01.03.03 — Kartezyen Çarpım ve Sıralı Yapılar

1. Birim kartı

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.03 — Kümeler
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar: 01.03.01 — Küme, eleman ve alt küme; 01.03.02 — Küme işlemleri
Temel soru: İki kümenin elemanlarını bir araya getirirken, hangi elemanın hangi konumda bulunduğunu da koruyan yeni matematiksel nesneler nasıl oluşturabiliriz?
İleride açacağı kapılar: Bağıntılar, fonksiyonlar, koordinat geometrisi, vektörler, olasılık uzayları, veri yapıları ve çok boyutlu matematik.

Bu birimin ana fikri

Bir küme bize hangi nesnelerin bulunduğunu söyler.

Kartezyen çarpım ise iki veya daha fazla kümeden eleman seçip, bu elemanların konumlarını da koruyarak yeni nesneler üretmemizi sağlar.

Bu küçük fikir ileride:

\text{Kartezyen çarpım} \rightarrow \text{bağıntı} \rightarrow \text{fonksiyon}

zincirinin temelini oluşturacaktır.

2. Başlangıç problemi: Aynı iki bilgi, farklı anlamlar

Bir mağazada ürünleri iki bilgiyle kaydettiğimizi düşünelim:

beden
renk

Bedenler:

B=\{S,M,L\}

renkler ise:

R=\{\text{siyah},\text{beyaz}\}

olsun.

Bir ürün için:

(M,\text{siyah})

yazdığımızda bunun anlamı açıktır:

ilk bilgi beden,
ikinci bilgi renk.

Peki yalnızca

\{M,\text{siyah}\}

kümesini kullansaydık ne olurdu?

Kümelerde elemanların sırası önemli değildir:

\{M,\text{siyah}\} = \{\text{siyah},M\}.

Fakat ürün kaydında

(M,\text{siyah})

ile

(\text{siyah},M)

aynı şeyi söylemez.

İlkinde:

beden = $M$ ,
renk = siyah

demiş oluruz.

İkincisinde ise ilk konuma renk, ikinci konuma beden koymuş oluruz.

İlk kırılma

Kümeler bir grup nesneyi toplamak için çok kullanışlıdır.

Ama şu bilgiyi koruyamazlar:

Hangi nesne birinci, hangisi ikinci konumdaydı?

Bu bilgiyi kaybetmeden iki nesneyi nasıl tek bir matematiksel nesne hâline getirebiliriz?

İşte sıralı ikili fikri bu ihtiyaca cevap verir.

3. Neden mevcut küme fikri yetmedi?

Şimdiye kadar gördüğümüz kümelerde iki temel özellik vardı.

Elemanların yazılış sırası önemsizdir

\{a,b\}=\{b,a\}.

Aynı elemanı tekrar yazmak kümeyi değiştirmez

\{a,a,b\}=\{a,b\}.

Fakat birçok matematiksel durumda hem konum hem de bazen tekrar önemlidir.

Örneğin koordinat düzlemindeki

(2,5)

noktası ile

(5,2)

noktası farklıdır.

Benzer biçimde:

(3,3)

tamamen geçerli bir koordinattır.

Demek ki ihtiyacımız olan yapı bir kümeden farklı davranmalıdır.

Zihinsel model

Bir kümeyi bir torba gibi düşünebilirsin:

İçinde hangi nesnelerin bulunduğu önemlidir; hangisini önce koyduğun önemli değildir.

Sıralı bir yapıyı ise numaralandırılmış gözleri olan bir kutu gibi düşün:

1. göz      2. göz
  a           b

Burada $a$ ile $b$ 'nin yerlerini değiştirirsen artık farklı bir kayıt elde edersin.

Buradaki “sıralı” sözcüğüne dikkat et:

Sıralı ne demek?

Sıralı ikili, elemanların küçükten büyüğe veya alfabetik biçimde sıralanması demek değildir.

“Sıralı” yalnızca şunu söyler:

Elemanların hangi konumda bulunduğu önemlidir.

Örneğin $(8,2)$ tamamen geçerli bir sıralı ikilidir. $2<8$ olduğu için $(2,8)$ biçimine dönüştürülmez.

4. Sıralı ikili

Sıralı ikili

$a$ ve $b$ iki matematiksel nesne olsun.

(a,b)

ifadesine sıralı ikili (ordered pair) denir.

$a$ : birinci bileşen,
$b$ : ikinci bileşendir.

İki sıralı ikili ancak karşılık gelen bileşenleri aynıysa eşittir:

(a,b)=(c,d) \quad\Longleftrightarrow\quad a=c \text{ ve } b=d.

Bu tanım sıralı ikilinin bütün özünü içerir.

Örneğin:

(2,7)=(2,7)

ama

(2,7)\neq(7,2).

Sıra gerçekten bilgi taşıyor

Bir uçuş kaydını:

(\text{İstanbul},\text{Ankara})

şeklinde düşünelim.

İlk bileşeni kalkış, ikinci bileşeni varış olarak yorumluyorsak:

(\text{İstanbul},\text{Ankara})

ile

(\text{Ankara},\text{İstanbul})

aynı yolculuk değildir.

Aynı iki şehir kullanılmıştır; fakat aralarındaki rol değişmiştir.

Tekrar kullanılabilir

Sıralı ikililerde iki bileşenin farklı olması gerekmez.

(4,4)

tamamen geçerli bir sıralı ikilidir.

Bu da sıralı yapılar ile kümeler arasındaki önemli farklardan biridir.

5. Küme ile sıralı ikili arasındaki fark

Yapı	Sıra önemli mi?	Tekrar anlamlı mı?
$\{a,b\}$	Hayır	Hayır
$(a,b)$	Evet	Evet

Örneğin:

\{1,2\}=\{2,1\}

iken

(1,2)\neq(2,1).

Ayrıca:

\{1,1\}=\{1\}

iken

(1,1)

iki ayrı konumu bulunan bir sıralı ikilidir.

Yaygın yanlış düşünce

“ $(1,2)$ içinde $1$ ve $2$ var; o hâlde bu $\{1,2\}$ kümesinin başka türlü yazılışıdır.”

Hayır.

Parantez yalnızca görsel bir fark değildir.

(1,2)

\{1,2\}

farklı türden matematiksel nesnelerdir.

6. Şimdi ikinci probleme geçelim: Bütün olası eşleşmeler

Elimizde:

A=\{1,2\}

B=\{x,y,z\}

kümeleri olsun.

Şu soruyu soralım:

$A$ 'dan bir elemanı birinci konuma, $B$ 'den bir elemanı ikinci konuma koyarak hangi sıralı ikilileri oluşturabiliriz?

$A$ 'dan $1$ seçersek:

(1,x),\qquad(1,y),\qquad(1,z)

oluşur.

$A$ 'dan $2$ seçersek:

(2,x),\qquad(2,y),\qquad(2,z)

oluşur.

Böylece bütün olasılıklar:

\{ (1,x),(1,y),(1,z), (2,x),(2,y),(2,z) \}

olur.

İşte bu yeni kümeye $A$ ile $B$ 'nin Kartezyen çarpımı diyoruz.

7. Kartezyen çarpım

Kartezyen çarpım

$A$ ve $B$ iki küme olsun.

$A$ 'nın her elemanını birinci bileşene, $B$ 'nin her elemanını ikinci bileşene koyarak oluşturulabilecek bütün sıralı ikililerin kümesine $A$ ile $B$ 'nin Kartezyen çarpımı (Cartesian product) denir.

A\times B = \{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}.

Buradaki $\times$ sembolü sıradan sayı çarpımından farklı bir işlemi göstermektedir.

Tanımı parçalara ayıralım:

(a,b)\in A\times B

demek tam olarak:

a\in A \quad\text{ve}\quad b\in B

demektir.

Yani:

birinci bileşenin kaynağı $A$ ,
ikinci bileşenin kaynağı $B$ 'dir.

Kartezyen çarpımın üretim mantığı

A                     B

1 ─────────────────── x
│ ────────────────── y
│ ────────────────── z
│
2 ─────────────────── x
  ─────────────────── y
  ─────────────────── z

            │
            ▼

A × B

(1,x)  (1,y)  (1,z)
(2,x)  (2,y)  (2,z)

A kümesinden seçilen her eleman, B kümesindeki her elemanla sıralı ikili oluşturarak A çarpı B kümesini üretir.

8. Bir Kartezyen çarpımı sistematik oluşturmak

Örnek 1

A=\{a,b\}, \qquad B=\{1,2,3\}

olsun.

Birinci bileşende $A$ 'nın elemanları bulunmalıdır.

$a$ için:

(a,1),\ (a,2),\ (a,3)

$b$ için:

(b,1),\ (b,2),\ (b,3)

elde edilir.

Dolayısıyla:

A\times B = \{ (a,1),(a,2),(a,3), (b,1),(b,2),(b,3) \}.

Bunu tablo olarak da görebiliriz:

	$1$	$2$	$3$
$a$	$(a,1)$	$(a,2)$	$(a,3)$
$b$	$(b,1)$	$(b,2)$	$(b,3)$

Tablonun her hücresi tam olarak bir sıralı ikili üretir.

9. Neden adına “çarpım” deniyor?

Sonlu bir örneğe bakalım.

$A$ kümesinde $2$ eleman,

$B$ kümesinde $3$ eleman vardı.

Her $A$ elemanı için $B$ 'den üç farklı ikinci bileşen seçilebildiği için toplam:

2\cdot3=6

sıralı ikili oluştu.

Genel olarak sonlu kümelerde:

$A$ 'da $m$ eleman,
$B$ 'de $n$ eleman

varsa $A\times B$ içinde:

m\cdot n

tane sıralı ikili bulunur.

Neden çarpıyoruz?

$A$ 'nın her elemanı için $B$ 'nin bütün elemanları kullanılabilir.

Yani:

\underbrace{n+n+\cdots+n}_{m\text{ kez}} = m\cdot n.

Dolayısıyla “çarpım” adı yalnızca sembolik bir benzetme değildir; sonlu kümelerde eleman sayısı gerçekten çarpılır.

10. Sıra artık neden kritik?

Şimdi aynı kümeleri ters sırada kullanalım:

A=\{1,2\}, \qquad B=\{x,y,z\}.

Daha önce:

A\times B

içinde örneğin

(1,x)

vardı.

Fakat:

B\times A

oluşturduğumuzda birinci bileşen artık $B$ 'den gelmelidir.

Dolayısıyla:

B\times A = \{ (x,1),(x,2), (y,1),(y,2), (z,1),(z,2) \}.

Böylece genel olarak:

A\times B\neq B\times A.

Kartezyen çarpım değişmeli değildir

Sıradan sayılarda:

2\cdot3=3\cdot2

olduğu için “çarpım” kelimesi bizi yanıltabilir.

Kartezyen çarpımda ise bileşenlerin konumları bilgi taşıdığı için genel olarak:

A\times B\neq B\times A.

İki kümenin ürettiği sıralı ikili sayısı aynı olabilir; fakat sıralı ikililerin kendileri farklıdır.

Düşünme anı

A=\{1,2\}

olsun.

Bu durumda:

A\times A

ile kümelerin sırası değiştirildiğinde neden bir sorun çıkmaz?

Önce kendin oluşturmaya çalış.

Burada iki konum da aynı kümeden beslendiği için:

A\times A = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}.

Aynı kümenin kendisiyle Kartezyen çarpımı için kısa gösterim kullanılır:

A^2=A\times A.

11. Boş kümeyle Kartezyen çarpım

Şimdi:

A=\{1,2,3\}

B=\varnothing

olsun.

Bir $(a,b)$ sıralı ikilisi oluşturabilmemiz için:

a\in A

ve aynı zamanda:

b\in B

olmalıdır.

Fakat $B$ 'de seçilebilecek hiçbir eleman yoktur.

Dolayısıyla hiçbir sıralı ikili üretilemez:

A\times\varnothing=\varnothing.

Aynı biçimde:

\varnothing\times A=\varnothing.

Bir ürünün oluşması için iki konumun da doldurulması gerekiyorsa ve konumlardan birinin kaynak kümesinde hiç eleman yoksa tek bir ürün bile oluşturamazsın.

12. Kartezyen çarpım ile küme işlemleri arasındaki bağlantı

Önceki birimde birleşim ve kesişimi öğrenmiştik.

Kartezyen çarpım bunlarla uyumlu davranır.

Örneğin:

A\times(B\cup C)

ifadesi, ikinci bileşeni $B$ veya $C$ içinden seçebildiğimiz bütün çiftleri içerir.

Bu nedenle:

A\times(B\cup C) = (A\times B)\cup(A\times C).

Benzer biçimde:

A\times(B\cap C) = (A\times B)\cap(A\times C).

İlk eşitliği neden doğru kabul ediyoruz?

Bir $(a,x)$ sıralı ikilisinin:

A\times(B\cup C)

içinde olması için:

a\in A

x\in B\cup C

olmalıdır.

$x\in B\cup C$ ise $x$ , $B$ veya $C$ kümelerinden en az birindedir.

Dolayısıyla $(a,x)$ :

A\times B

veya

A\times C

içindedir.

Yani tam olarak:

(A\times B)\cup(A\times C)

kümesindedir.

İki taraf aynı sıralı ikilileri içerdiği için kümeler eşittir.

Burada yeni bir ezber kuralından çok, küme tanımlarının birlikte nasıl çalıştığını görüyoruz.

13. Kartezyen düzlemin kümesel kökeni

Şimdi çok önemli bir bağlantıya geldik.

Koordinat geometrisinde bir nokta:

(x,y)

ile gösterilir.

Burada:

x\in\mathbb R

y\in\mathbb R.

O hâlde bütün düzlem noktalarının kümesi:

\mathbb R\times\mathbb R

olmalıdır.

Kısa biçimde:

\mathbb R^2

yazarız.

Koordinat düzlemi aslında nedir?

\mathbb R^2 = \mathbb R\times\mathbb R.

Yani alışık olduğumuz iki boyutlu koordinat düzlemi, küme kuramı açısından:

iki reel sayı kümesinin Kartezyen çarpımıdır.

Bir nokta da iki reel sayıdan oluşan bir sıralı ikilidir.

Örneğin:

(3,-2)\in\mathbb R^2.

Burada:

$3$ : birinci koordinat,
$-2$ : ikinci koordinattır.

Neden:

(3,-2)\neq(-2,3)

olduğunu artık yalnız geometriden değil, sıralı ikili tanımından da biliyoruz.

Koordinatların kümesel kökeni

Birinci sayı        İkinci sayı
     x                   y
     │                   │
     └────────┬──────────┘
              ▼
            (x,y)
              │
              ▼
          ℝ × ℝ = ℝ²
              │
              ▼
       Koordinat düzlemi

Birinci reel sayı x koordinatını, ikinci reel sayı y koordinatını verir; bütün bu sıralı ikililer R çarpı R yani R kareyi oluşturur.

Bu bağlantı son derece önemlidir.

Koordinat geometrisi ileride bize geometrik nesneleri sayılarla ve cebirle inceleme imkânı verecek.

14. Kartezyen çarpım yalnızca sayılar arasında değildir

Kartezyen çarpımın güzelliği, elemanların sayı olmak zorunda olmamasıdır.

İnsanlar ve şehirler

K= \{\text{Ayşe},\text{Mehmet}\}

Ş= \{\text{İstanbul},\text{Ankara}\}

olsun.

O zaman:

K\times Ş

şu olası kayıtları içerir:

\{ (\text{Ayşe},\text{İstanbul}), (\text{Ayşe},\text{Ankara}), (\text{Mehmet},\text{İstanbul}), (\text{Mehmet},\text{Ankara}) \}.

Bu yapı örneğin “kişi–şehir” türünde bütün olası eşleşmelerin evreni olabilir.

Bu noktada çok önemli bir ayrım var:

Kartezyen çarpım, hangi eşleşmelerin gerçekten doğru olduğunu söylemez.

Yalnızca hangi eşleşmelerin mümkün biçimde yazılabileceğini oluşturur.

Örneğin Ayşe İstanbul'da yaşıyor, Mehmet Ankara'da yaşıyorsa gerçek ilişki yalnızca:

\{ (\text{Ayşe},\text{İstanbul}), (\text{Mehmet},\text{Ankara}) \}

olabilir.

Bu küme:

K\times Ş

Kartezyen çarpımının yalnızca bir alt kümesidir.

Bir sonraki büyük fikir: bağıntı

İşte bir sonraki birimde tam olarak bunu kullanacağız:

$A$ ile $B$ arasındaki bir bağıntı, $A\times B$ Kartezyen çarpımının uygun bir alt kümesi olarak düşünülebilir.

Yani Kartezyen çarpım bize önce bütün olası ilişkilerin alanını kurar.

Sonra bağıntı, bunların hangilerinin gerçekten seçildiğini söyler.

15. İki bileşen neden yeterli olmak zorunda değil?

Bir insanı şu bilgilerle kaydettiğimizi düşünelim:

ad,
yaş,
şehir.

Bir kayıt:

(\text{Ayşe},32,\text{İstanbul})

biçiminde olabilir.

Artık iki değil, üç konum vardır.

Buna sıralı üçlü denir.

Genel olarak:

(a_1,a_2,\ldots,a_n)

biçimindeki yapıya sıralı $n$ -li (ordered $n$ -tuple) denir.

Sıralı n-li

$n$ tane bileşenin konumları korunarak oluşturulan

(a_1,a_2,\ldots,a_n)

yapısına sıralı $n$ -li denir.

İki $n$ -li ancak bütün karşılık gelen bileşenleri eşitse eşittir:

(a_1,\ldots,a_n) = (b_1,\ldots,b_n)

ancak ve ancak:

a_1=b_1,\quad a_2=b_2,\quad \ldots,\quad a_n=b_n.

Örneğin:

(2,5,7)\neq(2,7,5).

Çünkü ikinci ve üçüncü bileşenlerin konumları değiştirilmiştir.

16. Birden fazla kümenin Kartezyen çarpımı

Üç küme:

A,\qquad B,\qquad C

verildiğinde:

A\times B\times C

içindeki elemanlar:

(a,b,c)

biçimindedir ve:

a\in A,\qquad b\in B,\qquad c\in C

olmalıdır.

Genel olarak:

A_1\times A_2\times\cdots\times A_n

içindeki bir eleman:

(a_1,a_2,\ldots,a_n)

biçimindedir ve her:

a_i\in A_i

olmalıdır.

Aynı küme tekrar kullanılıyorsa:

A^n = \underbrace{ A\times A\times\cdots\times A }_{n\text{ kez}}

kısa gösterimini kullanırız.

Örneğin:

\mathbb R^3 = \mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R.

Buradaki elemanlar:

(x,y,z)

biçimindeki üçlülerdir.

Bu da bildiğimiz üç boyutlu koordinat uzayının kümesel temelidir.

17. İndeksleme fikri

$n$ büyüdükçe:

(a,b,c,d,e,\ldots)

şeklinde sürekli yeni harf kullanmak pratik değildir.

Bu nedenle bileşenleri konumlarına göre numaralandırırız:

(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n).

Buradaki alt indisler:

1,2,3,\ldots,n

bileşenlerin indeksleridir.

İndeks ne işe yarar?

$a_i$ ifadesi:

“ $a$ ailesinin $i$ . konumundaki elemanı”

anlamına gelir.

İndeks sayesinde çok sayıda bileşeni tek bir ortak dil içinde ifade edebiliriz.

Örneğin:

x=(x_1,x_2,x_3,x_4)

dört bileşenli bir sıralı yapıysa:

$x_1$ : birinci bileşen,
$x_2$ : ikinci bileşen,
$x_3$ : üçüncü bileşen,
$x_4$ : dördüncü bileşendir.

Alt indis üs değildir

x_2

ile

x^2

aynı şey değildir.

$x_2$ bir indeks, $x^2$ ise bir üs gösterimidir.

Bu indeksleme fikri ileride:

dizilerde,
vektörlerde,
matrislerde,
koordinatlarda,
toplam gösterimlerinde,
çok değişkenli analizde

sürekli karşımıza çıkacaktır.

18. Tarihsel gelişim

Bu fikrin tarihini tek bir kişinin “Kartezyen çarpımı icat etmesi” biçiminde anlatmak doğru değildir.

Bugünkü yapı birkaç farklı matematiksel gelişmenin birleşmesiyle ortaya çıkmıştır.

yüzyılda René Descartes ve ondan bağımsız olarak Pierre de Fermat, geometrik problemlerin sayısal koordinatlarla ifade edilebildiği analitik geometri yaklaşımını geliştirdiler.

Descartes'ın 1637'de yayımlanan La Géométrie adlı çalışması bu dönüşümün önemli tarihsel dönüm noktalarından biridir.

Bu yaklaşım sayesinde geometrik bir noktanın iki sayı kullanılarak tarif edilmesi düşüncesi giderek merkezi hâle geldi.

Ancak bugün kullandığımız:

A\times B

biçimindeki genel kümesel Kartezyen çarpım kavramı, Descartes'ın doğrudan bu biçimde ortaya koyduğu bir tanım değildir.

Kümelerin ve sıralı yapıların bugünkü biçimde kesinleştirilmesi daha sonra, özellikle 19. yüzyıl sonu ve 20. yüzyıl başındaki modern küme kuramının gelişimi içinde gerçekleşti.

“Kartezyen” adı Descartes'ın koordinat geometrisindeki tarihsel rolünü taşır; fakat kavramın modern biçimi uzun bir matematiksel gelişimin sonucudur.

Bu ayrım önemlidir:

Kartezyen koordinatlar ile genel Kartezyen çarpım aynı tarihsel aşamada ortaya çıkmış tek bir fikir değildir.

19. Daha derin bir soru: Sıralı ikili aslında nedir?

Şimdilik $(a,b)$ yapısını temel bir matematiksel nesne olarak kullanmamız yeterlidir.

Fakat matematiğin temellerinde ilginç bir soru ortaya çıkar:

Her şeyi kümeler üzerinden kurmak istiyorsak sıralı ikiliyi de yalnız kümelerle tanımlayabilir miyiz?

Modern küme kuramında bunu yapmanın çeşitli yolları vardır.

Örneğin klasik bir kodlama:

(a,b) = \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}

şeklindedir.

Bu ayrıntıyı ezberlemene gerek yok

Bu tanımın amacı Kartezyen çarpım hesaplamak değildir.

Bize daha derin bir şeyi gösterir:

Matematikte kullandığımız yeni yapıların bazıları, temel kabul edilen daha önceki yapılardan kesin biçimde inşa edilebilir.

Bu aşamada önemli olan, sıralı ikilinin temel özelliğini bilmektir:

(a,b)=(c,d) \iff a=c\text{ ve }b=d.

20. Kartezyen çarpım nerelerde kullanılır?

Matematik içinde

1. Bağıntılar

$A$ ile $B$ arasındaki herhangi bir bağıntı:

R\subseteq A\times B

şeklinde kurulabilir.

Örneğin:

A=\{1,2,3\}

üzerindeki “küçüktür” ilişkisi:

R= \{(1,2),(1,3),(2,3)\}

biçiminde yazılabilir.

2. Fonksiyonlar

İleride bir fonksiyonun da uygun sıralı ikililerden oluşan özel bir bağıntı olduğunu göreceğiz.

Örneğin:

f(1)=a,\qquad f(2)=b

bilgisini:

\{(1,a),(2,b)\}

sıralı ikilileriyle temsil edebiliriz.

Kartezyen çarpım olmasaydı bu yapıyı genel küme dili içinde ifade etmek çok daha zor olurdu.

3. Koordinat geometrisi

\mathbb R^2

düzlemi,

\mathbb R^3

üç boyutlu uzayı temsil eder.

Daha sonra:

\mathbb R^n

ile çok boyutlu uzayları inceleyeceğiz.

Teknoloji ve veri

4. Veritabanları ve kayıtlar

Bir veritabanındaki satırı sıralı bir kayıt gibi düşünebiliriz.

Örneğin bir kullanıcı kaydı:

(\text{ID},\text{ad},\text{şehir})

biçiminde üç bileşenden oluşabilir.

Burada bileşenlerin sırası ve hangi sütuna ait oldukları anlam taşır.

Modern ilişkisel veri modellerinin temelinde de matematiksel bağıntı ve tuple fikirleri bulunur.

5. Dijital görüntüler

Bir ekrandaki piksel konumunu:

(x,y)

ile belirleyebiliriz.

Örneğin yatay konumların kümesi $X$ , düşey konumların kümesi $Y$ ise olası bütün piksel konumları:

X\times Y

içindedir.

Bir pikselin rengi ise bu konuma eklenen başka bir bilgi olabilir.

6. Ürün seçenekleri

Bir ürün için:

beden kümesi $B$ ,
renk kümesi $R$

verilmişse:

B\times R

bütün teorik beden-renk kombinasyonlarını verir.

Stok sistemi ise bunların yalnız gerçekten bulunanlarını seçebilir.

Burada Kartezyen çarpım olasılık alanını, gerçek stok ise onun bir alt kümesini temsil eder.

21. Bir başka önemli sezgi: Ürün uzayı

Kartezyen çarpım yalnızca iki listeyi eşleştirmek değildir.

Aslında iki bağımsız bilgi boyutunu bir araya getirerek daha zengin bir durum uzayı oluşturur.

Örneğin:

\text{Konum} \times \text{Zaman}

kullanırsak bir olayın hem nerede hem ne zaman gerçekleştiğini ifade edebiliriz.

(\text{İstanbul},14{:}30)

gibi.

Ya da:

\text{ürün} \times \text{mağaza}

kullanarak “hangi ürün hangi mağazada?” sorusunun bütün mümkün durumlarını kurabiliriz.

Kartezyen çarpımın daha genel zihinsel modeli

Her yeni bileşen, oluşturduğumuz matematiksel nesneye yeni bir bilgi ekseni ekler.

İki bileşen:

(a_1,a_2)

iki bilgi taşır.

Üç bileşen:

(a_1,a_2,a_3)

üç bilgi taşır.

$n$ bileşen:

(a_1,\ldots,a_n)

$n$ ayrı konumdaki bilgiyi tek bir nesne içinde tutar.

Bu fikir ileride “boyut” kavramıyla çok güçlü biçimde birleşecektir.

22. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Sıralı ikiliyi kümeyle karıştırmak

Yanlış düşünce:

(a,b)=\{a,b\}.

Doğrusu:

Bunlar farklı yapılardır.

Hata 2 — Bileşenleri serbestçe değiştirmek

Genel olarak:

(a,b)\neq(b,a).

Sıra bilgidir.

Hata 3 — $A\times B$ ile $B\times A$ 'yı aynı sanmak

Genellikle:

A\times B\neq B\times A.

Hata 4 — Kartezyen çarpımı kesişim sanmak

A\times B

kümesi, $A$ ile $B$ 'nin ortak elemanlarını aramaz.

Ortak elemanları arayan işlem:

A\cap B

idi.

Kartezyen çarpım ise yeni sıralı ikililer üretir.

Hata 5 — Bir elemanın doğrudan $A\times B$ 'ye ait olduğunu sanmak

Örneğin:

a\in A

olması genellikle:

a\in A\times B

demek değildir.

$A\times B$ 'nin elemanları:

(a,b)

biçimindeki sıralı ikililerdir.

Hata 6 — $A^2$ gösterimini sayısal kare sanmak

Buradaki:

A^2

şu anlama gelir:

A\times A.

Bir kümeyi sayısal olarak kendisiyle çarpmıyoruz.

23. Bütün fikri tek örnekte birleştirelim

Bir etkinlik sistemi düşünelim.

Etkinlik türleri:

E= \{\text{Konser},\text{Tiyatro}\}

mekânlar:

M= \{\text{Salon A},\text{Salon B},\text{Açık Alan}\}

olsun.

Bütün teorik etkinlik-mekân eşleşmeleri:

E\times M

kümesidir:

\{ (\text{Konser},\text{Salon A}), (\text{Konser},\text{Salon B}), (\text{Konser},\text{Açık Alan}),

(\text{Tiyatro},\text{Salon A}), (\text{Tiyatro},\text{Salon B}), (\text{Tiyatro},\text{Açık Alan}) \}.

Şimdi tarihler kümesi de:

T=\{t_1,t_2,t_3\}

olsun.

Bir etkinliği artık:

(e,m,t)

üçlüsüyle kaydedebiliriz.

Bütün teorik kombinasyonların alanı:

E\times M\times T

olur.

Gerçekten planlanmış etkinlikler ise bunun yalnızca belirli elemanlarından oluşan bir alt küme olacaktır.

Bu örnekte:

sıralı ikiliyi,
Kartezyen çarpımı,
sıralı üçlüyü,
ürün uzayını,
alt küme fikrini

tek yapıda görmüş olduk.

24. Matematik haritasındaki yerimiz

Nereden geldik, nereye gidiyoruz?

Şu ana kadar:

Küme
  │
  ▼
Eleman ve alt küme
  │
  ▼
Küme işlemleri
  │
  ▼
Sıralı ikili
  │
  ▼
Kartezyen çarpım

kurduk.

Şimdi önümüzde iki büyük yol açılıyor:

                    Kartezyen çarpım
                           │
                  ┌────────┴────────┐
                  │                 │
                  ▼                 ▼
               Bağıntı          Fonksiyon
                  │                 │
                  ▼                 ▼
             denklik /          matematiğin
             sıralama          temel dili

Bağıntı kavramında:

R\subseteq A\times B

fikrini kullanacağız.

Fonksiyonlarda ise bu bağıntıların çok özel bir türünü inceleyeceğiz.

Dolayısıyla bugün öğrendiğimiz Kartezyen çarpım, ileride kullanıp sonra unutacağımız küçük bir küme işlemi değildir.

Matematiksel nesneler arasındaki ilişkileri ifade edebilmemizin temel altyapılarından biridir.

25. Kısa sentez

Neden vardı?

Kümeler hangi elemanların bulunduğunu gösteriyordu fakat elemanların konumlarını korumuyordu.

Bu yüzden sıralı yapılara ihtiyaç duyduk.

Ne öğrendik?

Sıralı ikili:

(a,b)

konum bilgisi taşıyan iki bileşenli bir nesnedir.

Kartezyen çarpım:

A\times B = \{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}

iki kümeden oluşturulabilecek bütün sıralı ikililerin kümesidir.

Neyi artık yapabiliyoruz?

İki kümenin Kartezyen çarpımını oluşturabiliyoruz.
Sıralı ikili ile kümeyi ayırabiliyoruz.
$A\times B$ ile $B\times A$ arasındaki farkı açıklayabiliyoruz.
Koordinat düzlemini $\mathbb R^2$ olarak yorumlayabiliyoruz.
Sıralı üçlü ve genel $n$ -lileri kurabiliyoruz.
İndekslerin ne işe yaradığını anlayabiliyoruz.

Sırada ne var?

Kartezyen çarpımdaki bütün olası çiftlerin yalnızca bazılarını seçersek:

“Bu iki nesne birbiriyle ilişkilidir.”

diyebiliriz.

Bu bizi bir sonraki büyük fikre götürecek:

bağıntılar.

26. Öğrenme kontrolü

A. Kavrama

$\{a,b\}$ ile $(a,b)$ arasındaki temel fark nedir?
“Sıralı ikili” sözcüğündeki sıralı ne anlama gelir? Küçükten büyüğe dizme anlamına mı gelir?
Kartezyen çarpım neden yeni bir küme üretir?
$\mathbb R^2$ ifadesinin Kartezyen çarpım açısından anlamını kendi sözlerinle açıkla.
Bir bağıntı kurabilmek için Kartezyen çarpıma neden ihtiyaç duyacağımızı tahmin et.

B. Teknik

Aşağıdaki kümeler için $A\times B$ 'yi oluştur:

A=\{1,2\}, \qquad B=\{a,b\}.

Aynı kümeler için $B\times A$ 'yı oluştur ve iki sonucu karşılaştır.
Aşağıdaki kümenin elemanlarını yaz:

\{0,1\}^2.

Eğer:

A=\{x,y\}

ise:

A\times\varnothing

nedir? Neden?

Aşağıdaki eşitlik doğru mu?

(3,5)=(5,3)

Gerekçelendir.

C. Gerekçelendirme

Neden genel olarak:

A\times B\neq B\times A

olduğunu tek bir karşı örnekle göster.

Neden:

A\times\varnothing=\varnothing

olmak zorundadır?

Şu eşitliği tanımlardan hareketle açıklamaya çalış:

A\times(B\cup C) = (A\times B)\cup(A\times C).

D. Transfer

Bir yemek sipariş sisteminde:

Boyut= \{\text{Küçük},\text{Orta},\text{Büyük}\}

İçecek= \{\text{Su},\text{Ayran}\}

olsun.

Bütün teorik boyut-içecek seçeneklerini hangi matematiksel yapıyla temsil edersin?

Bir noktanın yalnızca $(x,y)$ değil:

(x,y,z,t)

ile tarif edildiği bir model düşün.

Bu dört bileşenin her birinin farklı bir bilgi türünü temsil edebileceği gerçek veya bilimsel bir örnek üret.

Bir öğrenci:

“ $A\times B$ 'deki bütün sıralı ikililer, $A$ ile $B$ arasında gerçekten var olan ilişkileri gösterir.”

diyor.

Bu ifade neden yanlış?

Bir cümlede bu ders

Kartezyen çarpım, farklı kümelerden gelen bilgileri konumlarını kaybetmeden bir araya getirerek ilişkilerin, koordinatların ve çok bileşenli matematiksel yapıların üzerinde kurulacağı alanı oluşturur.

01.03.03 — Kartezyen Çarpım ve Sıralı Yapılar

1. Birim kartı

2. Başlangıç problemi: Aynı iki bilgi, farklı anlamlar

3. Neden mevcut küme fikri yetmedi?

Elemanların yazılış sırası önemsizdir

Aynı elemanı tekrar yazmak kümeyi değiştirmez

4. Sıralı ikili

Tekrar kullanılabilir

5. Küme ile sıralı ikili arasındaki fark

6. Şimdi ikinci probleme geçelim: Bütün olası eşleşmeler

7. Kartezyen çarpım

8. Bir Kartezyen çarpımı sistematik oluşturmak

9. Neden adına “çarpım” deniyor?

10. Sıra artık neden kritik?

11. Boş kümeyle Kartezyen çarpım

12. Kartezyen çarpım ile küme işlemleri arasındaki bağlantı

13. Kartezyen düzlemin kümesel kökeni

14. Kartezyen çarpım yalnızca sayılar arasında değildir

15. İki bileşen neden yeterli olmak zorunda değil?

16. Birden fazla kümenin Kartezyen çarpımı

17. İndeksleme fikri

18. Tarihsel gelişim

19. Daha derin bir soru: Sıralı ikili aslında nedir?

20. Kartezyen çarpım nerelerde kullanılır?

Matematik içinde

Teknoloji ve veri

21. Bir başka önemli sezgi: Ürün uzayı

22. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Sıralı ikiliyi kümeyle karıştırmak

Hata 2 — Bileşenleri serbestçe değiştirmek

Hata 3 — A×BA\times BA×B ile B×AB\times AB×A'yı aynı sanmak

Hata 4 — Kartezyen çarpımı kesişim sanmak

Hata 5 — Bir elemanın doğrudan A×BA\times BA×B'ye ait olduğunu sanmak

Hata 6 — A2A^2A2 gösterimini sayısal kare sanmak

23. Bütün fikri tek örnekte birleştirelim

24. Matematik haritasındaki yerimiz

25. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

26. Öğrenme kontrolü

A. Kavrama

B. Teknik

C. Gerekçelendirme

D. Transfer

Hata 3 — $A\times B$ ile $B\times A$ 'yı aynı sanmak

Hata 5 — Bir elemanın doğrudan $A\times B$ 'ye ait olduğunu sanmak

Hata 6 — $A^2$ gösterimini sayısal kare sanmak