01.02.06 — Mantıksal Eşdeğerlik ve Geçerli Çıkarım

Birim kartı

Alan	Bilgi
Dünya	1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm	1.02 — Matematiksel Dil ve Mantık
Seviye	[A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar	01.02.01–01.02.05
Temel soru	Bir sonuç gerçekten verilen bilgilerden çıkıyor mu?
Tamamlanma ölçütü	Kısa bir matematiksel argümanın mantıksal olarak geçerli olup olmadığını gerekçelendirebilmek.

Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar matematiksel cümlelerin yapı taşlarını öğrendik:

Önerme
   │
   ├── değil
   ├── ve
   ├── veya
   │
   ├── eğer ... ise
   │
   ├── her
   └── en az bir

Artık tek tek ifadelerin ne anlama geldiğini biliyoruz.

Şimdi daha önemli bir soruya geçiyoruz:

Bu ifadelerle akıl yürüttüğümüzde ulaştığımız sonuç gerçekten zorunlu mu?

Bu birim, ileride öğreneceğimiz bütün ispat yöntemlerinin mantıksal altyapısını kurar.

1. Başlangıç problemi: İki akıl yürütme

Bir doğal sayı hakkında şu bilgiyi bildiğimizi düşünelim:

Eğer bir sayı 4'e tam bölünüyorsa, o sayı çifttir.

Sembolik olarak:

P \rightarrow Q

diyelim.

Burada:

$P$ : “Sayı 4'e tam bölünür.”
$Q$ : “Sayı çifttir.”

Şimdi iki farklı akıl yürütmeye bakalım.

Akıl yürütme A

Eğer sayı 4'e tam bölünüyorsa çifttir.
Sayı 4'e tam bölünüyor.
O hâlde sayı çifttir.

Sembolik biçimi:

P\rightarrow Q

P

\therefore Q

Bu son derece ikna edici görünüyor.

Şimdi ikinci akıl yürütmeye bakalım.

Akıl yürütme B

Eğer sayı 4'e tam bölünüyorsa çifttir.
Sayı çifttir.
O hâlde sayı 4'e tam bölünür.

Sembolik biçimi:

P\rightarrow Q

Q

\therefore P

İlk bakışta yapı çok benzer.

Ama örneğin sayı $6$ olsun:

$6$ çifttir.
Fakat $6$ , 4'e tam bölünmez.

Demek ki ikinci akıl yürütme bizi yanlış bir sonuca götürebiliyor.

İki akıl yürütme yalnızca sembollerin yerleri değiştirilmiş gibi görünürken neden biri güvenilir, diğeri değildir?

Daha genel soru şudur:

Bir sonucun öncüllerden gerçekten zorunlu olarak çıktığını nasıl anlayacağız?

İşte geçerli çıkarım fikrine bunun için ihtiyacımız var.

Fakat önce başka bir probleme ihtiyacımız olacak: Aynı mantıksal içeriği farklı biçimlerde yazabilmek.

Bu da bizi mantıksal eşdeğerliğe götürecek.

2. Neden yalnızca doğruluk yetmiyor?

Önce önemli bir ayrım yapalım.

Bir önermenin doğru olması ile bir akıl yürütmenin geçerli olması aynı şey değildir.

Şu üç cümleyi düşünelim:

Ankara Türkiye'nin başkentidir.
$2+2=4$ .
O hâlde Dünya Güneş'in etrafında döner.

Üç cümle de doğrudur.

Ama üçüncü cümle ilk ikisinden çıkmamaktadır.

Aralarında mantıksal bir bağlantı yoktur.

Dolayısıyla:

İki farklı soru

Doğruluk sorusu:

Bu önerme doğru mu?

Geçerlilik sorusu:

Bu sonuç, verilen öncüller doğru kabul edildiğinde zorunlu mu?

Bunlar farklı sorulardır.

Matematiksel ispatta yalnızca doğru cümleler söylemek yetmez.

Cümlelerin birbirini mantıksal olarak zorunlu kılması gerekir.

3. Bu fikir neden var?

Matematikte sürekli şu tür işler yaparız:

Bunu biliyorum.
Bundan şunu çıkarıyorum.
Bundan da başka bir sonuç elde ediyorum.

Örneğin:

n=2k

olduğunu biliyorsak:

n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)

yazar ve $n^2$ 'nin çift olduğunu söyleriz.

Bir ispat aslında böyle adımlardan oluşan uzun bir çıkarım zinciridir.

Fakat zincirde tek bir geçersiz adım bulunursa bütün ispat bozulabilir.

Bu nedenle matematik yalnızca:

“Sonuç doğru mu?”

diye sormaz.

Aynı zamanda:

“Sonuca hangi mantıksal hakla geçtin?”

diye sorar.

4. Tarihsel gelişim

Geçerli akıl yürütmenin sistematik biçimde incelenmesi çok eskiye gider.

Antik Yunan'da Aristoteles, özellikle kategorik önermeler arasındaki çıkarımları inceleyen sistematik bir kıyas teorisi geliştirdi.

Aynı dönemin ardından Stoacı mantıkçılar, özellikle önermeler arasındaki “eğer”, “veya” ve “değil” türü ilişkiler üzerinde çalışarak bugünkü önerme mantığına daha fazla benzeyen akıl yürütme biçimlerini incelediler.

Yüzyıllar boyunca mantık büyük ölçüde felsefenin parçası olarak gelişti.

yüzyılda ise George Boole mantıksal ilişkilerin cebirsel biçimde temsil edilebileceğini gösteren önemli çalışmalar yaptı. Ardından Gottlob Frege gibi matematikçiler, niceleyicileri ve matematiksel çıkarımları çok daha güçlü bir sembolik dil içinde ele aldılar.

Böylece mantık yalnızca “doğru düşünme sanatı” olmaktan çıkıp matematiğin kendisinin de matematiksel olarak incelenebildiği biçimsel bir alana dönüştü.

Bugün kullanacağımız mantıksal eşdeğerlik ve çıkarım kuralları bu uzun gelişimin modern matematiksel dildeki temel araçlarındandır.

5. Mantıksal eşdeğerlik

Önce şu iki ifadeyi karşılaştıralım:

P\rightarrow Q

\neg P\vee Q

Birincisi:

Eğer $P$ ise $Q$ .

İkincisi:

$P$ değil veya $Q$ .

Gündelik dilde oldukça farklı görünüyorlar.

Peki mantıksal davranışları gerçekten farklı mı?

Doğruluk tablosunu oluşturalım.

$P$	$Q$	$P\rightarrow Q$	$\neg P$	$\neg P\vee Q$
D	D	D	Y	D
D	Y	Y	Y	Y
Y	D	D	D	D
Y	Y	D	D	D

Son iki sütuna dikkat et:

P\rightarrow Q

ile

\neg P\vee Q

her durumda aynı doğruluk değerine sahip.

Mantıksal eşdeğerlik

İki önerme, mümkün olan bütün doğruluk durumlarında aynı doğruluk değerine sahipse mantıksal olarak eşdeğerdir.

$P$ ve $Q$ mantıksal olarak eşdeğerse bunu:

P\equiv Q

biçiminde gösterebiliriz.

Dolayısıyla:

P\rightarrow Q \equiv \neg P\vee Q

yazabiliriz.

Mantıksal eşdeğerlik:

Aynı düşüncenin farklı mantıksal biçimlerde yazılmasıdır.

İfadeler aynı kelimeleri kullanmak zorunda değildir.

Önemli olan bütün olası durumlarda aynı doğruluk davranışını göstermeleridir.

6. Eşdeğerlik ile “ancak ve ancak” arasındaki ilişki

Önceki derste:

P\leftrightarrow Q

ifadesini görmüştük.

Bu, başlı başına bir önermedir:

$P$ ancak ve ancak $Q$ .

Mantıksal eşdeğerlik ise iki formülün bütün olası durumlarda aynı doğruluk değerine sahip olduğunu söyleyen bir ilişkidir.

Aralarında çok güçlü bir bağlantı vardır:

$P$ ile $Q$ mantıksal olarak eşdeğerse:

P\leftrightarrow Q

her durumda doğrudur.

Yani bir totolojidir.

Başka bir deyişle:

P\equiv Q

tam olarak:

P\leftrightarrow Q

ifadesinin her durumda doğru olması demektir.

Bu ayrım ileride özellikle ispatlarda önem kazanacaktır.

7. Temel mantıksal eşdeğerlikler

Daha önce öğrendiğimiz bazı kuralları şimdi tek bir fikir altında görebiliriz.

Çift değilleme

\neg(\neg P)\equiv P

“ $P$ değil değildir” demek yeniden $P$ demektir.

De Morgan eşdeğerlikleri

\neg(P\wedge Q) \equiv \neg P\vee\neg Q

ve:

\neg(P\vee Q) \equiv \neg P\wedge\neg Q

Bunları önceki derslerde değilleme yaparken kullanmıştık.

Artık daha genel bir şey söyleyebiliriz:

Bunlar yalnızca kullanışlı kurallar değil, mantıksal eşdeğerliklerdir.

Koşullu önermenin eşdeğeri

P\rightarrow Q \equiv \neg P\vee Q

Karşıt ters eşdeğerliği

Önceki dersten hatırlayalım:

P\rightarrow Q

önermesinin karşıt tersi:

\neg Q\rightarrow\neg P

idi.

Bunlar mantıksal olarak eşdeğerdir:

P\rightarrow Q \equiv \neg Q\rightarrow\neg P

Bu sonuç ileride karşıt ters ile ispatın neden çalıştığını açıklayacaktır.

“Ancak ve ancak”ın açılması

P\leftrightarrow Q \equiv (P\rightarrow Q)\wedge(Q\rightarrow P)

Dolayısıyla bir “ancak ve ancak” iddiası aslında iki yönlü koşul taşır:

$P\rightarrow Q$
$Q\rightarrow P$

Bu nedenle ileride:

“ $P$ ancak ve ancak $Q$ ”

şeklindeki bir teoremi ispatlamak için genellikle iki ayrı yönü ispatlamamız gerekecektir.

8. Eşdeğerlik neden kullanışlı?

Bir ifadenin biçimi bazen problemi zorlaştırabilir.

Eşdeğerlik sayesinde anlamı değiştirmeden ifadeyi daha kullanışlı bir biçime dönüştürebiliriz.

Bir koşulu yeniden yazmak

Şu ifadeyi düşünelim:

P\rightarrow Q

Bunu eşdeğer biçimde:

\neg P\vee Q

yazabiliriz.

Ya da karşıt tersini kullanarak:

\neg Q\rightarrow\neg P

biçimine geçebiliriz.

Üç ifade farklı görünür:

P\rightarrow Q

\neg P\vee Q

\neg Q\rightarrow\neg P

ama aynı mantıksal bilgiyi taşırlar.

Bu matematikte çok güçlüdür.

Çünkü bazen bir teoremi doğrudan ispatlamak zor olurken eşdeğer biçimini ispatlamak kolay olabilir.

9. Şimdi ikinci problem: Çıkarım

Mantıksal eşdeğerlik bize:

“İki ifade aynı mantıksal içeriği taşıyor mu?”

sorusunu cevaplıyor.

Fakat matematikte sık sık başka bir durum vardır:

Birkaç bilgi veriliyor ve bunlardan yeni bir sonuç çıkarıyoruz.

Örneğin:

P\rightarrow Q

ve:

P

biliniyor.

Bundan:

Q

sonucuna geçiyoruz.

Burada $P\rightarrow Q$ ile $Q$ eşdeğer değildir.

Yeni bir kavrama ihtiyacımız vardır:

çıkarım.

10. Öncül ve sonuç

Bir argüman kabaca iki parçadan oluşur:

Kabul ettiğimiz veya daha önce gösterdiğimiz bilgiler: öncüller
Bunlardan çıkardığımız yeni ifade: sonuç

Bir çıkarımın yapısı

Öncül 1 ─┐
         │
Öncül 2 ─┼──► ÇIKARIM ───► Sonuç
         │
Öncül 3 ─┘

Bir veya daha fazla öncül, mantıksal çıkarım yoluyla bir sonuca götürür.

Örneğin:

Bütün 4'ün katları çifttir.
28, 4'ün katıdır.
O hâlde 28 çifttir.

İlk iki cümle öncüllerdir.

Son cümle sonuçtur.

11. Geçerli çıkarım nedir?

Şu soru kritik:

Öncüller doğruysa sonuç yanlış olabilir mi?

Eğer cevap hayır ise çıkarım geçerlidir.

Geçerli çıkarım

Bir argüman, bütün öncüllerin doğru olduğu hiçbir durumda sonucun yanlış olması mümkün değilse mantıksal olarak geçerlidir.

Başka bir deyişle:

Öncüllerin doğruluğu, sonucun doğruluğunu zorunlu kılıyorsa çıkarım geçerlidir.

Bu tanımın en önemli kısmı “sonucun gerçekten doğru olması” değildir.

Önemli olan:

Öncüller doğru olduğunda sonucun yanlış olmasının imkânsız olmasıdır.

12. Geçerliliği doğruluk tablosuyla görmek

İki öncülümüz olsun:

P\rightarrow Q

ve:

P

Sonuç:

Q

Şimdi bütün olasılıkları görelim.

$P$	$Q$	$P\rightarrow Q$	İki öncül de doğru mu?	Sonuç $Q$
D	D	D	Evet	D
D	Y	Y	Hayır	Y
Y	D	D	Hayır	D
Y	Y	D	Hayır	Y

Bizi yalnızca bütün öncüllerin aynı anda doğru olduğu satır ilgilendiriyor.

Bu yalnızca ilk satırdır.

Orada sonuç da doğrudur.

Dolayısıyla:

P\rightarrow Q,\ P\ \therefore Q

geçerlidir.

Bir çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için bütün doğruluk tablosunu ezberlememiz gerekmez.

Şunu bulmamız yeterlidir:

Bütün öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu tek bir mümkün durum.

Böyle bir durum varsa çıkarım geçersizdir.

Bu durum çıkarımın karşı örneğidir.

Burada önceki birimlerde öğrendiğimiz karşı örnek fikrinin mantıksal kökenini görüyoruz.

13. Modus ponens

Az önce kullandığımız çıkarım mantığın en temel kurallarından biridir.

Modus ponens

P\rightarrow Q

P

\therefore Q

biçimindeki çıkarıma modus ponens denir.

Sözel biçimi:

Eğer $P$ ise $Q$ .
$P$ doğrudur.
O hâlde $Q$ doğrudur.

Kelimeyi ezberlemek önemli değildir.

Önemli olan mantığıdır:

Bir koşullu ifade bize bir tür garanti verir:

“ $P$ gerçekleşirse $Q$ gerçekleşir.”

Sonra gerçekten $P$ 'nin gerçekleştiğini öğrenirsek artık garantinin sonucunu kullanabiliriz.

Matematiksel modus ponens

Öncül:

Eğer $n$ çiftse $n^2$ çifttir.

İkinci bilgi:

$n=6$ çifttir.

Dolayısıyla:

$6^2$ çifttir.

Mantıksal yapı:

P\rightarrow Q

P

\therefore Q

14. Modus tollens

Şimdi başka bir çıkarım düşünelim.

P\rightarrow Q

olduğunu biliyoruz.

Ayrıca:

\neg Q

olduğunu öğreniyoruz.

Ne söyleyebiliriz?

Eğer $P$ doğru olsaydı, koşullu önerme gereği $Q$ da doğru olmak zorundaydı.

Ama $Q$ 'nun yanlış olduğunu biliyoruz.

Demek ki $P$ doğru olamaz.

Dolayısıyla:

\neg P

Modus tollens

P\rightarrow Q

\neg Q

\therefore \neg P

biçimindeki geçerli çıkarıma modus tollens denir.

Bu kural aslında karşıt ters eşdeğerliğiyle yakından ilişkilidir.

Çünkü:

P\rightarrow Q \equiv \neg Q\rightarrow\neg P

idi.

Dolayısıyla ilk öncülü eşdeğer biçimine dönüştürürsek:

\neg Q\rightarrow\neg P

elde ederiz.

Sonra:

\neg Q

bilgisini kullanarak modus ponens uygularız:

\therefore \neg P

P\rightarrow Q

Karşıt ters eşdeğerliği:

\neg Q\rightarrow\neg P

İkinci öncül:

\neg Q

Modus ponens:

\therefore \neg P

Böylece iki kavramımız birbirine bağlandı:

Mantıksal eşdeğerlikler, yeni geçerli çıkarımları görmemizi sağlayabilir.

15. Matematikte modus tollens örneği

Bir sayının tek olduğunu çıkarmak

Şu teoremi bildiğimizi düşünelim:

Eğer $n$ çiftse $n^2$ çifttir.

Sembolik olarak:

P\rightarrow Q

Şimdi:

$n^2$ çift değildir.

yani:

\neg Q

olduğunu biliyoruz.

Modus tollens bize:

\neg P

sonucunu verir.

Yani:

$n$ çift değildir.

Bir doğal sayı çift değilse tektir.

Dolayısıyla:

$n$ tektir.

Bu düşünce ileride ispatlarda çok sık kullanılacaktır.

16. İki başka kullanışlı geçerli çıkarım

Modus ponens ve modus tollens bu birimin merkezidir. Ancak aynı düşünceyle başka temel çıkarımlar da kurulabilir.

Zincirleme çıkarım

Eğer:

P\rightarrow Q

ve:

Q\rightarrow R

ise:

P\rightarrow R

sonucuna ulaşabiliriz.

Eğer bir sayı 8'in katıysa 4'ün katıdır.
Eğer 4'ün katıysa çifttir.

Dolayısıyla:

Eğer sayı 8'in katıysa çifttir.

Bu yapı uzun matematiksel ispatların temelidir:

P
│
▼
Q
│
▼
R
│
▼
S

Her ok geçerliyse bütün zincir güvenilirdir.

Ayrık seçenekten eleme

Şunları biliyorsak:

P\vee Q

ve:

\neg P

o hâlde:

Q

olmalıdır.

Örneğin:

Bir tam sayı ya çifttir ya tektir.
Sayı çift değildir.
O hâlde tektir.

Bu da geçerli bir çıkarım biçimidir.

17. Şimdi tuzaklar: Sonucu doğrulama hatası

Başlangıçtaki ikinci akıl yürütmeye geri dönelim:

P\rightarrow Q

Q

\therefore P

Bu geçerli değildir.

Buna koşullu önermenin sonucunu doğrulama hatası denir.

Sonucu doğrulamak neden geçersiz?

$P$ :

Sayı 4'ün katıdır.

$Q$ :

Sayı çifttir.

Doğru olan:

P\rightarrow Q

Şimdi $Q$ doğru olsun.

Örneğin sayı:

6

olsun.

$6$ çifttir, yani $Q$ doğrudur.

Fakat $6$ , 4'ün katı değildir.

Yani $P$ yanlıştır.

Dolayısıyla şu yapı:

P\rightarrow Q,\ Q\ \therefore P

geçersizdir.

P\rightarrow Q

demek:

“ $P$ , $Q$ için yeterlidir.”

demektir.

Bu ifade:

Q\rightarrow P

anlamına gelmez.

Bir sonucun gerçekleşmesinin başka sebepleri de olabilir.

18. Öncülü reddetme hatası

İkinci yaygın hata şöyledir:

P\rightarrow Q

\neg P

\therefore \neg Q

Bu da geçerli değildir.

Öncülü reddetmek neden geçersiz?

$P$ :

Şekil karedir.

$Q$ :

Şekil dikdörtgendir.

Doğru olan:

P\rightarrow Q

çünkü her kare bir dikdörtgendir.

Şimdi:

Şekil kare değildir.

yani:

\neg P

olsun.

Buradan:

Şekil dikdörtgen değildir.

sonucunu çıkarabilir miyiz?

Hayır.

Örneğin kenarları $2$ ve $5$ birim olan bir dikdörtgen kare değildir ama yine de dikdörtgendir.

Dolayısıyla:

P\rightarrow Q,\ \neg P\ \therefore\neg Q

geçersizdir.

19. Dört benzer yapı — yalnız ikisi geçerli

Bu dört biçimi yan yana görmek çok önemlidir.

Biçim	Yapı	Durum
Modus ponens	$P\rightarrow Q,\ P\therefore Q$	Geçerli
Modus tollens	$P\rightarrow Q,\ \neg Q\therefore\neg P$	Geçerli
Sonucu doğrulama	$P\rightarrow Q,\ Q\therefore P$	Geçersiz
Öncülü reddetme	$P\rightarrow Q,\ \neg P\therefore\neg Q$	Geçersiz

Ezber yerine yapı

Tabloyu ezberlemek yerine şu soruyu sor:

$P\rightarrow Q$ bize gerçekten hangi yön hakkında bilgi veriyor?

Yalnızca:

P\longrightarrow Q

yönünü garanti ediyor.

Bu nedenle:

$P$ 'yi bilirsek $Q$ 'ya gidebiliriz.
$Q$ 'nun yanlışlığını bilirsek karşıt ters yoluyla $P$ 'nin yanlışlığına gidebiliriz.

Ama:

$Q$ 'dan doğrudan $P$ 'ye,
$\neg P$ 'den doğrudan $\neg Q$ 'ya

geçemeyiz.

20. Geçerli argüman ile doğru sonuç aynı şey değildir

Burada çok önemli ve ilk bakışta tuhaf gelebilecek bir nokta var.

Şu argümana bakalım:

Eğer $10$ asal sayıysa $10$ tektir.
$10$ asal sayıdır.
O hâlde $10$ tektir.

İçerik bakımından:

birinci öncül yanlıştır,
ikinci öncül yanlıştır,
sonuç da yanlıştır.

Fakat argümanın biçimi:

P\rightarrow Q

P

\therefore Q

olduğu için çıkarım biçimi modus ponens'tir ve geçerlidir.

Bu ilk başta şaşırtıcı olabilir.

Geçerlilik biçimle ilgilidir

Geçerlilik:

“Öncüller gerçekten doğru mu?”

sorusunu cevaplamaz.

Şunu sorar:

“Öncüllerin tamamı doğru olsaydı sonuç yanlış olabilir miydi?”

Modus ponens'te bunun cevabı hayırdır.

Dolayısıyla güvenilir bir matematiksel argümanda iki şey isteriz:

Çıkarım biçimleri geçerli olmalı.
Başlangıç öncüllerimiz gerçekten doğru olmalı veya daha önce ispatlanmış olmalı.

Mantıkta geçerli olan ve ayrıca öncülleri gerçekten doğru olan argümanlar için “sağlam argüman” (sound argument) terimi kullanılabilir.

Bu birimin ana konusu geçerliliktir; fakat iki kavramın aynı olmadığını bilmek önemlidir.

21. Geçersiz bir argümanı nasıl çürütürüz?

Bir çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için tek bir şey yeterlidir:

Öncüllerin hepsinin doğru, sonucun yanlış olduğu bir durum bulmak.

Bu tam olarak karşı örnek mantığıdır.

Bir çıkarımı karşı örnekle çürütmek

İddia edilen çıkarım:

P\rightarrow Q

Q

\therefore P

Bir karşı örnek seçelim:

$P$ :

$12$ , 8'in katıdır.

Bu yanlıştır.

$Q$ :

$12$ , 4'ün katıdır.

Bu doğrudur.

Ayrıca:

Eğer bir sayı 8'in katıysa 4'ün katıdır.

ifadesi doğrudur.

Yani öncüller:

P\rightarrow Q

ve:

Q

doğru olduğu hâlde sonuç:

P

yanlıştır.

Tek bir örnek çıkarım biçimini çürütmeye yeter.

Bu fikir ileride ispat konusunda merkezi olacaktır:

Evrensel bir iddiayı doğrulamak çok şey gerektirebilir;
fakat yanlışlığını göstermek için çoğu zaman tek bir karşı örnek yeterlidir.

22. Eşdeğerlik ile çıkarım arasındaki temel fark

Bu iki kavramı birbirine karıştırmamak gerekir.

Mantıksal eşdeğerlik

P\equiv Q

dediğimizde:

$P$ ve $Q$ bütün durumlarda aynı doğruluk değerine sahiptir.

Bu ilişki iki yönlüdür.

$P$ yerine $Q$ , $Q$ yerine $P$ kullanılabilir.

Geçerli çıkarım

Örneğin:

P,\ P\rightarrow Q\ \therefore Q

dediğimizde:

Belirli öncüller doğru kabul edildiğinde $Q$ zorunlu hâle geliyor.

Burada öncüller ile sonuç birbirine eşdeğer olmak zorunda değildir.

Eşdeğerlik ve çıkarım

MANTIKSAL EŞDEĞERLİK

      P  ◄────────►  Q
          aynı
      doğruluk yapısı


GEÇERLİ ÇIKARIM

Öncüller ─────────► Sonuç
          zorunlu
           geçiş

Mantıksal eşdeğerlik iki ifade arasında iki yönlü aynı anlam ilişkisi kurarken çıkarım öncüllerden sonuca doğru zorunlu bir geçiş kurar.

Eşdeğerlik:
“Aynı şeyi başka biçimde söyleyebilir miyim?”

Çıkarım:
“Bildiğim şeylerden bunu söylemeye hakkım var mı?”

Bu ayrım bütün matematiksel ispat pratiğinin temelidir.

23. Bir matematiksel ispat aslında nedir?

İleride ispat bölümüne geçtiğimizde çok daha ayrıntılı göreceğiz.

Ama artık ispatın temel yapısını sezebiliriz.

Bir teorem:

P\rightarrow Q

biçiminde olsun.

İspatta genellikle $P$ 'yi kabul ederiz.

Sonra daha önce bildiğimiz tanımlar, teoremler ve geçerli çıkarımlarla ilerleriz:

Bir ispatın mantıksal zinciri

Varsayım P
    │
    ▼
  Sonuç 1
    │
    ▼
  Sonuç 2
    │
    ▼
  Sonuç 3
    │
    ▼
  ...
    │
    ▼
   Q

Bir ispat varsayımdan başlayarak her biri geçerli olan ara çıkarımlarla sonuca ulaşır.

Her okun mantıksal olarak gerekçelendirilmiş olması gerekir.

Bu nedenle:

İspat, yalnızca doğru cümlelerden oluşan bir metin değil; geçerli çıkarımlardan oluşan bir zincirdir.

24. Daha gerçek bir matematik örneği

Bir teorem ispatlayalım:

Eğer $n$ çiftse $n^2$ çifttir.

$n$ çift olsun.

Çift sayı tanımına göre bir $k\in\mathbb Z$ vardır ve:

n=2k

olur.

Her iki tarafın karesini alırsak:

n^2=(2k)^2

dolayısıyla:

n^2=4k^2

ve:

n^2=2(2k^2)

elde ederiz.

$2k^2$ bir tam sayı olduğuna göre $n^2$ , 2'nin bir tam sayı katıdır.

Dolayısıyla $n^2$ çifttir.

Mantıksal gözle bakarsak

Bu kısa ispatta bile bir çıkarım zinciri vardır:

n çift
   │
   ▼
n = 2k olacak bir k tam sayısı vardır
   │
   ▼
n² = 4k²
   │
   ▼
n² = 2(2k²)
   │
   ▼
n² çift

İleride ispat öğrenirken yapacağımız şey, bu zincirlerin neden geçerli olduğunu daha bilinçli biçimde kurmaktır.

25. Mantıksal eşdeğerlik matematikte nerede kullanılır?

Matematiksel ispatlar

Bir teoremin doğrudan biçimi zor olabilir.

Örneğin:

P\rightarrow Q

yerine mantıksal olarak eşdeğer olan karşıt tersini:

\neg Q\rightarrow\neg P

ispatlamak bazen çok daha kolaydır.

Bu nedenle ileride karşıt ters ile ispat bağımsız bir yöntem olarak karşımıza çıkacaktır.

Cebir ve matematiksel dönüşümler

Bir matematiksel ifadenin eşdeğer biçimlerini bulmak, cebirde yaptığımız dönüşümlerin mantıksal karşılığıdır.

Ama önemli bir fark vardır:

Cebirde sayı veya ifadelerin değerlerini koruyan dönüşümlerle;

mantıkta ise ifadelerin doğruluk yapılarını koruyan dönüşümlerle çalışırız.

Bilgisayarlar ve dijital devreler

Bilgisayar programlarındaki koşullar:

if (...)

yapıları mantıksal ifadelerden oluşur.

Örneğin bir koşul:

\neg(P\wedge Q)

yerine De Morgan eşdeğerliğiyle:

\neg P\vee\neg Q

biçiminde yazılabilir.

Aynı mantıksal sonucu veren fakat hesaplama veya devre bakımından daha uygun ifadeler seçilebilir.

Dijital elektronik devrelerinde de aynı Boolean ifadelerinin eşdeğer biçimleri kullanılarak devre yapıları dönüştürülebilir.

Program doğrulama ve otomatik ispat

Bir yazılım sisteminin belirli koşullarda güvenli davranacağını göstermek de özünde çıkarım problemidir:

Başlangıç koşulları
        │
        ▼
Program kuralları
        │
        ▼
Beklenen sonuç

Soru yine aynıdır:

Başlangıç koşulları ve kurallar doğruysa istenen sonuç zorunlu mu?

Modern otomatik teorem ispatlayıcılar ve biçimsel doğrulama sistemleri bu mantıksal yapıları bilgisayar ortamında sistematik biçimde işler.

26. Mantığın sınırı: “Eğer” her zaman neden-sonuç değildir

Matematiksel:

P\rightarrow Q

ifadesi yalnızca bir doğruluk ilişkisini ifade eder.

Mutlaka fiziksel bir neden-sonuç ilişkisi anlatmaz.

Örneğin:

Eğer $12$ çiftse Paris Fransa'dadır.

İki önerme arasında hiçbir nedensel bağlantı yoktur.

Fakat öncül ve sonuç doğru olduğu için klasik önerme mantığında koşullu ifade doğrudur.

Gündelik dilde:

“Eğer yağmur yağarsa yollar ıslanır.”

cümlesini çoğu zaman nedensel bir ilişki gibi anlarız.

Matematiksel önerme mantığındaki:

P\rightarrow Q

ise tek başına nedensellik, zaman sırası veya açıklama ilişkisi taşımaz.

Bu bir mantıksal koşuldur.

Bu ayrım özellikle ileride matematiksel metinleri gündelik dil sezgileriyle yanlış yorumlamamamız için önemlidir.

27. Sık yapılan hatalar

1. Tersini otomatik doğru sanmak

P\rightarrow Q

doğruysa:

Q\rightarrow P

zorunlu olarak doğru değildir.

Örnek:

4'ün katı $\rightarrow$ çift.

ama:

çift $\rightarrow$ 4'ün katı

yanlıştır.

2. Karşıt ters ile tersi karıştırmak

$P\rightarrow Q$ 'nun:

tersi

Q\rightarrow P

iken,

karşıt tersi

\neg Q\rightarrow\neg P

dir.

Yalnızca karşıt ters, özgün koşullu önerme ile mantıksal olarak eşdeğerdir.

3. Sonuç doğru diye argümanı geçerli sanmak

Bir argümanın sonucunun doğru çıkması, kullanılan mantığın doğru olduğunu göstermez.

Yanlış bir akıl yürütmeyle tesadüfen doğru sonuca ulaşılabilir.

Matematikte yalnızca sonuç değil gerekçe de kontrol edilir.

4. Geçerli argümanda bütün cümlelerin doğru olması gerektiğini sanmak

Geçerlilik önermelerin gerçek dünyadaki doğruluğunu değil, çıkarımın yapısını inceler.

Bir argüman geçerli olduğu hâlde yanlış öncüllere sahip olabilir.

28. Bir argümanı incelerken kullanacağımız yöntem

Bir matematiksel akıl yürütme gördüğünde şu sırayı kullanabilirsin.

1. Basit önermeleri belirle

Örneğin:

2. Öncülleri ayır

Hangi bilgiler veriliyor?

3. Sonucu ayır

Neyi kanıtlamaya veya çıkarmaya çalışıyoruz?

4. Mantıksal biçimi yaz

Örneğin:

P\rightarrow Q,\quad P\quad\therefore Q

5. Geçerli bir çıkarım kuralına uyuyor mu?

Modus ponens, modus tollens veya başka bilinen bir yapı olabilir.

6. Emin değilsen karşı örnek ara

Şunu mümkün kılmaya çalış:

Öncüllerin tamamı doğru, sonuç yanlış.

Bunu başarabiliyorsan argüman geçersizdir.

7. Gerekirse doğruluk tablosu kullan

Özellikle kısa önerme mantığı problemlerinde bu kesin bir yöntemdir.

29. Birkaç örneği birlikte inceleyelim

Örnek 1 — Geçerli

Eğer $x>5$ ise $x>2$ .
$x>5$ .
O hâlde $x>2$ .

Yapı:

P\rightarrow Q

P

\therefore Q

Bu modus ponenstir.

Çıkarım geçerlidir.

Örnek 2 — Geçerli

Eğer $n$ 10'un katıysa $n$ çifttir.
$n$ çift değildir.
O hâlde $n$ 10'un katı değildir.

Yapı:

P\rightarrow Q

\neg Q

\therefore\neg P

Bu modus tollenstir.

Çıkarım geçerlidir.

Örnek 3 — Geçersiz

Eğer $n$ 10'un katıysa $n$ çifttir.
$n$ çifttir.
O hâlde $n$ 10'un katıdır.

Yapı:

P\rightarrow Q

Q

\therefore P

Karşı örnek:

n=6

Öncüller doğru, sonuç yanlıştır.

Dolayısıyla çıkarım geçersizdir.

Örnek 4 — Geçersiz

Eğer şekil kareyse dörtgendir.
Şekil kare değildir.
O hâlde dörtgen değildir.

Yapı:

P\rightarrow Q

\neg P

\therefore\neg Q

Bir dikdörtgen seçersek öncüller doğru olduğu hâlde sonuç yanlış olur.

Dolayısıyla çıkarım geçersizdir.

30. Eşdeğerlik ile çıkarımı birlikte kullanmak

Şimdi bu birimin iki ana fikrini aynı problemde birleştirelim.

Elimizde:

P\rightarrow Q

ve:

\neg Q

olsun.

Doğrudan modus tollens diyebiliriz.

Fakat neden çalıştığını adım adım görmek istersek:

1. Eşdeğerlik kullan

P\rightarrow Q \equiv \neg Q\rightarrow\neg P

2. İlk öncülü eşdeğer biçimiyle değiştir

\neg Q\rightarrow\neg P

3. Diğer öncülü kullan

\neg Q

4. Modus ponens uygula

\therefore\neg P

Büyük fikir

Mantıksal akıl yürütmede iki farklı hareket yapabiliriz:

Eşdeğer dönüşüm

\text{Bir ifadeyi anlamını değiştirmeden başka biçime sokmak}

ve:

Geçerli çıkarım

\text{Bilinen ifadelerden zorunlu yeni sonuç üretmek}

Matematiksel ispatların büyük kısmında bu iki hareket sürekli iç içe kullanılır.

31. Matematik haritasında bundan sonra ne olacak?

Şimdiye kadar öğrendiklerimiz:

Önerme
   │
   ▼
Mantıksal bağlaçlar
   │
   ▼
Koşullu önerme
   │
   ▼
Niceleyiciler
   │
   ▼
Değilleme
   │
   ▼
Mantıksal eşdeğerlik
ve geçerli çıkarım

Böylece matematiksel dilin temel mantık katmanını tamamlamış oluyoruz.

Bu birim daha sonra özellikle şuralarda yeniden karşımıza çıkacak:

Mantıksal eşdeğerlik ve geçerli çıkarım
                  │
                  ├──► Doğrudan ispat
                  │
                  ├──► Karşıt ters ile ispat
                  │
                  ├──► Çelişkiyle ispat
                  │
                  ├──► Varlık ve teklik ispatları
                  │
                  └──► Matematiksel teorilerin tamamı

Bir teoremi ispatlamak artık yalnızca “doğru sonuca ulaşmak” değildir.

Her adımda şu soruyu sormaya başlayacağız:

Bu adım önceki bilgilerden gerçekten çıkıyor mu?

32. Kısa sentez

Neden vardı?

Matematikte doğru cümleler söylemek yetmez. Bir sonucun verilen bilgilerden zorunlu olarak çıkıp çıkmadığını ayırt etmemiz gerekir.

Ne öğrendik?

İki önerme bütün doğruluk durumlarında aynı davranıyorsa:

P\equiv Q

mantıksal olarak eşdeğerdir.

Bir çıkarımda öncüllerin tamamının doğru, sonucun yanlış olduğu hiçbir durum yoksa çıkarım geçerlidir.

İki temel geçerli biçim:

P\rightarrow Q,\quad P \quad\therefore\quad Q

modus ponens

ve:

P\rightarrow Q,\quad\neg Q \quad\therefore\quad \neg P

modus tollens.

İki yaygın geçersiz biçim:

P\rightarrow Q,\quad Q \quad\therefore\quad P

ve:

P\rightarrow Q,\quad\neg P \quad\therefore\quad \neg Q.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Kısa bir matematiksel argümanın yapısını çıkarıp:

öncülleri,
sonucu,
kullanılan çıkarım biçimini,
olası mantık hatasını

belirleyebiliriz.

Bir çıkarımın geçersizliğini karşı örnekle gösterebiliriz.

Sırada ne var?

Artık matematiksel ifadeleri yalnızca okuyabiliyor değiliz; onlarla güvenilir biçimde akıl yürütmeye başlayabiliyoruz.

Bu mantıksal altyapı ileride doğrudan:

“İspat nedir ve bir matematiksel iddianın doğru olduğunu nasıl gösteririz?”

sorusuna dönüşecek.

33. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Mantıksal eşdeğerlik ne demektir? Kendi sözlerinle açıkla.
Bir argümanın sonucunun doğru olması neden argümanın geçerli olduğunu göstermeye yetmez?
“Geçerli çıkarım” tanımındaki şu bölüm neden önemlidir?

Öncüllerin hepsi doğruyken sonucun yanlış olduğu hiçbir durum yoktur.
Mantıksal eşdeğerlik ile geçerli çıkarım arasındaki temel fark nedir?

Teknik

Aşağıdaki ifadelerin mantıksal olarak eşdeğer olup olmadığını doğruluk tablosuyla incele:

P\rightarrow Q

ve:

\neg P\vee Q

Aşağıdaki çıkarımın biçimini belirle ve geçerli olup olmadığını söyle:

P\rightarrow Q

P

\therefore Q

Aşağıdakini incele:

P\rightarrow Q

\neg Q

\therefore\neg P

Kullanılan çıkarım kuralının adını söyle ve neden çalıştığını karşıt ters eşdeğerliğiyle açıkla.

Gerekçelendirme

Şu çıkarımın geçersiz olduğunu somut bir matematiksel karşı örnekle göster:

P\rightarrow Q

Q

\therefore P

Şu çıkarım neden geçersizdir?

P\rightarrow Q

\neg P

\therefore\neg Q

Yalnızca “kural böyle” deme; öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu bir durum kur.

Neden:

P\rightarrow Q

ile:

\neg Q\rightarrow\neg P

arasındaki eşdeğerlik modus tollens'i açıklamaya yardım eder?

Transfer

Şu bilgileri kullan:

Eğer bir tam sayının son rakamı 0 ise sayı 5'e tam bölünür.
Bir sayı 5'e tam bölünmüyor.

Bu bilgilerden hangi sonucu geçerli biçimde çıkarabilirsin? Mantıksal yapısını sembollerle göster.

Bir kişi şöyle diyor:

“Eğer bir hayvan köpekse memelidir. Bu hayvan memeli. Demek ki köpek.”

Akıl yürütmedeki mantık hatasını teşhis et ve sonucu çürüten bir karşı örnek ver.

Kendin:

bir modus ponens,
bir modus tollens,
bir sonucu doğrulama hatası,
bir öncülü reddetme hatası

örneği oluştur.

Her birinde $P$ ve $Q$ önermelerinin ne olduğunu açıkça belirt.