1.03.04 — Kuvvet Kümesi ve “Kümelerin Kümesi”

Birim Kartı

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.03 — Kümeler
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Zorunlu ön koşul: 1.03.01 — Küme, eleman ve alt küme
Güçlendirici bağlantılar: 1.03.02 — Küme işlemleri, 1.03.03 — Kartezyen çarpım ve sıralı yapılar
İleride açacağı kapılar: Cantor'un sonsuzluk düşüncesi, topoloji, $\sigma$ -cebirler ve olasılık

Temel Soru

Bir kümenin bütün alt kümelerini tek tek konuşmak yerine, onların tamamını yeni bir kümenin elemanları hâline getirebilir miyiz?

Bu birimin sonunda:

Bir kümenin kuvvet kümesini oluşturabileceğiz.
Eleman olmak ile alt küme olmak arasındaki farkı kesin biçimde ayırabileceğiz.
$n$ elemanlı sonlu bir kümenin neden $2^n$ farklı alt kümesi olduğunu yeniden kurabileceğiz.
Bir “kümeler kümesi” fikrinin ileride neden önemli olacağını göreceğiz.

1. Başlangıç problemi: Bütün seçimleri tek bir yerde toplamak

Kaç farklı ekip kurulabilir?

Üç kişilik bir grubumuz olsun:

A=\{\text{Ayşe},\text{Berk},\text{Cem}\}.

Bu kişilerden bir ekip seçmek istiyoruz.

Şu seçimlerin hepsi mümkündür:

hiç kimseyi seçmemek,
yalnız Ayşe'yi seçmek,
yalnız Berk'i seçmek,
yalnız Cem'i seçmek,
Ayşe ile Berk'i seçmek,
Ayşe ile Cem'i seçmek,
Berk ile Cem'i seçmek,
üçünü birden seçmek.

Her olası ekip, $A$ kümesinin bir alt kümesidir.

Fakat şimdi farklı bir soru soruyoruz:

Bu olası ekiplerin tamamını tek bir matematiksel nesne içinde toplayabilir miyiz?

Tek tek alt kümeleri zaten yazabiliyoruz:

\{\text{Ayşe}\}, \qquad \{\text{Berk},\text{Cem}\}, \qquad A, \qquad \varnothing

gibi.

Ancak bazen bizim ilgilendiğimiz şey belirli bir alt küme değil, mümkün olan bütün alt kümelerin oluşturduğu koleksiyonun kendisidir.

İşte kuvvet kümesi bu ihtiyacı karşılar.

2. Eski araç neden yetmiyor?

Önceki birimlerde iki farklı ilişki öğrenmiştik.

Bir nesne bir kümenin elemanı olabilir:

a\in A.

Bir küme başka bir kümenin alt kümesi olabilir:

B\subseteq A.

Örneğin

A=\{a,b,c\}

olsun.

O zaman:

a\in A

\{a,b\}\subseteq A

ifadeleri doğrudur.

Fakat bunlar bize yalnızca belirli bir eleman veya belirli bir alt küme hakkında konuşma imkânı verir.

Şimdi ise daha üst düzey bir nesne istiyoruz:

$A$ 'nın alt kümelerinin tamamını eleman olarak içeren bir küme.

Yani bir bakıma bir basamak yukarı çıkacağız:

Bir üst soyutlama düzeyi

a, b, c
   │
   │ elemanlardan alt kümeler oluştur
   ▼
∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, ...
   │
   │ bütün alt kümeleri tek kümede topla
   ▼
             𝒫(A)

A kümesinin elemanlarından önce alt kümeler oluşturulur; daha sonra bütün bu alt kümeler kuvvet kümesinin elemanları hâline gelir.

Yeni fikir

Bir kümenin elemanlarından yeni kümeler oluşturabiliriz.

Sonra bu yeni kümelerin tamamını da başka bir kümenin elemanları yapabiliriz.

Dolayısıyla matematikte bir kümenin elemanlarının kendilerinin de küme olması tamamen mümkündür.

3. Tarihsel gelişim: Neden böyle bir kavram ortaya çıktı?

Kuvvet kümesi düşüncesi, modern küme teorisinin 19. yüzyılın sonlarında gelişmesiyle doğal hâle geldi.

Georg Cantor'un kümelerin büyüklüklerini ve özellikle sonsuz kümeleri karşılaştırma çalışmaları sırasında, bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu koleksiyon son derece önemli bir nesne hâline geldi.

Buradaki şaşırtıcı sonuçlardan biri şudur:

Bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu küme, başlangıçtaki kümeden daima daha büyük bir büyüklüğe sahiptir.

Bu yalnızca sonlu kümelerde gördüğümüz

n\longmapsto2^n

büyümesinin sonsuz kümelerde de çok daha derin bir karşılığı olduğunu gösterir.

Daha sonra aksiyomatik küme teorileri geliştirilirken, bir kümenin bütün alt kümelerinin de bir küme oluşturduğunu güvence altına alan kuvvet kümesi aksiyomu temel ilkelerden biri hâline geldi.

Dolayısıyla kuvvet kümesinin tek bir anda “icat edilmiş” tekniğinden çok, modern küme teorisinin gelişmesiyle temel hâle gelen bir yapıdan söz etmek daha doğrudur.

Şimdilik sonsuz kümeleri karşılaştırmayacağız.

Önce sonlu kümelerde bu yapının nasıl çalıştığını tam olarak anlayacağız.

4. Sezgi: Her eleman için iki karar

Şu kümeye dönelim:

A=\{a,b,c\}.

Bir alt küme oluştururken $a$ hakkında ne yapabiliriz?

Yalnızca iki seçeneğimiz vardır:

$a$ 'yı alt kümeye al.
$a$ 'yı alt kümeye alma.

Aynı şey $b$ için de geçerlidir:

al,
alma.

Ve $c$ için:

al,
alma.

Yani bir alt küme seçmek aslında her eleman için verilen bir evet/hayır kararıdır.

Bir alt kümeyi, ana kümenin her elemanının yanında bulunan bir anahtar gibi düşünebiliriz:

açık: eleman seçildi,
kapalı: eleman seçilmedi.

Dolayısıyla kuvvet kümesi, bu anahtarların alabileceği bütün mümkün durumların kümesidir.

Üç elemanda karar ağacı şöyledir:

Üç elemanın alt kümelerini üretmek

                         başla
                       /       \
                   a yok       a var
                  /    \       /    \
             b yok   b var  b yok   b var
             / \      / \     / \      / \
           c-  c+   c-  c+  c-  c+   c-  c+

           ∅   {c}  {b} {b,c} {a} {a,c} {a,b} {a,b,c}

a, b ve c elemanlarının her biri için seçildi veya seçilmedi kararı verildiğinde sekiz farklı karar dizisi ve dolayısıyla sekiz farklı alt küme oluşur.

Ortaya sekiz farklı alt küme çıktı.

Henüz $2^3$ formülünü ezberlemedik.

Tam tersine, birazdan neden $2^3$ olmak zorunda olduğunu buradan çıkaracağız.

5. Biçimsel tanım

Kuvvet Kümesi

Bir $A$ kümesinin kuvvet kümesi, $A$ 'nın bütün alt kümelerinden oluşan kümedir.

Genellikle

\mathcal P(A)

ile gösterilir ve

\mathcal P(A) = \{B\mid B\subseteq A\}

şeklinde tanımlanır.

Bu ifadeyi kelime kelime okuyalım:

\{B\mid B\subseteq A\}.

Buradaki $B$ , bir kümedir.

Dikey çizgi:

\mid

“öyle ki” anlamındadır.

Dolayısıyla ifade:

“ $A$ 'nın alt kümesi olan bütün $B$ kümelerinin kümesi”

demektir.

Tanımdan çok önemli bir eşdeğerlik çıkar:

Kuvvet kümesinin ana ilişkisi

\boxed{ B\in\mathcal P(A) \iff B\subseteq A }

Yani:

$B$ , $A$ 'nın kuvvet kümesinin bir elemanıdır ancak ve ancak $B$ , $A$ 'nın bir alt kümesidir.

Bu ifade bütün birimin merkezidir.

6. İlk kuvvet kümemizi oluşturalım

İki elemanlı bir küme

A=\{a,b\}

olsun.

Önce $A$ 'nın bütün alt kümelerini bulalım.

Hiç eleman seçmezsek:

\varnothing.

Yalnızca bir eleman seçersek:

\{a\}, \qquad \{b\}.

İki elemanı da seçersek:

\{a,b\}.

Dolayısıyla:

\boxed{ \mathcal P(A) = \{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\} }

olur.

Burada dikkat edilmesi gereken şey şudur:

$A$ 'nın elemanları:

a,\ b

iken $\mathcal P(A)$ 'nın elemanları:

\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a,b\}

kümeleridir.

Yani:

a\in A

ama

\{a\}\in\mathcal P(A).

Bunlar aynı türden ifade değildir.

7. Eleman olmak ile alt küme olmak

Bu ayrım kuvvet kümesini anlamanın en kritik noktasıdır.

$A=\{1,2,3\}$ olsun.

Şu ifade doğrudur:

1\in A.

Çünkü $1$ , $A$ 'nın elemanlarından biridir.

Şu da doğrudur:

\{1\}\subseteq A.

Çünkü $\{1\}$ kümesindeki her eleman $A$ 'da bulunmaktadır.

Kuvvet kümesi tanımına göre bundan ayrıca:

\{1\}\in\mathcal P(A)

sonucu çıkar.

Dolayısıyla aynı nesne hakkında iki farklı düzey görüyoruz:

1\in A

fakat

\{1\}\in\mathcal P(A).

Elemandan kuvvet kümesine

1
│
│  elemanıdır
▼
A = {1,2,3}

{1}
│
│  alt kümesidir
▼
A = {1,2,3}

{1}
│
│  elemanıdır
▼
𝒫(A)

1 sayısı A kümesinin elemanıdır; 1'i içeren tek elemanlı küme ise A'nın alt kümesidir ve bu nedenle A'nın kuvvet kümesinin elemanıdır.

∈ ile ⊆ aynı şey değildir

x\in A

“ $x$ , $A$ 'nın bir elemanıdır” demektir.

B\subseteq A

ise “ $B$ kümesinin bütün elemanları $A$ 'nın da elemanıdır” demektir.

Kuvvet kümesi bu iki ilişkiyi şu köprüyle birbirine bağlar:

B\subseteq A \iff B\in\mathcal P(A).

8. Üç elemanlı kümenin kuvvet kümesi

Şimdi:

A=\{a,b,c\}

olsun.

Alt kümeleri büyüklüklerine göre düzenleyelim.

Hiç eleman içermeyen:

\varnothing

Bir eleman içerenler:

\{a\},\quad\{b\},\quad\{c\}

İki eleman içerenler:

\{a,b\},\quad\{a,c\},\quad\{b,c\}

Üç eleman içeren:

\{a,b,c\}

Böylece:

\mathcal P(A) = \{ \varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \}.

Toplam:

1+3+3+1=8

alt küme vardır.

Yani:

|\mathcal P(A)|=8.

Buradaki $|\mathcal P(A)|$ , kuvvet kümesindeki eleman sayısını ifade eder.

Ama neden tam olarak $8$ ?

Ve daha genel olarak neden $n$ eleman için $2^n$ ?

9. Neden $2^n$ alt küme vardır?

$A$ kümesinin $n$ elemanı olduğunu düşünelim:

A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}.

Bir alt küme oluştururken $a_1$ için iki seçenek vardır:

\text{al} \qquad\text{veya}\qquad \text{alma}.

$a_2$ için de iki seçenek vardır.

$a_3$ için de iki seçenek vardır.

Bu durum bütün $n$ eleman için devam eder.

Dolayısıyla toplam karar sayısı:

\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}_{n\text{ tane}}

olur.

Bu da:

2^n

demektir.

Alt kümelerin sayısının türetilmesi

Her alt küme, $n$ ayrı iki seçenekli kararın sonucudur:

\begin{aligned} a_1 &: \text{al / alma}\\ a_2 &: \text{al / alma}\\ &\vdots\\ a_n &: \text{al / alma}. \end{aligned}

Bu nedenle:

|\mathcal P(A)| = \underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{n\text{ kez}} = 2^n.

Dolayısıyla sonlu bir $A$ kümesi $n$ elemanlıysa:

\boxed{ |\mathcal P(A)|=2^n }

olur.

Buradaki $2$ rastgele ortaya çıkmadı.

Her elemanın iki durumu olduğu için ortaya çıktı.

Dolayısıyla formülü unutursak yeniden kurabiliriz:

Her eleman için “içeride mi, dışarıda mı?” diye iki karar veriyorum.

10. Önceki birimle bağlantı: Alt kümeleri 0 ve 1 ile kodlamak

Kartezyen çarpım biriminde sıralı yapılar görmüştük.

Şimdi üç elemanlı:

A=\{a,b,c\}

kümesinin bir alt kümesini üç tane $0$ veya $1$ ile kodlayabiliriz.

$1$ : eleman seçildi.
$0$ : eleman seçilmedi.

Örneğin:

Kod	Alt küme
$(0,0,0)$	$\varnothing$
$(1,0,0)$	$\{a\}$
$(0,1,0)$	$\{b\}$
$(0,0,1)$	$\{c\}$
$(1,1,0)$	$\{a,b\}$
$(1,0,1)$	$\{a,c\}$
$(0,1,1)$	$\{b,c\}$
$(1,1,1)$	$\{a,b,c\}$

Üç konumun her birinde iki seçenek olduğundan:

2\cdot2\cdot2=2^3=8.

Kartezyen çarpımla bağlantı

Üç elemanlı bir kümenin alt kümelerini seçme problemi ile

\{0,1\}\times\{0,1\}\times\{0,1\}

içindeki sıralı üçlüleri oluşturma problemi aynı iki-seçenek yapısını taşır.

Bu bağlantı ileride kombinatorikte ve bilgisayar bilimlerinde çok güçlü hâle gelecektir.

11. Boş kümenin kuvvet kümesi

Şimdi görünüşte tuhaf bir örnek ele alalım:

A=\varnothing.

$A$ 'nın kaç alt kümesi vardır?

Boş kümenin her kümenin alt kümesi olduğunu biliyoruz.

Dolayısıyla özellikle:

\varnothing\subseteq\varnothing.

Bundan:

\varnothing\in\mathcal P(\varnothing)

çıkar.

Başka bir alt küme bulunmadığı için:

\boxed{ \mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\} }

olur.

Çok önemli ayrım

Şunlar aynı küme değildir:

\varnothing

\{\varnothing\}.

İlk kümenin hiç elemanı yoktur.

İkinci kümenin bir elemanı vardır; o eleman boş kümedir.

Dolayısıyla:

|\varnothing|=0

ama

|\{\varnothing\}|=1.

Bu sonuç $2^n$ formülüyle de uyumludur.

Boş kümenin eleman sayısı $0$ olduğundan:

|\mathcal P(\varnothing)| = 2^0 = 1.

Gerçekten de tek alt kümesi vardır:

\varnothing.

12. Kuvvet kümesinde daima bulunan iki eleman

Her $A$ kümesi için iki temel gerçek vardır.

Boş küme her zaman bulunur

Boş küme her kümenin alt kümesidir:

\varnothing\subseteq A.

Dolayısıyla kuvvet kümesi tanımından:

\boxed{ \varnothing\in\mathcal P(A) }

çıkar.

Kümenin kendisi de her zaman bulunur

Her küme kendisinin alt kümesidir:

A\subseteq A.

Dolayısıyla:

\boxed{ A\in\mathcal P(A) }

olur.

Bir kuvvet kümesi hiçbir zaman boş değildir.

En azından:

\varnothing

elemanını içerir.

Bu yüzden:

\mathcal P(A)\neq\varnothing

her $A$ kümesi için doğrudur.

13. Biraz daha dikkat isteyen örnek

Kümenin elemanları da küme olduğunda

Şu kümeyi düşünelim:

A=\{x,\{y\}\}.

$A$ 'nın iki elemanı vardır:

$x$
$\{y\}$

Bu nedenle kuvvet kümesinde:

2^2=4

eleman bulunmalıdır.

Alt kümeler:

\varnothing,

\{x\},

\{\{y\}\},

\{x,\{y\}\}.

Dolayısıyla:

\mathcal P(A) = \{ \varnothing, \{x\}, \{\{y\}\}, \{x,\{y\}\} \}.

Burada:

\{y\}\in A

doğrudur.

Fakat bu, otomatik olarak:

y\in A

anlamına gelmez.

Çünkü $A$ 'nın elemanı $y$ değil, $\{y\}$ kümesidir.

Bu örnek bize kümelerin içine kümeler koymaya başladığımızda parantezlerin yalnızca yazım ayrıntısı olmadığını gösterir.

Her çift süslü parantez yeni bir yapı düzeyini gösterebilir.

14. Bir kuvvet kümesinin de kuvvet kümesini alabiliriz

Matematik burada durmak zorunda değildir.

Kümelerin kümelerinin kümeleri

A=\{a\}

olsun.

Önce:

\mathcal P(A) = \{\varnothing,\{a\}\}.

Şimdi $\mathcal P(A)$ de bir kümedir.

Dolayısıyla onun da kuvvet kümesini alabiliriz:

\mathcal P(\mathcal P(A)).

$\mathcal P(A)$ iki elemanlı olduğundan bunun $2^2=4$ alt kümesi vardır:

\mathcal P(\mathcal P(A)) = \{ \varnothing, \{\varnothing\}, \{\{a\}\}, \{\varnothing,\{a\}\} \}.

İlk bakışta süslü parantezlerin sayısı yorucu görünebilir.

Fakat her seviyede aynı soruyu soruyoruz:

Şu anda hangi kümenin elemanlarından, hangi yeni alt kümeleri oluşturuyorum?

Bu soru parantez karmaşasını büyük ölçüde çözer.

15. Bir başka temel sonuç

$A$ ve $B$ kümeleri için:

A\subseteq B

olduğunu düşünelim.

Bu durumda $A$ 'nın her alt kümesi aynı zamanda $B$ 'nin de alt kümesidir.

Çünkü bir $X$ kümesi için:

X\subseteq A

A\subseteq B

ise:

X\subseteq B.

Dolayısıyla:

X\in\mathcal P(A) \Rightarrow X\in\mathcal P(B).

Böylece:

\boxed{ A\subseteq B \Rightarrow \mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B) }

sonucunu elde ederiz.

Neden doğru?

$A\subseteq B$ olsun.

Herhangi bir

X\in\mathcal P(A)

alalım.

Kuvvet kümesinin tanımından:

X\subseteq A.

Ayrıca:

A\subseteq B.

Alt küme ilişkisinin geçişliliğinden:

X\subseteq B.

Bu da:

X\in\mathcal P(B)

demektir.

Dolayısıyla $\mathcal P(A)$ 'nın her elemanı $\mathcal P(B)$ 'nin de elemanıdır:

\mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B).

Burada yeni bir formül ezberlemedik.

Sadece kuvvet kümesinin tanımını kullandık.

16. Karşı örnek: Benzer görünen her ifade doğru değildir

Birleşimde dikkat

Şöyle düşünmek cazip gelebilir:

\mathcal P(A\cup B) = \mathcal P(A)\cup\mathcal P(B).

Fakat bu genel olarak yanlıştır.

Örneğin:

A=\{a\}, \qquad B=\{b\}.

O zaman:

A\cup B=\{a,b\}.

Dolayısıyla:

\mathcal P(A\cup B) = \{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.

Öte yandan:

\mathcal P(A) = \{\varnothing,\{a\}\},

\mathcal P(B) = \{\varnothing,\{b\}\}.

Bunların birleşimi:

\mathcal P(A)\cup\mathcal P(B) = \{\varnothing,\{a\},\{b\}\}.

Burada

\{a,b\}

eksiktir.

Çünkü $\{a,b\}$ , ne yalnızca $A$ 'nın ne de yalnızca $B$ 'nin alt kümesidir; fakat $A\cup B$ 'nin alt kümesidir.

Dolayısıyla genel olarak:

\mathcal P(A\cup B) \neq \mathcal P(A)\cup\mathcal P(B).

Bu örnek önemli bir alışkanlık kazandırır:

Matematiksel işlemler benzer semboller taşıyor diye birbirleriyle otomatik olarak dağılmaz.

17. Kuvvet kümesi neden gerçekten işe yarar?

Kuvvet kümesi yalnızca “alt kümeleri listeleme” alıştırması değildir.

Temel olarak şu soruyu matematiksel bir nesneye dönüştürür:

Bu kümeden hangi seçimler yapılabilir?

1. Kombinatorik: Bütün seçimler

Bir sınıfta $n$ öğrenci varsa herhangi sayıda öğrenciden oluşabilecek bütün ekipler, öğrenci kümesinin alt kümeleridir.

Dolayısıyla mümkün ekiplerin tamamı kuvvet kümesidir ve sayıları:

2^n

olur.

Örneğin $10$ kişilik bir gruptan:

2^{10}=1024

farklı alt küme seçilebilir.

Buna hiç kimsenin seçilmediği durum ve herkesin seçildiği durum da dahildir.

2. Bilgisayar sistemleri: Açık/kapalı seçenekler

Bir programda üç bağımsız özellik olduğunu düşünelim:

bildirimler,
konum erişimi,
karanlık mod.

Her özellik açık veya kapalı olabilir.

Üç özellik kümesini:

F=\{b,k,m\}

diye gösterirsek, o anda etkin olan özellikler $F$ 'nin bir alt kümesidir.

Örneğin:

\{b,m\}

“bildirimler ve karanlık mod açık, konum kapalı” anlamına gelebilir.

Bütün olası yapılandırmalar:

\mathcal P(F)

ile temsil edilir.

Üç bağımsız açık/kapalı seçenek için:

2^3=8

farklı durum vardır.

Bu, kuvvet kümesinin bit dizileri ve bit mask gibi bilgisayar bilimi fikirleriyle doğrudan bağlantısının temelidir.

3. Topoloji ve olasılığa giden yol

İleride bir $X$ kümesi üzerinde “hangi alt kümeleri özel kabul edeceğiz?” sorusunu soracağız.

Örneğin topolojide belirli alt kümeler açık kümeler olarak seçilir.

Olasılığın modern temelinde ise belirli alt kümeler ölçülebilir olaylar olarak seçilir ve bunlar bir $\sigma$ -cebir oluşturur.

Her iki durumda da seçebileceğimiz aday alt kümelerin bulunduğu en büyük evren:

\mathcal P(X)

olur.

Yani ileride karşımıza çıkacak birçok “kümeler kümesi”, aslında kuvvet kümesinin içinden seçilmiş özel alt küme aileleridir.

18. Cantor'a açılan kapı

Sonlu kümelerden sonsuzluğa

Sonlu bir $A$ kümesinde:

|A|=n

ise:

|\mathcal P(A)|=2^n.

Dolayısıyla kuvvet kümesi başlangıç kümesinden daha büyüktür.

Örneğin:

3<8,

4<16,

10<1024.

Şaşırtıcı olan, bu fikrin yalnızca sonlu kümelerde kalmamasıdır.

Cantor'un temel sonuçlarından biri, sonsuz bir kümenin bile kuvvet kümesinin kendisinden daha büyük olduğunu gösterir.

Bunun ne demek olduğunu anlamak için önce sonsuz kümelerin büyüklüklerini nasıl karşılaştıracağımızı öğrenmemiz gerekecek.

Bu konu daha sonra kardinalite ve Cantor Teoremi'nde yeniden karşımıza çıkacak.

Şimdilik önemli olan düşünce şu:

“Bütün alt kümeleri oluşturmak”, bir kümeden matematiksel olarak çok daha zengin yeni bir yapı üretir.

19. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — ∈ ile ⊆ işaretlerini karıştırmak

a\in A

ile

\{a\}\subseteq A

aynı ifade değildir.

Birincisinde $a$ bir elemandır.

İkincisinde $\{a\}$ bir kümedir.

Hata 2 — Alt kümeleri kuvvet kümesinin içine yanlış koymak

A=\{1,2\}

ise:

\mathcal P(A) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.

Kuvvet kümesinin elemanları:

\{1\}

\{2\}

gibi kümelerdir.

Bu nedenle yalnızca:

1,2

yazmak doğru değildir.

Hata 3 — Boş kümeyi unutmak

Her kümenin alt kümeleri arasında:

\varnothing

mutlaka vardır.

Dolayısıyla kuvvet kümesini oluştururken boş küme unutulamaz.

Hata 4 — Kümenin kendisini unutmak

Her küme kendisinin alt kümesidir:

A\subseteq A.

Bu nedenle:

A\in\mathcal P(A).

Hata 5 — Boş küme ile boş kümeyi içeren kümeyi karıştırmak

\varnothing \neq \{\varnothing\}.

İlkinde sıfır eleman, ikincisinde bir eleman vardır.

Hata 6 — $2^n$ formülünü bağlamından koparmak

|\mathcal P(A)|=2^n

ifadesindeki $n$ , sonlu $A$ kümesinin eleman sayısıdır.

Formülün nedeni her eleman için iki seçim bulunmasıdır.

Bu aşamada sonsuz kümeler için sıradan doğal sayı üs hesabı yapmıyoruz; sonsuz kardinaliteler ayrı bir konu olacaktır.

20. Matematik haritasındaki yerimiz

Şimdiye kadar kümeler bölümünde şu yolu izledik:

Kümeler bölümündeki ilerleyiş

1.03.01
Küme, eleman, alt küme
        │
        ├───────────────┐
        ▼               ▼
1.03.02             1.03.03
Küme işlemleri      Kartezyen çarpım
        │               │
        └───────┬───────┘
                ▼
           1.03.04
          Kuvvet kümesi
                │
         ┌──────┴───────┐
         ▼              ▼
     Cantor          σ-cebirler
   ve sonsuzluk    topoloji/olasılık

Küme, eleman ve alt küme fikrinden küme işlemlerine ve Kartezyen çarpıma geçildi; kuvvet kümesi ise alt kümelerin kendilerini yeni bir kümenin elemanları olarak ele alır ve ileride Cantor ile sigma-cebir kavramlarına bağlanır.

Bu birimde yeni bir soyutlama hareketi yaptık:

Önce:

\text{elemanlar}

üzerinde düşünüyorduk.

Sonra:

\text{elemanlardan oluşan alt kümeler}

üzerinde düşündük.

Şimdi ise:

\text{bu alt kümelerin tamamından oluşan bir küme}

oluşturduk.

Bu “bir matematiksel yapının parçalarını yeniden matematiksel nesneler olarak ele alma” fikri ileride defalarca karşımıza çıkacak.

21. Kısa sentez

Neden vardı?

Bir kümenin yalnızca belirli alt kümelerini değil, bütün olası alt kümelerini tek bir matematiksel nesne olarak ele almak istedik.

Ne öğrendik?

Bir $A$ kümesinin kuvvet kümesi:

\mathcal P(A) = \{B\mid B\subseteq A\}

şeklinde tanımlanır.

Temel ilişki:

\boxed{ B\in\mathcal P(A) \iff B\subseteq A }

oldu.

Neden $2^n$ ?

$n$ elemanlı bir kümede her eleman için:

seç,
seçme

olmak üzere iki bağımsız karar vardır.

Bu nedenle:

\boxed{ |\mathcal P(A)|=2^n }

olur.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sonlu bir kümenin bütün alt kümelerini sistematik biçimde oluşturabiliyoruz.
Alt kümelerin sayısını formülü ezberlemeden gerekçelendirebiliyoruz.
$\in$ ile $\subseteq$ arasındaki farkı kuvvet kümesi üzerinden daha kesin görebiliyoruz.
Kümelerin kendilerinin başka kümelerin elemanları olabileceğini anlayabiliyoruz.

Sırada ne açıldı?

Kuvvet kümesi fikri ileride:

Cantor'un sonsuzluk teorisine,
kombinatoriğe,
topolojiye,
ölçü teorisine,
$\sigma$ -cebirlere,
olasılığa

uzanan önemli bir düğüm olacaktır.

22. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Kendi sözlerinle kuvvet kümesinin ne olduğunu açıkla.
Açıklamanda eleman ve alt küme sözcüklerini özellikle kullan.
Neden
$B\subseteq A$
ifadesi ile
$B\in\mathcal P(A)$
aynı matematiksel bilgiyi ifade eder?
Neden
$\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$
olur ve neden sonuç $\varnothing$ değildir?

Teknik

Şu kümenin kuvvet kümesini eksiksiz oluştur:
$A=\{x,y,z\}.$
Şu kümenin kuvvet kümesinde kaç eleman vardır?
$B=\{1,2,3,4,5\}.$
Sonucu yalnızca yazma; nedenini açıkla.
Şu küme için aşağıdaki ifadelerin hangilerinin doğru olduğunu belirle:
$A=\{a,b\}.$
a.
$a\in A$
b.
$\{a\}\subseteq A$
c.
$\{a\}\in\mathcal P(A)$
d.
$\varnothing\in\mathcal P(A)$
e.
$A\in\mathcal P(A)$

Gerekçelendirme

$A$ sonlu ve $n$ elemanlı olsun. Formülü kullanmadan başlayarak
$|\mathcal P(A)|=2^n$
sonucunu yeniden kur.
Şunu gerekçelendir:
$A\subseteq B \Rightarrow \mathcal P(A)\subseteq\mathcal P(B).$
Aşağıdaki eşitliğin neden genel olarak yanlış olduğunu bir karşı örnekle göster:
$\mathcal P(A\cup B) = \mathcal P(A)\cup\mathcal P(B).$

Transfer

Bir uygulamada dört bağımsız izin vardır:
- kamera,
- mikrofon,
- konum,
- bildirim.
Bir kullanıcının açık olan izinlarını bir küme olarak temsil ettiğimizi düşün.

a. Kaç farklı izin yapılandırması mümkündür?
b. Bütün yapılandırmaları tek bir matematiksel nesneyle nasıl gösterirsin?
c. Kullanıcı yalnız kamera ve konum izni verdiyse bunu nasıl yazarsın?
$A$ kümesinin kuvvet kümesinde tam $64$ eleman bulunduğunu biliyorsun.

$A$ kaç elemanlıdır?

Sonucu tahmin etmek yerine kuvvet kümesinin yapısından gerekçelendir.

Birimin tamamlanma ölçütü

Bu birim, yalnızca $\mathcal P(A)$ sembolünü tanıdığında tamamlanmış sayılmaz.

Hazır olduğunda şunları yapabiliyor olmalısın:

Kuvvet kümesine neden ihtiyaç duyulduğunu kendi sözlerinle açıklamak.
Küçük bir kümenin kuvvet kümesini eksiksiz oluşturmak.
$\in$ ve $\subseteq$ ilişkilerini karıştırmamak.
$B\in\mathcal P(A)\iff B\subseteq A$ ilişkisini açıklamak.
$n$ elemanlı sonlu bir kümenin neden $2^n$ alt kümesi olduğunu formülü ezberden çağırmadan yeniden kurmak.
Bu fikri yeni bir seçim veya açık/kapalı durum problemine aktarabilmek.

1.03.04 — Kuvvet Kümesi ve “Kümelerin Kümesi”

Birim Kartı

1. Başlangıç problemi: Bütün seçimleri tek bir yerde toplamak

2. Eski araç neden yetmiyor?

3. Tarihsel gelişim: Neden böyle bir kavram ortaya çıktı?

4. Sezgi: Her eleman için iki karar

5. Biçimsel tanım

6. İlk kuvvet kümemizi oluşturalım

7. Eleman olmak ile alt küme olmak

8. Üç elemanlı kümenin kuvvet kümesi

9. Neden 2n2^n2n alt küme vardır?

10. Önceki birimle bağlantı: Alt kümeleri 0 ve 1 ile kodlamak

11. Boş kümenin kuvvet kümesi

12. Kuvvet kümesinde daima bulunan iki eleman

Boş küme her zaman bulunur

Kümenin kendisi de her zaman bulunur

13. Biraz daha dikkat isteyen örnek

14. Bir kuvvet kümesinin de kuvvet kümesini alabiliriz

15. Bir başka temel sonuç

16. Karşı örnek: Benzer görünen her ifade doğru değildir

17. Kuvvet kümesi neden gerçekten işe yarar?

18. Cantor'a açılan kapı

19. Sık yapılan hatalar

20. Matematik haritasındaki yerimiz

21. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neden 2n2^n2n?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne açıldı?

22. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

9. Neden $2^n$ alt küme vardır?

Neden $2^n$ ?