1.02.03 — “Eğer… ise…”: Matematiksel Koşul

Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar iki temel şey öğrendik:

1.02.01 — Önerme ve matematiksel ifade: Doğru veya yanlış olabilen ifadeleri tanıdık.
1.02.02 — “Ve”, “veya”, “değil”: mantıksal bağlaçlar: Önermeleri birleştirmeyi öğrendik.

Şimdi yeni bir ilişki türüne geçiyoruz.

Bu kez iki önerme arasında yalnızca:

“İkisi de doğru mu?”

veya:

“En az biri doğru mu?”

diye sormayacağız.

Şunu ifade etmek istiyoruz:

Bir şey doğru olduğunda, başka bir şeyin de doğru olmak zorunda olduğunu nasıl söyleriz?

Bu ihtiyaç bizi matematiğin en önemli yapılarından birine götürür:

P\Rightarrow Q

Bu sembol:

“Eğer $P$ ise $Q$ .”

diye okunur.

Bu fikir daha sonra teoremlerin, ispatların, gerekli-yeterli koşulların ve matematiksel çıkarımların temel dilini oluşturacaktır.

Başlangıç problemi: Bir kural ne zaman bozulmuş olur?

Bir doğrulama sistemi

Bir sistemde şu kuralın bulunduğunu düşünelim:

Eğer bir belge onaylanmışsa, belgede doğrulama işareti bulunur.

İki önerme tanımlayalım:

$P$ : “Belge onaylanmıştır.”
$Q$ : “Belgede doğrulama işareti vardır.”

Kuralımız:

P\Rightarrow Q

olsun.

Şimdi dört ihtimali düşünelim.

Belge onaylanmış ve doğrulama işareti var.
Belge onaylanmış ama doğrulama işareti yok.
Belge onaylanmamış ama doğrulama işareti var.
Belge onaylanmamış ve doğrulama işareti yok.

Kural bu dört durumdan hangisinde kesin olarak ihlal edilmiştir?

Birinci durumda sorun yoktur:

Belge onaylanmış ve gerçekten işaret konmuştur.

İkinci durumda ise sistem açıkça kendi kuralını bozmuştur:

Belge onaylanmıştır ama olması gereken işaret yoktur.

Üçüncü durum ilk bakışta garip görünebilir.

Belge onaylanmamış fakat işaret bulunmaktadır.

Fakat başlangıçtaki kuralımız:

“İşaret yalnızca onaylanmış belgelerde bulunabilir.”

demiyordu.

Yalnızca:

“Onaylanmışsa işaret vardır.”

diyordu.

Dolayısıyla üçüncü durum tek başına bu kuralı ihlal etmez.

Dördüncü durumda da belge zaten onaylanmamıştır. Kural, onaylanmamış belgeler hakkında bize herhangi bir zorunluluk getirmemektedir.

Buradan mantıksal koşulun merkezindeki fikir ortaya çıkar.

Koşullu önermenin temel fikri

P\Rightarrow Q

önermesi yalnızca şu durumda bozulur:

P\text{ doğru},\qquad Q\text{ yanlış}.

Başka bir deyişle:

$P$ gerçekleşmesine rağmen $Q$ gerçekleşmiyorsa koşul yanlıştır.

Neden böyle bir kavrama ihtiyaç var?

Matematikte çok sık şu tür iddialarla karşılaşırız:

Bir nesne şu özelliğe sahipse başka bir özelliğe de sahiptir.

Örneğin:

Eğer bir şekil kare ise dört kenarlıdır.

Burada iki ayrı bilgiyi yalnızca yan yana koymuyoruz.

Şunu söylüyoruz:

Kare olmak, dört kenarlı olmayı zorunlu kılar.

Matematiksel teoremlerin çok büyük bir bölümü tam olarak bu yapıdadır:

\text{varsayım} \Rightarrow \text{sonuç}.

Dolayısıyla “eğer… ise…” yalnızca bir dil kalıbı değildir.

Matematiksel bilginin:

hangi koşul altında geçerli olduğunu,
hangi varsayımdan hangi sonucun çıktığını,
bir teoremin ne söylediğini,
neyi ispatlamamız gerektiğini

belirleyen temel mekanizmalardan biridir.

Eski araçlar neden yetmiyordu?

Önceki derste öğrendiğimiz bağlaçları düşünelim.

“Ve”

P\land Q

bize yalnızca $P$ ile $Q$ 'nun birlikte doğru olup olmadığını söyler.

“Veya”

P\lor Q

en az birinin doğru olup olmadığını söyler.

“Değil”

\neg P

$P$ 'nin doğruluk değerini tersine çevirir.

Fakat bunların hiçbiri doğrudan:

“ $P$ doğru olduğunda $Q$ mutlaka doğru olmalıdır.”

fikrini ifade etmez.

Bunun için yeni bir bağlaç gerekir:

\Rightarrow

Koşullu düşüncenin kısa tarihi

Koşullu akıl yürütmenin kökleri Antik Çağ'daki mantık çalışmalarına kadar gider. Özellikle önermeler arasındaki “eğer… ise…” türü ilişkiler çok erken dönemlerden itibaren tartışılmıştır.

Ancak bugün kullandığımız biçimde önermeleri sembollerle gösterip bunların doğruluk koşullarını sistematik biçimde inceleyen modern sembolik mantık, özellikle 19. yüzyılda gelişmiştir.

Dolayısıyla matematiksel koşulun tek bir “mucidi” yoktur. Kavram, uzun bir mantık geleneğinin modern matematiksel dile dönüşmüş hâlidir.

Sezgisel model: Bir garanti

$P\Rightarrow Q$ ifadesini başlangıçta şöyle düşünebiliriz:

$P$ gerçekleşirse, $Q$ için garanti veriyorum.

Bu garanti yalnızca $P$ gerçekleştiğinde sınanabilir.

$P$ gerçekleşti ve $Q$ gerçekleşmediyse garanti bozulmuştur.

$P$ hiç gerçekleşmediyse garanti henüz ihlal edilmiş değildir.

Bu zihinsel model, koşullu önermenin doğruluk tablosundaki en şaşırtıcı satırları anlamamıza yardım eder.

Biçimsel tanım

Koşullu önerme

$P$ ve $Q$ iki önerme olsun.

P\Rightarrow Q

ifadesine koşullu önerme denir ve:

“Eğer $P$ ise $Q$ .”

diye okunur.

Burada:

$P$ öncül veya ön bileşendir,
$Q$ sonuçtur.

$P\Rightarrow Q$ yalnızca $P$ doğru ve $Q$ yanlış olduğunda yanlıştır.

Diğer bütün doğruluk durumlarında doğrudur.

Doğruluk tablosu şöyledir:

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
Doğru	Doğru	Doğru
Doğru	Yanlış	Yanlış
Yanlış	Doğru	Doğru
Yanlış	Yanlış	Doğru

Bu tablonun en önemli satırı:

P=\text{Doğru},\qquad Q=\text{Yanlış}

durumudur.

Çünkü koşulun verdiği söz tam burada bozulur.

Neden $P$ yanlışken koşul doğru sayılıyor?

Bu konu ilk karşılaşmada mantığın en tuhaf noktalarından biridir.

Şöyle bir ifade düşünelim:

Eğer bir şekil kare ise dört kenarlıdır.

Şimdi önümüze bir daire koyalım.

Daire kare değildir.

Dolayısıyla öncül:

P=\text{“Şekil karedir.”}

yanlıştır.

Dairenin dört kenarı da yoktur.

Yani $Q$ da yanlıştır.

Buna rağmen:

P\Rightarrow Q

doğru kabul edilir.

Neden?

Çünkü daire, şu iddiaya karşı örnek değildir:

“Kare olan her şey dört kenarlıdır.”

Bu iddiayı çürütmek için kare olup dört kenarlı olmayan bir şekil bulmamız gerekir.

Yani koşullu önermeyi çürütecek biçim tam olarak şudur:

P\land\neg Q.

Koşulu çürüten tek durum

Bir:

P\Rightarrow Q

iddiasını çürütmek istiyorsak aradığımız şey:

P\text{ doğru ve }Q\text{ yanlış}

olan bir durumdur.

Bu daha sonra karşı örnek fikrinin mantıksal temelini oluşturacaktır.

Koşullu önerme aslında önceki bağlaçlarla yazılabilir

Burada önceki dersle önemli bir bağlantı kurabiliriz.

$P\Rightarrow Q$ 'nun yanlış olduğu tek durum:

P\land\neg Q

durumudur.

Öyleyse koşulun doğru olması:

“ $P$ doğru ve $Q$ yanlış değildir.”

demektir.

Bunu değilleyelim:

\neg(P\land\neg Q).

De Morgan yasasını kullanırsak:

\neg P\lor Q

elde ederiz.

Koşullu önermenin eşdeğer biçimi

P\Rightarrow Q

ile:

\neg P\lor Q

aynı doğruluk değerlerine sahiptir.

Dolayısıyla:

\boxed{P\Rightarrow Q\equiv\neg P\lor Q}

yazabiliriz.

Doğruluk tablosuyla kontrol edelim:

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg P\lor Q$	$P\Rightarrow Q$
D	D	Y	D	D
D	Y	Y	Y	Y
Y	D	D	D	D
Y	Y	D	D	D

Burada D doğruyu, Y yanlışı gösterir.

İki son sütun tamamen aynıdır.

Bu nedenle iki ifade mantıksal olarak eşdeğerdir.

Koşul nedensellik demek değildir

Matematiksel:

P\Rightarrow Q

ifadesi mutlaka:

“ $P$ , $Q$ 'ya sebep olur.”

anlamına gelmez.

Koşullu önerme öncelikle mantıksal bir ilişki ifade eder.

Örneğin bir geometrik özelliğin başka bir özelliği zorunlu kılması, fiziksel anlamda birinin diğerine “sebep olduğu” anlamına gelmez.

Bu nedenle gündelik dildeki “eğer” ile matematiksel “eğer… ise…” her zaman tamamen aynı biçimde yorumlanmamalıdır.

Bir teoremin anatomisi

Matematikte çok sayıda teorem şu biçimdedir:

P\Rightarrow Q.

Burada:

P=\text{varsayım}

ve:

Q=\text{sonuç}

olarak düşünülebilir.

Kare örneği

Şu ifadeyi ele alalım:

Eğer bir şekil kare ise dört kenarlıdır.

Tanımlayalım:

$P$ : “Şekil karedir.”
$Q$ : “Şekil dört kenarlıdır.”

İfadenin mantıksal yapısı:

P\Rightarrow Q

olur.

Burada kare olmak varsayım, dört kenarlı olmak sonuçtur.

İleride bir teoremi ispatlarken temel görevimiz çoğu zaman şuna dönüşecektir:

$P$ 'yi doğru kabul ederek $Q$ 'nun neden zorunlu olduğunu göstermek.

Bu, doğrudan ispatın temel yapısıdır.

Aynı iki önermeden dört farklı koşul

$P\Rightarrow Q$ ifadesindeki yön son derece önemlidir.

Okun yönünü değiştirirsek aynı şeyi söylemiş olmayız.

Başlangıç ifademiz:

P\Rightarrow Q

olsun.

Bundan üç yeni ifade oluşturabiliriz.

Tersi

Q\Rightarrow P

ifadesine başlangıçtaki koşullu önermenin tersi denir.

Karşıtı

\neg P\Rightarrow\neg Q

ifadesine başlangıçtaki koşullu önermenin karşıtı denir.

Karşıt tersi

\neg Q\Rightarrow\neg P

ifadesine başlangıçtaki koşullu önermenin karşıt tersi denir.

Yapıyı birlikte görelim:

Bir koşullu önermeden türeyen ifadeler

                  P ⇒ Q
                    │
        ┌───────────┼───────────┐
        │           │           │
        ▼           ▼           ▼
      Q ⇒ P      ¬P ⇒ ¬Q     ¬Q ⇒ ¬P
       tersi       karşıtı    karşıt tersi

P ise Q önermesinden tersi Q ise P, karşıtı P değilse Q değil ve karşıt tersi Q değilse P değil biçiminde oluşturulur.

Bu dört ifadeyi birbirinden ayırabilmek çok önemlidir.

Tersi neden aynı şey değildir?

Başlangıç önermemiz yine:

Eğer bir şekil kare ise dört kenarlıdır.

olsun.

P\Rightarrow Q

Bunun tersi:

Eğer bir şekil dört kenarlı ise karedir.

olur:

Q\Rightarrow P.

Fakat bu doğru değildir.

Dikdörtgen gibi dört kenarlı olup kare olmayan şekiller vardır.

Tersinin yanlış olabileceği bir örnek

Başlangıç:

Kare $\Rightarrow$ dört kenarlı.

doğrudur.

Fakat:

Dört kenarlı $\Rightarrow$ kare.

yanlıştır.

Dolayısıyla:

P\Rightarrow Q

doğru olsa bile:

Q\Rightarrow P

doğru olmak zorunda değildir.

Bu, matematikte çok önemli bir düşünme alışkanlığıdır:

Bir ilişkiyi ters yönde okumaya hakkımız olduğunu ayrıca göstermemiz gerekir.

Karşıt tersi neden özeldir?

Şimdi başlangıç önermemizin karşıt tersini yazalım.

Başlangıç:

Eğer şekil kare ise dört kenarlıdır.

Karşıt tersi:

Eğer şekil dört kenarlı değilse kare değildir.

Bu ifade de doğrudur.

Aslında burada tesadüf yoktur.

$P\Rightarrow Q$ ile:

\neg Q\Rightarrow\neg P

her zaman aynı doğruluk değerine sahiptir.

Bunu tabloyla görelim:

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$	$Q\Rightarrow P$	$\neg P\Rightarrow\neg Q$	$\neg Q\Rightarrow\neg P$
D	D	D	D	D	D
D	Y	Y	D	D	Y
Y	D	D	Y	Y	D
Y	Y	D	D	D	D

İki önemli örüntü görülüyor:

\boxed{P\Rightarrow Q\equiv\neg Q\Rightarrow\neg P}

ve ayrıca:

\boxed{Q\Rightarrow P\equiv\neg P\Rightarrow\neg Q}.

En önemli eşdeğerlik

Bir koşullu önerme ile onun karşıt tersi mantıksal olarak eşdeğerdir:

P\Rightarrow Q \quad\Longleftrightarrow\quad \neg Q\Rightarrow\neg P.

Bu nedenle ileride bazı teoremleri doğrudan ispatlamak yerine karşıt terslerini ispatlayabileceğiz.

Dört ifadeyi ezberlemek yerine nasıl kurarız?

Ezberlemek yerine iki işlem düşünelim.

Başlangıç:

P\Rightarrow Q

Yönü değiştir

Q\Rightarrow P

Bu tersidir.

İki tarafı da değille

\neg P\Rightarrow\neg Q

Bu karşıtıdır.

Hem yönü değiştir hem iki tarafı değille

\neg Q\Rightarrow\neg P

Bu karşıt tersidir.

Böylece isimleri unutursak bile yapıları yeniden kurabiliriz.

Gerekli ve yeterli koşul

Koşullu önermenin en önemli yorumlarından biri burada ortaya çıkar.

Elimizde:

P\Rightarrow Q

olsun.

Bu ifade:

$P$ gerçekleşirse $Q$ garanti edilir.

diyor.

O hâlde $P$ , $Q$ 'yu elde etmek için yeterlidir.

Yeterli koşul

P\Rightarrow Q

ise:

$P$ , $Q$ için yeterli koşuldur.

Çünkü $P$ 'nin doğru olması $Q$ 'nun doğru olmasını garanti eder.

Aynı ilişkiye diğer taraftan bakalım.

$P$ gerçekleşebilmek için $Q$ mutlaka bulunmalıdır.

Çünkü $P$ doğru olup $Q$ yanlış olamaz.

Gerekli koşul

P\Rightarrow Q

ise:

$Q$ , $P$ için gerekli koşuldur.

Başka bir deyişle, $Q$ olmadan $P$ gerçekleşemez.

Kare ve dört kenar

P=\text{“Şekil karedir.”}

Q=\text{“Şekil dört kenarlıdır.”}

ve:

P\Rightarrow Q.

Buna göre:

Kare olmak, dört kenarlı olmak için yeterlidir.
Dört kenarlı olmak, kare olmak için gereklidir.

Fakat dört kenarlı olmak kare olmak için yeterli değildir.

Çünkü kare olmayan dört kenarlı şekiller bulunabilir.

Bu ayrımı kısa bir cümlede toplayabiliriz:

\boxed{ P\Rightarrow Q }

ise:

\boxed{ P\text{ yeterli},\qquad Q\text{ gerekli}. }

“Gerekli” neden “yeterli” demek değildir?

Bu iki kavram günlük dilde kolayca karışabilir.

Bir koşul gerekli olabilir ama tek başına sonucu üretmeye yetmeyebilir.

Kare örneğine dönelim.

Bir şeklin kare olabilmesi için dört kenarlı olması gerekir.

Dolayısıyla:

Dört kenarlı olmak, kare olmak için gereklidir.

Fakat yalnızca:

“Bu şeklin dört kenarı var.”

bilgisi bize onun kare olduğunu söylemez.

Başka koşullara da ihtiyacımız vardır.

Dolayısıyla:

Gerekli olmak, yeterli olmak değildir.

Aynı şekilde bir koşul yeterli olabilir fakat gerekli olmayabilir.

Bir sonuca ulaşmanın birden fazla yolu olabilir.

“Ancak ve ancak”: İki yön birden

Bazen yalnızca:

P\Rightarrow Q

değil, aynı zamanda:

Q\Rightarrow P

de doğrudur.

Yani $P$ ile $Q$ birbirlerini karşılıklı olarak zorunlu kılar.

Bu durumda:

P\Leftrightarrow Q

yazarız.

Ancak ve ancak

P\Leftrightarrow Q

ifadesi:

“ $P$ , ancak ve ancak $Q$ ise.”

diye okunur.

Anlamı:

(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow P)

olmasıdır.

Dolayısıyla:

\boxed{ P\Leftrightarrow Q \equiv (P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow P) }

olur.

Başka bir ifadeyle iki yönü de ayrı ayrı doğrulamamız gerekir.

Gerekli ve yeterli koşul birlikte

Eğer:

P\Leftrightarrow Q

ise artık:

$P$ , $Q$ için yeterlidir,
$P$ , $Q$ için gereklidir.

Aynı şekilde:

$Q$ , $P$ için yeterlidir,
$Q$ , $P$ için gereklidir.

Bu nedenle:

Gerekli ve yeterli koşul

P\Leftrightarrow Q

olması:

$P$ , $Q$ için gerekli ve yeterli koşuldur.

demektir.

“Ancak ve ancak” matematikte özellikle tanımlarda ve karakterizasyonlarda çok önemlidir.

Çünkü yalnızca:

“Bu özellik varsa şu sonuç çıkar.”

demek yerine:

“Bu iki özellik tam olarak birbirini belirler.”

demiş oluruz.

“Eğer” ile “ancak ve ancak” arasındaki fark

Şu iki cümle aynı değildir:

Tek yön

Eğer bir şekil kare ise dört kenarlıdır.

\text{kare}\Rightarrow\text{dört kenarlı}

Çift yön

Bir şekil ancak ve ancak kareyse dört kenarlıdır.

Bu ikinci ifade:

\text{kare}\Leftrightarrow\text{dört kenarlı}

demiş olurdu ve yanlıştır.

Çünkü dört kenarlı olmak kare olmak için yeterli değildir.

Çok sık yapılan hata

Bir:

P\Rightarrow Q

ifadesini otomatik olarak:

P\Leftrightarrow Q

gibi okumayın.

Tek yönlü bir koşul bize yalnızca bir yön hakkında bilgi verir.

Ters yön ayrıca gösterilmelidir.

Koşullu önerme bize ne söylemez?

$P\Rightarrow Q$ ifadesini doğru yorumlamak için ne söylemediğini de bilmeliyiz.

1. $P$ 'nin gerçekten doğru olduğunu söylemez

P\Rightarrow Q

yalnızca:

“ $P$ doğru olursa ne olur?”

sorusuna cevap verir.

$P$ 'nin gerçekten gerçekleştiğini ayrıca bilmemiz gerekir.

2. $Q$ doğruysa $P$ 'nin doğru olduğunu söylemez

Bu:

Q\Rightarrow P

olurdu ve başlangıç önermesinin tersidir.

3. $P$ yanlışsa $Q$ 'nun yanlış olduğunu söylemez

Bu:

\neg P\Rightarrow\neg Q

olurdu ve başlangıç önermesinin karşıtıdır.

4. Sebep-sonuç ilişkisi olmak zorunda değildir

Koşul mantıksal zorunluluk ifade eder; fiziksel nedensellik şart değildir.

Bir bilgiden ne çıkarabiliriz?

Elimizde:

P\Rightarrow Q

bulunsun.

Ayrıca $P$ 'nin doğru olduğunu öğrenelim.

Koşul gereği $Q$ da doğru olmalıdır.

Fakat yalnızca $Q$ 'nun doğru olduğunu öğrenirsek $P$ hakkında henüz kesin bir sonuca varamayız.

Çünkü $Q$ 'nun doğru olmasının başka yolları bulunabilir.

Bu düşünceyi ileride geçerli çıkarım kuralları dersinde sistematik hâle getireceğiz.

Bir koşullu iddiayı nasıl çürütürüz?

Bu konu matematiksel ispat açısından son derece önemlidir.

Birisi:

P\Rightarrow Q

iddiasında bulunuyorsa onu çürütmek için yüzlerce farklı durum incelememiz gerekmez.

Tek bir şey bulmamız yeterlidir:

P\text{ doğru},\qquad Q\text{ yanlış}.

Koşullu iddia için karşı örnek

Bir:

P\Rightarrow Q

iddiasına karşı örnek, $P$ 'nin doğru fakat $Q$ 'nun yanlış olduğu bir durumdur.

Örneğin şu iddia:

“Eğer bir şeklin dört kenarı varsa karedir.”

yanlıştır.

Çünkü:

dört kenarlı,
fakat kare olmayan

tek bir şekil bulmamız iddiayı çürütmeye yeter.

Bu fikir ileride matematiksel ispatın temel araçlarından biri olacaktır.

Koşulun dildeki farklı görünümleri

Aynı:

P\Rightarrow Q

ilişkisi farklı cümlelerle ifade edilebilir.

Örneğin:

Eğer $P$ ise $Q$ .

ile:

$P$ , $Q$ için yeterlidir.

ve:

$Q$ , $P$ için gereklidir.

aynı mantıksal yönü anlatır:

P\Rightarrow Q.

Bu nedenle matematiksel metin okurken yalnızca “eğer” kelimesini aramamak gerekir.

Asıl soru şudur:

Hangi bilgi hangisini zorunlu kılıyor?

Neden karşıt ters ispatlarda bu kadar önemli olacak?

Bir teorem:

P\Rightarrow Q

biçimindeyse onu doğrudan ispatlamamız gerektiğini düşünebiliriz.

Fakat az önce gördük:

P\Rightarrow Q \equiv \neg Q\Rightarrow\neg P.

Dolayısıyla bazen:

$P$ 'den başlayıp $Q$ 'ya ulaşmak

zor olabilirken:

$Q$ 'nun yanlış olduğunu varsayıp $P$ 'nin de yanlış olmak zorunda olduğunu göstermek

çok daha kolay olabilir.

İleride: karşıt ters ile ispat

Bu birimde yalnızca mantıksal eşdeğerliği kuruyoruz:

P\Rightarrow Q \equiv \neg Q\Rightarrow\neg P.

Daha sonra 1.06.04 — Karşıt ters ile ispat biriminde bu eşdeğerliği gerçek teoremleri kanıtlamak için kullanacağız.

Nerelerde kullanılır?

Matematikte

Teoremlerin çok büyük bölümü koşullu biçimde okunabilir:

\text{varsayım}\Rightarrow\text{sonuç}.

Bu nedenle koşullu önerme:

teorem okumada,
ispat yazmada,
tanımları çözümlemede,
gerekli ve yeterli koşulları belirlemede,
karşı örnek oluşturmada

temel araçtır.

Bilgisayar biliminde

Yazılım sistemlerinde:

“Bu koşul sağlanırsa şu işlem yapılmalıdır.”

türündeki kurallar çok yaygındır.

Ayrıca yazılım doğrulama ve sistem gereksinimlerinde:

“Bu durum oluştuğunda şu özellik mutlaka sağlanmalıdır.”

şeklindeki mantıksal koşullar kullanılır.

Matematiksel koşul ile programlama dillerindeki if komutu aynı şey değildir; fakat ikisinin arkasında da koşula bağlı davranış fikri vardır.

Mühendislik ve sistem tasarımında

Bir sistem için:

“Basınç bu sınırı aşarsa güvenlik valfi açılmalıdır.”

gibi bir şart verildiğinde sistemin tasarımını test etmek için yine aynı düşünceyi kullanırız:

Koşul gerçekleştiğinde beklenen sonuç gerçekleşiyor mu?

Bu, $P\Rightarrow Q$ yapısının gerçek sistemlerdeki doğal karşılıklarından biridir.

Gündelik düşünmede

Gündelik tartışmalarda da sık sık bir koşulun tersini yanlışlıkla doğru kabul ederiz.

Örneğin:

“Yağmur yağarsa yol ıslanır.”

ifadesinden:

“Yol ıslaksa yağmur yağmıştır.”

sonucunu doğrudan çıkarmak doğru değildir.

Yol başka bir nedenle de ıslanmış olabilir.

Koşullu mantık, bu tür hataları fark etmemize yardım eder.

En önemli ayrımlar

Aşağıdaki tabloyu ezberlenecek bir formül listesi olarak değil, aynı iki önerme arasındaki yön ilişkilerini karşılaştırmak için kullan:

İfade	Biçim
Koşullu önerme	$P\Rightarrow Q$
Tersi	$Q\Rightarrow P$
Karşıtı	$\neg P\Rightarrow\neg Q$
Karşıt tersi	$\neg Q\Rightarrow\neg P$
Ancak ve ancak	$P\Leftrightarrow Q$

Ve temel eşdeğerlik:

\boxed{ P\Rightarrow Q \equiv \neg Q\Rightarrow\neg P }

Buna karşılık genel olarak:

P\Rightarrow Q \not\equiv Q\Rightarrow P.

Bir teoremi okurken soracağımız dört soru

Bundan sonra:

Eğer $P$ ise $Q$ .

biçiminde bir matematik cümlesi gördüğünde şu dört soruyu sor:

Öncül nedir?
- Hangi bilgi başlangıçta kabul ediliyor?
Sonuç nedir?
- Hangi bilgi çıkarılıyor?
Yön ters çevrilebilir mi?
- $Q\Rightarrow P$ de doğru mu?
Koşulların rolü nedir?
- Hangisi gerekli?
- Hangisi yeterli?

Bu dört soru ileride teorem okuma alışkanlığının temelini oluşturacaktır.

Neden vardı?

“Ve”, “veya” ve “değil” bağlaçları iki önerme arasındaki:

“Biri doğru olduğunda diğeri zorunlu mudur?”

ilişkisini tek başına ifade etmiyordu.

Bu nedenle:

P\Rightarrow Q

koşullu önerme yapısına ihtiyaç duyduk.

Ne öğrendik?

Bir:

P\Rightarrow Q

önermesi yalnızca:

P\text{ doğru},\quad Q\text{ yanlış}

durumunda yanlıştır.

Ayrıca:

P\Rightarrow Q \equiv \neg P\lor Q

ve:

P\Rightarrow Q \equiv \neg Q\Rightarrow\neg P.

Başlangıç önermesinin:

tersi: $Q\Rightarrow P$ ,
karşıtı: $\neg P\Rightarrow\neg Q$ ,
karşıt tersi: $\neg Q\Rightarrow\neg P$

biçimindedir.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir teoremde varsayım ile sonucu ayırabilir ve:

P\Rightarrow Q

için:

$P$ 'nin yeterli,
$Q$ 'nun gerekli

koşul olduğunu belirleyebiliriz.

İki yön de doğruysa:

P\Leftrightarrow Q

yazar ve gerekli ve yeterli koşuldan söz ederiz.

Sırada ne var?

Şimdiye kadar belirli önermeler arasında ilişkiler kurduk.

Fakat matematikte çoğu zaman:

“Her sayı için…”

veya:

“En az bir nesne vardır ki…”

gibi ifadeler kullanırız.

Bir sonraki birimde bu dilin matematiksel karşılığını kuracağız:

1.02.04 — Niceleyiciler: “her” ve “en az bir”.

Öğrenme kontrolü

Soruların cevaplarına hemen bakmak yerine önce kendi gerekçeni oluşturmaya çalış.

Kavrama

$P\Rightarrow Q$ önermesinin yanlış olması için $P$ ve $Q$ 'nun doğruluk değerleri nasıl olmalıdır? Bunu yalnızca tabloyu ezberleyerek değil, “verilen sözün bozulması” fikriyle açıkla.
Neden $P$ yanlış olduğunda $P\Rightarrow Q$ koşulu doğrudan çürütülmüş sayılmaz?
“Gerekli koşul” ile “yeterli koşul” arasındaki farkı kendi oluşturduğun bir örnekle açıkla.

Teknik

Şu önerme için $P$ ve $Q$ 'yu belirle:

Eğer bir şekil kare ise dört kenarlıdır.

Ardından:
- tersini,
- karşıtını,
- karşıt tersini
sözel olarak yaz.
Aşağıdaki doğruluk değerleri için $P\Rightarrow Q$ 'nun doğruluk değerini belirle:

$P$ $Q$
Doğru Yanlış
Yanlış Doğru
Yanlış Yanlış

$P$	$Q$
Doğru	Yanlış
Yanlış	Doğru
Yanlış	Yanlış

Gerekçelendirme

Neden:
$P\Rightarrow Q$
ile:
$Q\Rightarrow P$
genel olarak eşdeğer değildir?

Bir karşı örnek üret.
Doğruluk tablosu kullanarak:
$P\Rightarrow Q$
ile:
$\neg Q\Rightarrow\neg P$
ifadelerinin neden eşdeğer olduğunu göster.

Transfer

Bir sistemin kuralı şu olsun:

Eğer bir kullanıcı hesabı doğrulanmışsa, doğrulama kaydı bulunmalıdır.

Aşağıdaki dört kullanıcı durumundan hangisinin kuralı kesin olarak ihlal ettiğini belirle:
- hesap doğrulanmış, kayıt var;
- hesap doğrulanmış, kayıt yok;
- hesap doğrulanmamış, kayıt var;
- hesap doğrulanmamış, kayıt yok.
Ardından neden yalnızca seçtiğin durumun koşullu önermeyi çürüttüğünü açıkla.
Şu bilgiyi düşün:

“ $P$ , $Q$ için yeterlidir.”

Bunu:
- koşullu önerme sembolüyle,
- “gerekli koşul” diliyle,
- karşıt ters biçiminde
yeniden ifade et.

Birimin tamamlanma ölçütü

Bu birim, yalnızca doğruluk tablosunu ezberlediğinde tamamlanmış sayılmaz.

Şunları yapabiliyor olmalısın:

$P\Rightarrow Q$ içinde öncül ile sonucu ayırmak,
koşullu önermenin neden yalnızca $P$ doğru ve $Q$ yanlışken bozulduğunu açıklamak,
ters, karşıt ve karşıt tersi birbirinden ayırmak,
$P\Rightarrow Q$ ile karşıt tersinin neden eşdeğer olduğunu görmek,
gerekli ve yeterli koşulu doğru yönde ifade etmek,
$P\Leftrightarrow Q$ ifadesinin iki ayrı koşullu önerme içerdiğini açıklamak,
bir koşullu iddiaya karşı örneğin nasıl bulunacağını belirlemek.

Bunları yapabiliyorsan artık “eğer… ise…” ifadesini gündelik bir cümle kalıbı olarak değil, matematiksel sonuçların yönünü belirleyen mantıksal bir yapı olarak okuyabiliyorsun.

1.02.03 — “Eğer… ise…”: Matematiksel Koşul

Haritadaki yerimiz

Başlangıç problemi: Bir kural ne zaman bozulmuş olur?

Neden böyle bir kavrama ihtiyaç var?

Eski araçlar neden yetmiyordu?

“Ve”

“Veya”

“Değil”

Sezgisel model: Bir garanti

Biçimsel tanım

Neden PPP yanlışken koşul doğru sayılıyor?

Koşullu önerme aslında önceki bağlaçlarla yazılabilir

Bir teoremin anatomisi

Aynı iki önermeden dört farklı koşul

Tersi neden aynı şey değildir?

Karşıt tersi neden özeldir?

Dört ifadeyi ezberlemek yerine nasıl kurarız?

Yönü değiştir

İki tarafı da değille

Hem yönü değiştir hem iki tarafı değille

Gerekli ve yeterli koşul

“Gerekli” neden “yeterli” demek değildir?

“Ancak ve ancak”: İki yön birden

Gerekli ve yeterli koşul birlikte

“Eğer” ile “ancak ve ancak” arasındaki fark

Tek yön

Çift yön

Koşullu önerme bize ne söylemez?

1. PPP'nin gerçekten doğru olduğunu söylemez

2. QQQ doğruysa PPP'nin doğru olduğunu söylemez

3. PPP yanlışsa QQQ'nun yanlış olduğunu söylemez

4. Sebep-sonuç ilişkisi olmak zorunda değildir

Bir koşullu iddiayı nasıl çürütürüz?

Koşulun dildeki farklı görünümleri

Neden karşıt ters ispatlarda bu kadar önemli olacak?

Nerelerde kullanılır?

En önemli ayrımlar

Bir teoremi okurken soracağımız dört soru

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

Birimin tamamlanma ölçütü

Neden $P$ yanlışken koşul doğru sayılıyor?

1. $P$ 'nin gerçekten doğru olduğunu söylemez

2. $Q$ doğruysa $P$ 'nin doğru olduğunu söylemez

3. $P$ yanlışsa $Q$ 'nun yanlış olduğunu söylemez