1.02.02 — “Ve”, “veya”, “değil”: mantıksal bağlaçlar

Haritadaki yerimiz

Bir önceki birimde bir önermenin doğru ya da yanlış olabilen bir ifade olduğunu gördük.

Örneğin:

$P$ : “7 asal sayıdır.” — Doğru
$Q$ : “10 tek sayıdır.” — Yanlış

Şimdi yeni bir soru ortaya çıkıyor:

Tek tek önermeleri biliyoruz. Peki bunları birleştirerek daha karmaşık matematiksel iddialar nasıl kuracağız?

Bu birimde üç temel bağlacı öğreneceğiz:

değil — $\neg$
ve — $\land$
veya — $\lor$

Bunların yanında gündelik dilde sıkça kullandığımız dışlayıcı veyayı da ayıracağız.

Bu birim özellikle şunların temelini oluşturur:

1.02.03 — “Eğer... ise...”
1.02.05 — Matematiksel ifadelerin değili
1.02.06 — Mantıksal eşdeğerlik ve geçerli çıkarım
1.03.02 — Küme işlemleri
ileride ispatlar, programlama koşulları ve dijital mantık

Başlangıç problemi: Tek bir doğru–yanlış yetmiyor

Bir kapının açılma kuralı

Bir güvenlik kapısının açılması için iki koşul bulunduğunu düşünelim:

$P$ : “Kart geçerlidir.”
$Q$ : “Şifre doğrudur.”

Şimdi sistemin kuralı şu olsun:

“Kart geçerlidir ve şifre doğrudur.”

Artık tek bir önermenin doğruluğunu sormuyoruz.

İki önermeden yeni bir önerme oluşturduk.

Peki yeni önermenin doğru olması için ne gerekir?

Yalnızca kartın geçerli olması yeterli mi?
Yalnızca şifrenin doğru olması yeterli mi?
İkisinin de doğru olması mı gerekiyor?

Buradaki temel ihtiyaç şudur:

Önermeleri yalnızca tek tek incelemek yetmez; onların nasıl birleştirildiğini de matematiksel olarak ifade edebilmeliyiz.

Doğal dilde bunu “ve”, “veya”, “değil” gibi sözcüklerle zaten yapıyoruz.

Mantık bu sözcüklerin anlamını kesinleştirir.

Neden ayrı bir matematiksel dile ihtiyaç var?

Gündelik dil esnektir.

Örneğin:

“Çay veya kahve alabilirsin.”

cümlesini duyan biri çoğu zaman bunun:

“İkisinden birini seç.”

anlamına geldiğini düşünür.

Fakat başka bir yerde:

“Başvuru için pasaport veya kimlik gösterebilirsiniz.”

denildiğinde ikisini birden göstermenizde mantıksal bir sorun yoktur.

Demek ki gündelik dildeki veya bağlama göre farklı anlamlara gelebiliyor.

Matematikte bu belirsizliği bırakamayız.

Temel ihtiyaç

Mantıksal bağlaçların amacı, basit önermelerden yeni önermeler oluştururken onların doğruluk koşullarını tam ve tartışmasız biçimde belirlemektir.

Bu nedenle mantıksal bağlaçlar yalnızca kelimelerin sembolleştirilmesi değildir.

Her bağlaç aslında:

“Girdi olarak verilen doğruluk değerlerinden hangi durumda doğru sonuç üretirim?”

sorusunun kesin cevabıdır.

Bileşik önerme

Bir veya daha fazla önermenin mantıksal bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşturulan yeni önermeye bileşik önerme denir.

Örneğin $P$ ve $Q$ önerme ise

P\land Q

ifadesi yeni bir önermedir.

Şimdi bağlaçları tek tek kuracağız.

1. “Değil” — değilleme

En basit işlemle başlayalım.

$P$ önermesi:

“7 asal sayıdır.”

olsun.

Bu önerme doğrudur.

Şimdi:

“7 asal sayı değildir.”

diyelim.

İkinci ifade ilkinin doğruluk değerini tersine çevirdi.

Değilleme

Bir $P$ önermesinin değili

\neg P

ile gösterilir ve

“ $P$ değil”

diye okunur.

$\neg P$ , $P$ doğruysa yanlış; $P$ yanlışsa doğrudur.

Doğruluk tablosu:

$P$	$\neg P$
D	Y
Y	D

Burada:

D = doğru
Y = yanlış

Değilleme

$P$ :

“12 tek sayıdır.”

$P$ yanlıştır.

Dolayısıyla:

\neg P

“12 tek sayı değildir.”

doğrudur.

Değilleme yalnızca 'değil' kelimesini eklemek değildir

Bir önermenin değili, o önermenin tam ters doğruluk koşulunu ifade etmelidir.

Örneğin

“Ahmet 20 yaşındadır.”

önermesinin değili

“Ahmet 21 yaşındadır.”

değildir.

Doğru değilleme:

“Ahmet 20 yaşında değildir.”

şeklindedir.

Çünkü Ahmet 18, 19, 21 veya başka herhangi bir yaşta olabilir.

2. “Ve” — birlikte doğru olma

Şimdi iki önerme alalım:

$P$ :

“8 çifttir.”

$Q$ :

“8 pozitiftir.”

İkisi de doğrudur.

Bunları:

“8 çifttir ve pozitiftir.”

şeklinde birleştirebiliriz.

Sembolik olarak:

P\land Q

Ve bağlacı

$P\land Q$ önermesi ancak $P$ ve $Q$ önermelerinin ikisi de doğruysa doğrudur.

Diğer bütün durumlarda yanlıştır.

$\land$ sembolü mantıksal ve bağlacını gösterir.

Doğruluk tablosu:

$P$	$Q$	$P\land Q$
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

“Ve” bağlacını bir iki koşullu kapı gibi düşünebiliriz.

Kapının açılması için:

birinci koşul sağlanmalı,
aynı zamanda
ikinci koşul da sağlanmalıdır.

Bir tanesinin bozulması bütün bileşik önermeyi yanlış yapar.

Bir koşulun bozulması yeterlidir

$P$ :

“15, 3'ün katıdır.”

Doğru.

$Q$ :

“15 çift sayıdır.”

Yanlış.

O hâlde:

P\land Q

yani

“15, 3'ün katıdır ve çift sayıdır.”

yanlıştır.

İlk parçanın doğru olması sonucu kurtarmaz.

3. “Veya” — en az birinin doğru olması

Şimdi bir başka kural düşünelim:

“Sisteme parola veya parmak iziyle giriş yapılabilir.”

Burada yalnızca parolanın çalışması yeterli olabilir.

Yalnızca parmak izinin çalışması da yeterlidir.

İkisi de çalışıyorsa yine giriş yapılabilir.

Mantıktaki standart “veya” tam olarak bu davranışı ifade eder.

Veya bağlacı

$P\lor Q$ önermesi, $P$ ile $Q$ 'dan en az biri doğruysa doğrudur.

Yalnızca ikisinin de yanlış olduğu durumda yanlıştır.

$\lor$ sembolü mantıksal veya bağlacını gösterir.

Doğruluk tablosu:

$P$	$Q$	$P\lor Q$
D	D	D
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

Buradaki kritik satır ilk satırdır:

P=\text{D},\qquad Q=\text{D}

iken

P\lor Q=\text{D}.

Yani matematiksel “veya” normalde ikisini birden dışlamaz.

Matematiksel 'veya'

Standart mantıkta

P\lor Q

şu anlama gelir:

$P$ , $Q$ veya ikisi birden.

Bu nedenle buna kapsayıcı veya (inclusive or) denir.

Gündelik “veya” neden kafa karıştırıyor?

Şu iki cümleyi karşılaştıralım:

“Tatlı olarak kek veya dondurma alabilirsin.”
“Turnuvaya öğretmen veya öğrenci kimliğiyle giriş yapılabilir.”

İlkinde konuşan kişi yalnızca bir seçim kastedebilir.

İkincisinde ise iki kimliğe birden sahip olmanız giriş hakkınızı ortadan kaldırmaz.

Doğal dil bağlama güvenir.

Matematik ise bağlama güvenmek yerine doğruluk koşulunu açıkça tanımlar.

4. Dışlayıcı veya

Bazen gerçekten:

“İkisinden biri, fakat ikisi birden değil.”

demek isteriz.

Bu durumda standart $\lor$ yeterli değildir.

Dışlayıcı veya

$P$ ile $Q$ 'dan tam olarak biri doğruysa doğru olan bağlaca dışlayıcı veya (exclusive or, XOR) denir.

Sıklıkla

P\oplus Q

ile gösterilir.

Doğruluk tablosu:

$P$	$Q$	$P\lor Q$	$P\oplus Q$
D	D	D	Y
D	Y	D	D
Y	D	D	D
Y	Y	Y	Y

En önemli fark ilk satırdadır:

kapsayıcı veya: iki önerme doğruysa doğru,
dışlayıcı veya: iki önerme doğruysa yanlış.

Dışlayıcı seçim

Bir yarışmanın kuralı şöyle olsun:

“Katılımcı A grubunda veya B grubunda yarışabilir, fakat iki grupta birden yarışamaz.”

Buradaki “veya” standart $\lor$ değil, dışlayıcı veya anlamındadır.

5. Doğruluk tablosu neden var?

Şimdi asıl güçlü araca geldik.

Bir bileşik önerme giderek karmaşıklaşabilir:

\neg P\lor(Q\land P)

Bunu yalnızca cümleye bakarak değerlendirmek zamanla zorlaşır.

Doğruluk tablosu bütün olası durumları sistematik biçimde tüketir.

İki önerme varsa her biri iki değer alabilir:

D\quad\text{veya}\quad Y.

Dolayısıyla dört olasılık vardır:

(D,D),\quad(D,Y),\quad(Y,D),\quad(Y,Y).

Doğruluk tablosunun fikri

Doğruluk tablosu:

“Bütün olası doğruluk durumlarında bu bileşik önerme ne olur?”

sorusuna cevap verir.

Hiçbir durum atlanmaz.

Genel olarak $n$ bağımsız önerme için

2^n

farklı doğruluk satırı bulunur.

Örneğin:

1 önerme → $2$ satır
2 önerme → $4$ satır
3 önerme → $8$ satır

Bileşik bir ifadeyi adım adım çözmek

Şu ifadeyi inceleyelim:

P\land\neg Q

Önce içindeki daha küçük parçaları ayırırız:

$Q$
$\neg Q$
$P\land\neg Q$

Doğruluk tablosu oluşturma

$P$	$Q$	$\neg Q$	$P\land\neg Q$
D	D	Y	Y
D	Y	D	D
Y	D	Y	Y
Y	Y	D	Y

Son sütun bize bütün bileşik önermenin doğruluk değerini verir.

İfade yalnızca şu durumda doğrudur:

P=\text{D},\qquad Q=\text{Y}.

Burada önemli olan tabloyu ezberlemek değil, ifadeyi küçük parçalara ayırabilmektir.

Parantez neden önemlidir?

Şu iki ifade aynı değildir:

\neg(P\land Q)

(\neg P)\land Q.

Birincisinde önce $P$ ile $Q$ birleşir, sonra bütün sonuç değillenir.

İkincisinde yalnızca $P$ değillenir.

Bağlacın etki alanına dikkat

$\neg$ işaretinin neyi değillediğini mutlaka belirle.

Özellikle karmaşık ifadelerde parantezler yalnızca yazım ayrıntısı değildir; önermenin anlamını değiştirir.

6. De Morgan yasaları

Şimdi bu birimin en önemli yapısal sonuçlarından birine gelelim.

Şu cümlenin değilini düşünelim:

“Kart geçerlidir ve şifre doğrudur.”

Bu ifade ne zaman yanlış olur?

İkisinin de yanlış olması şart değildir.

Şunlardan biri yeterlidir:

kart geçerli değildir,
şifre doğru değildir,
ya da ikisi de yanlıştır.

Yani:

“ $P$ ve $Q$ ”nun değili,

“ $P$ değil veya $Q$ değil”

olur.

Sembolik olarak:

\neg(P\land Q)\equiv(\neg P)\lor(\neg Q).

Buradaki $\equiv$ işareti iki önermenin bütün doğruluk durumlarında aynı değeri aldığını, yani mantıksal olarak eşdeğer olduğunu ifade eder.

İkinci yasa da şöyledir:

\neg(P\lor Q)\equiv(\neg P)\land(\neg Q).

De Morgan yasaları

\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q

\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q

Kısa fikir:

“İkisi de doğru”nun değili → en az biri yanlış.
“En az biri doğru”nun değili → ikisi de yanlış.

Birinci De Morgan yasasını doğrulayalım

Doğruluk tablosuyla doğrulama

Karşılaştıracağımız iki ifade:

\neg(P\land Q)

\neg P\lor\neg Q.

$P$	$Q$	$P\land Q$	$\neg(P\land Q)$	$\neg P$	$\neg Q$	$\neg P\lor\neg Q$
D	D	D	Y	Y	Y	Y
D	Y	Y	D	Y	D	D
Y	D	Y	D	D	Y	D
Y	Y	Y	D	D	D	D

Son iki ilgili sütun tamamen aynıdır.

Dolayısıyla:

\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q.

Bu yalnızca birkaç örnekte işe yaradığı için değil, bütün olası doğruluk durumlarında aynı sonucu verdiği için mantıksal eşdeğerliktir.

İkinci De Morgan yasasını sezgisel olarak anlayalım

Şu önerme:

“Ali İstanbul'da veya Ankara'dadır.”

olsun.

Bunun değili nedir?

Yanlış cevap:

“Ali İstanbul'da değildir veya Ankara'da değildir.”

Çünkü Ali İstanbul'daysa zaten Ankara'da değildir; bu ifade doğru olabilirken asıl önerme de doğru olabilir.

Gerçek değilleme:

“Ali İstanbul'da değildir ve Ankara'da değildir.”

olmalıdır.

Yani:

\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q.

De Morgan'da bağlaç değişir

Bir bileşik önermenin tamamını değillerken:

\land\longleftrightarrow\lor

değişimi gerçekleşir ve her bileşen ayrı ayrı değillenir.

Bu, mekanik bir sembol oyunu değil; bileşik önermenin doğruluk koşulunun zorunlu sonucudur.

7. Bağlaçları tek tabloda görmek

Bağlaç	Gösterim	Ne zaman doğru?
Değil	$\neg P$	$P$ yanlışsa
Ve	$P\land Q$	İkisi de doğruysa
Veya	$P\lor Q$	En az biri doğruysa
Dışlayıcı veya	$P\oplus Q$	Tam olarak biri doğruysa

Dört kısa zihinsel model

$\neg P$ : tersine çevir
$P\land Q$ : ikisini de iste
$P\lor Q$ : en az birini iste
$P\oplus Q$ : tam birini iste

Bu kısa modeller ilk sezgi için yararlıdır; kesin anlamı belirleyen şey yine doğruluk koşullarıdır.

8. Aynı cümlede birden fazla bağlaç

Örneğin:

\neg P\lor(Q\land R)

ifadesini görürsek onu tek parça olarak okumamalıyız.

Yapısı şöyledir:

Q ve R önce ve bağlacıyla birleşir; P değillenir; son aşamada bu iki sonuç veya bağlacıyla birleşir.

Bu şema bize işlemin mantıksal yapısını gösterir.

Önce:

Q\land R

\neg P

hesaplanır.

Sonra:

\neg P\lor(Q\land R)

elde edilir.

Bileşik önermeyi okuma yöntemi

Karmaşık bir önerme gördüğünde:

En küçük parçaları belirle.
Hangi bağlacın hangi parçaları bağladığını bul.
Gerekirse parantez yapısını çiz.
Doğruluk tablosunu ara sütunlar oluşturarak ilerlet.

9. Tarihsel gelişim

Mantıksal akıl yürütmenin sistematik incelenmesi Antik Çağ'a kadar uzanır; özellikle Aristoteles'in çalışmaları uzun süre mantığın temel çerçevelerinden birini oluşturdu.

Ancak bugün kullandığımız doğruluk değerleriyle çalışan sembolik bağlaç dili çok daha sonra gelişti.

yüzyılda George Boole, mantıksal işlemleri cebirsel bir yapıyla inceleyerek modern sembolik mantığın gelişiminde önemli bir kırılma oluşturdu. Augustus De Morgan da mantıksal değilleme ile “ve” ve “veya” arasındaki ilişkileri sistematikleştiren çalışmalarıyla bu gelişimin önemli isimlerinden biri oldu.

Bugünkü biçimsel mantık tek bir kişinin bir anda icat ettiği bir sistem değildir; Antik Çağ'dan 19. ve 20. yüzyıl sembolik mantığına uzanan uzun bir gelişimin sonucudur.

Bu tarihsel özet, anlatım kılavuzunun istediği tarihsel bağlamı sağlamak amacıyla genel matematik tarihi bilgisinden eklenmiştir. Ana müfredat dosyası bu birim için özel tarihsel ayrıntı vermemektedir.

10. Mantıksal bağlaçlar nerede kullanılır?

Matematik içinde

Teoremler ve tanımlar sürekli bileşik önermeler kullanır.

Örneğin ileride:

“ $x$ pozitiftir ve $x<1$ .”

veya

“ $n$ çifttir veya tektir.”

gibi ifadelerle karşılaşacağız.

Daha önemlisi, niceleyicilerin değillenmesi ve ispat yöntemleri De Morgan yasalarını doğrudan kullanacaktır.

Kümelerde

İleride küme işlemlerini öğrenirken mantıktaki:

\land,\qquad\lor,\qquad\neg

yapılarının sırasıyla:

kesişim,
birleşim,
tümleyen

fikirleriyle çok yakın ilişki kurduğunu göreceğiz.

Bu yüzden küme De Morgan yasalarının ortaya çıkması tesadüf değildir.

Programlama ve dijital sistemler

Bir programdaki koşul:

“Kullanıcı giriş yapmış ve yetkiliyse işlemi gerçekleştir.”

mantıksal olarak bir AND koşuludur.

“Yönetici veya editörse sayfayı aç.”

bir OR koşuludur.

“Hesap bloke değilse...”

ise bir NOT işlemidir.

Bilgisayarların karar mekanizmalarının önemli bir bölümü bu tür mantıksal ifadelerin değerlendirilmesine dayanır.

Arama ve filtreleme

Bir veri tabanında:

“İstanbul'da yaşayan ve 30 yaşından büyük kullanıcılar”

iki koşulun kesişimini ister.

“İstanbul'da veya Ankara'da yaşayan kullanıcılar”

ise iki koşuldan en az birini sağlayan kayıtları ister.

Mantıksal bağlaçlar böylece yalnızca soyut mantık konusu olmaktan çıkıp bilgi filtreleme mekanizmasına dönüşür.

11. Sık yapılan hatalar

1. Matematiksel 'veya'yı dışlayıcı sanmak

P\lor Q

normalde “yalnızca biri” anlamına gelmez.

En az biri anlamına gelir.

İkisi birden doğru olabilir.

2. 'Ve'de bir doğru parçanın yeterli olduğunu sanmak

P\land Q

için tek bir doğru önerme yeterli değildir.

İkisinin de doğru olması gerekir.

3. Bütün ifadeyi değil yalnızca bir parçayı değillemek

\neg(P\land Q)

ile

(\neg P)\land Q

aynı ifade değildir.

4. De Morgan'da bağlacı değiştirmemek

Yanlış:

\neg(P\land Q)\equiv\neg P\land\neg Q.

Doğru:

\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q.

5. Doğruluk tablosunu ezber tablosuna çevirmek

Tablonun amacı sembolleri ezberletmek değil, bütün olası durumları eksiksiz incelemektir.

Her satırın neden o sonucu verdiğini açıklayabiliyor olmalısın.

12. Birkaç örneği birlikte çözelim

Örnek 1

$P$ : “11 asaldır.”

$Q$ : “11 çifttir.”

Buna göre:

P=\text{D},\qquad Q=\text{Y}.

O hâlde:

P\land Q=\text{Y}

çünkü ikisi birden doğru değildir.

P\lor Q=\text{D}

çünkü en az biri doğrudur.

\neg Q=\text{D}

çünkü $Q$ yanlıştır.

P\oplus Q=\text{D}

çünkü tam olarak biri doğrudur.

Örnek 2

$P=\text{D}$ ve $Q=\text{D}$ olsun.

Şu ifadeyi değerlendirelim:

\neg(P\lor Q).

Önce:

P\lor Q=\text{D}.

Sonra değilleriz:

\neg(P\lor Q)=\text{Y}.

De Morgan ile de aynı sonucu bulabiliriz:

\neg(P\lor Q) \equiv \neg P\land\neg Q.

Her iki değilleme de yanlış olduğundan:

\text{Y}\land\text{Y}=\text{Y}.

Örnek 3 — Bir bileşik önermeyi tabloyla çözmek

(P\lor Q)\land\neg P

$P$	$Q$	$P\lor Q$	$\neg P$	$(P\lor Q)\land\neg P$
D	D	D	Y	Y
D	Y	D	Y	Y
Y	D	D	D	D
Y	Y	Y	D	Y

Bileşik önerme yalnızca:

P=\text{Y},\qquad Q=\text{D}

durumunda doğrudur.

Bu aslında bize şunu söylüyor:

“ $P$ veya $Q$ doğru olsun, ama $P$ doğru olmasın.”

Bu koşullar birlikte ancak $Q$ doğru olduğunda sağlanabilir.

13. Öğrenme çalışmaları

Çözümleri hemen aşağıya koymuyoruz. Önce kendin çözmeye çalış.

Kavrama

$P\land Q$ ile $P\lor Q$ arasındaki farkı kendi cümlelerinle açıkla.
Matematiksel “veya” neden gündelik dildeki bazı “veya” kullanımlarından farklıdır?
Doğruluk tablosunun amacı nedir? Neden yalnızca birkaç örnek denemek yeterli değildir?

Teknik

$P=\text{D}$ ve $Q=\text{Y}$ iken aşağıdakilerin doğruluk değerlerini bul:
- $\neg P$
- $\neg Q$
- $P\land Q$
- $P\lor Q$
- $P\oplus Q$
- $\neg(P\land Q)$
Şu ifadenin doğruluk tablosunu oluştur:

\neg P\land Q

Şu ifadenin doğruluk tablosunu oluştur:

\neg(P\lor Q)

Gerekçelendirme

Neden

\neg(P\land Q)

ifadesi

\neg P\land\neg Q

ile aynı değildir?

Tek bir doğruluk durumu kullanarak karşı örnek göster.

Doğruluk tablosu kullanarak ikinci De Morgan yasasını doğrula:

\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q.

Transfer

Bir internet sitesinde şu kural uygulanıyor:

“Kullanıcının hesabı aktif olmalı ve hesabı bloke edilmiş olmamalı.”

Şunları tanımla:

$A$ : “Hesap aktiftir.”
$B$ : “Hesap bloke edilmiştir.”

Kuralı yalnızca $A$ , $B$ ve mantıksal bağlaçları kullanarak sembolleştir.

Bir kulübe giriş için:

“Öğrenci kartı veya personel kartından en az biri geçerlidir.”

koşulu aranıyor.

Bunu sembolleştir ve iki kartın da geçerli olduğu durumda giriş yapılıp yapılamayacağını matematiksel “veya” tanımından hareketle açıkla.

14. Birimin tamamlanma ölçütü

Bu birimi tamamlamış sayılmak için yalnızca sembolleri tanıyor olmak yeterli değildir.

Şunları yapabiliyor olmalısın:

$\neg$ , $\land$ ve $\lor$ bağlaçlarının neden gerekli olduğunu açıklayabilmek.
Her bağlacın doğruluk koşulunu kendi sözlerinle anlatabilmek.
Kapsayıcı veya ile dışlayıcı veya arasındaki farkı ayırabilmek.
Bileşik bir önermenin yapısını parçalara ayırabilmek.
İki veya üç önermeli temel doğruluk tabloları oluşturabilmek.
De Morgan yasalarını yalnızca ezberlemek değil, doğruluk koşullarından açıklayabilmek.
Mantıksal ifadeleri daha önce görmediğin yakın bir probleme uygulayabilmek.

Neden vardı?
Tek tek doğru veya yanlış ifadeler karmaşık matematiksel düşünceleri ifade etmeye yetmediği için önermeleri kesin kurallarla birleştirmeye ihtiyaç duyduk.

Ne öğrendik?
$\neg$ doğruluk değerini tersine çevirir; $\land$ iki koşulun birlikte doğru olmasını ister; $\lor$ en az bir koşulun doğru olmasını ister. Dışlayıcı $\oplus$ ise tam olarak bir koşulun doğru olmasını ister. De Morgan yasaları, değillemenin “ve” ve “veya” üzerindeki etkisini açıklar.

Neyi artık yapabiliyoruz?
Bileşik önermeleri okuyabilir, parçalara ayırabilir, doğruluk tablolarını oluşturabilir ve karmaşık ifadelerin hangi koşullarda doğru olduğunu sistematik biçimde belirleyebiliriz.

Sırada ne var?
Şimdi daha güçlü bir bağlaca geçebiliriz:

“ $P$ doğruysa $Q$ da doğru olmak zorundadır.”

Bu bizi 1.02.03 — “Eğer... ise...”: matematiksel koşul birimine götürecek.