01.02.05 — Matematiksel ifadelerin değili

Birim kartı


Dünya	1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm	1.02 — Matematiksel Dil ve Mantık
Seviye	[A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar	01.02.02 — Mantıksal bağlaçlar; 01.02.04 — Niceleyiciler
Temel soru	Niceleyicili bir iddianın yanlış olması tam olarak ne demektir?
Bağlantılar	Karşı örnek, çelişkiyle ispat, mantıksal eşdeğerlik, ileride $\varepsilon$ – $\delta$ tanımları
Tamamlanma ölçütü	Karmaşık niceleyicili matematiksel ifadelerin değilini doğru yazabilmek

Bu dersin ana fikri

Bir matematiksel ifadeyi değillemek, cümlenin başına mekanik biçimde “değildir” eklemek değildir.

Değilleme:

İddianın doğru olması için gereken şeyi bozacak durumu tam olarak tarif etmektir.

Özellikle niceleyiciler bulunduğunda:

\forall \longleftrightarrow \exists

dönüşümü ortaya çıkar.

1. Başlangıç problemi: “Herkes geldi” yanlışsa ne biliyoruz?

Şu cümleyi düşünelim:

Toplantıya bütün çalışanlar geldi.

Bu iddianın yanlış olduğunu öğrendiğimizi varsayalım.

Bundan ne çıkar?

Şu mu?

Hiçbir çalışan gelmedi.

Hayır.

Belki 100 çalışanın 99'u geldi ve yalnızca biri gelmedi.

İlk cümlenin yanlış olması için gereken tek şey:

En az bir çalışanın gelmemiş olmasıdır.

Yani:

"Herkes geldi."
       │
       │ yanlış
       ▼
"En az bir kişi gelmedi."

Matematikte de aynı durum vardır.

İlk matematiksel problem

Şu iddiayı düşün:

\forall x\in\mathbb R,\quad x^2\geq 0.

Bunu şöyle okuyoruz:

Her reel sayı $x$ için $x^2$ sıfırdan büyük veya eşittir.

Bu iddianın değili nedir?

Şunlardan hangisi doğru değillemedir?

Her reel sayı için $x^2<0$ .
En az bir reel sayı için $x^2<0$ .

Bir evrensel iddiayı yanlış yapmak için bütün örneklerin bozulması gerekmez.

Tek bir örneğin bozulması yeterlidir.

Dolayısıyla doğru cevap:

\exists x\in\mathbb R:\quad x^2<0.

Burada dersimizin bütün yapısı ortaya çıktı.

2. Neden önceki “değil” bilgimiz tek başına yetmiyor?

01.02.02'de basit ve bileşik önermelerin değillemesini görmüştük.

Örneğin:

\neg(P\land Q) \equiv (\neg P)\lor(\neg Q)

\neg(P\lor Q) \equiv (\neg P)\land(\neg Q).

Fakat 01.02.04 ile matematiksel dilimize iki yeni yapı girdi:

$\forall$ : her
$\exists$ : en az bir

Artık yalnızca

P

gibi tek bir önermeyi değil,

\forall x,\ P(x)

veya

\exists x,\ P(x)

gibi bütün bir nesne topluluğu hakkında konuşan ifadeleri değillememiz gerekiyor.

Burada yalnızca $P(x)$ 'in değilini almak yetmez.

Niceleyicinin kendisinin de anlamı değişir.

Neden niceleyici değişiyor?

“Her $x$ için $P(x)$ doğrudur.”

iddiasını yıkmak için bütün $x$ 'leri inceleyip hepsinin yanlış olduğunu göstermek gerekmez.

Bir tane

P(a)\text{ yanlış}

olan $a$ bulmak yeterlidir.

Bu nedenle:

“Her”in başarısızlığı, “en az bir istisna” demektir.

Ters yönde:

“En az bir tane var” iddiasının başarısızlığı ise hiçbir tane bulunmaması demektir.

Yani bütün adayların başarısız olması gerekir.

3. Bu fikir neden var?

Matematiğin büyük bölümünde iddialar tek tek nesneler hakkında değil, bütün sınıflar hakkında kurulur.

Örneğin:

Her çift tam sayının karesi çifttir.

Her türevlenebilir fonksiyon süreklidir.

Her asal sayı pozitiftir.

veya:

Bu denklemin en az bir çözümü vardır.

Bu kümede en az bir maksimum eleman vardır.

Bu şartları sağlayan bir fonksiyon vardır.

Bu tür iddiaları ispatlamak kadar önemli başka bir iş daha vardır:

Bu iddianın yanlış olması ne anlama gelir?

Çünkü matematikte:

karşı örnek bulmak,
çelişkiyle ispat yapmak,
bir teoremin yanlışlığını göstermek,
bir tanımın koşullarını çözümlemek,
ileride limit tanımlarını değillemek

için bunu kesin biçimde bilmemiz gerekir.

Neden gerçekten işe yarıyor?

Bir yazılım sistemi için şöyle bir gereksinim yazıldığını düşün:

Her kullanıcı isteği doğrulanmış olmalıdır.

Sistemin bu koşulu ihlal ettiğini göstermek için bütün isteklerin hatalı olduğunu göstermek gerekmez.

Tek bir doğrulanmamış istek yeterlidir.

Matematikte karşı örneğin gücü tam olarak aynı mantıktan gelir.

4. Tarihsel gelişim

Olumsuzlama, “her” ve “bazı” türü ifadeler Antik Çağ'dan beri mantığın temel meseleleri arasındaydı. Aristoteles'in kıyas mantığında da evrensel ve tikel önermeler arasındaki ilişkiler önemliydi.

Fakat bugün kullandığımız anlamıyla değişkenler üzerinde niceleme yapan modern yüklem mantığı, özellikle 19. yüzyılda matematiğin temellerinin daha kesin bir dille ifade edilmesi ihtiyacıyla gelişti.

Gottlob Frege'nin 1879 tarihli Begriffsschrift çalışması, modern niceleyici mantığının gelişimindeki temel kırılma noktalarından biridir. Daha sonraki sembolik mantık çalışmalarıyla bugün kullandığımız niceleyicili ifade anlayışı standart hâle geldi.

Dolayısıyla burada öğrendiğimiz kurallar tek bir kişinin bir anda “icat ettiği” bağımsız bir yöntemden çok, matematiksel akıl yürütmenin yüzyıllar boyunca giderek biçimselleştirilmesinin sonucudur.

5. İlk büyük kural: “Her” nasıl değillenir?

Şu ifadeyi ele alalım:

\forall x\in A,\quad P(x).

Anlamı:

$A$ kümesindeki her $x$ için $P(x)$ doğrudur.

Bunun yanlış olması ne demektir?

En az bir tane $x$ vardır ve o $x$ için $P(x)$ doğru değildir.

Dolayısıyla:

Evrensel niceleyicinin değili

\boxed{ \neg\left(\forall x\in A,\ P(x)\right) \equiv \exists x\in A:\ \neg P(x) }

Sözel olarak:

“Her $x$ için $P(x)$ ” ifadesinin değili,
“en az bir $x$ için $P(x)$ değil” ifadesidir.

Evrensel niceleyicinin değillenmesi

HER x için P(x)
      │
      │ değille
      ▼
EN AZ BİR x için P(x) DEĞİL

Her x için P ifadesinin değili, en az bir x için P değil ifadesidir.

Örnek

Her sayı pozitiftir

İddia:

\forall x\in\mathbb R,\quad x>0.

Sözel olarak:

Her reel sayı pozitiftir.

Değili:

\exists x\in\mathbb R:\quad x\leq 0.

Yani:

En az bir reel sayı pozitiftir değildir.

Daha doğal Türkçeyle:

En az bir reel sayı sıfırdan küçük veya eşittir.

Örneğin $x=0$ veya $x=-1$ bu değillenmiş ifadeyi sağlar.

Burada önemli bir ayrıntı var:

\neg(x>0)

ifadesi

x<0

değildir.

Çünkü $x=0$ da $x>0$ ifadesini yanlış yapar.

Doğrusu:

\neg(x>0)\equiv x\leq0.

6. İkinci büyük kural: “En az bir” nasıl değillenir?

Şimdi:

\exists x\in A:\quad P(x)

ifadesini düşünelim.

Anlamı:

$A$ içinde $P(x)$ özelliğine sahip en az bir eleman vardır.

Bu iddia ne zaman yanlış olur?

Bir tane bile bulunamadığında.

Yani $A$ 'daki her eleman için $P(x)$ yanlış olmalıdır.

Varoluş niceleyicisinin değili

\boxed{ \neg\left(\exists x\in A:\ P(x)\right) \equiv \forall x\in A,\ \neg P(x) }

Sözel olarak:

“En az bir $x$ için $P(x)$ ” ifadesinin değili,
“her $x$ için $P(x)$ değil” ifadesidir.

Varoluş niceleyicisinin değillenmesi

EN AZ BİR x için P(x)
          │
          │ değille
          ▼
HER x için P(x) DEĞİL

En az bir x için P ifadesinin değili, her x için P değil ifadesidir.

Bir tam sayının karesi 2'dir

İddia:

\exists n\in\mathbb Z:\quad n^2=2.

Değili:

\forall n\in\mathbb Z,\quad n^2\neq2.

Yani:

Hiçbir tam sayının karesi $2$ değildir.

Burada “hiçbir” sözcüğü aslında:

\forall n,\quad \neg P(n)

yapısının doğal dildeki karşılığıdır.

7. Niceleyiciler için De Morgan fikri

01.02.02'de De Morgan yasalarını görmüştük:

\neg(P\land Q) \equiv \neg P\lor\neg Q,

\neg(P\lor Q) \equiv \neg P\land\neg Q.

Niceleyicilerde de çok benzer bir dönüşüm vardır:

\neg\forall \quad\longleftrightarrow\quad \exists\neg

\neg\exists \quad\longleftrightarrow\quad \forall\neg.

Hatırlanacak şey sembol değil, anlamdır

Ezberlenecek iki bağımsız kural varmış gibi düşünme.

Şunu düşün:

Bütününün doğru olması için herkesin başarılı olması gerekir.
Bunun yanlış olması için bir başarısız örnek yeterlidir.

Tersine:

Bir tane başarılı örnek vardır iddiasının doğru olması için bir örnek yeterlidir.
Bunun yanlış olması için herkesin başarısız olması gerekir.

Bu mantığı hatırlarsan formülü yeniden kurabilirsin.

8. Karşı örneğin mantıksal temeli

Şimdi matematikte çok önemli bir yöntemin neden çalıştığını görebiliriz.

Bir teorem şöyle olsun:

\forall x\in A,\quad P(x).

Bunun yanlış olduğunu göstermek istiyoruz.

Değili:

\exists x\in A:\quad \neg P(x).

Demek ki bize gereken şey:

$A$ içinde $P(x)$ 'i sağlamayan bir tane eleman.

İşte buna karşı örnek (counterexample) diyoruz.

Karşı örnek

Evrensel bir

\forall x\in A,\ P(x)

iddiasını yanlışlayan,

a\in A

\neg P(a)

koşullarını sağlayan bir $a$ elemanına karşı örnek denir.

Tek karşı örnek yeter

İddia:

Her asal sayı tektir.

Sembolik biçimde:

\forall p,\quad p\text{ asal}\Rightarrow p\text{ tek}.

$p=2$ asal olduğu hâlde tek değildir.

Dolayısıyla $2$ , bu evrensel iddiaya karşı örnektir.

Başka yüzlerce asal sayının tek olması artık önemli değildir.

Tek bir karşı örnek:

\forall

iddiasını yıkmaya yeter.

Karşı örnek neden bu kadar güçlü?

Karşı örnek matematikçilerin bulduğu özel bir kestirme değildir.

Doğrudan şu mantıksal eşdeğerliğin sonucudur:

\neg(\forall x\,P(x)) \equiv \exists x\,\neg P(x).

9. Eşitsizliklerin değili

Niceleyiciyi doğru değiştirdikten sonra içerideki matematiksel koşulun da tam değili alınmalıdır.

Temel karşılıklar:

İfade	Değili
$x=a$	$x\neq a$
$x\neq a$	$x=a$
$x<a$	$x\geq a$
$x\leq a$	$x>a$
$x>a$	$x\leq a$
$x\geq a$	$x<a$
$x\in A$	$x\notin A$
$x\notin A$	$x\in A$

Sık hata

\neg(x\geq5)

ifadesinin değili

x\leq5

değildir.

Çünkü $x=5$ iki ifadeyi de sağlar.

Doğrusu:

\neg(x\geq5) \equiv x<5.

Bir koşul ile değili aynı anda doğru olamaz ve birlikte bütün olasılıkları kapsamalıdır.

10. Koşullu ifadelerin değili

Önceki derste:

P\Rightarrow Q

ifadesini öğrenmiştik.

Bir “eğer... ise...” ifadesini yanlış yapmak için ne gerekir?

$P$ gerçekleşmeli,
fakat beklenen $Q$ gerçekleşmemelidir.

Bu nedenle:

Koşullu önermenin değili

\boxed{ \neg(P\Rightarrow Q) \equiv P\land\neg Q }

Neden?

“Eğer yağmur yağıyorsa yol ıslaktır.” iddiasını çürütecek durum:

Yağmur yağıyor ve yol ıslak değil.

Yağmur hiç yağmamışsa bu, koşullu iddiaya karşı örnek değildir.

11. Niceleyici ile koşul birlikteyken

Matematiksel teoremler sık sık şu biçimdedir:

\forall x\in A,\quad P(x)\Rightarrow Q(x).

Bunun değilini adım adım bulalım.

Bir evrensel koşullu ifadenin değillenmesi

Başlangıç:

\neg\left[ \forall x\in A,\quad P(x)\Rightarrow Q(x) \right].

Önce dıştaki evrensel niceleyiciyi değilleriz:

\exists x\in A: \neg\left(P(x)\Rightarrow Q(x)\right).

Şimdi koşullu ifadeyi değilleriz:

\boxed{ \exists x\in A: P(x)\land\neg Q(x) }

Bu sonuç son derece önemlidir.

Bir

\forall x,\quad P(x)\Rightarrow Q(x)

teoremine karşı örnek arıyorsak aradığımız nesne:

P(x)\text{ doğru}

olduğu hâlde

Q(x)\text{ yanlış}

olan bir $x$ 'tir.

Bir teoremin değilini kurmak

İddia:

Her tam sayı $n$ için, $n$ çiftse $n^2$ çifttir.

\forall n\in\mathbb Z,\quad n\text{ çift}\Rightarrow n^2\text{ çift}.

Değili:

\exists n\in\mathbb Z: \left( n\text{ çift} \land n^2\text{ çift değil} \right).

Yani bu teoremi çürütmek isteyen birinin bulması gereken şey:

Kendisi çift fakat karesi tek olan bir tam sayı.

Böyle bir sayı bulunamaz; ileride bunun nedenini ispatlayacağız.

12. İç içe niceleyiciler

Şimdi bir adım daha ilerleyelim.

Şu ifade:

\forall x\in\mathbb R,\quad \exists y\in\mathbb R:\ y>x

şunu söylüyor:

Her reel sayıdan daha büyük en az bir reel sayı vardır.

Bunun değili nedir?

Dıştan içe ilerleyelim.

İç içe niceleyicileri değillemek

Başlangıç:

\neg \left[ \forall x\in\mathbb R, \exists y\in\mathbb R: y>x \right].

İlk niceleyici değişir:

\exists x\in\mathbb R: \neg \left[ \exists y\in\mathbb R: y>x \right].

İkinci niceleyici de değişir:

\exists x\in\mathbb R: \forall y\in\mathbb R, \neg(y>x).

Son olarak:

\neg(y>x) \equiv y\leq x.

Dolayısıyla:

\boxed{ \exists x\in\mathbb R: \forall y\in\mathbb R,\quad y\leq x }

Bu ne söylüyor?

Öyle bir reel sayı vardır ki bütün reel sayılar ondan küçük veya eşittir.

Başka bir ifadeyle:

Reel sayıların en büyük elemanı vardır.

İlk ifade bunun tam tersini söylüyordu.

İç içe niceleyicilerin değillenmesi

¬ [ ∀x  ∃y  P(x,y) ]
       │    │
       ▼    ▼
    ∃x    ∀y
              │
              ▼
           ¬P(x,y)

Sonuç:

∃x ∀y ¬P(x,y)

Değilleme içeri doğru ilerlerken her evrensel niceleyici varoluş niceleyicisine, her varoluş niceleyicisi evrensel niceleyiciye dönüşür ve en sonunda yüklem değillenir.

13. Genel yöntem

Bir matematiksel ifadeyi değillerken şu yolu izleyebilirsin:

Değilleme algoritması

1. İfadenin dış yapısını belirle

İlk önce ne var?

$\forall$ mı?
$\exists$ mi?
$\land$ mı?
$\lor$ mı?
$\Rightarrow$ mı?

2. Değillemeyi içeri doğru taşı

\forall \leftrightarrow \exists

\land \leftrightarrow \lor

3. Koşullu ifadeyi doğru biçimde aç

\neg(P\Rightarrow Q) \equiv P\land\neg Q.

4. En sonunda temel koşulu değille

Örneğin:

<\ \leftrightarrow\ \geq

veya

=\ \leftrightarrow\ \neq.

5. Elde ettiğin cümleyi yeniden Türkçe oku

Ortaya çıkan ifade gerçekten başlangıçtaki iddianın tam tersini söylüyor mu?

14. Birkaç örnek birlikte çözelim

Örnek 1 — Evrensel ifade

İddia:

\forall x\in\mathbb R,\quad x^2+1>0.

Değili:

\exists x\in\mathbb R:\quad x^2+1\leq0.

Dikkat:

$\forall$ → $\exists$
$>$ → $\leq$

Örnek 2 — Varoluş ifadesi

İddia:

\exists n\in\mathbb Z:\quad n^2=10.

Değili:

\forall n\in\mathbb Z,\quad n^2\neq10.

Örnek 3 — İki koşul birlikte

İddia:

\forall x\in\mathbb R,\quad x>0\land x<10.

Değili:

\exists x\in\mathbb R: \neg(x>0\land x<10).

De Morgan yasası:

\exists x\in\mathbb R: \left( x\leq0 \lor x\geq10 \right).

Örnek 4 — Koşullu ifade

İddia:

\forall x\in\mathbb R,\quad x>2\Rightarrow x^2>4.

Değili:

\exists x\in\mathbb R: \left( x>2 \land x^2\leq4 \right).

Yani iddiayı çürütecek bir karşı örnek, hem $x>2$ şartını sağlamalı hem de sonucun tersini sağlamalıdır.

15. “Her değil” ile “hiçbiri değil” aynı şey değildir

Bu konu en sık burada karıştırılır.

İfade:

\neg\forall x\,P(x)

ile

\forall x\,\neg P(x)

aynı değildir.

Birincisi:

Herkes $P$ özelliğine sahip değildir.

Mantıksal olarak:

En az bir kişi $P$ özelliğine sahip değildir.

İkincisi ise:

Herkes $P$ özelliğine sahip değildir.

Bağlama göre doğal Türkçede bu cümleler belirsiz duyulabileceği için matematikte sembolik yapı büyük önem taşır.

Daha açık söyleyelim:

$\neg\forall x\,P(x)$ : En az bir istisna vardır.
$\forall x\,\neg P(x)$ : Hiç kimse sağlamaz.

Aynı olmadıklarını görelim

Üç kişinin bulunduğu bir odada:

Ali gözlüklü,
Ayşe gözlüklü,
Mehmet gözlüksüz

olsun.

“Her kişi gözlüklüdür.”

ifadesi yanlıştır.

Dolayısıyla:

\neg\forall x\,P(x)

doğrudur.

Ama:

Hiç kimse gözlüklü değildir.

yanlıştır.

Yani:

\forall x\,\neg P(x)

doğru değildir.

Bu iki ifade aynı olamaz.

16. Bir başka kritik ayrım: varlığı değillemek

Benzer biçimde:

\neg\exists x\,P(x)

şunu söyler:

$P$ özelliğine sahip bir tane bile $x$ yoktur.

Bu da tam olarak:

\forall x\,\neg P(x)

demektir.

Burada evrensel niceleyici gerçekten gerekir.

Bir varoluş iddiasını çürütmek için birkaç adayın başarısız olması yetmez.

Bütün adayların başarısız olduğunu göstermek gerekir.

Örnek göstermek ve iddia çürütmek simetrik değildir

Evrensel bir iddia:

\forall x\,P(x)

tek karşı örnekle çürütülebilir.

Ama birkaç başarılı örnekle ispatlanamaz.

Varoluş iddiası:

\exists x\,P(x)

tek bir örnekle ispatlanabilir.

Ama birkaç başarısız örnekle çürütülemez.

Bu iki asimetri niceleyicilerin mantığından gelir.

17. Bu fikir ileride nerede kullanılacak?

Matematik içinde

İspatlarda karşı örnek

Bir evrensel iddianın yanlışlığını göstermek istediğimizde doğrudan:

\exists x\,\neg P(x)

aramaya başlarız.

Çelişkiyle ispat

Bir iddianın doğru olduğunu göstermek için bazen önce onun değilini varsayacağız.

İddiayı yanlış değillersek bütün ispat yanlış bir varsayımdan başlayabilir.

Analizde

İleride örneğin:

\forall\varepsilon>0,\quad \exists\delta>0:\ \cdots

gibi ifadeler göreceğiz.

Bunların değilini alırken niceleyicilerin sırası ve dönüşümü merkezi öneme sahip olacak.

Teorem koşullarını anlamada

Bir teoremi çürüten durumun tam olarak hangi varsayım ve sonucu taşıması gerektiğini belirleyebiliriz.

Bilim ve teknolojide

Yazılım doğrulama ve güvenlikte sık sık evrensel türde şartlar bulunur:

Her giriş belirli güvenlik koşullarını sağlamalıdır.

Bu şartın ihlal edildiğini göstermek:

Şartı sağlamayan en az bir giriş vardır.

demektir.

Benzer mantık test, hata arama ve biçimsel doğrulamada da kullanılır.

Buradaki matematiksel mekanizma yine aynıdır:

\neg\forall \equiv \exists\neg.

18. Sık yapılan hatalar

1 — Niceleyiciyi değiştirmemek

Yanlış:

\neg(\forall x\,P(x)) = \forall x\,\neg P(x).

Doğru:

\neg(\forall x\,P(x)) = \exists x\,\neg P(x).

2 — Eşitsizliğin sınırını unutmak

Yanlış:

\neg(x<5)=x>5.

Doğru:

\neg(x<5)=x\geq5.

$x=5$ durumu unutulmamalıdır.

3 — Koşullu ifadeyi yanlış değillemek

Yanlış:

\neg(P\Rightarrow Q) = \neg P\Rightarrow\neg Q.

Doğru:

\neg(P\Rightarrow Q) = P\land\neg Q.

4 — Niceleyicilerin sırasını değiştirmek

Genel olarak:

\forall x\,\exists y\,P(x,y)

ile

\exists y\,\forall x\,P(x,y)

aynı şey değildir.

Değilleme yaparken niceleyicilerin sırası korunur, yalnızca türleri dönüşür.

Örneğin:

\neg(\forall x\,\exists y\,P(x,y)) \equiv \exists x\,\forall y\,\neg P(x,y).

19. Kısa teknik çalışma

Aşağıdaki ifadelerin değillerini adım adım yazalım.

A

\forall x\in\mathbb R,\quad x\neq0.

Değili:

\exists x\in\mathbb R:\quad x=0.

B

\exists n\in\mathbb Z:\quad n<0.

Değili:

\forall n\in\mathbb Z,\quad n\geq0.

C

\forall x\in\mathbb R,\quad x\leq3\Rightarrow x^2\leq9.

Değili:

\exists x\in\mathbb R: \left( x\leq3 \land x^2>9 \right).

Burada gerçekten karşı örnek vardır.

Örneğin:

x=-4.

Çünkü:

-4\leq3

ama:

(-4)^2=16>9.

Dolayısıyla başlangıçtaki evrensel ifade yanlıştır.

Bu örnek, değillemenin yalnızca sembolik bir işlem olmadığını gösteriyor:

Değilleme bize neyi aramamız gerektiğini söylüyor.

20. Matematik haritasındaki bağlantı

Nereden geldik?

Önce:

P,\ Q

gibi önermeleri öğrendik.

Ardından:

\neg,\land,\lor

bağlaçlarını gördük.

Sonra:

P\Rightarrow Q

koşullu ifadelerini öğrendik.

01.02.04'te ise:

\forall,\exists

niceleyicileriyle tek tek nesnelerden bütün kümeler hakkında konuşmaya geçtik.

Şimdi bütün bunların değilini kesin biçimde kurabiliyoruz.

Nereye gidiyoruz?

Bu beceri bir sonraki birim olan:

01.02.06 — Mantıksal eşdeğerlik ve geçerli çıkarım

için doğrudan altyapıdır.

Daha sonra:

karşı örnek,
karşıt ters,
çelişkiyle ispat,
varlık ve teklik,
matematiksel analizde $\varepsilon$ – $\delta$ tanımları

gibi konularda tekrar tekrar kullanılacaktır.

Özellikle şu fikir ileride çok önemli olacak:

\boxed{ \text{Bir iddiayı anlamanın yollarından biri, onun tam olarak ne zaman yanlış olduğunu bilmektir.} }

21. Kısa sentez

Neden vardı?

Matematikte “her” ve “en az bir” içeren iddiaların yanlış olmasının tam olarak ne anlama geldiğini belirlemek için.

Ne öğrendik?

İki temel eşdeğerlik:

\boxed{ \neg(\forall x\,P(x)) \equiv \exists x\,\neg P(x) }

\boxed{ \neg(\exists x\,P(x)) \equiv \forall x\,\neg P(x) }

Ayrıca:

\boxed{ \neg(P\Rightarrow Q) \equiv P\land\neg Q }

Neyi artık yapabiliyoruz?

Niceleyicili ifadelerin değilini yazabiliyoruz.
Evrensel bir iddiayı çürütecek karşı örneğin neye benzemesi gerektiğini belirleyebiliyoruz.
İç içe niceleyicileri sistematik biçimde değilleyebiliyoruz.
Eşitsizliklerin ve koşullu ifadelerin değilini doğru kurabiliyoruz.

Sırada ne var?

Artık ifadelerin farklı görünmelerine rağmen aynı mantıksal şeyi söyleyip söylemediğini ve bir sonucun verilen bilgilerden gerçekten çıkıp çıkmadığını inceleyebiliriz.

Bu bizi mantıksal eşdeğerlik ve geçerli çıkarım konusuna götürecek.

22. Öğrenme kontrolü

Kavrama

“Her öğrenci sınavı geçti.” cümlesinin değili neden “Hiçbir öğrenci sınavı geçmedi.” değildir? Kendi sözlerinle açıkla.
Bir evrensel iddiayı çürütmek için neden tek bir karşı örnek yeterlidir?

Teknik

Aşağıdaki ifadenin değilini yaz:

\forall x\in\mathbb R,\quad x^2\leq10.

Aşağıdaki ifadenin değilini yaz:

\exists n\in\mathbb Z:\quad n^2=7.

Aşağıdaki ifadenin değilini yaz:

\forall x\in\mathbb R,\quad x>0\Rightarrow x+1>1.

Aşağıdaki ifadenin değilini yaz:

\forall x\in\mathbb R,\quad \exists y\in\mathbb R:\quad y<x.

Gerekçelendirme

Neden

\neg(\forall x\,P(x))

ile

\forall x\,\neg P(x)

aynı değildir? Küçük ve somut bir örnek oluştur.

Neden

\neg(P\Rightarrow Q)

ifadesinin

P\land\neg Q

olması gerekir? Sözel bir koşullu cümle kullanarak açıkla.

Transfer

Bir şirket şöyle bir güvenlik şartı koyuyor:

“Her kullanıcı en az bir doğrulama yöntemine sahiptir.”

Bunu niceleyicilerle temsil etmeye çalış ve şartın ihlal edildiği durumu matematiksel olarak ifade et.

Şu iddiayı düşün:

“Her tam sayının kendisinden büyük bir tam sayı vardır.”

Önce sembolik biçimde yaz. Ardından değilini çıkar ve değillenmiş cümlenin ne söylediğini günlük dille açıkla.

23. Birimin tamamlanma ölçütü

Bu birimi tamamlamış sayılmak için yalnızca

\forall\leftrightarrow\exists

dönüşümünü ezberlemek yeterli değildir.

Şunları yapabiliyor olmalısın:

Bir niceleyicili ifadenin neden o biçimde değillendiğini açıklamak.
Şu iki temel eşdeğerliği gerektiğinde yeniden kurabilmek:

\neg\forall \equiv \exists\neg,

\neg\exists \equiv \forall\neg.

Eşitlik, eşitsizlik, bağlaç ve koşullu ifadeleri içeren değillemeleri doğru yapmak.
İç içe niceleyicileri dıştan içe doğru değillemek.
Bir evrensel iddianın değilinden hareketle uygun karşı örneğin nasıl olması gerektiğini belirlemek.

Bu dersten kalması gereken tek cümle

“Her” iddiasının başarısız olması bir istisna gerektirir; “en az bir” iddiasının başarısız olması ise bütün adayların başarısız olmasını gerektirir.

Bunu gerçekten anlarsan niceleyici değilleme formüllerini unutmuş olsan bile yeniden kurabilirsin.