1.03.01 — Küme, Eleman ve Alt Küme

Haritadaki yerimiz

Şimdiye kadar matematiksel ifadelerin nasıl kurulduğunu öğrendik.

Bir ifadenin önerme olup olmadığını ayırt ettik, değişkenlerle çalıştık ve

niceleyicilerini kullanarak “her” ve “en az bir” türündeki ifadeleri matematiksel olarak kesinleştirdik.

Şimdi yeni bir ihtiyaç ortaya çıkıyor:

Matematiksel nesnelerin yalnızca tek tek kendileriyle değil, bir araya gelerek oluşturdukları topluluklarla da konuşmak istiyoruz.

Örneğin:

• çift doğal sayılar,
• bir denklemin bütün çözümleri,
• bir üçgenin köşeleri,
• İstanbul'daki ilçeler,
• bir deneyin mümkün bütün sonuçları,
• bir fonksiyonun kabul ettiği bütün girdiler

tek tek nesnelerden oluşur; fakat matematik çoğu zaman bu nesnelerin topluluğunu tek bir matematiksel nesne gibi ele almak ister.

Bu ihtiyaç bizi küme fikrine götürür.

1. Başlangıç problemi: tek tek nesneler yetiyor mu?

Şöyle bir topluluk düşünelim:

Bunların içinden çift olanları seçelim:

Şimdi şu soruları sorabiliriz:

• $6$ seçtiğimiz topluluğun içinde mi?
• $7$ içinde mi?
• Bütün $4$'ün katları bu topluluğun içinde mi?
• Başka bir kişi elemanları farklı sırada yazarsa aynı topluluktan mı söz etmiş olur?
• Bir topluluğun içinde başka bir topluluğun bütünü bulunabilir mi?
• Hiç elemanı olmayan bir topluluktan söz edebilir miyiz?

Bunları her defasında

“2, 4, 6, 8 ve 10 sayılarından oluşan topluluk...”

diye anlatmak mümkün.

Ama matematik ilerledikçe topluluklar yüzlerce, sonsuz hatta çok daha soyut nesne içerebilir.

Örneğin:

“Karesi 2 olan bütün reel sayılar.”

veya:

“Bir fonksiyonun değerini sıfır yapan bütün girdiler.”

Artık nesneleri tek tek sayamayabiliriz.

2. Eski dil neden yetmiyor?

Gündelik dilde şöyle ifadeler kullanabiliriz:

“Çift sayılar grubu.”

“Pozitif sayılar topluluğu.”

“Bu sınıftaki öğrenciler.”

Bunlar çoğu zaman anlaşılır.

Fakat matematikte üç şey gereklidir:

1. Hangi nesnelerden söz ettiğimiz açık olmalıdır.
2. Bir nesnenin topluluğa ait olup olmadığı belirlenebilmelidir.
3. Farklı topluluklar arasında kesin ilişkiler kurabilmeliyiz.

Örneğin:

“Büyük sayılar kümesi”

ifadesi yeterince kesin değildir.

$100$ büyük müdür?

$10^{10}$ büyük müdür?

Neye göre?

Buna karşılık

“$100$'den büyük doğal sayılar”

ifadesi belirli bir kurala sahiptir.

Her doğal sayı için bu koşulu sağlayıp sağlamadığına karar verebiliriz.

3. Küme fikri

Sezgisel olarak bir küme (set), belirli matematiksel nesneleri bir arada ele almamızı sağlayan bir koleksiyondur.

Bu koleksiyondaki nesnelere eleman (element) denir.

Örneğin:

yazalım.

Burada:

• $A$ kümenin adıdır,
• $2,4,6,8$ ise $A$ kümesinin elemanlarıdır.

          A

     ┌─────────────┐
     │  2       4  │
     │             │
     │  6       8  │
     └─────────────┘

Bu resimdeki sınır fiziksel bir kutu değildir.

Şunu görünür hâle getirir:

Hangi nesneler $A$'ya aittir?

4. Eleman olmak: $\in$

Bir nesnenin bir kümeye ait olduğunu göstermek için

sembolü kullanılır.

$\in$ sembolünü:

“elemanıdır”

veya

“aittir”

diye okuyabiliriz.

$A=\{2,4,6,8\}$ ise:

ifadesi

“2, $A$ kümesinin elemanıdır.”

demektir.

Benzer şekilde:

doğrudur.

Fakat:

yanlıştır.

Bir nesnenin kümeye ait olmadığını göstermek için:

kullanılır.

Dolayısıyla:

yazabiliriz.

Burada önemli bir dil ayrıntısı var:

bir ilişkiyi ifade eder.

Sol tarafta bir nesne, sağ tarafta ise bir küme vardır.

5. Kümeleri nasıl gösteririz?

Bir kümenin elemanlarını belirtmenin farklı yolları vardır.

5.1. Elemanları listelemek

Küme küçükse elemanlarını doğrudan yazabiliriz:

veya:

gibi.

Süslü parantezler, elemanların birlikte bir küme oluşturduğunu gösterir.

Bu nokta çok önemlidir.

Listede:

ile

genellikle farklı sıralı yapılar olabilir.

Ama kümelerde yalnızca:

“Hangi elemanlar var?”

sorusu önemlidir.

5.2. Bir özellikle tanımlamak

Her kümeyi elemanlarını tek tek yazarak gösteremeyiz.

Örneğin bütün çift doğal sayıları listelemeye çalışırsak:

yazabiliriz.

Fakat üç nokta bir kuralı sezdirse de matematiğin asıl söylediği şey şudur:

Elemanlar, çift olan doğal sayılardır.

Bunu küme kurucu gösterim (set-builder notation) ile yazabiliriz:

Bu ifade şöyle okunur:

“$A$, doğal sayılar içindeki çift olan bütün $x$'lerin kümesidir.”

Buradaki

işareti:

“öyle ki”

anlamında kullanılır.

Önceki mantık dersimizle bağlantı açıktır.

Aslında bir özellik belirliyoruz:

Sonra bu özelliği sağlayan nesneleri bir araya getiriyoruz.

6. Küme ile gösterimi aynı şey sanmamak

Şimdi önemli bir ayrım yapalım.

yazdığımızda sağdaki ifade $A$ kümesini temsil eder.

Ama kümenin kendisi, kâğıttaki karakter dizisi değildir.

Aynı kümeyi:

veya:

veya:

şeklinde gösterebiliriz.

Bu durum sayı ile sayı sembolü arasındaki ayrımı hatırlatır.

3 sembolü üç sayısını gösteriyordu; sembol sayının kendisi değildi.

Burada da farklı yazımlar aynı kümeyi gösterebilir.

7. İki küme ne zaman eşittir?

Şimdi şu kümelere bakalım:

ve

Sıraları farklı.

Ama ikisinde de tam olarak aynı elemanlar var.

Bu yüzden:

Peki bunu genel olarak nasıl söyleyeceğiz?

Burada önceki mantık bilgilerimiz doğrudan kullanılıyor:

• $\forall$ : her,
• $\leftrightarrow$ : ancak ve ancak.

Küme eşitliği aslında niceleyicilerle yazılmış bir mantıksal iddiadır.

8. Şimdi daha güçlü bir soru: bütün elemanlar başka bir kümede mi?

Şu iki kümeyi düşünelim:

ve

$B$'nin her elemanına tek tek bakalım:

ve:

Dolayısıyla $B$'de bulunan hiçbir eleman $A$'nın dışında kalmıyor.

Bu durumda:

$B$, $A$'nın alt kümesidir.

Bunu:

şeklinde yazarız.

              A

     ┌──────────────────┐
     │                  │
     │    ┌────────┐    │
     │    │   B    │    │
     │    │ 2    4 │    │
     │    └────────┘    │
     │      1  3  5     │
     │                  │
     └──────────────────┘

Bu tanım çok önemlidir.

Alt küme sembolünün altında aslında daha önce öğrendiğimiz

ve

mantığı vardır.

9. Eleman olmak ile alt küme olmak aynı şey değildir

Bu birimin en önemli ayrımlarından birine geldik.

İki sembolümüz var:

Bunlar aynı şeyi söylemez.

Eleman ilişkisi

demek:

$x$, $A$ kümesinin içindeki nesnelerden biridir.

Alt küme ilişkisi

demek:

$B$ kümesinin her elemanı $A$'nın da elemanıdır.

Yani:

• $\in$ bir nesne ile küme arasındaki ilişkiyi,
• $\subseteq$ ise iki küme arasındaki ilişkiyi

ifade eder.

10. Bir kümenin elemanı başka bir küme olabilir mi?

Evet.

Kümelerin elemanlarının sayı olması gerekmez.

Örneğin:

kümesini düşünelim.

$C$'nin kaç elemanı vardır?

İki.

Bunlar:

1. $1$
2. $\{2,3\}$ kümesi

Dolayısıyla:

ve:

Fakat:

Neden?

Çünkü $2$, $\{2,3\}$ kümesinin elemanıdır; fakat $\{2,3\}$ kümesinin kendisi $C$'nin bir elemanıdır.

Yani:

ve:

olması,

anlamına gelmez.

                C

     ┌────────────────────┐
     │                    │
     │   1                │
     │         ┌───────┐  │
     │         │ 2   3 │  │
     │         └───────┘  │
     │                    │
     └────────────────────┘

11. Her küme kendisinin alt kümesidir

Bir $A$ kümesi düşünelim.

Alt küme tanımımız:

olması için:

doğru olmalıdır.

Ama bu zaten zorunlu olarak doğrudur.

Bir nesne $A$'nın elemanıysa elbette $A$'nın elemanıdır.

Dolayısıyla:

Bu ilk bakışta garip gelebilir.

Gündelik dilde “alt” kelimesi sanki daha küçük bir şeyi düşündürür.

Fakat matematiksel tanım:

“Her elemanı diğer kümede bulunuyor mu?”

diye sorar.

Bir kümenin bütün elemanları doğal olarak yine kendisindedir.

12. Öz alt küme

Bazen yalnızca alt küme olmak yetmez.

Bir kümenin başka bir kümenin alt kümesi olduğunu fakat ona eşit olmadığını özellikle söylemek isteriz.

Örneğin:

ve:

olsun.

Burada:

ve ayrıca:

Bu durumda $B$, $A$'nın öz alt kümesidir (proper subset).

Dolayısıyla:

Fakat:

Çünkü kümeler eşittir.

13. Boş küme

Şimdi ilginç bir soruya gelelim:

Hiç elemanı olmayan bir küme olabilir mi?

Örneğin:

“Hem çift hem tek olan doğal sayılar.”

Böyle bir doğal sayı yoktur.

Fakat bu koşulu sağlayan elemanların kümesinden yine de söz edebiliriz.

Bu kümenin eleman sayısı sıfırdır.

Buna boş küme (empty set) denir.

Örneğin:

ise, doğal sayıları negatif olmayan sayılar olarak aldığımız bağlamda:

Boş küme “hiçlik” değildir.

Hiç elemanı olmayan bir kümedir.

Bu ayrım önemlidir.

14. $\varnothing$ ile $\{\varnothing\}$ aynı değildir

Şimdi özellikle dikkat isteyen bir örnek:

kümesinin kaç elemanı vardır?

Sıfır.

Ama:

kümesinin kaç elemanı vardır?

Bir.

Çünkü bu kümenin tek elemanı boş kümenin kendisidir.

Dolayısıyla:

Bu örnek, “eleman” ile “küme” ayrımının neden bu kadar önemli olduğunu gösterir.

15. Boş küme neden her kümenin alt kümesidir?

İlk bakışta şu sonuç şaşırtıcıdır:

her $A$ kümesi için doğrudur.

Bunu ezberlemeyelim.

Alt küme tanımından çıkaralım.

$\varnothing\subseteq A$ demek:

demektir.

Fakat:

olabilecek hiçbir $x$ yoktur.

Dolayısıyla:

“Boş kümeden bir eleman seçip $A$'nın dışında bul.”

görevini gerçekleştiremeyiz.

Alt küme olmayı bozacak hiçbir karşı örnek yoktur.

16. Küme eşitliğini alt kümelerle anlamak

İki kümenin eşitliğini:

şeklinde tanımlamıştık.

Bunu alt küme diliyle çok güçlü bir biçimde yeniden yazabiliriz:

Neden?

Eğer:

ise $A$'daki hiçbir eleman $B$'nin dışında değildir.

Eğer aynı zamanda:

ise $B$'deki hiçbir eleman da $A$'nın dışında değildir.

O hâlde ikisinde de tam olarak aynı elemanlar vardır.

Bu yöntem ileride küme eşitliklerini ispatlarken temel araçlarımızdan biri olacaktır.

Bir kümenin diğerine eşit olduğunu göstermek için çoğu zaman:

1. $A\subseteq B$,
2. $B\subseteq A$

ayrı ayrı ispatlanır.

17. Bir örneği tamamen inceleyelim

Şu kümeleri düşünelim:

Şimdi ifadeleri tek tek değerlendirelim.

$1\in A$

Doğru.

Çünkü $1$, $A$'nın doğrudan elemanıdır.

$\{1\}\subseteq A$

Doğru.

$\{1\}$ kümesinin tek elemanı $1$'dir ve:

$\{1\}\in A$

Yanlış.

$A$'nın elemanları:

olup $\{1\}$ bunlardan biri değildir.

$B\subseteq A$

Doğru.

Çünkü:

ve:

$B\subsetneq A$

Doğru.

Çünkü $B\subseteq A$ fakat:

Dolayısıyla:

$A=C$

Doğru.

Elemanların yazılış sırası önemli değildir.

$\{1\}\in D$

Doğru.

Bu kez $\{1\}$ gerçekten $D$'nin elemanlarından biri olarak yazılmıştır.

Bu son örnek bize şunu gösterir:

18. Karşı örneklerle sınırları görelim

19. Küme kavramının tarihsel gelişimi

Bu derste kullandığımız:

“Küme, belirli nesnelerin bir koleksiyonudur.”

ifadesi sezgisel bir başlangıç tanımıdır.

İleri matematikte küme teorisi çok daha dikkatli aksiyomlarla kurulacaktır.

20. Neden bu kadar temel bir fikir?

İlk bakışta küme kavramı yalnızca nesneleri gruplandırmak gibi görünebilir.

Fakat matematiğin çok büyük bölümü kümeler üzerinden ifade edilir.

Sayılar

Doğal sayılar kümesi:

tam sayılar kümesi:

rasyonel sayılar:

reel sayılar:

olarak ele alınır.

Örneğin ileride:

gibi ilişkiler yazacağız.

Bu yalnızca:

“Doğal sayılar tam sayıların içindedir.”

demek değildir.

Kesin olarak:

demektir.

Denklemler

Bir denklemin tek bir cevabı yerine çözüm kümesinden söz ederiz.

Örneğin:

denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesi:

olacaktır.

Böylece “bir problemi çözmek”, çoğu zaman belirli bir koşulu sağlayan elemanların kümesini bulmak hâline gelir.

Fonksiyonlar

Bir fonksiyon:

hangi girdilere uygulanabileceği

ve

çıktılarının hangi kümede düşünüldüğü

belirtilmeden tam olarak tanımlanmış sayılmaz.

İleride:

yazacağız.

Buradaki $A$ ve $B$ birer kümedir.

Olasılık

Bir zar attığımızda mümkün sonuçları:

kümesiyle gösterebiliriz.

“Çift sayı gelmesi” olayı ise:

alt kümesidir.

Yani ileride bir olasılık olayı, mümkün sonuçlar kümesinin bir alt kümesi olacaktır.

Veri ve bilgisayar sistemleri

Bir veri tabanında:

• bütün kullanıcı kayıtları bir koleksiyon,
• belirli koşulu sağlayan kayıtlar onun alt koleksiyonu

olarak düşünülebilir.

Örneğin bütün kullanıcıların kümesi $U$, aktif kullanıcıların kümesi $A$ ise:

ifadesi:

Her aktif kullanıcı aynı zamanda bir kullanıcıdır.

anlamına gelir.

Burada alt küme düşüncesi doğrudan bir filtreleme mantığına dönüşür.

21. Sık yapılan hatalar

22. Bütün kavramı tek resimde görelim

                    A

        ┌───────────────────────┐
        │                       │
        │   1                   │
        │                       │
        │       ┌───────────┐   │
        │       │     B     │   │
        │       │   2   3   │   │
        │       └───────────┘   │
        │                       │
        └───────────────────────┘

Bu durumda:

ve:

Eğer:

ise ayrıca:

ve:

Fakat yalnız bu resme bakarak:

diyemeyiz.

Çünkü:

ile:

aynı iddia değildir.

Bu ayrım ilerleyen matematikte sürekli önem taşıyacaktır.

23. Matematik haritasındaki bağlantı

Şimdiye kadarki yolumuz:

şeklindeydi.

Küme fikriyle birlikte artık:

• nesneleri topluluk hâlinde ele alabiliyoruz,
• üyelik ilişkisini ifade edebiliyoruz,
• bir topluluğun başka bir topluluğun içinde bulunmasını tanımlayabiliyoruz,
• küme eşitliğini kesin biçimde ifade edebiliyoruz.

Fakat hemen yeni bir soru doğuyor:

İki kümem varsa bunlardan yeni kümeler oluşturabilir miyim?

Örneğin:

• iki kümedeki bütün elemanları bir araya getirmek,
• yalnız ortak elemanları seçmek,
• birinde olup diğerinde olmayanları bulmak

mümkün mü?

Bu bizi bir sonraki birime götürecek:

24. Kısa sentez

25. Öğrenme kontrolü