01.03.02 — Küme İşlemleri

Birim Kartı

Dünya: Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: Kümeler
Ön koşul: 01.03.01 — Küme, eleman ve alt küme
Temel soru: Kümeleri nasıl birleştirir, kesiştirir ve ayırırız?

Bu birimin sonunda:

birleşim,
kesişim,
fark,
tümleyen,
ayrık kümeler

kavramlarını anlayacak;

bunları hem sembollerle hem Venn diyagramlarıyla yorumlayabilecek ve küme işlemlerinin mantıksal bağlaçlarla neden aynı yapıya sahip olduğunu göreceğiz.

Haritadaki yerimiz

Bir önceki birimde bir kümenin ne olduğunu öğrendik.

Örneğin:

A=\{1,2,3\}

bir kümedir ve

2\in A

ifadesi, $2$ sayısının $A$ kümesinin bir elemanı olduğunu söyler.

Ayrıca:

A\subseteq B

ifadesinin, $A$ 'nın her elemanının aynı zamanda $B$ 'nin de elemanı olduğunu söylediğini gördük.

Fakat henüz iki veya daha fazla kümeyle birlikte işlem yapmayı bilmiyoruz.

Şimdi:

\text{Küme} \longrightarrow \boxed{\text{Küme işlemleri}} \longrightarrow \text{Kartezyen çarpım, olasılık, fonksiyonlar ve daha ileri küme yapıları}

adımındayız.

Küme işlemleri ileride özellikle olasılıkta olayları, mantıkta koşulları, veri tabanlarında filtreleri ve matematiğin çok farklı alanlarındaki nesne sınıflarını birleştirmek için kullanılacak.

Başlangıç problemi: İki listeyle ne yapabiliriz?

Bir etkinlik düzenlediğimizi düşünelim.

Katılımcılardan bazıları matematik, bazıları programlama atölyesine kayıt olmuş olsun.

Matematik atölyesine kayıtlı kişiler:

M=\{\text{Ayşe},\text{Burak},\text{Cem},\text{Deniz}\}

Programlama atölyesine kayıtlı kişiler:

P=\{\text{Cem},\text{Deniz},\text{Ece}\}

Şimdi birbirinden farklı birkaç soru sorabiliriz.

En az bir atölyeye kayıtlı olanlar kimler?
Her iki atölyeye de kayıtlı olanlar kimler?
Matematiğe kayıtlı olup programlamaya kayıtlı olmayanlar kimler?
Programlamaya kayıtlı olup matematiğe kayıtlı olmayanlar kimler?
Daha büyük bir katılımcı listemiz varsa matematik atölyesine kayıtlı olmayanlar kimler?

Dikkat edersek elimizde yeni bir nesne türü yok.

Yine yalnızca kümelerimiz var.

Fakat artık ihtiyacımız şu:

Var olan kümelerden belirli kurallara göre yeni kümeler üretmek.

İşte küme işlemleri bu ihtiyaçtan doğar.

Eski araç neden yetmiyor?

Önceki birimde şöyle bir ifade yazabiliyorduk:

\text{Cem}\in M

veya:

M\subseteq K

Fakat:

“Hem $M$ 'de hem $P$ 'de bulunan bütün elemanların oluşturduğu küme”

gibi bir yapıyı kısa ve sistematik biçimde ifade edecek henüz bir aracımız yok.

Her seferinde elemanları tek tek yazabiliriz.

Küçük kümelerde bu mümkün:

\{\text{Cem},\text{Deniz}\}

Ama kümeler binlerce eleman içerirse?

Ya da kümeler açıkça listelenemeyecek kadar büyükse?

Örneğin:

A=\{x\in\mathbb Z\mid x\text{ çifttir}\}

B=\{x\in\mathbb Z\mid x>0\}

olsun.

“Pozitif çift tam sayılar” kümesini elemanlarını tek tek yazarak oluşturamayız:

\{2,4,6,8,\ldots\}

yazabiliriz; fakat bu yalnızca bir gösterimdir.

Asıl yapıyı söylemek istediğimizde:

$A$ 'da ve $B$ 'de bulunan elemanlar

dememiz gerekir.

Burada çok önemli bir bağlantı ortaya çıkıyor.

Küme işlemleri aslında daha önce öğrendiğimiz mantıksal bağlaçların elemanlar üzerinde uygulanmış hâlidir.

Bir eleman için:

“ $A$ 'da veya $B$ 'de”
“ $A$ 'da ve $B$ 'de”
“ $A$ 'da ve $B$ 'de değil”
“ $A$ 'da değil”

dediğimizde yeni kümeler oluşur.

Yani küme işlemlerinin arkasında gizlenen yapı:

\text{mantık} \longleftrightarrow \text{kümeler}

ilişkisidir.

Tarihsel gelişim

İnsanlar nesneleri sınıflandırma, ortak özelliklerine göre ayırma ve grupları karşılaştırma fikrini çok eski dönemlerden beri kullanıyordu. Ancak kümelerin bağımsız matematiksel nesneler olarak sistematik biçimde incelenmesi, modern küme teorisinin geliştiği 19. yüzyılın ikinci yarısında belirginleşti.

Georg Cantor'un sonsuz kümeler üzerine çalışmaları, kümeyi modern matematiğin temel nesnelerinden biri hâline getiren önemli kırılmalardan biriydi.

Kümelerin birbirleriyle ilişkilerini bölgeler aracılığıyla görselleştiren diyagramlar ise daha sonra Venn diyagramları adıyla yaygınlaştı.

Bu birimde göreceğimiz De Morgan yasalarının kökeni ise kümelerden önce mantıktadır. Augustus De Morgan'ın adıyla anılan mantıksal değilleme kuralları, kümelerde elemanlık koşullarına uygulandığında aynı yapının kümesel biçimi ortaya çıkar.

Dolayısıyla burada karşılaşacağımız kurallar birbirinden bağımsız ezberler değildir:

\text{mantıksal yapı} \longrightarrow \text{küme işlemleri}

şeklinde aynı düşüncenin iki farklı temsilidir.

1. Birleşim: “En az birinde”

Başlangıçtaki kümelerimize dönelim:

M=\{\text{Ayşe},\text{Burak},\text{Cem},\text{Deniz}\}

P=\{\text{Cem},\text{Deniz},\text{Ece}\}

Şu soruyu soralım:

Matematik veya programlama atölyelerinden en az birine kayıtlı olanlar kimler?

Cevap:

\{\text{Ayşe},\text{Burak},\text{Cem},\text{Deniz},\text{Ece}\}

olur.

Burada Cem ve Deniz iki listede de bulunmasına rağmen sonuç kümesine iki kez yazılmaz.

Çünkü bir kümede bir elemanın kaç kez yazıldığı önemli değildir; önemli olan elemanın kümede bulunup bulunmamasıdır.

Birleşim

$A$ ve $B$ kümelerinin birleşimi (union), $A$ veya $B$ kümelerinden en az birine ait olan bütün elemanların kümesidir.

Gösterimi:

A\cup B

şeklindedir.

Biçimsel olarak:

A\cup B = \{x\mid x\in A\lor x\in B\}

Buradaki $\lor$ , mantıktaki veya bağlacıdır.

Matematikte buradaki “veya”, genellikle dışlayıcı veya değildir.

Yani:

$x$ , $A$ 'da veya $B$ 'dedir.

ifadesi, $x$ her ikisinde birden bulunduğunda da doğrudur.

Bu nedenle:

x\in A\cap B

olan bir eleman aynı zamanda:

x\in A\cup B

olur.

Sayısal örnek

A=\{1,2,3,4\}

B=\{3,4,5\}

olsun.

O hâlde:

A\cup B=\{1,2,3,4,5\}

olur.

2. Kesişim: “Her ikisinde de”

Şimdi başka bir soru soralım:

Hem matematik hem de programlama atölyesine kayıtlı olanlar kimler?

Cevap:

\{\text{Cem},\text{Deniz}\}

olur.

Kesişim

$A$ ve $B$ kümelerinin kesişimi (intersection), hem $A$ 'ya hem $B$ 'ye ait olan bütün elemanların kümesidir.

Gösterimi:

A\cap B

şeklindedir.

Biçimsel olarak:

A\cap B = \{x\mid x\in A\land x\in B\}

Buradaki $\land$ , mantıktaki ve bağlacıdır.

Örneğin:

A=\{1,2,3,4\}

B=\{3,4,5\}

ise:

A\cap B=\{3,4\}

olur.

Birleşimde şart daha geniştir:

“Bunlardan en az biri doğru olsun.”

Kesişimde şart daha sıkıdır:

“İkisi birden doğru olsun.”

Bu nedenle kesişim genellikle kümeleri daraltır, birleşim ise genişletir.

Birleşim ve kesişimi birlikte görelim

İki kümenin bölgeleri

                 A                         B

          ___________________   ___________________
         /                   \ /                   \
        /                     X                     \
       /      yalnız A       / \      yalnız B      \
      |                      |   |                    |
      |        1, 2          |3,4|         5          |
      |                      |   |                    |
       \                     \ /                     /
        \_____________________X_____________________/

                         A ∩ B

A ve B kümelerinin yalnız A'da, her ikisinde ve yalnız B'de bulunan elemanlardan oluşan üç temel bölgesi gösterilmektedir.

Bu örnekte:

A=\{1,2,3,4\}

B=\{3,4,5\}

olduğundan:

yalnız $A$ 'da: $\{1,2\}$ ,
her ikisinde: $\{3,4\}$ ,
yalnız $B$ 'de: $\{5\}$

bulunur.

Birleşim bu üç bölgenin tamamıdır:

A\cup B=\{1,2,3,4,5\}

Kesişim ise yalnızca ortadaki ortak bölgedir:

A\cap B=\{3,4\}

3. Fark: “Birinde var, diğerinde yok”

Şimdi:

Matematik atölyesine kayıtlı olup programlama atölyesine kayıtlı olmayanlar kimler?

sorusunu soralım.

Bunlar:

\{\text{Ayşe},\text{Burak}\}

kişileridir.

Burada istediğimiz:

$M$ 'de olan ve $P$ 'de olmayan

elemanlardır.

Küme Farkı

$A$ kümesinde bulunup $B$ kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye:

A\setminus B

denir.

Biçimsel olarak:

A\setminus B = \{x\mid x\in A\land x\notin B\}

Örneğin:

A=\{1,2,3,4\}

B=\{3,4,5\}

ise:

A\setminus B=\{1,2\}

fakat:

B\setminus A=\{5\}

olur.

Farkta sıra önemlidir

Genellikle:

A\setminus B\neq B\setminus A

olur.

Çünkü ilk ifade:

$A$ 'da olup $B$ 'de olmayanlar

derken ikinci ifade:

$B$ 'de olup $A$ 'da olmayanlar

demektedir.

Bu nedenle küme farkı, birleşim ve kesişimden farklı olarak değişme özelliğine sahip değildir.

4. Tümleyen: “Bu evrende A'da olmayanlar”

Şimdi biraz daha dikkatli bir soru soralım.

Matematik atölyesine kayıtlı olmayanlar kimler?

Bu soruya hemen cevap verebilir miyiz?

Hayır.

Çünkü önce:

Kimlerin arasından seçiyoruz?

sorusunun cevabını bilmemiz gerekir.

Örneğin etkinliğin bütün katılımcıları:

U= \{\text{Ayşe},\text{Burak},\text{Cem},\text{Deniz},\text{Ece},\text{Fatma}\}

olsun.

Matematik atölyesine kayıtlılar:

M= \{\text{Ayşe},\text{Burak},\text{Cem},\text{Deniz}\}

ise matematik atölyesine kayıtlı olmayanlar:

\{\text{Ece},\text{Fatma}\}

olur.

Buradaki $U$ , üzerinde konuştuğumuz evrensel kümedir.

Tümleyen

Bir $U$ evrensel kümesi içinde $A\subseteq U$ olsun.

$A$ 'nın tümleyeni (complement), $U$ içinde bulunup $A$ içinde bulunmayan elemanların kümesidir.

Gösterimlerden biri:

A^c

şeklindedir.

Dolayısıyla:

A^c=U\setminus A

ve biçimsel olarak:

A^c = \{x\in U\mid x\notin A\}

olur.

Tümleyen bağlama bağlıdır

Bir kümenin tümleyeni, hangi evrensel kümede çalıştığımız belirtilmeden her zaman belirlenemez.

Örneğin:

A=\{2,4,6,\ldots\}

çift pozitif tam sayılar kümesi olsun.

Evrensel küme:

U=\mathbb N

ise $A^c$ doğal sayılar içindeki tek sayılardır.

Ama evrensel küme:

U=\mathbb Z

olursa negatif tam sayılar da tümleyenin içinde bulunur.

Dolayısıyla “ $A$ 'da değil” tek başına yetmez.

Hangi evren içinde $A$ 'da değil?

sorusunu da bilmek gerekir.

5. Ayrık kümeler: Hiç ortak eleman yoksa

İki kümenin ortak elemanı bulunmayabilir.

Örneğin:

C=\{1,2\}

D=\{4,5\}

olsun.

Bu durumda:

C\cap D=\varnothing

olur.

Ayrık Kümeler

İki kümenin kesişimi boş kümeyse bu kümelere ayrık (disjoint) kümeler denir.

Yani:

A\cap B=\varnothing

ise $A$ ve $B$ ayrık kümelerdir.

Ayrık olmak farklı olmak demek değildir

Şu iki küme farklıdır:

A=\{1,2\}

B=\{2,3\}

çünkü:

A\neq B

Fakat ayrık değildirler.

Çünkü:

A\cap B=\{2\}\neq\varnothing

Dolayısıyla:

Farklı kümeler olmak

ile

hiç ortak elemanı bulunmamak

aynı şey değildir.

6. Aynı işlemleri mantık diliyle okuyalım

Şimdi küme işlemlerinin neden tam olarak bu biçimde tanımlandığını daha açık görebiliriz.

Herhangi bir $x$ elemanı için:

Küme ifadesi	$x$ 'in kümeye girmesi için gereken koşul
$A\cup B$	$x\in A$ veya $x\in B$
$A\cap B$	$x\in A$ ve $x\in B$
$A\setminus B$	$x\in A$ ve $x\notin B$
$A^c$	$x\notin A$

Bunu sembolik olarak da yazabiliriz:

x\in A\cup B \iff (x\in A)\lor(x\in B)

x\in A\cap B \iff (x\in A)\land(x\in B)

x\in A\setminus B \iff (x\in A)\land(x\notin B)

x\in A^c \iff x\notin A

Temel Bağlantı

Küme işlemlerinin anlamını ezberlemek yerine şu eşleşmeyi hatırlamak çok daha güçlüdür:

\boxed{ \begin{aligned} \cup &\longleftrightarrow \text{veya}\\ \cap &\longleftrightarrow \text{ve}\\ {}^c &\longleftrightarrow \text{değil} \end{aligned} }

Küme işlemleri, elemanlık önermelerine uygulanan mantıksal işlemlerdir.

7. Tanımlardan hangi sonuçlar çıkar?

Şimdi kuralları ezberlemek yerine tanımlarımızdan bazı sonuçları çıkaralım.

Bir kümenin kendisiyle birleşimi

Her $x$ için:

x\in A\cup A

demek:

x\in A\lor x\in A

demektir.

Bu da yalnızca:

x\in A

ile aynı koşuldur.

Dolayısıyla:

A\cup A=A

olur.

Benzer biçimde:

A\cap A=A

olur.

Boş kümeyle işlemler

Boş kümede hiçbir eleman bulunmadığından:

A\cup\varnothing=A

ve:

A\cap\varnothing=\varnothing

olur.

Evrensel kümeyle işlemler

$A\subseteq U$ ise:

A\cup U=U

çünkü zaten $A$ 'nın bütün elemanları $U$ içindedir.

Ayrıca:

A\cap U=A

olur.

Bir küme ve tümleyeni

Bir elemanın aynı anda hem $A$ 'da hem $A$ 'da olmaması mümkün değildir.

Bu nedenle:

A\cap A^c=\varnothing

olur.

Öte yandan $U$ içindeki her eleman ya $A$ 'dadır ya da $A$ 'da değildir.

Bu nedenle:

A\cup A^c=U

olur.

Alt kümeyle bağlantı

Eğer:

A\subseteq B

ise $A$ 'nın bütün elemanları zaten $B$ 'nin içindedir.

Bu durumda:

A\cap B=A

ve:

A\cup B=B

olur.

Bu iki eşitlik alt küme fikrini başka bir şekilde okumamızı sağlar.

$A\subseteq B$ olduğunda:

kesişim küçük kümeyi verir,
birleşim büyük kümeyi verir.

8. Birleşim ve kesişimde temel işlem yasaları

Küme işlemleri belirli düzenliliklere sahiptir.

Değişme özelliği

A\cup B=B\cup A

ve:

A\cap B=B\cap A

Çünkü:

“ $A$ 'da veya $B$ 'de”

ile:

“ $B$ 'de veya $A$ 'da”

aynı koşuldur.

Aynı şekilde “ve” bağlacında da sıra sonucu değiştirmez.

Birleşme özelliği

(A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)

ve:

(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)

Bu nedenle birden fazla kümenin birleşim veya kesişiminde parantezleme sonucu değiştirmez.

Örneğin:

A\cup B\cup C

yazabiliriz.

Dağılma özelliği

Kesişim birleşim üzerine dağılır:

A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)

Birleşim de kesişim üzerine dağılır:

A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)

Bunların arkasında da daha önce öğrendiğimiz mantıksal dağılım yapısı bulunur.

9. De Morgan yasaları

Şimdi bu birimin en önemli bağlantılarından birine geliyoruz.

Şu ifadeyi düşünelim:

“ $x$ , $A$ veya $B$ kümelerinin birleşiminde değildir.”

Sembolik olarak:

x\notin A\cup B

Bu ne demektir?

Birleşimde olmak için $x$ 'in:

$A$ 'da bulunması,
$B$ 'de bulunması,
veya her ikisinde bulunması

yeterliydi.

O hâlde birleşimin dışında kalabilmesi için:

$x$ ne $A$ 'da ne de $B$ 'de bulunmalıdır.

Yani:

x\notin A \land x\notin B

olmalıdır.

Bu da:

x\in A^c\cap B^c

demektir.

Dolayısıyla:

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c

elde ederiz.

Birinci De Morgan Yasası

Herhangi bir $x$ elemanı seçelim.

x\in(A\cup B)^c

demek:

x\notin A\cup B

demektir.

Birleşimin tanımından:

\neg(x\in A\lor x\in B)

elde edilir.

Mantıktaki De Morgan yasasına göre:

(x\notin A)\land(x\notin B)

olur.

Bu ise:

x\in A^c\cap B^c

demektir.

Dolayısıyla:

\boxed{(A\cup B)^c=A^c\cap B^c}

Şimdi diğer durumu düşünelim:

$x$ , $A$ ile $B$ 'nin kesişiminde değildir.

Kesişimde olabilmek için iki koşulun da doğru olması gerekiyordu:

x\in A\land x\in B

Bunun yanlış olması için en az birinin yanlış olması yeterlidir:

x\notin A \lor x\notin B

Dolayısıyla:

\boxed{(A\cap B)^c=A^c\cup B^c}

elde edilir.

Küme De Morgan Yasaları

\boxed{ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c }

\boxed{ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c }

Bunları ezberlemek yerine şu fikri hatırlayabiliriz:

Değilleme içeri girdiğinde birleşim ile kesişim yer değiştirir ve kümelerin her biri tümleyenine dönüşür.

Bu, daha önce öğrendiğimiz:

\neg(P\lor Q) \equiv (\neg P)\land(\neg Q)

ve:

\neg(P\land Q) \equiv (\neg P)\lor(\neg Q)

mantıksal yasalarının doğrudan kümesel karşılığıdır.

De Morgan yasasını günlük dille görelim

$A$ :

Kahve içen insanlar

$B$ :

Çay içen insanlar

olsun.

(A\cup B)^c

demek:

Kahve veya çay içenlerin dışında kalanlar

yani:

Kahve içmeyen ve çay içmeyen insanlar

demektir.

Bu yüzden:

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c

olur.

Şimdi:

(A\cap B)^c

düşünelim.

Bu:

Hem kahve hem çay içenlerin dışında kalanlar

demektir.

Bir insanın “hem kahve hem çay içen” grubunda olmaması için:

kahve içmemesi,
veya çay içmemesi

yeterlidir.

Dolayısıyla:

(A\cap B)^c=A^c\cup B^c

olur.

10. Bir örnekte bütün işlemler

Evrensel kümemiz:

U=\{1,2,3,4,5,6\}

olsun.

Ayrıca:

A=\{1,2,3,4\}

B=\{3,4,5\}

olsun.

Temel küme işlemleri

Birleşim

A\cup B=\{1,2,3,4,5\}

Kesişim

A\cap B=\{3,4\}

$A$ 'dan $B$ 'nin farkı

A\setminus B=\{1,2\}

$B$ 'den $A$ 'nın farkı

B\setminus A=\{5\}

$A$ 'nın tümleyeni

A^c=\{5,6\}

$B$ 'nin tümleyeni

B^c=\{1,2,6\}

Şimdi birinci De Morgan yasasını kontrol edelim.

Önce:

A\cup B=\{1,2,3,4,5\}

olduğundan:

(A\cup B)^c=\{6\}

olur.

Diğer taraftan:

A^c=\{5,6\}

ve:

B^c=\{1,2,6\}

olduğundan:

A^c\cap B^c=\{6\}

elde ederiz.

Gerçekten:

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c

oldu.

11. Bir küme işlemini nasıl okuruz?

Uzun ifadelerde sembollere tek tek bakmak yerine işlemin yapısını okumak gerekir.

Örneğin:

(A\cup B)\setminus C

ifadesini düşünelim.

Önce parantez içini yaparız:

A\cup B

Bu:

$A$ veya $B$ 'de bulunanlar

demektir.

Sonra $C$ 'yi çıkarırız.

Dolayısıyla bütün ifade:

$A$ veya $B$ 'de bulunan fakat $C$ 'de bulunmayan elemanlar

demektir.

Mantık diliyle:

(x\in A\lor x\in B)\land x\notin C

şeklindedir.

Karmaşık küme ifadelerini anlamanın güçlü yollarından biri onları Türkçeye veya mantık diline çevirmektir.

Örneğin:

A\cap B^c

ifadesini yalnızca sembol olarak görmeyelim.

Bu:

$A$ 'da olan ve $B$ 'de olmayan

demektir.

Yani:

A\cap B^c=A\setminus B

olur.

12. Fark ile tümleyen arasındaki bağlantı

$A\setminus B$ ifadesinin anlamı:

$A$ 'da olup $B$ 'de olmayanlar

idi.

$B^c$ ise:

$B$ 'de olmayanlar

demektir.

Dolayısıyla:

$A$ 'da bulunan ve $B^c$ 'de bulunanlar

tam olarak $A\setminus B$ 'dir.

Bu nedenle:

\boxed{ A\setminus B=A\cap B^c }

elde ederiz.

x\in A\setminus B

ise:

x\in A \land x\notin B

olur.

Ama:

x\notin B \iff x\in B^c

olduğundan:

x\in A \land x\in B^c

yani:

x\in A\cap B^c

elde edilir.

Dolayısıyla:

A\setminus B=A\cap B^c

Bu sonuç fark işleminin aslında yeni ve tamamen bağımsız bir yapı olmadığını gösterir.

Fark:

kesişim + tümleyen

kullanılarak ifade edilebilir.

13. Sık yapılan hatalar

1. Birleşimi toplama sanmak

A\cup B

iki kümeyi “yan yana yazıp tekrarları da korumak” değildir.

Örneğin:

A=\{1,2,3\}

ve:

B=\{3,4\}

ise:

A\cup B=\{1,2,3,4\}

olur.

$3$ iki kez yazılmaz.

2. Birleşimdeki 'veya'yı dışlayıcı sanmak

$3$ hem $A$ 'da hem $B$ 'deyse yine de:

3\in A\cup B

doğrudur.

3. Fark işleminin sırasını unutmak

A\setminus B

ile:

B\setminus A

genellikle farklıdır.

4. Tümleyeni evrensel kümeden bağımsız sanmak

A^c

ifadesinin anlamı çalıştığımız $U$ evrensel kümesine bağlıdır.

5. Ayrık ile farklı kavramlarını karıştırmak

A\neq B

olması:

A\cap B=\varnothing

olduğu anlamına gelmez.

6. De Morgan yasasında işlemi değiştirmemek

Yanlış:

(A\cup B)^c=A^c\cup B^c

Doğru:

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c

Tümleyen parantezin içine girerken:

\cup\longleftrightarrow\cap

değişimi gerçekleşir.

14. Gerçek kullanım alanları

Mantıksal filtreler ve veri tabanları

Bir veri tabanında:

$A$ : İstanbul'da yaşayan müşteriler,
$B$ : son ay alışveriş yapan müşteriler

olsun.

O zaman:

A\cap B

İstanbul'da yaşayan ve son ay alışveriş yapan müşterileri

ifade eder.

A\cup B

İstanbul'da yaşayan veya son ay alışveriş yapan müşterileri

ifade eder.

A\setminus B

ise:

İstanbul'da yaşayan fakat son ay alışveriş yapmayan müşterileri

ifade eder.

Gerçek yazılım sistemlerindeki AND, OR ve NOT filtreleri bu mantığın doğrudan karşılığıdır.

Olasılık

İleride olasılıkta bir olay da küme olarak ele alınacaktır.

Örneğin zar atıldığında:

A=\{\text{çift sayı gelmesi}\}

ve:

B=\{\text{4'ten büyük sayı gelmesi}\}

gibi olaylar tanımlayacağız.

Bu durumda:

A\cap B

iki olayın birlikte gerçekleşmesini,

A\cup B

en az birinin gerçekleşmesini,

A^c

ise olayın gerçekleşmemesini ifade edecek.

Dolayısıyla olasılık kurallarının önemli bir kısmı doğrudan küme işlemlerinin üzerine kurulacaktır.

Yetkilendirme ve bilgisayar sistemleri

Bir sistemde:

$A$ : yöneticilerin erişebildiği dosyalar,
$B$ : muhasebe personelinin erişebildiği dosyalar

olsun.

A\cap B

her iki grubun da erişebildiği ortak dosyaları,

A\setminus B

yalnız yöneticilere açık olan dosyaları,

A\cup B

iki gruptan en az birinin erişebildiği bütün dosyaları gösterir.

Bu nedenle küme işlemleri erişim kontrolü, etiketleme, arama ve veri işleme sistemlerinde doğal olarak ortaya çıkar.

Matematiğin ilerleyen alanları

Küme işlemleri yalnızca başlangıç düzeyinde kullanılmaz.

İleride:

olasılıkta olaylar,
topolojide açık ve kapalı kümeler,
analizde aralıklar ve fonksiyonların tanım kümeleri,
ölçü teorisinde ölçülebilir kümeler,
cebirde alt yapılar,
fonksiyonlarda görüntü ve ters görüntüler

üzerinde sürekli olarak birleşim, kesişim ve tümleyen işlemleri yapacağız.

Bugün öğrendiğimiz semboller bu nedenle matematiğin ortak dilinin temel parçalarındandır.

15. Biraz düşünelim

Soru 1

Eğer:

A\subseteq B

ise neden:

A\cap B=A

olmak zorundadır?

Formül kullanmadan kendi sözlerinle açıklamaya çalış.

Soru 2

Eğer iki küme ayrık ise:

A\cap B=\varnothing

olduğunu biliyoruz.

Bu durumda:

A\setminus B

hangi kümeye eşit olmalıdır?

Neden?

Soru 3

Bir eleman için:

x\notin A\cap B

olduğunu biliyoruz.

Bundan:

x\notin A

sonucunu kesin olarak çıkarabilir miyiz?

Bir örnek düşün.

Soru 4

Şu cümleyi küme diliyle ifade etmeye çalış:

“ $A$ 'da bulunan fakat $B$ veya $C$ 'de bulunmayan elemanlar.”

16. Birimin kısa sentezi

Neden vardı?

Tek tek kümeleri tanımlayabiliyorduk; fakat:

birden fazla grubun tamamını,
ortak kısmını,
yalnız birinde bulunanları,
belirli bir grubun dışında kalanları

sistematik biçimde ifade edecek işlemlere ihtiyacımız vardı.

Ne öğrendik?

Dört temel yapı:

\boxed{ \begin{aligned} A\cup B &= \{x\mid x\in A\lor x\in B\}\\[2mm] A\cap B &= \{x\mid x\in A\land x\in B\}\\[2mm] A\setminus B &= \{x\mid x\in A\land x\notin B\}\\[2mm] A^c &= \{x\in U\mid x\notin A\} \end{aligned} }

Ayrıca:

A\cap B=\varnothing

ise $A$ ile $B$ 'nin ayrık olduğunu öğrendik.

En önemli kavramsal bağlantı neydi?

\boxed{ \begin{aligned} \text{birleşim} &\longleftrightarrow \text{veya}\\ \text{kesişim} &\longleftrightarrow \text{ve}\\ \text{tümleyen} &\longleftrightarrow \text{değil} \end{aligned} }

Bu bağlantı sayesinde De Morgan yasalarının neden doğru olduğunu gördük:

\boxed{ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c }

\boxed{ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c }

Neyi artık yapabiliyoruz?

Birden fazla matematiksel koleksiyonu:

birleştirebilir,
ortak kısmını bulabilir,
birbirinden ayırabilir,
dışındaki elemanları belirleyebilir,
karmaşık üyelik koşullarını sembolik olarak ifade edebiliriz.

Sırada ne var?

Şimdi iki kümenin elemanlarını yalnızca sınıflandırmakla yetinmeyip onları sıralı biçimde eşleştireceğiz.

Bu bizi:

\boxed{\text{Kartezyen çarpım}}

fikrine götürecek.

Oradan da bağıntılar, koordinatlar ve fonksiyonların temel yapısı doğacak.

Öğrenme kontrolü

1. Kavrama

Kendi sözlerinle cevapla:

Birleşim ile kesişim arasındaki temel fark nedir?

Cevabında “ve” ve “veya” kavramlarını kullan.

2. Teknik

U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

A=\{1,2,4,6,8\}

B=\{2,3,4,5,6\}

için aşağıdakileri bul:

$A\cup B$
$A\cap B$
$A\setminus B$
$B\setminus A$
$A^c$
$B^c$

3. Gerekçelendirme

Aşağıdaki eşitliğin neden doğru olduğunu eleman yöntemiyle açıkla:

A\setminus B=A\cap B^c

Rastgele bir $x$ elemanı seçerek:

x\in A\setminus B

ifadesinden başla.

4. De Morgan

Aşağıdaki ifadeyi tümleyen işareti yalnız tek tek kümelerin üzerinde kalacak biçimde yeniden yaz:

(A\cap B)^c

Sonucun neden doğru olduğunu mantıktaki “ve”, “veya” ve “değil” bağlaçlarıyla açıkla.

5. Karşı örnek

Şu iddianın yanlış olduğunu gösterecek iki küme bul:

A\setminus B=B\setminus A

6. Transfer

Bir şirkette:

$A$ : uzaktan çalışma yetkisi bulunan çalışanlar,
$B$ : şirket aracını kullanma yetkisi bulunan çalışanlar

olsun.

Aşağıdaki çalışan gruplarını küme sembolleriyle ifade et:

Her iki yetkiye de sahip olanlar.
En az bir yetkiye sahip olanlar.
Uzaktan çalışma yetkisi olup araç yetkisi olmayanlar.
Hiçbir yetkiye sahip olmayanlar.

Son soru için bütün çalışanların oluşturduğu evrensel kümeyi $U$ kabul et.

Birimi tamamladım diyebilmek için

Şunları yapabiliyor olmalısın:

$\cup$ , $\cap$ , $\setminus$ ve ${}^c$ sembollerini yalnızca okuyabilmek değil, neden bu anlamlara geldiklerini açıklayabilmek,
verilen kümelerde işlemleri doğru yapabilmek,
fark ile tümleyeni ayırabilmek,
ayrık kümeyi “farklı küme” ile karıştırmamak,
Venn diyagramındaki bölgeleri sembolik ifadelerle eşleştirebilmek,
De Morgan yasalarını ezberden değil mantıksal bağlaçlardan yeniden kurabilmek,
daha önce görmediğin basit bir sınıflandırma problemini küme işlemleriyle ifade edebilmek.

01.03.02 — Küme İşlemleri

Haritadaki yerimiz

Başlangıç problemi: İki listeyle ne yapabiliriz?

Eski araç neden yetmiyor?

Tarihsel gelişim

1. Birleşim: “En az birinde”

Sayısal örnek

2. Kesişim: “Her ikisinde de”

Birleşim ve kesişimi birlikte görelim

3. Fark: “Birinde var, diğerinde yok”

4. Tümleyen: “Bu evrende A'da olmayanlar”

5. Ayrık kümeler: Hiç ortak eleman yoksa

6. Aynı işlemleri mantık diliyle okuyalım

7. Tanımlardan hangi sonuçlar çıkar?

Bir kümenin kendisiyle birleşimi

Boş kümeyle işlemler

Evrensel kümeyle işlemler

Bir küme ve tümleyeni

Alt kümeyle bağlantı

8. Birleşim ve kesişimde temel işlem yasaları

Değişme özelliği

Birleşme özelliği

Dağılma özelliği

9. De Morgan yasaları

De Morgan yasasını günlük dille görelim

10. Bir örnekte bütün işlemler

Birleşim

Kesişim

AAA'dan BBB'nin farkı

BBB'den AAA'nın farkı

AAA'nın tümleyeni

BBB'nin tümleyeni

11. Bir küme işlemini nasıl okuruz?

12. Fark ile tümleyen arasındaki bağlantı

13. Sık yapılan hatalar

14. Gerçek kullanım alanları

15. Biraz düşünelim

Soru 1

Soru 2

Soru 3

Soru 4

16. Birimin kısa sentezi

Neden vardı?

Ne öğrendik?

En önemli kavramsal bağlantı neydi?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

Öğrenme kontrolü

1. Kavrama

2. Teknik

3. Gerekçelendirme

4. De Morgan

5. Karşı örnek

6. Transfer

Birimi tamamladım diyebilmek için

$A$ 'dan $B$ 'nin farkı

$B$ 'den $A$ 'nın farkı

$A$ 'nın tümleyeni

$B$ 'nin tümleyeni