1.02.01 — Önerme ve Matematiksel İfade

Haritadaki yerimiz

Dünya 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm 1.02 — Matematiksel Dil ve Mantık
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşul: 1.01.02 — Soyutlama, örüntü ve genelleme

Bu birimde matematiğin içeriğinden çok matematiğin diliyle ilgilenmeye başlıyoruz.

Şimdiye kadar bir örüntüyü fark etmenin, ortak yapıyı soyutlamanın ve genelleme yapmanın ne anlama geldiğini gördük.

Fakat matematikte yalnızca fikir sahibi olmak yetmez.

Bir şey söylediğimizde şunları ayırabilmemiz gerekir:

Bir iddiada mı bulunuyoruz?
Bu iddianın doğru veya yanlış olması mümkün mü?
İfade henüz bazı bilinmeyenlere mi bağlı?
Yoksa ortada doğru veya yanlış denebilecek bir iddia bile yok mu?

Bu ayrım matematiksel mantığın başlangıç noktasıdır.

Bu birimin açacağı kapılar

Bu birimde kuracağımız dil doğrudan şu birimlerin temelidir:

1.02.02: “ve”, “veya”, “değil”
1.02.03: “eğer ... ise ...”
1.02.04: “her” ve “en az bir”
1.02.05: matematiksel ifadelerin değili
1.02.06: geçerli çıkarım

Daha ileride ise tanım, teorem ve ispatların dilini bunun üzerine kuracağız.

1. Başlangıç problemi: Matematik hangi cümlelerle çalışabilir?

Aşağıdaki ifadeleri düşünelim:

7 asal sayıdır.
8 asal sayıdır.
Bugün hava güzel.
Kapıyı kapat.
Saat kaç?
$x+2=7$
$3+2$
$3+2=5$

İlk bakışta bunların hepsi birer “ifade”.

Ama matematik açısından aralarında önemli bir fark var.

Temel soru

Hangileri için açık ve kesin biçimde

“Bu doğrudur.”

veya

“Bu yanlıştır.”

diyebiliriz?

Örneğin:

7 asal sayıdır.

Bu iddianın doğru olup olmadığını araştırabiliriz.

Sonuç:

Doğru.

8 asal sayıdır.

Yine bir iddia vardır.

Fakat bu kez:

Yanlış.

Buradaki kritik nokta şudur:

Bir ifadenin önerme olabilmesi için doğru olması gerekmez.

Yanlış bir iddia da gayet iyi bir önerme olabilir.

Asıl önemli olan, onun doğru mu yanlış mı olduğunun anlamlı ve belirli olmasıdır.

Şimdi:

Saat kaç?

ifadesine bakalım.

Bu bir sorudur.

“Doğrudur” veya “yanlıştır” diyemeyiz.

Aynı şekilde:

Kapıyı kapat.

bir emirdir.

Bunun da doğruluk değeri yoktur.

Demek ki matematiksel mantığın ilk ayrımı ortaya çıktı:

Temel fikir

Her cümle veya sembol dizisi bir iddia değildir.

Matematiksel mantıkta bizi özellikle ilgilendiren şey, doğru veya yanlış olabilen ifadelerdir.

2. Neden böyle bir ayrıma ihtiyaç duyuyoruz?

Matematikte ileride şöyle cümlelerle karşılaşacağız:

İki çift sayının toplamı çifttir.
Bir fonksiyon sürekli ise belirli koşullarda ara değerleri alır.
Her asal sayı pozitiftir.
Eğer $n$ çiftse $n^2$ de çifttir.
Bu denklemin bir çözümü vardır.

Bunlar yalnızca kelimeler değildir.

Her biri matematiksel olarak değerlendirilebilen iddialardır.

Bir teorem ispatladığımızda aslında yaptığımız şey şudur:

Belirli bir matematiksel iddianın neden doğru olmak zorunda olduğunu göstermek.

Dolayısıyla “ispat” öğrenmeden önce şu soruya cevap verebilmeliyiz:

İspatlamaya çalıştığımız şey tam olarak nedir?

İşte önerme kavramı bu ihtiyaca cevap verir.

3. Eski araç neden yetmedi?

Gündelik dil çok esnektir.

Şunları söyleyebiliriz:

Bu film harika.
Keşke yarın tatil olsa.
Bence bu sayı çok büyük.
Acaba $x$ kaçtır?
Şunu hesapla.
$x+1$ .

İnsan iletişiminde bunların hepsi anlamlı olabilir.

Fakat matematikte:

“Bunun doğru olduğunu kanıtlayacağım.”

dediğimiz anda daha kesin bir dil gerekir.

Örneğin:

“5 güzeldir.”

cümlesi bir görüş veya özel olarak tanımlanması gereken bir nitelik içerebilir.

Ama:

5<7

ifadesi belirli bir matematiksel iddiadır.

Doğruluk durumu tartışmasız biçimde belirlenebilir.

Bu nedenle matematiksel mantık, doğal dildeki bütün cümleleri aynı kefeye koymak yerine doğruluk değeri taşıyan ifadeleri ayırır.

4. Önerme nedir?

Önerme

Klasik mantıkta doğru veya yanlış olduğu belirli olan bildirici ifadeye önerme denir.

Bir önermenin alabileceği doğru veya yanlış olma durumuna doğruluk değeri denir.

Bu tanımın iki önemli parçası var:

Ortada bir iddia bulunmalıdır.
Bu iddianın bir doğruluk değeri bulunmalıdır.

Klasik mantıkta kullandığımız iki doğruluk değeri:

Doğru
Yanlış

olacaktır.

Örnekler

Doğru önerme

11 asal sayıdır.

Bu bir iddiadır ve doğrudur.

Dolayısıyla önermedir.

Yanlış önerme

15 asal sayıdır.

Bu da bir iddiadır.

Yanlış olması, onun önerme olmasını engellemez.

Dolayısıyla bu da önermedir.

Matematik dışından bir önerme

Ankara Türkiye'nin başkentidir.

Bu matematiksel bir cümle değildir.

Ancak doğru veya yanlışlığı belirli bir iddia olduğu için mantıksal anlamda bir önermedir.

Bu ayrım önemlidir:

Önerme olmak ile matematiksel olmak aynı şey değildir.

“Önerme” mantıksal bir kategoridir.

Matematikte ise çoğunlukla matematiksel nesneler hakkında kurulmuş önermelerle ilgileneceğiz.

5. Doğruluk değeri nedir?

Bir önermeyi $P$ harfiyle temsil ettiğimizi düşünelim.

Örneğin:

P:\quad 4<10

Buradaki $P$ , bütün ifadeye verdiğimiz bir isimdir.

İfadenin doğruluk değeri:

Doğrudur.

Başka bir önerme:

Q:\quad 12<5

Bunun doğruluk değeri ise:

Yanlıştır.

Şimdilik $P$ ve $Q$ yalnızca önermelere verdiğimiz kısa adlardır.

Bir sonraki birimde bu önermeleri:

ve,
veya,
değil

gibi mantıksal bağlaçlarla birleştireceğiz.

6. Önerme olmayan şeyler

Tanımı gerçekten anlamanın en iyi yollarından biri, tanıma girmeyen örnekleri incelemektir.

Soru

7 asal mıdır?

Bu ifade bir iddia bildirmiyor; bir iddianın doğruluğunu soruyor.

Dolayısıyla kendisi önerme değildir.

Buna karşılık:

7 asal sayıdır.

bir önermedir.

Emir

$7+5$ işlemini hesapla.

Bu bir görev veya emirdir.

Doğru veya yanlış değildir.

Dolayısıyla önerme değildir.

Dilek

Keşke bütün denklemler kolay çözülebilse.

Bu bir dilektir.

Klasik anlamda değerlendirdiğimiz bir doğru-yanlış iddiası değildir.

Dolayısıyla önerme değildir.

7. Matematiksel ifade ile önerme aynı şey değildir

Burada çok önemli bir ayrım yapmalıyız.

Şu sembol dizisine bakalım:

3+5

Bu matematiksel bir ifadedir.

Bir sayıyı temsil eder:

8

Ama:

“ $3+5$ doğrudur.”

demek anlamsızdır.

Çünkü $3+5$ bir iddia değildir.

Şimdi şuna bakalım:

3+5=8

Burada artık bir iddia ortaya çıktı:

$3+5$ ile $8$ birbirine eşittir.

Bu iddianın doğruluk değeri vardır.

Dolayısıyla bu bir önermedir.

İfade ile önerme arasındaki fark

Bir matematiksel ifade, bir matematiksel nesneyi veya işlemi gösterebilir:

3+5

x^2+1

\frac{a}{b}

Bunların kendi başlarına doğru veya yanlış olmaları gerekmez.

Bir önerme ise bir şeyin öyle olduğunu iddia eder:

3+5=8

10<4

ve bu nedenle doğruluk değeri taşır.

8. Şimdi sorun büyüyor: Değişken içeren ifadeler

Şu ifadeyi düşünelim:

x+2=7

Bu doğru mu?

Hemen cevap veremiyoruz.

Çünkü cevabımız $x$ 'in değerine bağlı.

Eğer:

x=5

ise:

5+2=7

elde ederiz.

Bu doğrudur.

Ama:

x=3

ise:

3+2=7

elde ederiz.

Bu yanlıştır.

Demek ki:

x+2=7

ifadesinin tek başına sabit bir doğruluk değeri yok.

Ama sıradan bir matematiksel ifade de değil.

Çünkü $x$ 'e bir değer verdiğimiz anda doğru veya yanlış bir önerme hâline geliyor.

İşte burada yeni bir kavrama ihtiyacımız var.

9. Açık önerme

Açık önerme

Bir veya daha fazla değişkene bağlı olan ve bu değişkenlere uygun değerler verildiğinde doğru veya yanlış bir önermeye dönüşen ifadeye açık önerme denir.

Örneğin:

x>4

bir açık önermedir.

$x=8$ seçersek:

8>4

elde ederiz.

Bu doğrudur.

$x=2$ seçersek:

2>4

elde ederiz.

Bu yanlıştır.

Neden 'açık' deniyor?

Bir önermede doğruluk meselesi kapanmıştır:

$9>4$

Doğru.

Fakat:

$x>4$

ifadesinde henüz doldurulmamış bir yer vardır.

$x$ 'in ne olduğunu bilmeden doğruluk değerini belirleyemeyiz.

Bu nedenle ifade henüz açıktır.

10. Değişken nedir?

Bir önceki birimde soyutlama ve genelleme fikrini gördük.

Değişken bunun matematiksel dildeki en güçlü araçlarından biridir.

Değişken

Değişken, belirli bir bağlamda farklı değerleri temsil edebilen semboldür.

Genellikle

x,\quad y,\quad n,\quad t

gibi harflerle gösterilir.

Örneğin:

x^2=9

ifadesinde $x$ bir değişkendir.

$x$ yerine farklı değerler koyabiliriz:

x=3 \quad\Rightarrow\quad 3^2=9

doğru;

x=4 \quad\Rightarrow\quad 4^2=9

yanlış.

Değişken yalnızca “bilinmeyen sayı” değildir

Bu noktada önemli bir alışkanlığı erkenden düzeltelim.

Değişken = bilinmeyen değildir

Değişken her zaman “bulmamız gereken gizli bir sayı” anlamına gelmez.

Örneğin:

x+1

ifadesindeki $x$ , farklı değerler alabilen bir değişken olabilir.

Ortada çözülecek bir denklem bile yoktur.

“Bilinmeyen” değişkenin bazı problemlerde üstlendiği özel rollerden biridir.

Bu ayrım ileride cebire geçtiğimizde çok önemli olacak.

11. Yüklem — predicate fikri

Açık önermeye başka bir açıdan bakalım.

Şöyle bir özellik düşünelim:

“3'ten büyüktür.”

Bu kendi başına tamamlanmış bir iddia değil.

Ne 3'ten büyüktür?

Bir nesneye ihtiyaç var.

Bunu:

P(x):\quad x>3

şeklinde gösterebiliriz.

Burada $P$ 'yi:

“3'ten büyük olma özelliği”

gibi düşünebiliriz.

$x$ yerine bir değer koyduğumuzda $P(x)$ bize bir önerme verir.

Bir yüklemin önerme üretmesi

x = 7
  │
  ▼
P(x): x > 3
  │
  ▼
7 > 3
  │
  ▼
DOĞRU


x = 1
  │
  ▼
P(x): x > 3
  │
  ▼
1 > 3
  │
  ▼
YANLIŞ

x değerine göre x büyüktür 3 yüklemi doğru veya yanlış bir önermeye dönüşür.

Yüklem — predicate

Bir veya daha fazla değişkene bağlı olarak, uygun değerler verildiğinde önerme üreten yapıya yüklem (predicate) denir.

Örneğin:

P(x): x\text{ çift sayıdır}

bir yüklemdir.

Açık önerme ile yüklem fikri bu seviyede neredeyse aynı olaya iki farklı yönden bakmamızı sağlar:

açık önerme: Henüz değişkeni belirlenmemiş ifade,
yüklem: Değişkene bir değer verildiğinde önerme üreten özellik.

12. Değer kadar, hangi değerlerin kullanılabildiği de önemlidir

Şu açık önermeyi düşünelim:

P(x):\quad x^2=4

$x$ yerine:

2

koyabiliriz.

Doğru.

-2

koyabiliriz.

Yine doğru.

Peki $x$ hangi tür nesneleri temsil ediyor?

Tam sayıları mı?

Reel sayıları mı?

Karmaşık sayıları mı?

Matematikte değişkenler boşlukta dolaşmaz.

Genellikle belirli bir evrenden veya değer kümesinden seçilirler.

Bu fikir ileride:

kümelerde,
fonksiyonlarda,
niceleyicilerde,
denklemlerde

çok önemli hâle gelecek.

Bir açık önermeyi değerlendirirken yalnızca değişkeni değil, değişkenin hangi değerleri almasına izin verildiğini de bilmemiz gerekebilir.

Bu ayrıntıyı ilerleyen birimlerde sistematik hâle getireceğiz.

13. Üç farklı yapıyı yan yana görelim

Şimdi benzer görünen üç ifade seçelim:

Birinci ifade

x+2

Bu bir matematiksel ifadedir.

Bir sayı veya cebirsel nicelik temsil eder.

Doğru veya yanlış değildir.

İkinci ifade

x+2=7

Bu bir açık önermedir.

$x$ 'in değerine göre doğru veya yanlış olur.

Üçüncü ifade

5+2=7

Burada değişken kalmamıştır.

İddianın doğruluk değeri belirlenmiştir.

Bu bir önermedir ve doğrudur.

Ayırıcı soru

Bir ifadeyi gördüğünde şu sırayla sor:

Burada bir iddia var mı?
Varsa doğruluk değeri şu anda belirli mi?
Yoksa doğruluk değeri bir değişkenin değerine mi bağlı?

Böylece çoğu durumda sınıflandırmayı yapabilirsin.

14. Bir sınıflandırma tablosu

İfade	İddia var mı?	Doğruluk değeri	Tür
$2+5$	Hayır	Yok	Matematiksel ifade
$2+5=7$	Evet	Doğru	Önerme
$2+5=10$	Evet	Yanlış	Önerme
$x+5$	Hayır	Yok	Değişkenli matematiksel ifade
$x+5=7$	Evet	$x$ 'e bağlı	Açık önerme
“Kapıyı kapat.”	Hayır	Yok	Emir
“Saat kaç?”	Hayır	Yok	Soru

Bu tabloyu ezberlemek yerine altında yatan fikri koru:

Önerme = doğruluk iddiası.

15. Birkaç sınır örneği

“ $x$ bir asal sayıdır.”

Bu bir açık önermedir.

Çünkü $x$ 'e göre sonuç değişir.

Örneğin:

x=7

için doğru;

x=8

için yanlıştır.

“ $17$ bir asal sayıdır.”

Bu bir önermedir.

Doğruluk değeri belirlenmiştir:

Doğru.

“ $17$ ”

Bu yalnızca bir sayıyı gösterir.

Bir iddia değildir.

Dolayısıyla önerme değildir.

“ $17+4$ ”

Bu bir matematiksel ifadedir.

Değeri hesaplanabilir:

21

Ama “doğru” veya “yanlış” değildir.

“ $17+4=20$ ”

Bu bir önermedir.

Ve yanlıştır.

En sık yapılan hata

Bir ifadenin hesaplanabilir olması, onun önerme olduğu anlamına gelmez.

5+8

hesaplanabilir ama önerme değildir.

Bir ifadenin yanlış olması da onun önerme olmadığı anlamına gelmez.

5+8=20

yanlıştır ama yine de önermedir.

16. Bir düşünme deneyi

Şu iki ifadeyi karşılaştıralım:

x^2

x^2>10

İkisinde de $x$ var.

Ama yalnızca değişken bulunması, bir ifadeyi açık önerme yapmaya yetmez.

İlk ifade:

x^2

bir nicelik üretir.

İkinci ifade:

x^2>10

ise bir doğruluk iddiası üretir.

Dolayısıyla:

Değişkenli matematiksel ifade ile açık önerme aynı şey değildir.

Açık önerme mutlaka doğru veya yanlış hâle gelebilecek bir iddia yapısına sahip olmalıdır.

Bu ayrım ileride fonksiyon ve denklem kavramlarını birbirinden ayırırken yeniden karşımıza çıkacak.

17. Tarihsel gelişim

“Doğru bir akıl yürütmenin yapısı nedir?” sorusu çok eskidir ve önerme mantığının tek bir mucidi yoktur.

Antik Yunan'da Aristoteles özellikle terimler ve kıyaslar üzerinden sistematik mantığın temel yapılarını geliştirdi.

Aynı antik dönemde Stoacı mantıkçılar, bütün önermeler arasındaki “eğer”, “veya”, “değil” gibi ilişkileri inceleyen ve bugünkü önerme mantığına daha doğrudan benzeyen fikirler geliştirdiler.

yüzyılda mantığın matematiksel biçimde ele alınmasında büyük bir dönüşüm yaşandı. George Boole, mantıksal ilişkilerin cebirsel yöntemlerle incelenebileceğini gösterdi.

1879'da Gottlob Frege, değişkenler ve yüklemlerle çok daha güçlü bir biçimsel dil geliştirerek modern yüklem mantığının (predicate logic) temelinin oluşmasında önemli bir kırılma yarattı.

Dolayısıyla bugün kullandığımız önerme, değişken ve yüklem dili tek seferde icat edilmiş bir sistem değil; uzun bir mantık ve matematik tarihinin sonucudur.

18. Bu fikir nerede kullanılır?

Bu birim ilk bakışta “yalnızca mantık terminolojisi” gibi görünebilir.

Aslında ileride matematiğin neredeyse tamamının dil altyapısını oluşturur.

1. Teorem ve ispat

Bir teorem, özünde belirli koşullar altında doğru olduğu ileri sürülen matematiksel bir iddiadır.

Örneğin ileride:

Eğer bir tam sayı çiftse karesi de çifttir.

gibi bir iddiayı ispatlayacağız.

İspata başlamadan önce hangi kısmın iddia, hangi kısmın koşul olduğunu ayırabilmemiz gerekir.

2. Denklemler

x^2=9

bir açık önerme olarak düşünülebilir.

Denklem çözmek:

“Bu açık önermeyi hangi $x$ değerleri doğru hâle getirir?”

sorusunu sormaktır.

Bu bakış, ileride denklem kavramına güçlü bir mantıksal anlam kazandıracaktır.

3. Bilgisayar bilimi

Programlamadaki koşullar da benzer bir yapı taşır.

Örneğin bir program:

“ $x>10$ ise şu işlemi yap.”

dediğinde $x>10$ ifadesinin doğru veya yanlış olmasını kontrol eder.

Mantıksal koşullar algoritmaların ve programların temel parçalarındandır.

4. Veri ve sorgulama

Bir veri tabanında:

“Yaşı 18'den büyük olan kayıtları getir.”

dediğimizde her kayıt üzerinde bir çeşit yüklem değerlendiririz:

P(x): x\text{'in yaşı }18\text{'den büyüktür}

Yüklemi doğru yapan kayıtlar seçilir.

5. Matematiğin ilerleyen alanları

Açık önerme ve yüklem fikri daha sonra:

küme tanımlarında,
fonksiyonlarda,
analizdeki kesin tanımlarda,
cebirde,
sayı teorisinde,
olasılıkta

sürekli karşımıza çıkacaktır.

Örneğin ileride bir kümeyi:

“Belirli bir özelliği sağlayan bütün nesneler”

olarak tanımladığımızda aslında bir yüklemin doğru olduğu nesneleri toplamış olacağız.

19. Sınırlar ve dikkat edilmesi gerekenler

Doğruluk değerini bilmiyor olmak başka, doğruluk değerinin olmaması başkadır

Örneğin çok büyük bir sayı hakkında:

“Bu sayı asaldır.”

diyelim.

Biz şu anda bunun doğru mu yanlış mı olduğunu bilmiyor olabiliriz.

Ama bu durum cümlenin önerme olmasını engellemez.

Gerçekte iki durumdan biri geçerlidir:

sayı asaldır,
sayı asal değildir.

Bizim cevabı bilmememiz, önermenin doğruluk değerinin bulunmadığı anlamına gelmez.

Bilmemek ≠ doğruluk değerinin olmaması

Bir önermenin doğruluk değerini bizim bilmememiz ile ifadenin hiç doğruluk değeri taşımaması farklı şeylerdir.

“Doğru veya yanlış” burada klasik mantığa aittir

Bu derste matematiğin temelinde yaygın biçimde kullanılan klasik iki değerli mantık çerçevesinde çalışıyoruz.

Dolayısıyla bir önerme:

doğru,
veya yanlış

olarak ele alınacaktır.

Daha ileri mantık sistemlerinde farklı doğruluk yaklaşımları kurulabilir; fakat bunlar bu birimin kapsamı dışındadır.

Bağlam bazen önemlidir

“Bu sayı büyüktür.”

gibi bir ifade, “büyük” kelimesinin ne anlama geldiği belirlenmeden matematiksel olarak yeterince kesin değildir.

Matematiksel dilin gücü yalnızca sembol kullanmasından değil, kullanılan kavramların kesin tanımlanmasından gelir.

Bu nedenle ileride tanımların rolünü ayrıca inceleyeceğiz.

20. Şimdi kendin sınıflandır

Aşağıdaki ifadeleri cevapları görmeden önce dört gruba ayırmaya çalış:

önerme,
açık önerme,
matematiksel ifade,
önerme olmayan doğal dil ifadesi.

$8+4$
$8+4=12$
$8+4=15$
$x+4$
$x+4=12$
$x<10$
$7$
“7 asal mıdır?”
“7 asal sayıdır.”
“Bu işlemi yap.”
$n^2$
$n^2\geq 0$

Sonra her biri için yalnızca kategoriyi söylemekle yetinme.

Şunu da cevapla:

Neden?

21. Birimin ana yapısı

İfadelerin mantıksal ayrımı

                    İFADE
                      │
          ┌───────────┴───────────┐
          │                       │
    Bir iddia değil          Bir iddia var
          │                       │
          │             ┌─────────┴─────────┐
          │             │                   │
     3 + x, soru,    Doğruluk değeri    Değişkene bağlı
        emir           belirli              │
                          │                  │
                          ▼                  ▼
                      ÖNERME            AÇIK ÖNERME
                   2 + 3 = 5            x + 3 = 5

Matematiksel veya doğal dildeki ifadeler arasında doğruluk iddiası taşımayan ifadeler, doğruluk değeri belirlenmiş önermeler ve değişkene bağlı açık önermeler ayrılır.

Bu şemadaki en önemli ayrım:

Bir iddia var mı?

sorusudur.

22. Dört tür alıştırma

A. Kavrama

Bir önermeyi kendi sözlerinle tanımla.
“Yanlış bir önerme” ifadesinin neden çelişkili olmadığını açıkla.
Matematiksel ifade ile önerme arasındaki farkı açıkla.
Açık önerme neden doğrudan doğru veya yanlış olarak sınıflandırılamaz?
Değişken ile bilinmeyenin neden her zaman aynı kavram olmadığını açıkla.
Yüklem ile açık önerme arasındaki ilişkiyi kendi sözlerinle anlat.

B. Teknik sınıflandırma

Aşağıdaki ifadelerin her birini sınıflandır ve gerekçeni yaz:

$13<20$
$13+20$
$x<20$
$x+20$
$4^2=16$
$4^2=15$
$n$ çift sayıdır.
“Bu sayı kaçtır?”
“ $5$ sayısını ikiyle çarp.”
$y^2+1$

C. Gerekçelendirme

Bir öğrenci şöyle diyor:

“ $2+3=8$ yanlış olduğu için önerme değildir.”

Bu öğrencinin hatasını açıkla.

Başka bir öğrenci ise:

“ $x+1=4$ içinde matematiksel semboller bulunduğu için önermedir.”

diyor.

Bu öğrencinin hatasını da açıkla.

Son olarak şu iddiayı değerlendir:

“Değişken içeren her matematiksel ifade açık önermedir.”

Doğruysa gerekçelendir; yanlışsa bir karşı örnek ver.

D. Transfer

Bir internet sitesinin üyelerine ait yaşları tuttuğunu düşün.

Şu kural kullanılıyor:

“Yaşı en az 18 olan kullanıcı yetişkindir.”

Bir kullanıcıyı $x$ ile temsil ederek uygun bir açık önerme yaz.
$x=21$ için doğruluk durumunu değerlendir.
$x=16$ için doğruluk durumunu değerlendir.
Bu yapının neden bir yüklem olarak düşünülebileceğini açıkla.
Sistem yalnızca koşulu sağlayan kullanıcıları seçerse, mantıksal olarak ne yapmış olur?

23. Birimi tamamlamış sayılmak için

Bu birimi yalnızca okumuş olmak yeterli değildir.

Şunları yapabiliyor olmalısın:

Bir ifadenin neden önerme olduğunu veya olmadığını açıklamak.
Doğru ve yanlış önermeleri sınıflandırmak.
Doğruluk değeri kavramını açıklamak.
Matematiksel ifade ile matematiksel iddiayı ayırmak.
Değişkenli ifade ile açık önermeyi ayırmak.
Bir açık önermenin verilen değerle nasıl önermeye dönüştüğünü göstermek.
Yüklem fikrini basit bir örnek üzerinden açıklamak.
Daha önce görmediğin bir ifadeyi yalnız görünüşüne değil, mantıksal yapısına bakarak sınıflandırmak.

Kısa sentez

Neden vardı?
Matematikte hangi ifadelerin doğruluğunun tartışılabileceğini kesin biçimde ayırabilmek için.

Ne öğrendik?
Doğru veya yanlışlığı belirli olan iddiaya önerme, bu duruma doğruluk değeri dedik. Değişkene bağlı olarak doğruluk değeri değişen ifadeleri açık önerme olarak ayırdık. Değişkenin farklı değerleri temsil edebildiğini ve bir yüklemin, değer verildiğinde önerme üreten bir yapı olduğunu gördük.

Neyi artık yapabiliyoruz?
Bir sembol dizisine yalnızca “matematik var mı?” diye bakmak yerine:

“Burada bir iddia var mı ve bu iddianın doğruluk durumu nasıl belirleniyor?”

sorusunu sorarak mantıksal yapısını ayırabiliyoruz.

Sırada ne var?
Şimdi tek tek önermelerimiz var.

Bir sonraki soru doğal olarak şu:

Birden fazla önermeyi nasıl birleştiririz?

Bizi 1.02.02 — “Ve”, “veya”, “değil”: mantıksal bağlaçlar birimine götüren soru budur.

1.02.01 — Önerme ve Matematiksel İfade

Haritadaki yerimiz

1. Başlangıç problemi: Matematik hangi cümlelerle çalışabilir?

2. Neden böyle bir ayrıma ihtiyaç duyuyoruz?

3. Eski araç neden yetmedi?

4. Önerme nedir?

Örnekler

5. Doğruluk değeri nedir?

6. Önerme olmayan şeyler

Soru

Emir

Dilek

7. Matematiksel ifade ile önerme aynı şey değildir

8. Şimdi sorun büyüyor: Değişken içeren ifadeler

9. Açık önerme

10. Değişken nedir?

Değişken yalnızca “bilinmeyen sayı” değildir

11. Yüklem — predicate fikri

12. Değer kadar, hangi değerlerin kullanılabildiği de önemlidir

13. Üç farklı yapıyı yan yana görelim

Birinci ifade

İkinci ifade

Üçüncü ifade

14. Bir sınıflandırma tablosu

15. Birkaç sınır örneği

“xxx bir asal sayıdır.”

“171717 bir asal sayıdır.”

“171717”

“17+417+417+4”

“17+4=2017+4=2017+4=20”

16. Bir düşünme deneyi

17. Tarihsel gelişim

18. Bu fikir nerede kullanılır?

19. Sınırlar ve dikkat edilmesi gerekenler

Doğruluk değerini bilmiyor olmak başka, doğruluk değerinin olmaması başkadır

“Doğru veya yanlış” burada klasik mantığa aittir

Bağlam bazen önemlidir

20. Şimdi kendin sınıflandır

21. Birimin ana yapısı

22. Dört tür alıştırma

A. Kavrama

B. Teknik sınıflandırma

C. Gerekçelendirme

D. Transfer

23. Birimi tamamlamış sayılmak için

“ $x$ bir asal sayıdır.”

“ $17$ bir asal sayıdır.”

“ $17$ ”

“ $17+4$ ”

“ $17+4=20$ ”