayılara neden ihtiyaç duyuldu?

1. Birim kartı

  • Dünya: 2 — Sayılar, Aritmetik ve Temel Sayı Yapıları
  • Bölüm: 2.03 — Tam Sayılar ve Negatiflik
  • Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
  • Ön koşul: 02.02.01 — Toplama ve çıkarma
  • Temel soru: Doğal sayılar hangi çıkarma problemlerini çözemiyor?
  • Bu birimin ana fikri: Negatif sayılar, doğal sayıların çözemediği durumları temsil edebilmek için sayı sisteminin sıfırın ötesine genişletilmesidir.
  • Tamamlanma ölçütü: Negatifliği yalnızca “başında eksi bulunan sayı” olarak değil, doğal sayı sisteminin gerekli bir genişlemesi olarak açıklayabilmek.
Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar sayıları saymak, sıralamak ve dört temel işlemin anlamını kurmak için kullandık.

Doğal sayılarla çok şey yapabiliyoruz:

3+7=103+7=107−3=47-3=4

Fakat şimdi ilk kez sayı sistemimizin çözemediği çok basit bir problemle karşılaşacağız:

3−7=?3-7=?

Bu küçük soru bizi yeni bir sayı dünyasına götürecek:

N⟶Z\mathbb N \longrightarrow \mathbb Z

Bir sonraki birimde ise bu yeni sayılarla işlem yapmanın neden belirli işaret kurallarına yol açtığını inceleyeceğiz.

2. Başlangıç problemi: 3−73-7 kaçtır?

Doğal sayıların duvarı

Elimizde yalnızca doğal sayıların bulunduğunu düşünelim.

Şu işlemlerde sorun yoktur:

7−3=47-3=4

çünkü 44 bir doğal sayıdır.

Peki:

3−7=?3-7=?

Doğal sayılar arasında hangi sayıyı yazabiliriz?

Çıkarmanın önceki derste gördüğümüz anlamlarından biri eksiltme idi.

Yedi nesnen varsa ve üçünü çıkarırsan dört nesne kalır:

7−3=47-3=4

Fakat yalnızca üç nesnen varken yedi nesneyi fiziksel olarak eksiltmeye çalışırsak bir sorunla karşılaşırız.

Doğal sayılar bize şunları söyleyebilir:

0,1,2,3,4,…0,1,2,3,4,\ldots

Ama “sıfırdan dört eksik” olan bir miktarı gösterecek doğal sayı yoktur.

Burada çok önemli bir ayrım yapmalıyız:

3−73-7 işlemi anlamsız değildir. Yalnızca cevabı doğal sayılar arasında yoktur.

Bu iki cümle aynı şey değildir.

3. Eski araç neden yetmedi?

Doğal sayılar esas olarak kaç tane? sorusundan doğmuştu.

Üç koyun.

Yedi taş.

On iki insan.

Bu tür sorularda sonuç sıfırdan küçük olamaz.

Fakat matematik ilerledikçe yalnızca mevcut miktarları değil, farkları, değişimleri, konumları ve karşıt yönleri de ifade etmek gerekti.

Örneğin bir tüccarın elinde 33 altın olduğunu ama 77 altın borcu bulunduğunu düşünelim.

Yalnızca “kaç altını var?” diye bakarsak 33 diyebiliriz.

Fakat borcunu da hesaba katarsak net durum:

3−73-7

olur.

Doğal sayılar içinde bu durumu gösterecek bir sayı yoktur.

Benzer problem başka yerlerde de ortaya çıkar.

Bir sıcaklık 4∘C4^\circ\mathrm C iken 7∘C7^\circ\mathrm C azalabilir.

Bir asansör zemin katın altına inebilir.

Bir insan başlangıç noktasının ters yönünde ilerleyebilir.

Bir işletme kazanç yerine zarar edebilir.

Bir nicelik başlangıç değerinden azalabilir.

Asıl matematiksel ihtiyaç

Sorun aslında “eksi işaretini icat etmek” değildir.

Sorun şudur:

Sıfırın öte tarafındaki durumları temsil edecek sayılarımız yoktur.

Doğal sayı sistemi, bazı çıkarma işlemlerinin sonucunu içinde barındıramaz.

Bu nedenle sayı sistemini genişletmek gerekir.

4. Negatif sayılar bir anda icat edilmedi

Negatif sayıların tarihsel gelişimi

Negatif sayıların tek bir mucidi yoktur. Kavram farklı ihtiyaçlar üzerinden uzun bir süreçte gelişmiştir.

Eski Çin matematiğinde, özellikle hesap çubuklarıyla yapılan işlemlerde, kazanç ve kayıp gibi karşıt miktarları ayıran yöntemler kullanılıyordu. Dokuz Bölümde Matematik Sanatı geleneğinde pozitif ve negatif miktarlarla hesaplamaya karşılık gelen kurallar bulunur.

Hindistan'da matematikçiler negatif miktarları daha açık biçimde aritmetiğin parçası hâline getirdiler. Brahmagupta, 7. yüzyılda yazdığı eserinde pozitif ve negatif nicelikleri servet ve borç benzetmeleriyle ele alarak bunlarla işlem kuralları verdi.

Fakat negatif sayıların kabulü her yerde hızlı olmadı.

Bunun temel nedeni anlaşılabilir:

“Sıfırdan daha az kaç tane nesne olabilir?”

Eğer sayı yalnızca nesne sayısı olarak düşünülürse −3-3 gerçekten tuhaf görünür.

Avrupa matematiğinde de negatif sonuçlar uzun süre şüpheyle karşılandı; bazı matematikçiler bunları gerçek bir nicelikten çok hesap sırasında ortaya çıkan “eksiklikler” veya kabul edilmesi güç kökler olarak gördüler.

Cebirin gelişmesi, borç-alacak hesapları, koordinat düşüncesi ve sayı doğrusunun yerleşmesiyle negatif sayıların bağımsız matematiksel sayılar olarak kabul edilmesi giderek doğal hâle geldi.

Modern matematikte negatif tam sayılar artık doğal sayıların yanında aynı sayı sisteminin sıradan elemanlarıdır.

Tarihsel güçlük bize önemli bir şeyi gösteriyor:

Negatif sayıların anlaşılması için önce “sayı = nesne sayısı” düşüncesini genişletmek gerekir.

5. Sayı artık yalnızca “kaç tane?” demek değildir

Doğal sayılarda sayıların en güçlü zihinsel modeli çokluktu.

Örneğin:

55

beş elma, beş taş veya beş kişi gibi düşünülebiliyordu.

Peki:

−5-5

ne demektir?

“Eksi beş elma” demek çoğu durumda anlamsız görünür.

Çünkü negatif sayıların temel anlamı negatif sayıda nesne sahibi olmak değildir.

Yeni zihinsel model: referans noktası ve iki yön

Bir sıfır noktası seçelim.

Bu sıfırın bir tarafındaki durumları pozitif, karşı tarafındaki durumları negatif sayılarla gösterebiliriz.

Negatiflik böylece çoğu durumda:

  • eksiklik,
  • borç,
  • ters yön,
  • referans seviyesinin altı,
  • azalış,
  • karşıt durum

bilgisini kodlar.

Örneğin deniz seviyesini sıfır kabul edersek:

  • deniz seviyesinin 200200 metre üstü: +200+200 m,
  • deniz seviyesi: 00 m,
  • deniz seviyesinin 200200 metre altı: −200-200 m

olarak gösterilebilir.

Burada −200-200 metre “negatif uzunluk” değildir.

Konumun, seçtiğimiz referans seviyesinin hangi tarafında olduğunu anlatır.

Aynı düşünce sıcaklıkta da görülür.

−5∘C-5^\circ\mathrm C, “beş derecelik sıcaklık yokluğu” değildir.

Celsius ölçeğinde seçilmiş olan sıfır noktasının beş derece altındaki sıcaklıktır.

İşaret ve büyüklük

Bir negatif sayıda iki tür bilgi birlikte taşınır.

Örneğin:

−7-7

ifadesinde:

  • 77, sıfıra göre ne kadar uzakta olduğumuzu,
  • −- işareti ise sıfırın hangi tarafında olduğumuzu

gösterir.

Bu ayrım ileride mutlak değer kavramına dönüşecektir.

6. Sayı doğrusunu genişletmek

Doğal sayıları daha önce sayı doğrusu üzerinde şöyle görmüştük:

Fakat bu doğru yalnızca sağ tarafa gidiyor.

Şimdi sıfırın sol tarafını da kullanabiliriz.

Bu genişleme ile:

3−73-7

problemini artık geometrik olarak çözebiliriz.

33 noktasından başlayıp çıkarılan 77 kadar sola gideriz:

Sonuç:

3−7=−43-7=-4

Artık işlem çözülebiliyor.

7. Negatif sayılar neden soldadır?

Sayı doğrusunda temel düzen şöyledir:

Sağa gittikçe sayı büyür, sola gittikçe küçülür.

Dolayısıyla:

−3<0-3<0

ve:

−7<−3-7<-3

olur.

İkinci ifade ilk bakışta tuhaf gelebilir.

Çünkü 77, 33'ten büyüktür.

Fakat karşılaştırdığımız sayılar 77 ile 33 değildir:

−7ve−3-7 \quad\text{ve}\quad -3

karşılaştırılıyor.

Sayı doğrusunda −7-7, −3-3'ün solundadır.

Bu nedenle:

−7<−3-7<-3
Sıcaklık

İki şehirde sıcaklıklar şöyle olsun:

  • A şehri: −2∘C-2^\circ\mathrm C
  • B şehri: −8∘C-8^\circ\mathrm C

Hangisi daha sıcaktır?

Sayı doğrusunda:

−8<−2-8<-2

olduğu için −2∘C-2^\circ\mathrm C daha yüksek sıcaklıktır.

Yaygın hata

Negatif sayıları karşılaştırırken yalnızca rakamların büyüklüğüne bakmak yanlış sonuç verebilir.

8>28>2

olmasına rağmen:

−8<−2-8<-2

olur.

Negatif sayıları sayı doğrusu üzerinde düşünmek bu karışıklığı ortadan kaldırır.

8. Tam sayılar

Negatif doğal sayı karşılıklarını doğal sayılara eklediğimizde tam sayılar kümesini elde ederiz.

Tam sayılar

Tam sayılar kümesi:

Z={…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…}\mathbb Z = \{\ldots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots\}

biçimindedir.

Burada:

  • 1,2,3,…1,2,3,\ldots pozitif tam sayılardır,
  • −1,−2,−3,…-1,-2,-3,\ldots negatif tam sayılardır,
  • 00 ise ne pozitiftir ne negatiftir.

Doğal sayılar kaybolmadı.

Yeni sistem eski sistemi içine aldı.

Yani sayı sistemini değiştirmek yerine aslında genişlettik:

N⊆Z\mathbb N\subseteq\mathbb Z

Bu matematikte tekrar tekrar göreceğimiz önemli bir yöntemdir:

Eski sistem bir problemi çözemediğinde, eski sistemin işe yarayan kısmını koruyup daha geniş bir yapı kurarız.

Daha sonra aynı hikâye tekrar yaşanacaktır:

N⟶Z⟶Q⟶R\mathbb N \longrightarrow \mathbb Z \longrightarrow \mathbb Q \longrightarrow \mathbb R

Her genişlemenin arkasında çözülemeyen yeni bir problem bulunacaktır.

9. Negatif sayı ile çıkarma işareti aynı şey değildir

Burada önemli bir sembol ayrımı var.

Aynı −- işareti iki farklı görevde kullanılabilir.

Çıkarma işlemi

7−37-3

ifadesindeki −-, iki sayı arasındaki çıkarma işlemini gösterir.

Negatiflik

−3-3

ifadesindeki −- ise 33'ün karşıtını gösterir.

Bu iki kullanım birbiriyle ilişkilidir, fakat aynı görev değildir.

İki farklı eksi işareti

Şu ifadeye bakalım:

5−(−2)5-(-2)

Burada iki adet −- vardır.

İlki çıkarma işlemidir.

İkincisi 22 sayısının negatif karşıtını, yani −2-2 sayısını belirtir.

Bu işlemin nasıl hesaplanacağını bir sonraki birimde sistematik olarak öğreneceğiz.

10. Karşıt sayı fikri

Sayı doğrusunda her pozitif tam sayının sıfırın diğer tarafında aynı uzaklıkta bir karşılığı vardır.

Bu nedenle 44 ve −4-4 birbirinin karşıtıdır.

Aynı şekilde:

7↔−77 \leftrightarrow -7 12↔−1212 \leftrightarrow -12 1↔−11 \leftrightarrow -1

Karşıt sayı fikrinin özel bir özelliği vardır:

4+(−4)=04+(-4)=0 7+(−7)=07+(-7)=0

Genel olarak bir sayının karşıtı, onunla toplandığında sıfır veren sayıdır.

Toplamsal karşıt

Bir aa sayısının toplamsal karşıtı −a-a ile gösterilir ve:

a+(−a)=0a+(-a)=0

özelliğini sağlar.

Bu fikir 3−73-7 problemini daha yapısal biçimde anlamamızı sağlar.

33'ten 77 çıkarmak, 33'e 77'nin karşıtını eklemek şeklinde düşünülebilir:

3−7=3+(−7)=−43-7=3+(-7)=-4

Bu ilişki, bir sonraki birimde tam sayılardaki işlem kurallarının temelini oluşturacaktır.

11. Negatif sayılar gerçekten gerekli miydi?

Belki şöyle düşünebiliriz:

“3−73-7 işlemini yapmayalım. Böylece negatif sayıya da gerek kalmaz.”

Elbette böyle bir matematik kurulabilir.

Fakat bunun bedeli ağırdır.

Doğal sayılarla çalışırken çıkarma işlemi her zaman yapılamaz.

Örneğin:

8−3=58-3=5

mümkündür fakat:

3−83-8

doğal sayılar içinde mümkün değildir.

Tam sayılara geçtiğimizde ise iki tam sayının farkını her zaman başka bir tam sayı olarak ifade edebiliriz.

Sayı sistemini genişletmenin kazancı

Negatif sayılar sayesinde çıkarma işlemi artık “büyük sayıdan küçük sayı çıkarılabilir” gibi bir sınıra bağlı olmaktan çıkar.

Tam sayılar dünyasında:

a−ba-b

ifadesinin sonucu her a,b∈Za,b\in\mathbb Z için yine bir tam sayıdır.

Doğal sayıların çözemediği çıkarma problemi böylece çözülmüş olur.

Bu, sayı sisteminin genişletilmesinin matematiksel nedenidir.

Borç, sıcaklık ve yön yalnızca bu fikri görmemizi sağlayan somut örneklerdir.

Asıl yapısal sorun:

3−7∉N3-7\notin\mathbb N

olmasıdır.

Çözüm ise daha büyük bir sayı sistemi kurmaktır:

−4∈Z-4\in\mathbb Z

12. Negatif sayıları doğal sayılardan kurabilir miyiz?

Negatif sayılar ilk bakışta tamamen yeni ve yabancı nesneler gibi görünebilir.

Fakat aslında onları yalnızca daha önce bildiğimiz doğal sayıları kullanarak bile kurabiliriz.

Şöyle düşünelim:

Bir durumu iki sayı ile gösterelim:

(kazanc¸,borc¸)(\text{kazanç},\text{borç})

Örneğin:

(3,7)(3,7)

“3 birim kazanç, 7 birim borç” anlamına gelsin.

Net durum:

3−73-7

olacaktır.

Henüz −4-4 diye bir sayı kullanmadan bu durumu çift olarak saklayabiliriz.

Şimdi başka bir çift düşünelim:

(1,5)(1,5)

Bunun net durumu da aynıdır.

Çünkü her iki durumda da borç, kazançtan dört fazladır.

Bunu yalnızca doğal sayılarla şöyle kontrol edebiliriz:

3+5=7+13+5=7+1
Tam sayıların arkasındaki fikir

Şu çiftler aynı net durumu temsil eder:

(3,7),(2,6),(1,5),(0,4)(3,7),\qquad(2,6),\qquad(1,5),\qquad(0,4)

Hepsinin ortak anlamına yeni bir isim veririz:

−4-4

Benzer biçimde:

(0,1)⟶−1(0,1)\longrightarrow -1(0,2)⟶−2(0,2)\longrightarrow -2(0,3)⟶−3(0,3)\longrightarrow -3

Böylece negatif tam sayılar tamamen keyfî semboller olmaktan çıkar.

Onları doğal sayılar arasındaki farkların yeni bir sayı olarak kabul edilmesi şeklinde kurabiliriz.

Modern matematikte tam sayıların doğal sayılardan kesin biçimde inşa edilmesi bu düşüncenin daha biçimsel hâlidir.

Dünya 1'de öğrendiğimiz denklik sınıfları burada gerçek bir işe yarar: aynı farkı temsil eden doğal sayı çiftleri aynı tam sayı olarak kabul edilebilir.

Bu yapının tüm teknik ayrıntıları bu birim için gerekli değildir; önemli olan negatif sayıların matematiksel olarak tutarlı biçimde kurulabildiğini görmektir.

13. Örnekler: negatiflik neyi temsil edebilir?

Örnek 1 — Borç ve net durum

Borç

Bir kişinin 200200 TL'si ve 500500 TL borcu olsun.

Net mali durumu:

200−500=−300200-500=-300

şeklinde gösterilebilir.

Buradaki −300-300, “eksi üç yüz tane para” anlamına gelmez.

Kişinin varlıkları ile yükümlülükleri arasındaki net dengenin sıfırın 300300 TL altında olduğunu gösterir.

Örnek 2 — Sıcaklık

Sıcaklık değişimi

Sıcaklık:

4∘C4^\circ\mathrm C

iken 7∘C7^\circ\mathrm C düşerse:

4−7=−34-7=-3

olur.

Son sıcaklık:

−3∘C-3^\circ\mathrm C

dir.

Negatiflik burada Celsius ölçeğinin sıfır noktasının altındaki konumu gösterir.

Örnek 3 — Yükseklik ve derinlik

Deniz seviyesinin altı

Deniz seviyesi referans olarak:

0 m0\text{ m}

seçilsin.

Deniz seviyesinden 3535 metre aşağıdaki bir noktanın yüksekliği:

−35 m-35\text{ m}

olarak gösterilebilir.

−35-35, uzunluğun negatif olduğu anlamına gelmez; konumun referans seviyesinin altında olduğunu söyler.

Örnek 4 — Yön

Başlangıç noktasının diğer tarafı

Bir yol üzerinde başlangıç noktasını 00 kabul edelim.

Sağı pozitif yön seçersek:

  • sağdaki 66 birimlik konum: +6+6,
  • soldaki 66 birimlik konum: −6-6

olarak gösterilebilir.

Negatif işaret burada karşıt yönü kodlar.

14. Her şey negatif olabilir mi?

Hayır.

Negatif sayıların kullanılabilmesi, söz konusu niceliğin nasıl yorumlandığına bağlıdır.

Negatif nesne sayısı

Bir masanın üzerinde:

−3-3

adet kitap bulunduğunu söylemek, sıradan “kaç kitap var?” anlamında uygun değildir.

Nesne sayısı:

0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots

gibi doğal sayılarla ifade edilir.

Fakat üç kitaplık bir eksiklik, stok açığı veya borç:

−3-3

ile modellenebilir.

Negatif mesafe ile negatif konum aynı şey değildir

Bir noktanın koordinatı:

−5-5

olabilir.

Fakat iki nokta arasındaki sıradan uzaklık için:

−5 metre-5\text{ metre}

demeyiz.

Konum yönlü olabilir; uzaklık ise büyüklük ölçtüğü için negatif olmaz.

Bu ayrımı ileride mutlak değer konusunda daha kesin biçimde kuracağız.

Bu örnekler önemli bir ilkeyi gösterir:

Negatiflik, her niceliğe otomatik olarak eklenen bir özellik değildir. Sıfırın iki tarafının veya karşıt yönlerin anlamlı olduğu yapılarda doğal olarak ortaya çıkar.

15. Teknik olarak sayı doğrusunu kullanmak

Şimdilik tam sayıların bütün işlem kurallarını öğrenmeyeceğiz. Fakat sayı doğrusu üzerinden temel sonuçları okuyabiliriz.

Bir çıkarma problemi

$5-9$

55'ten başlayalım.

Çıkarma nedeniyle 99 birim sola ilerleyelim.

Son nokta:

−4-4

olur.

Dolayısıyla:

5−9=−45-9=-4

Eksik olan sayıyı bulmak

Hangi sayı?

Şu eşitliği düşünelim:

7+□=37+\square=3

Doğal sayılar arasında boşluğu doldurabilecek sayı yoktur.

Tam sayılarda ise:

7+(−4)=37+(-4)=3

olduğu için:

□=−4\square=-4

buluruz.

Negatif sayıların ileride denklem çözmede neden vazgeçilmez olacağının ilk işareti budur.

Sayıları karşılaştırmak

Sayı doğrusunda sağdaki sayı daha büyüktür.

Bu nedenle:

−2>−6-2>-6 0>−40>-4 3>−1003>-100

olur.

16. Negatif sayıların gerçek kullanım alanları

Finans ve muhasebe

Gelir ve giderleri yalnız pozitif miktarlar olarak ayrı ayrı saklayabiliriz.

Fakat net değişimi tek sayı ile göstermek istediğimizde işaretli sayılar çok güçlüdür.

Örneğin bir hesabın bakiyesi 100100 TL iken 250250 TL ödeme yapılırsa:

100−250=−150100-250=-150

net bakiye, başlangıç referansının 150150 TL altına geçmiştir.

Bu nedenle muhasebe, finansal modelleme ve bilgisayarlardaki bakiye sistemlerinde işaretli nicelikler doğal olarak kullanılır.

Konum, yükseklik ve koordinatlar

Bir referans noktası seçildiğinde iki karşıt yönü tek sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.

Örneğin:

x=5x=5

başlangıcın bir tarafını,

x=−5x=-5

diğer tarafını temsil eder.

Bu düşünce ileride koordinat geometrisinin temel parçalarından biri olacaktır.

Sıcaklık ve ölçüm ölçekleri

Celsius gibi sıfırın referans noktası olduğu bir ölçekte negatif değerler, ölçülen niceliğin seçilmiş sıfır değerinin altında bulunduğunu ifade eder.

Bu yüzden hava sıcaklığı:

−10∘C-10^\circ\mathrm C

olabilir.

Buradaki negatiflik “sıcaklığın yokluğu” anlamına gelmez; ölçekteki konumu gösterir.

Değişim

Bir nicelik artabileceği gibi azalabilir.

Örneğin bir şirketin müşteri sayısındaki değişim:

+120+120

ise artış,

−120-120

ise azalış anlamına gelebilir.

Böylece tek bir işaretli sayı hem değişimin büyüklüğünü hem yönünü taşıyabilir.

Bu düşünce ileride fonksiyonlar, değişim oranları, türevler ve fiziksel modellerde tekrar tekrar karşımıza çıkacaktır.

Bilgisayarlar

Bilgisayar programlarında yalnızca sıfır ve pozitif değerleri saklayan sayı türlerinin yanında işaretli tam sayılar da kullanılır.

Bir program;

  • sıcaklık,
  • borç/bakiye,
  • koordinat,
  • artış-azalış,
  • zaman veya konum farkı

gibi iki yönlü nicelikleri saklayacaksa negatif değerlere ihtiyaç duyabilir.

Matematikte yaptığımız N→Z\mathbb N\rightarrow\mathbb Z genişlemesinin pratik karşılığı burada doğrudan görülür.

17. Sınırlar ve sık yapılan hatalar

1. Negatif sayı 'kötü sayı' değildir

Negatif işaret matematiksel bir yön veya karşıtlık bilgisidir.

−5-5 sayısı matematiksel olarak 55'ten daha “kötü” veya daha az gerçek değildir.

2. Negatif sayı 'hiçbir şeyden az nesne' demek değildir

Negatif sayıların varlık nedeni nesneleri negatif miktarda saymak değildir.

Negatiflik çoğunlukla net durum, fark, yön veya referans seviyesinin diğer tarafını ifade eder.

3. Sıfır negatif değildir

Tam sayı doğrusunda:

…,−2,−1,0,1,2,…\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots

sıfır pozitif ve negatif bölgelerin sınırındadır.

00

ne pozitif ne negatiftir.

4. $-8$, $-3$'ten büyük değildir

Sayı doğrusunda:

−8<−3-8<-3

çünkü −8-8 daha soldadır.

Sayının sıfıra olan uzaklığı ile sayının kendisinin büyüklük sıralaması karıştırılmamalıdır.

5. Çıkarma işareti ile negatiflik işareti aynı görev değildir
8−38-3

ifadesindeki işaret bir işlemi,

−3-3

ifadesindeki işaret ise bir sayının karşıtını belirtir.

Aynı sembol kullanılması iki görevin aynı olduğu anlamına gelmez.

6. İşaret kurallarını henüz ezberlemiyoruz

Bu birimin amacı:

(−2)(−3)=6(-2)(-3)=6

gibi işaret kurallarını ezberlemek değildir.

Bu kuralların neden zorunlu olduğunu bir sonraki birimde işlem yasalarından türeteceğiz.

Şimdilik önemli olan negatif sayıların neden var olduğunu ve tam sayı sisteminin nasıl ortaya çıktığını anlamaktır.

18. Matematik haritasındaki bağlantı

Nereden geldik, nereye gidiyoruz?

Şu yolu izledik:

Sayı ve doğal sayılar
        │
        ▼
Toplama ve çıkarma
        │
        ▼
3 - 7 problemi
        │
        ▼
Doğal sayılar yetersiz
        │
        ▼
Sayı doğrusunu sola genişlet
        │
        ▼
Negatif sayılar
        │
        ▼
Tam sayılar ℤ

Şimdi sayı sistemimiz:

N⊆Z\mathbb N\subseteq\mathbb Z

biçiminde genişledi.

Bir sonraki durak:

02.03.02 — Tam sayılarda işlemler ve işaret kuralları

Orada şu tür soruların nedenlerini araştıracağız:

(−2)+5=?(-2)+5=?(−2)(3)=?(-2)(3)=?

ve özellikle:

(−2)(−3)=6(-2)(-3)=6

neden olmak zorundadır?

Ardından:

02.03.03 — Mutlak değer, uzaklık ve yön

biriminde negatif işaretten bağımsız olarak bir sayının sıfıra uzaklığını inceleyeceğiz.

Daha ileride negatif sayılar:

  • denklemlerde,
  • koordinat geometrisinde,
  • fonksiyonlarda,
  • cebirde,
  • vektörlerde,
  • türev ve değişim problemlerinde

temel araç hâline gelecektir.

19. Kısa sentez

Bu birimdeki ana kırılma şudur:

Doğal sayılar:

0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots

sayma problemlerini ve birçok aritmetik işlemi çözebilir.

Fakat:

3−73-7

gibi işlemlerin sonucunu ifade edemez.

Sorun çıkarma işleminin anlamsız olması değil, doğal sayı sisteminin cevabı içermemesidir.

Bu yüzden sayı doğrusunu sıfırın soluna doğru genişletiriz:

…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots

ve tam sayıları elde ederiz:

Z={…,−2,−1,0,1,2,…}.\mathbb Z = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}.

Negatif sayı yalnızca “başında eksi bulunan sayı” değildir.

Negatiflik;

  • doğal sayıların çözemediği farkları,
  • sıfırın diğer tarafındaki konumları,
  • borç ve açıkları,
  • karşıt yönleri,
  • azalışları

tek bir matematiksel dil altında ifade etmemizi sağlar.

Böylece:

C¸o¨zu¨lemeyen c¸ıkarma problemi⟶sayı sisteminin genis¸lemesi⟶Z\boxed{ \text{Çözülemeyen çıkarma problemi} \longrightarrow \text{sayı sisteminin genişlemesi} \longrightarrow \mathbb Z }

zincirini elde ederiz.

Bu birimin asıl fikri tek cümlede şudur:

Negatif sayılar keyfî bir sembol icadı değil, doğal sayıların çözemediği problemleri çözmek için yapılan gerekli ve tutarlı bir sayı sistemi genişlemesidir.

20. Öğrenme kontrolü

Kavrama

  1. Doğal sayılarla 3−73-7 işleminin neden çözülemediğini kendi sözlerinle açıkla. “Çıkarma yapılamaz” demek yerine sorunun tam olarak nerede olduğunu belirt.

  2. Negatif sayıların neden “negatif miktarda nesne” anlamına gelmek zorunda olmadığını iki farklı örnekle açıkla.

  3. −6-6 sayısındaki −- işaretinin taşıdığı bilgiyi sayı doğrusu üzerinden anlat.

Teknik

  1. Sayı doğrusu kullanarak aşağıdaki işlemlerin sonucunu bul:
5−85-82−72-70−40-4
  1. Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe sırala:
−2,4,−9,0,−1-2,\quad 4,\quad -9,\quad 0,\quad -1
  1. Boşluğu uygun tam sayıyla doldur:
8+□=38+\square=3

Gerekçelendirme

  1. Bir öğrenci şöyle diyor:

“9>49>4 olduğuna göre −9>−4-9>-4 olmalı.”

Bu düşüncedeki hatayı sayı doğrusu kullanarak açıkla.

  1. “Negatif sayılar olmasaydı matematik yine yapılabilirdi; yalnızca bazı çıkarma işlemlerinden vazgeçmemiz gerekirdi.”

Bu ifade doğru mudur? Doğruysa negatif sayılara neden yine de ihtiyaç duyduğumuzu açıkla.

Transfer

  1. Bir denizaltının konumu deniz seviyesine göre −40-40 metre olarak gösteriliyor. Denizaltı 2525 metre yükseliyor. Son konumun pozitif mi, sıfır mı yoksa negatif mi olacağını işlem yapmadan önce tahmin et ve gerekçelendir.

  2. Bir oyunda puan değişimi şöyle tanımlanıyor:

  • kazanılan puanlar pozitif,
  • kaybedilen puanlar negatif.

Bir oyuncunun toplam puanı değişmeden önce 2020 iken bir turdaki değişimi −35-35 oluyor.

Bu durumu doğal sayılarla ifade etmeye çalıştığında hangi sorun ortaya çıkar? Tam sayılar bu sorunu nasıl çözer?

  1. Aşağıdaki niceliklerden hangilerinde negatif değer doğal bir anlam taşıyabilir? Her biri için nedenini açıkla:
  • bir binadaki insan sayısı,
  • deniz seviyesine göre yükseklik,
  • banka hesabının net bakiyesi,
  • iki nokta arasındaki uzaklık,
  • sıcaklık değişimi,
  • bir doğru üzerindeki koordinat.