1.02.04 — Niceleyiciler: “her” ve “en az bir”

Birim kartı

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.02 — Matematiksel Dil ve Mantık
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar: 1.02.01–1.02.03

Temel soru:

Sonsuz sayıda nesne hakkında tek bir matematiksel cümleyle nasıl konuşabiliriz?

Bu birimin sonunda: Sözel matematik ifadelerini niceleyicilerle yazabilecek, sembolik niceleyicili ifadeleri okuyabilecek ve özellikle iç içe niceleyicilerde sıranın neden anlamı değiştirdiğini açıklayabileceğiz.

1. Başlangıç problemi: tek tek söylemek zorunda mıyız?

Önceki birimlerde önermeleri ve mantıksal bağlaçları öğrendik.

Örneğin:

“2 çift sayıdır.”
“4 çift sayıdır.”
“6 çift sayıdır.”

bunların her biri ayrı bir önermedir.

Şimdi daha büyük bir iddiada bulunmak istediğimizi düşünelim:

Her çift sayı 2'ye tam bölünür.

Burada artık tek bir sayıdan söz etmiyoruz.

Bütün çift sayıları aynı anda kapsayan bir iddia ortaya koyuyoruz.

Sorun

Bunu önceki araçlarımızla yazmaya çalışırsak ne yapacağız?

İlk birkaç sayı için şöyle yazabiliriz:

P(2)\land P(4)\land P(6)\land P(8)\land\cdots

Fakat sayıların devamı bitmiyorsa bu listeyi tamamlayamayız.

Matematikte:

“Bu özellik konuştuğumuz bütün nesneler için geçerlidir.”

veya:

“Bu özelliğe sahip en az bir nesne vardır.”

demeyi sağlayacak yeni bir dil aracına ihtiyacımız var.

İşte niceleyiciler (quantifiers) bu ihtiyaca cevap verir.

2. Eski araç neden yetmedi?

1.02.02'de öğrendiğimiz ve ve veya, elimizdeki belirli önermeleri birbirine bağlayabiliyordu.

Örneğin:

P\land Q

iki belirli önermenin birlikte doğru olduğunu söyler.

Ama matematikte çoğu iddia yalnızca iki veya üç belirli nesne hakkında değildir.

Şunlara benzer cümleler sürekli karşımıza çıkar:

Her sayı için...
Her üçgen için...
Bütün fonksiyonlar için...
En az bir sayı vardır ki...
Bir nokta vardır ki...
Bir çözüm vardır ki...

Burada konuştuğumuz nesnelerin sayısı yüzlerce, milyarlarca hatta sonsuz olabilir.

Yeni ihtiyaç

Niceleyiciler, tek tek saymak yerine bir değişkenin kaç farklı olası değeri hakkında iddiada bulunduğumuzu belirtir.

İki temel niceleyici vardır:

her / bütün: $\forall$
en az bir / vardır: $\exists$

Bu iki küçük sembol matematiksel dilin en güçlü araçlarından ikisidir.

3. Tarihsel gelişim

“Her”, “bazı” ve “vardır” gibi düşünceler matematikten çok daha eskidir ve klasik mantıkta yüzyıllar boyunca sözel biçimde kullanılmıştır.

Fakat matematik giderek daha soyut ve karmaşık hâle geldikçe bu ifadelerin kesin bir sembolik dile dönüştürülmesi önem kazandı.

yüzyılın sonlarında gelişen modern matematiksel mantıkta, özellikle Gottlob Frege'nin çalışmalarıyla, değişkenler üzerinde “bütün nesneler için” ve “bir nesne vardır” türündeki ifadeler biçimsel mantığın merkezi parçaları hâline geldi.

Daha sonraki sembolik mantık geleneğinde bugün kullandığımız $\forall$ ve $\exists$ gösterimleri standartlaştı.

Buradaki asıl tarihsel kırılma sembollerin şekli değildir.

Önemli fikir şudur:

Bir matematiksel iddiada hangi değişken hakkında, hangi nesneler arasında ve kaç tanesi için konuştuğumuzu açık biçimde belirtmek.

Bu fikir modern mantığın, ispat teorisinin ve matematiğin biçimsel dilinin temel parçalarından biri oldu.

4. Önce açık önermeyi hatırlayalım

1.02.01'de açık önerme fikrini görmüştük.

Örneğin:

P(x):\quad x\text{ çift sayıdır.}

Burada $x$ 'in ne olduğunu bilmiyoruz.

Bu yüzden:

“ $x$ çift sayıdır.”

tek başına henüz doğru veya yanlış diyebileceğimiz tamamlanmış bir önerme değildir.

$x=4$ dersek:

P(4)

ve:

“4 çift sayıdır.”

önermesini elde ederiz.

Ama $x$ için belirli bir değer seçmek zorunda değiliz.

Bunun yerine bütün olası $x$ 'ler hakkında veya en az bir $x$ hakkında konuşabiliriz.

İşte niceleyici burada devreye girer.

5. Sezgi: niceleyiciler neyi ölçüyor?

“Niceleyici” sözcüğündeki fikir kabaca nicelik ile ilgilidir.

Bir özelliğin:

bütün nesnelerde mi,
yoksa en az bir nesnede mi

bulunduğunu söylüyoruz.

İki temel niceleyici

Konuştuğumuz nesneler
        │
        ├── Hepsi özelliği sağlıyor mu?
        │           │
        │           └── ∀
        │
        └── En az biri özelliği sağlıyor mu?
                    │
                    └── ∃

Evrensel niceleyici bütün nesnelerin özelliği sağlamasını, varoluş niceleyicisi ise en az bir nesnenin özelliği sağlamasını ister.

Bu iki soru birbirine benzer görünür ama matematiksel güçleri oldukça farklıdır.

6. Evrensel niceleyici: $\forall$

Evrensel niceleyici

\forall x\,P(x)

ifadesi:

Konuştuğumuz bütün $x$ 'ler için $P(x)$ doğrudur.

anlamına gelir.

$\forall$ sembolü genellikle:

“her”,
“bütün”,
“herhangi bir”,
“her ... için”

diye okunur.

Örneğin konuşma evrenimiz:

1,2,3,4

sayılarından oluşsun.

$P(x)$ :

“ $x$ , 5'ten küçüktür.”

olsun.

O zaman:

\forall x\,P(x)

şunu söyler:

1, 2, 3 ve 4'ün her biri 5'ten küçüktür.

Dolayısıyla ifade doğrudur.

7. Evrensel niceleyiciyi `ve` ile anlamak

Sonlu bir konuşma evrenimiz olduğunu düşünelim:

1,2,3

Bu durumda:

\forall x\,P(x)

aslında şu iddianın kısa biçimi gibi düşünülebilir:

P(1)\land P(2)\land P(3)

Yani:

Hepsinin doğru olması gerekir.

$\forall$ için zihinsel model

Sonlu durumlarda $\forall$ niceleyicisini çok büyük bir “ve” işlemi gibi düşünebiliriz.

\forall x\,P(x)

fikri:

P(1)\land P(2)\land P(3)\land\cdots

düşüncesini genelleştirir.

Bu bir biçimsel tanımdan çok yararlı bir zihinsel modeldir.

Bunun önemli bir sonucu vardır:

Evrensel bir iddiayı bozmak için tek bir başarısız nesne yeterlidir.

Bu fikir sonraki birimde karşı örnek kavramının mantıksal temelini oluşturacak.

8. Varoluş niceleyicisi: $\exists$

İkinci temel ihtiyacımız:

“Hepsi değil; ama bunu sağlayan en az bir tane var.”

demektir.

Varoluş niceleyicisi

\exists x\,P(x)

ifadesi:

En az bir $x$ vardır ve bu $x$ için $P(x)$ doğrudur.

anlamına gelir.

$\exists$ sembolü genellikle:

“bir ... vardır”,
“en az bir ... vardır”,
“öyle bir ... vardır ki”

şeklinde okunur.

Örneğin yine:

1,2,3,4

sayıları hakkında konuşalım.

$P(x)$ :

“ $x$ çift sayıdır.”

olsun.

Bu durumda:

\exists x\,P(x)

doğrudur.

Çünkü örneğin:

x=2

özelliği sağlar.

Ayrıca $x=4$ de sağlar.

Ama buna ihtiyacımız yoktur.

$\exists$ :

tam bir tane

demek değildir.

Sadece:

en az bir tane

demektir.

Bir tane de olabilir, iki tane de, yüz tane de.

9. Varoluş niceleyicisini `veya` ile anlamak

Konuşma evrenimiz yine:

1,2,3

olsun.

Bu durumda:

\exists x\,P(x)

şu fikirle ilişkilendirilebilir:

P(1)\lor P(2)\lor P(3)

En az birinin doğru olması yeterlidir.

$\exists$ için zihinsel model

Sonlu durumlarda $\exists$ niceleyicisini büyük bir “veya” işlemi gibi düşünebiliriz.

\exists x\,P(x)

için bütün adayları kontrol ettiğimizde en az bir başarılı örnek bulmamız yeterlidir.

Bu başarılı örneğe ileride sık sık tanık (witness) denildiğini göreceğiz.

Örneğin:

\exists x\;(x+3=7)

iddiasını göstermek için:

x=4

değerini vermek yeterlidir.

Çünkü:

4+3=7.

10. $\forall$ ile $\exists$ arasındaki temel fark

İki ifadeyi karşılaştıralım.

Birinci ifade

\forall x\,P(x)

Her $x$ için $P(x)$ doğrudur.

Burada tek bir başarısız örnek bütün iddiayı bozar.

İkinci ifade

\exists x\,P(x)

En az bir $x$ için $P(x)$ doğrudur.

Burada tek bir başarılı örnek bütün iddiayı doğrulamaya yeter.

Evrensel ve varoluşsal iddiaların yükü

∀ : HER
──────────────
x₁  ✓
x₂  ✓
x₃  ✓
x₄  ✓
...
Hepsi gerekli.


∃ : EN AZ BİR
──────────────
x₁  ✗
x₂  ✗
x₃  ✓  ← yeter
x₄  ?
...
Bir tanesi yeter.

Evrensel iddiada bütün adayların başarılı olması gerekir; varoluşsal iddiada bir başarılı aday yeterlidir.

Bu fark ispat yaparken son derece önemlidir.

11. Konuşma evreni: “her şey” derken neyin her biri?

Şu ifadeyi düşünelim:

\forall x\;(x<10)

Bu doğru mu?

Cevap veremeyiz.

Çünkü $x$ 'in hangi nesneler arasından seçildiğini bilmiyoruz.

Eğer konuştuğumuz sayılar:

1,2,3

ise ifade doğrudur.

Ama konuştuğumuz sayılar:

1,2,20

ise yanlıştır.

Konuşma evreni

Bir niceleyicinin değişkeninin hangi nesneler arasından değer alabileceğini belirleyen alana konuşma evreni veya domain denir.

Niceleyicili bir ifadenin anlamını belirlemek için bu alanın bilinmesi gerekir.

Bu nedenle:

“Her $x$ için...”

ifadesi gerçekte:

“Konuştuğumuz evrendeki her $x$ için...”

anlamındadır.

12. Koşullu evrensel ifadeler

Matematikte çok sık şu tür cümlelerle karşılaşırız:

Her çift sayı 2'ye bölünür.

Bu:

“Evrendeki her nesne hem çift hem de 2'ye bölünür.”

demek değildir.

Asıl söylenen:

“Bir nesne çift ise, 2'ye bölünür.”

şeklindedir.

1.02.03'te öğrendiğimiz koşullu ifadeyi kullanırız:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x)).

Burada:

$P(x)$ : “ $x$ çifttir.”
$Q(x)$ : “ $x$ 2'ye tam bölünür.”

Çok önemli çeviri kalıbı

“Her $P$ , $Q$ 'dur.”

genellikle:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

biçimindedir.

13. “En az bir” ifadelerinde bağlaç neden değişiyor?

Şimdi:

En az bir öğrenci gözlüklüdür.

diyelim.

Burada aradığımız kişi:

öğrenci olmalı,
gözlüklü olmalı.

Yani aynı kişinin iki özelliği birlikte taşımasını istiyoruz.

Bu nedenle yapı:

\exists x\;(P(x)\land Q(x))

olur.

Burada:

$P(x)$ : “ $x$ öğrencidir.”
$Q(x)$ : “ $x$ gözlüklüdür.”

İkinci önemli çeviri kalıbı

“En az bir $P$ , $Q$ 'dur.”

genellikle:

\exists x\;(P(x)\land Q(x))

biçimindedir.

Bu iki yapı birlikte çok önemlidir:

\boxed{ \begin{aligned} \text{Her }P\text{, }Q\text{'dur} &\quad\longrightarrow\quad \forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x)) \\[4pt] \text{En az bir }P\text{, }Q\text{'dur} &\quad\longrightarrow\quad \exists x\;(P(x)\land Q(x)) \end{aligned} }

14. Niceleyicinin etki alanı

Niceleyicinin hangi kısmı yönettiğini bilmemiz gerekir.

Örneğin:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

ifadesinde $\forall x$ , parantez içindeki bütün ifadeyi yönetir:

P(x)\Rightarrow Q(x).

Buna niceleyicinin etki alanı (scope) denir.

Niceleyicinin etki alanı

Bir niceleyicinin hangi matematiksel ifade üzerinde etkili olduğunu gösteren bölüme niceleyicinin etki alanı denir.

Parantezler bu alanı açık hâle getirmek için özellikle önemlidir.

Örneğin:

\forall x\;(P(x)\lor Q(x))

ile başka bir mantıksal yapı aynı şey değildir.

Bu yüzden niceleyicili ifadelerde parantezler yalnızca görsel düzen değildir; anlamın bir parçasıdır.

15. Bağlı ve serbest değişken

Şu ifadeye bakalım:

P(x,y):\quad x<y.

İki değişkenimiz var.

Şimdi:

\forall x\;(x<y)

yazalım.

Burada $x$ , $\forall x$ tarafından kontrol edilmektedir.

Ama $y$ hâlâ belirsizdir.

Bu nedenle ifade henüz tamamlanmış bir önerme değildir.

Bağlı ve serbest değişken

Bir değişken bir niceleyicinin etki alanındaysa bağlı değişken olarak adlandırılır.

Niceleyici tarafından bağlanmamış değişkene serbest değişken denir.

Örneğin:

\forall x\;(x<y)

ifadesinde:

$x$ bağlıdır,
$y$ serbesttir.

Ama:

\forall x\;\exists y\;(x<y)

ifadesinde hem $x$ hem $y$ bağlanmıştır.

Artık tamamlanmış bir matematiksel iddiamız vardır.

16. İç içe niceleyiciler

Matematikte çoğu zaman yalnızca tek niceleyici bulunmaz.

Örneğin:

Her öğrencinin sevdiği en az bir kitap vardır.

Bu cümlede iki farklı seçim yapıyoruz:

önce bir öğrenci,
sonra o öğrenci için bir kitap.

Sembolik yapısı:

\forall x\;\exists y\;R(x,y)

şeklindedir.

Burada $R(x,y)$ :

“ $x$ öğrencisi $y$ kitabını sever.”

ilişkisini temsil etsin.

Cümlenin anlamı:

Hangi öğrenciyi seçersen seç, o öğrenci için sevdiği en az bir kitap bulabilirsin.

Her öğrenci için bir kitap

Öğrenci A ─────→ Kitap 2
Öğrenci B ─────→ Kitap 5
Öğrenci C ─────→ Kitap 2
Öğrenci D ─────→ Kitap 8

Her öğrenci için
en az bir kitap bulunuyor.

Her öğrenciye sevdiği en az bir kitap karşılık gelebilir; öğrencilerin aynı kitabı sevmesi gerekmez.

Burada öğrencilerin aynı kitabı sevmesi gerekmez.

Her öğrenci için farklı bir kitap seçebiliriz.

17. Niceleyici sırası neden önemlidir?

Şimdi önceki cümlede niceleyicilerin sırasını değiştirelim:

\exists y\;\forall x\;R(x,y)

Bu kez anlam:

Öyle bir kitap vardır ki her öğrenci o kitabı sever.

Bu önceki ifadeden çok daha güçlüdür.

İki ifadeyi yan yana görelim:

\forall x\;\exists y\;R(x,y)

Her öğrenci için sevdiği en az bir kitap vardır.

ve:

\exists y\;\forall x\;R(x,y)

Herkesin sevdiği ortak en az bir kitap vardır.

Bunlar aynı şey değildir.

Niceleyici sırası

Genel olarak:

\forall x\;\exists y\;P(x,y)

ile:

\exists y\;\forall x\;P(x,y)

eşdeğer değildir.

Niceleyicilerin yerini değiştirmek matematiksel iddiayı değiştirebilir.

18. Neden sıra anlamı değiştiriyor?

Birinci durumda:

\forall x\;\exists y\;P(x,y)

önce $x$ seçilir.

Sonra seçilen $x$ 'e göre uygun bir $y$ bulabiliriz.

Yani $y$ , $x$ 'e bağlı olarak değişebilir.

İkinci durumda:

\exists y\;\forall x\;P(x,y)

önce tek bir $y$ seçmek zorundayız.

Sonra aynı $y$ bütün $x$ 'ler için çalışmalıdır.

Niceleyici sırasının özü

\forall x\;\exists y

genellikle:

“Her $x$ için belki farklı bir $y$ bulabilirim.”

demektir.

Ama:

\exists y\;\forall x

genellikle:

“Tek bir $y$ bulmalıyım ve bu $y$ bütün $x$ 'ler için çalışmalı.”

demektir.

Bu fark ileride analizde, cebirde ve ispatlarda son derece önemli olacak.

19. Sayısal bir örnek

Şu ifadeyi düşünelim:

\forall x\;\exists y\;(y>x).

Konuştuğumuz sayı sistemi yukarı doğru devam eden sayılardan oluşsun.

İfade:

Her $x$ için $x$ 'ten daha büyük en az bir $y$ vardır.

demektedir.

Örneğin:

$x=3$ ise $y=4$ seçebiliriz.
$x=10$ ise $y=11$ seçebiliriz.
$x=100$ ise $y=101$ seçebiliriz.

Buradaki $y$ , seçilen $x$ 'e göre değişmektedir.

Şimdi sırayı değiştirelim:

\exists y\;\forall x\;(y>x).

Bu kez:

Öyle tek bir $y$ vardır ki bütün $x$ 'lerden büyüktür.

diyoruz.

Bu tamamen başka bir iddiadır.

İlkinde:

x değişir
│
└── her x için uygun bir y seçilebilir

İkincisinde:

önce tek bir y seçilir
│
└── aynı y bütün x'leri geçmek zorundadır

20. Aynı tür niceleyicilerde sıra

Şu iki ifade arasında ise farklı bir durum vardır:

\forall x\;\forall y\;P(x,y)

ve:

\forall y\;\forall x\;P(x,y).

İkisi de:

Bütün $x$ ve bütün $y$ seçimleri için $P(x,y)$ doğrudur.

der.

Benzer biçimde:

\exists x\;\exists y\;P(x,y)

ve:

\exists y\;\exists x\;P(x,y)

aynı temel varoluş iddiasını ifade eder.

Fakat farklı tür niceleyiciler:

\forall\exists

ve:

\exists\forall

birbirleriyle yer değiştirdiğinde genellikle anlam değişir.

21. “Her” iddiası nasıl ispatlanır?

Niceleyici yalnızca cümle yazma biçimimizi değil, ispat stratejimizi de belirler.

Şunu kanıtlamak istediğimizi düşünelim:

\forall x\,P(x).

Belirli bir $x$ seçip yalnız onu göstermek yeterli değildir.

Çünkü iddiamız bütün $x$ 'ler hakkındadır.

Bu nedenle matematikte genellikle:

“Keyfî bir $x$ seçelim.”

deriz.

Buradaki keyfî, özel bir özelliği olmayan herhangi bir $x$ anlamındadır.

Eğer yalnızca $x$ 'in konuşma evreninde olmasını kullanarak $P(x)$ 'i gösterebilirsek, seçtiğimiz $x$ özel olmadığı için sonuç bütün $x$ 'ler için geçerlidir.

Evrensel ispat stratejisi

\forall x\,P(x)

kanıtlamak için:

keyfî bir $x$ seç,
$P(x)$ 'in doğru olduğunu göster,
seçim keyfî olduğu için sonucun bütün $x$ 'ler için geçerli olduğunu belirt.

Bu fikir ileride doğrudan ispatın temel hareketlerinden biri olacak.

22. “En az bir” iddiası nasıl ispatlanır?

Şimdi:

\exists x\,P(x)

kanıtlamak istiyoruz.

Burada bütün $x$ 'leri incelemek zorunda değiliz.

Bize gereken tek şey çalışan bir örnektir.

Varoluş ispatı stratejisi

\exists x\,P(x)

kanıtlamak için uygun bir $x$ bulup:

P(x)

olduğunu göstermek yeterlidir.

Örneğin:

\exists x\;(x+5=12)

iddiası için:

x=7

seçelim.

Gerçekten:

7+5=12.

Dolayısıyla istenen $x$ vardır.

23. Bir örnek neden evrensel iddiayı kanıtlamaz?

Şu iddia doğru olsun:

P(2).

Yani 2 sayısı belli bir özelliği sağlıyor.

Bundan:

\forall x\,P(x)

sonucunu çıkaramayız.

Çünkü bir örneğin başarılı olması yalnızca:

\exists x\,P(x)

türünde bir iddiayı destekler.

Bir örnekten 'her'e geçemeyiz

Bir kişi:

“2 için çalıştı, 4 için çalıştı, 6 için de çalıştı; demek ki her sayı için çalışır.”

derse mantıksal olarak yeterli bir gerekçe vermiş olmaz.

Çok sayıda örnek bir örüntüyü fark etmemizi sağlayabilir.

Ama:

\forall x\,P(x)

iddiası bütün olası $x$ 'leri kapsar.

Bu yüzden evrensel iddia için genel bir gerekçe gerekir.

Bu ayrım daha sonra ispat kavramının neden gerekli olduğunu anlamamızda merkezi rol oynayacak.

24. Bir başarısız örnek neden çok güçlüdür?

Eğer iddiamız:

\forall x\,P(x)

ise bütün $x$ 'lerin başarılı olması gerekir.

Dolayısıyla tek bir $a$ için:

P(a)

yanlışsa bütün evrensel iddia çöker.

Örneğin konuşma evrenimiz:

1,2,3,4

olsun ve:

P(x):\quad x<4

olsun.

İlk üç değer çalışır:

1<4,\qquad2<4,\qquad3<4.

Ama:

4<4

yanlıştır.

Dolayısıyla:

\forall x\,P(x)

yanlıştır.

Bu tek başarısız örneğe karşı örnek diyeceğiz.

Bir sonraki birim olan 1.02.05 — Matematiksel ifadelerin değili içinde şu fikri kesin biçimde kuracağız:

“Her $x$ için” iddiasının yanlış olması, özelliği sağlamayan en az bir $x$ bulunması anlamına gelir.

25. Sözel ifadeleri sembolik dile çevirmek

Niceleyicilerin asıl becerisi yalnızca sembolleri tanımak değildir.

Matematiksel bir cümlenin mantıksal yapısını görebilmektir.

Örnek 1

Her öğrenci kayıtlıdır.

$P(x)$ :

“ $x$ öğrencidir.”

$Q(x)$ :

“ $x$ kayıtlıdır.”

O zaman:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x)).

Örnek 2

En az bir öğrenci kayıtlıdır.

\exists x\;(P(x)\land Q(x)).

Örnek 3

Her öğrencinin en az bir danışmanı vardır.

$R(x,y)$ :

“ $y$ , $x$ 'in danışmanıdır.”

O zaman yapı:

\forall x\;\exists y\;R(x,y).

Örnek 4

En az bir danışman bütün öğrencilere danışmanlık yapmaktadır.

\exists y\;\forall x\;R(x,y).

Üçüncü ve dördüncü ifadeler arasındaki tek görünür değişiklik niceleyicilerin sırasıdır.

Ama söyledikleri şey tamamen farklıdır.

26. Sembolik ifadeleri sözel dile çevirmek

Şimdi ters yönde çalışalım.

İfade

\forall x\;P(x)

Okuma:

Her $x$ için $P(x)$ doğrudur.

İfade

\exists x\;P(x)

Okuma:

En az bir $x$ vardır ki $P(x)$ doğrudur.

İfade

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

Okuma:

Her $x$ için, eğer $P(x)$ doğruysa $Q(x)$ doğrudur.

Daha doğal Türkçeyle:

Her $P$ , $Q$ 'dur.

İfade

\exists x\;(P(x)\land Q(x))

Okuma:

Hem $P$ hem $Q$ özelliğine sahip en az bir $x$ vardır.

İfade

\forall x\;\exists y\;R(x,y)

Okuma:

Her $x$ için, onunla $R$ ilişkisini sağlayan en az bir $y$ vardır.

27. Sık yapılan önemli hata: $\exists$ tam olarak bir tane değildir

$\exists$ = en az bir

\exists x\,P(x)

yalnızca:

“P özelliğini sağlayan en az bir $x$ vardır.”

der.

Kaç tane olduğunu söylemez.

Örneğin üç farklı $x$ özelliği sağlasa bile:

\exists x\,P(x)

hâlâ doğrudur.

“Tam olarak bir tane vardır” ifadesi daha güçlü bir iddiadır ve daha sonra gerektiğinde ayrıca ifade edilir.

28. Sık hata: konuşma evrenini unutmak

Şu açık ifadeyi düşünelim:

P(x):\quad x^2=x.

Bunun hangi $x$ 'ler için incelendiği önemlidir.

Niceleyici yalnızca:

\forall x

veya:

\exists x

yazmaktan ibaret değildir.

Şunu da bilmeliyiz:

$x$ nereden seçiliyor?

Niceleyicili bir matematiksel cümlenin doğruluk değeri konuşma evrenine bağlı olabilir.

Bu yüzden matematiksel metinlerde evren:

önceden tanımlanır,
cümleden anlaşılır,
veya daha sonra küme gösterimiyle açıkça belirtilir.

Kümeleri öğrendiğimizde bunu çok kompakt biçimde yazabileceğiz:

\forall x\in A

ve:

\exists x\in A.

Şimdilik bunu:

“ $A$ içindeki her $x$ ”

ve:

“ $A$ içinde en az bir $x$ ”

diye okuyabiliriz.

29. Sık hata: evrensel cümlede yanlış bağlaç

“Her öğrenci kayıtlıdır.”

ifadesini:

\forall x\;(P(x)\land Q(x))

diye yazmak genellikle yanlıştır.

Çünkü bu ifade:

Evrendeki her şey hem öğrencidir hem kayıtlıdır.

demektedir.

Oysa bizim istediğimiz:

Bir şey öğrenci ise, kayıtlıdır.

Bu yüzden:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

kullanılır.

30. Sık hata: varoluş cümlesinde yanlış koşul

“En az bir öğrenci kayıtlıdır.”

ifadesini:

\exists x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

şeklinde yazmak da problemi doğru yakalamaz.

Çünkü koşullu önerme, $P(x)$ yanlış olduğunda zaten doğru olabilir.

Yani öğrenci olmayan bir nesne seçerek ifade istemeden doğru hâle gelebilir.

Biz gerçekten aynı nesnenin:

öğrenci,
kayıtlı

olmasını istiyoruz.

Bu nedenle:

\exists x\;(P(x)\land Q(x))

yazarız.

İki temel çeviri deseni

\boxed{ \begin{aligned} \text{Her }P\text{, }Q\text{'dur} &\Rightarrow \forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x)) \\[4pt] \text{En az bir }P\text{, }Q\text{'dur} &\Rightarrow \exists x\;(P(x)\land Q(x)) \end{aligned} }

31. Niceleyiciler yalnızca sayılar için değildir

Niceleyiciler belirli bir matematik alanına ait değildir.

Değişkenimiz:

sayı,
nokta,
üçgen,
fonksiyon,
matris,
küme,
grafik,
olasılık olayı

olabilir.

Örneğin gelecekte:

Her üçgen için...

Her sürekli fonksiyon için...

En az bir çözüm vardır...

Her $\varepsilon>0$ için bir $\delta>0$ vardır...

gibi ifadeler göreceğiz.

Niceleyici bize nesnenin ne olduğunu söylemez.

Sadece:

kaç tanesi hakkında konuştuğumuzu

söyler.

32. Matematikte gerçek kullanım

Teorem dili

Matematikte teoremlerin çok büyük bölümü görünürde “her” kelimesini yazmasa bile evrensel bir yapıya sahiptir.

Örneğin:

“Bir çift sayının karesi çifttir.”

çoğu zaman aslında:

“Her çift sayının karesi çifttir.”

anlamında kullanılır.

Yani teorem yapısı:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

biçimindedir.

Bu nedenle niceleyicileri anlamadan ispat dilini tam olarak anlamak mümkün değildir.

Varlık problemleri

Matematikte birçok büyük soru:

“Böyle bir nesne var mı?”

şeklindedir.

Örneğin:

bir denklemin çözümü var mı,
belirli özelliğe sahip bir sayı var mı,
iki noktayı birleştiren uygun bir eğri var mı,
verilen koşulları sağlayan bir fonksiyon var mı?

Bunların mantıksal çekirdeği:

\exists x\,P(x)

şeklindedir.

Bilgisayar bilimi ve doğrulama

Bir program için:

“Her geçerli girdi için program doğru bir çıktı üretir.”

iddiası evrensel bir iddiadır.

Kabaca:

\forall x\;(\text{geçerli}(x)\Rightarrow\text{doğru-çıktı}(x)).

Bir güvenlik açığı bulmak ise çoğu zaman:

“Kurala uymayan en az bir girdi var mı?”

şeklindeki varoluş problemine dönüşür.

Bu nedenle $\forall$ ve $\exists$ yalnızca saf matematikte değil, program doğrulama ve biçimsel sistemlerde de temel araçlardır.

33. İleride göreceğimiz çok önemli bir örnek: limit

Şimdilik limit kavramını bilmiyoruz.

Ama ileride matematiksel analizde şu tür bir yapı göreceğiz:

\forall \varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\;\cdots

Bunun ayrıntısını şimdi öğrenmemiz gerekmiyor.

Fakat niceleyici sırasına dikkat edelim:

\forall\varepsilon\;\exists\delta

şunu söyler:

Bana hangi hassasiyet $\varepsilon$ verilirse verilsin, ona uygun bir $\delta$ bulabilmeliyim.

Buradaki $\delta$ , seçilen $\varepsilon$ 'a göre değişebilir.

Eğer sıra:

\exists\delta\;\forall\varepsilon

olsaydı çok daha güçlü ve genellikle bambaşka bir iddia elde ederdik.

Bu nedenle bugünkü:

\forall x\;\exists y \quad\text{ile}\quad \exists y\;\forall x

ayrımı ileride $\varepsilon$ – $\delta$ limit tanımını gerçekten anlayabilmek için doğrudan gerekli olacak.

Niceleyiciler analizde kullanılan süs sembolleri değildir.

Limit tanımının mantıksal iskeletidir.

34. Tanımdan çıkan temel mantıksal sonuçlar

Niceleyicilerin yapısını artık şu biçimde özetleyebiliriz.

Evrensel niceleyici

\forall x\,P(x)

için:

bütün adayların başarılı olması gerekir,
tek karşı örnek ifadeyi yanlış yapar,
ispatta keyfî bir nesne seçmek doğal stratejidir.

Varoluş niceleyicisi

\exists x\,P(x)

için:

en az bir başarılı aday yeterlidir,
bütün adayları bulmak gerekmez,
ispatta çalışan bir tanık göstermek doğal stratejidir.

İç içe niceleyiciler

\forall x\;\exists y

ile:

\exists y\;\forall x

genellikle farklıdır.

Çünkü ilkinde $y$ , $x$ 'e göre değişebilir; ikincisinde tek bir $y$ bütün $x$ 'lerde çalışmalıdır.

35. Teknik uygulama

Aşağıdaki cümleleri birlikte çevirelim.

Cümle 1

Her çalışan bir kimlik numarasına sahiptir.

$C(x)$ :

“ $x$ çalışandır.”

$I(x,y)$ :

“ $y$ , $x$ 'in kimlik numarasıdır.”

Yapı:

\forall x\;(C(x)\Rightarrow\exists y\,I(x,y)).

Cümle 2

En az bir çalışan bütün projelerde görev almaktadır.

$C(x)$ :

“ $x$ çalışandır.”

$G(x,y)$ :

“ $x$ , $y$ projesinde görev almaktadır.”

Mantıksal çekirdek:

\exists x\;\forall y\;G(x,y).

Konuşma evrenleri ayrıca çalışanlar ve projeler olarak belirlenir.

Cümle 3

Her projenin en az bir çalışanı vardır.

\forall y\;\exists x\;G(x,y).

Cümle 2 ile Cümle 3 arasındaki fark yalnızca kelimelerin sırası değildir.

Niceleyici yapısı da tersine dönmüştür:

\exists x\;\forall y

karşısında:

\forall y\;\exists x.

36. Sınırlar ve sık karıştırılan noktalar

1. “Her” çok sayıda demek değildir

$\forall$ :

çoğu,

neredeyse hepsi,

çok sayıda

demek değildir.

İstisnasız bütün ilgili nesneleri kapsar.

2. “En az bir” yalnız bir tane demek değildir

\exists x\,P(x)

birden fazla çözüm bulunmasına tamamen izin verir.

3. Birkaç örnek evrensel ispat değildir

Bin örneğin başarılı olması:

\forall x\,P(x)

iddiasını tek başına kanıtlamaz.

4. Niceleyici sırası rastgele değiştirilemez

\forall x\;\exists y

ile:

\exists y\;\forall x

genellikle farklı iddialardır.

5. Konuşma evreni önemlidir

“Her $x$ ” ifadesindeki $x$ 'in nereden seçildiği bilinmeden cümlenin anlamı eksik kalabilir.

6. Parantezler anlam taşır

Niceleyicinin hangi ifade üzerinde etkili olduğu açık tutulmalıdır.

Özellikle karmaşık ifadelerde:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

gibi parantezler mantıksal yapıyı görünür hâle getirir.

37. Matematik haritasındaki yerimiz

Bu birim önceki üç mantık aracını birleştiriyor.

Niceleyicilere gelen yol

1.02.01
Önerme ve açık önerme
        │
        ▼
1.02.02
ve / veya / değil
        │
        ▼
1.02.03
eğer ... ise
        │
        ▼
┌────────────────────────────┐
│ 1.02.04 Niceleyiciler      │
│                            │
│       ∀        ∃           │
│      her    en az bir      │
└──────────────┬─────────────┘
               │
       ┌───────┼─────────┐
       ▼       ▼         ▼
   1.02.05   İspat     Kümeler
   Değil       │
               ▼
          İleri matematik
               │
               ▼
           ε–δ analiz

Önerme ve açık önerme kavramları mantıksal bağlaçlara, koşullu ifadelere ve sonunda niceleyicilere temel olur; niceleyiciler daha sonra değilleme, ispat, kümeler ve analize bağlanır.

Önceki birimlerde:

1.02.01: $P(x)$ gibi açık ifadelerin neden henüz önerme olmadığını,
1.02.02: ifadeleri $\land$ , $\lor$ , $\neg$ ile birleştirmeyi,
1.02.03: $P\Rightarrow Q$ koşulunu

öğrendik.

Şimdi:

\forall x \qquad\text{ve}\qquad \exists x

sayesinde bu yapıları bütün bir nesne sınıfına uygulayabiliyoruz.

38. Sırada ne var?

Bugünkü bilgiler doğal olarak yeni bir soru doğuruyor.

Şu iddiayı düşünelim:

\forall x\,P(x).

Peki bunun yanlış olduğunu söylemek tam olarak ne demektir?

Şunlardan hangisidir?

Hiçbir $x$ için $P(x)$ doğru değildir.

yoksa:

En az bir $x$ için $P(x)$ doğru değildir.

Bunun cevabı bizi doğrudan:

1.02.05 — Matematiksel ifadelerin değili

birimine götürecek.

Orada:

\forall \qquad\text{ve}\qquad \exists

arasındaki çok önemli değilleme ilişkisini kuracağız.

Kısa sentez

Neden vardı?

Tek tek nesneler hakkında konuşmak yetmiyordu. Matematiğin bütün bir nesne sınıfı veya en az bir nesne hakkında kesin iddialar kurabilmesi gerekiyordu.

Ne öğrendik?

İki temel niceleyici:

\forall x\,P(x)

Her $x$ için $P(x)$ .

ve:

\exists x\,P(x)

En az bir $x$ için $P(x)$ .

Ayrıca niceleyicinin etki alanını, bağlı ve serbest değişken fikrini ve iç içe niceleyicilerin sırasının önemini gördük.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Şu tür cümlelerin mantıksal iskeletini okuyup yazabiliyoruz:

\forall x\;(P(x)\Rightarrow Q(x))

\exists x\;(P(x)\land Q(x))

\forall x\;\exists y\;R(x,y)

\exists y\;\forall x\;R(x,y).

Sırada ne var?

Niceleyicili bir ifadenin değilini kuracağız ve:

“Her” iddiasını bozmak için neden tek bir karşı örnek yeterlidir?

sorusunu kesin mantıksal biçime dönüştüreceğiz.

39. Öğrenme kontrolü

A. Kavrama

$\forall$ ile $\exists$ arasındaki farkı kendi sözlerinle açıkla.
Neden:

\exists x\,P(x)

ifadesi “tam olarak bir tane vardır” anlamına gelmez?

Niceleyicinin konuşma evreni neden önemlidir?
Şu iki ifadenin farkını sözle açıkla:

\forall x\;\exists y\;R(x,y)

\exists y\;\forall x\;R(x,y)

B. Teknik

Aşağıdaki cümleleri sembolik biçime dönüştür.

$P(x)$ : “ $x$ öğrencidir.”
$Q(x)$ : “ $x$ başarılıdır.”

Her öğrenci başarılıdır.
En az bir öğrenci başarılıdır.

Şimdi $R(x,y)$ :

“ $x$ , $y$ kitabını okumuştur.”

olsun.

Her öğrenci en az bir kitap okumuştur.
En az bir kitap bütün öğrenciler tarafından okunmuştur.

C. Gerekçelendirme

Neden üç başarılı örnek göstermek:

\forall x\,P(x)

iddiasını kanıtlamaya yetmez?

Buna karşılık neden tek bir başarılı örnek:

\exists x\,P(x)

iddiasını kanıtlamaya yeter?

“Her doktor üniversite mezunudur.” cümlesini neden:

\forall x\;(D(x)\land U(x))

şeklinde yazmak uygun değildir?

D. Transfer

Bir şehirdeki insanlar ve telefon numaraları hakkında konuştuğumuzu düşün.

$T(x,y)$ :

“ $y$ , $x$ kişisinin telefon numarasıdır.”

Şu ifadeyi sözel olarak oku:

\forall x\;\exists y\;T(x,y).

Şimdi şunu oku:

\exists y\;\forall x\;T(x,y).

İkinci ifade neden birinciden çok daha güçlüdür?
Kendi hayatından veya matematikten:

bir $\forall$ cümlesi,
bir $\exists$ cümlesi,
bir $\forall\exists$ cümlesi

üret ve bunları sembolik yapılarıyla birlikte yaz.

1.02.04 — Niceleyiciler: “her” ve “en az bir”

Birim kartı

1. Başlangıç problemi: tek tek söylemek zorunda mıyız?

2. Eski araç neden yetmedi?

3. Tarihsel gelişim

4. Önce açık önermeyi hatırlayalım

5. Sezgi: niceleyiciler neyi ölçüyor?

6. Evrensel niceleyici: ∀\forall∀

7. Evrensel niceleyiciyi ve ile anlamak

8. Varoluş niceleyicisi: ∃\exists∃

9. Varoluş niceleyicisini veya ile anlamak

10. ∀\forall∀ ile ∃\exists∃ arasındaki temel fark

Birinci ifade

İkinci ifade

11. Konuşma evreni: “her şey” derken neyin her biri?

12. Koşullu evrensel ifadeler

13. “En az bir” ifadelerinde bağlaç neden değişiyor?

14. Niceleyicinin etki alanı

15. Bağlı ve serbest değişken

16. İç içe niceleyiciler

17. Niceleyici sırası neden önemlidir?

18. Neden sıra anlamı değiştiriyor?

19. Sayısal bir örnek

20. Aynı tür niceleyicilerde sıra

21. “Her” iddiası nasıl ispatlanır?

22. “En az bir” iddiası nasıl ispatlanır?

23. Bir örnek neden evrensel iddiayı kanıtlamaz?

24. Bir başarısız örnek neden çok güçlüdür?

25. Sözel ifadeleri sembolik dile çevirmek

Örnek 1

Örnek 2

Örnek 3

Örnek 4

26. Sembolik ifadeleri sözel dile çevirmek

İfade

İfade

İfade

İfade

İfade

27. Sık yapılan önemli hata: ∃\exists∃ tam olarak bir tane değildir

28. Sık hata: konuşma evrenini unutmak

29. Sık hata: evrensel cümlede yanlış bağlaç

30. Sık hata: varoluş cümlesinde yanlış koşul

31. Niceleyiciler yalnızca sayılar için değildir

32. Matematikte gerçek kullanım

33. İleride göreceğimiz çok önemli bir örnek: limit

34. Tanımdan çıkan temel mantıksal sonuçlar

Evrensel niceleyici

Varoluş niceleyicisi

İç içe niceleyiciler

35. Teknik uygulama

Cümle 1

Cümle 2

Cümle 3

36. Sınırlar ve sık karıştırılan noktalar

37. Matematik haritasındaki yerimiz

38. Sırada ne var?

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

39. Öğrenme kontrolü

A. Kavrama

B. Teknik

C. Gerekçelendirme

D. Transfer

6. Evrensel niceleyici: $\forall$

7. Evrensel niceleyiciyi `ve` ile anlamak

8. Varoluş niceleyicisi: $\exists$

9. Varoluş niceleyicisini `veya` ile anlamak

10. $\forall$ ile $\exists$ arasındaki temel fark

27. Sık yapılan önemli hata: $\exists$ tam olarak bir tane değildir