1.05.03 — Birebir, örten ve bijektif fonksiyonlar

Birim kartı

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.05 — Fonksiyonların Temel Yapısı
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi
Ön koşullar: 1.05.01 — Fonksiyon neden vardır?, 1.05.02 — Görüntü ve ters görüntü
Bağlantılar: Kardinalite, fonksiyonların bileşkesi, ters fonksiyon, ileride izomorfizma ve tersinir dönüşümler

Temel soru:

Bir eşleme ne zaman bilgi kaybetmez ve ne zaman hedef kümenin tamamına ulaşır?

Tamamlanma ölçütü: Bir fonksiyonun birebir, örten veya bijektif olup olmadığını tanımdan ve örneklerden belirleyebilmek.

1. Fonksiyon olmak yetiyor mu?

Bir önceki birimlerde bir fonksiyonun temel görevini kurduk.

Bir fonksiyon

f:A\to B

biçimindeyse, $A$ 'daki her elemanın tam bir görüntüsü vardır.

Fakat bu tanım bize iki önemli konuda hiçbir garanti vermez:

Farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir mi?
Hedef kümedeki her elemana gerçekten ulaşılır mı?

Bu iki soru, bu birimin tamamını doğuracak.

Bir kimliklendirme sistemi

Bir sistemde üç kayıt olduğunu düşünelim:

A=\{a,b,c\}

ve kullanılabilecek üç kodumuz olsun:

B=\{1,2,3\}.

Şöyle bir fonksiyon tanımlayalım:

f(a)=1,\qquad f(b)=1,\qquad f(c)=2.

Bu gerçekten bir fonksiyondur. Çünkü $A$ 'daki her girdinin tam bir çıktısı vardır.

Ama iki sorun ortaya çıktı:

$a$ ile $b$ aynı kodu aldı.
$3$ koduna hiç kimse ulaşmadı.

Dolayısıyla fonksiyon olma koşulu, eşlemenin ne kadar iyi veya geri izlenebilir olduğunu anlatmaya yetmiyor.

Fonksiyon ama iki farklı sorun var

A                 B

a ───────────────► 1
                   ▲
b ─────────────────┘

c ───────────────► 2

                    3

a ve b aynı 1 çıktısına giderken c, 2 çıktısına gider. Hedef kümedeki 3 elemanına hiçbir girdi ulaşmaz.

Burada iki ayrı kusur var.

Birincisi:

Çarpışma: Farklı girdiler aynı çıktıda birleşiyor.

İkincisi:

Boş hedef: Hedef kümenin bazı elemanlarına hiç ulaşılamıyor.

Bu iki problemi birbirinden ayırmak için iki yeni kavrama ihtiyacımız var:

birebirlik
örtenlik

İkisi aynı anda gerçekleştiğinde ise üçüncü kavram doğacak:

bijektiflik

2. Neden bu ayrımlara ihtiyacımız var?

Bir fonksiyon yalnızca

“Her girdiye bir çıktı veriyorum.”

der.

Fakat çoğu matematik probleminde bundan daha fazlasını bilmek isteriz.

Örneğin bir çıktı verildiğinde:

“Bu çıktı hangi girdiden geldi?”

diye sorduğumuzu düşünelim.

Eğer

f(a)=1

f(b)=1

ise yalnızca $1$ çıktısını görmek, girdinin $a$ mı yoksa $b$ mi olduğunu anlamaya yetmez.

Fonksiyon iki farklı girdiyi birbirine karıştırmıştır.

Bu anlamda bilgi kaybı vardır.

Öte yandan hedef kümede $3$ bulunmasına rağmen hiçbir girdinin görüntüsü $3$ değilse, fonksiyon hedef kümenin tamamını kullanmıyordur.

Dolayısıyla iki bağımsız soru vardır:

Soru	Aradığımız özellik
Farklı girdiler birbirinden ayırt edilebiliyor mu?	Birebirlik
Hedef kümedeki her elemana ulaşılabiliyor mu?	Örtenlik
İkisi de doğru mu?	Bijektiflik

Bu birimin ana fikri

Bir fonksiyonun davranışını iki ayrı yönden inceleyebiliriz:

Girdiler açısından:

Farklı girdiler birbirine karışıyor mu?

Hedef açısından:

Hedefte ulaşılmayan eleman kalıyor mu?

Birebirlik ilk soruyu, örtenlik ikinci soruyu cevaplar.

3. Tarihsel olarak bu fikir nasıl gelişti?

Birebir, örten ve bijektif fonksiyonların tek bir mucidi yoktur.

Bu ayrımlar, fonksiyon ve küme kavramlarının giderek daha soyut ve genel biçimde ele alınmasının sonucudur.

Fonksiyonları yalnızca formüller olarak değil, kümeler arasındaki eşlemeler olarak görmeye başladığımızda doğal olarak şu sorular ortaya çıkar:

Bir eşleme farklı elemanları birbirinden ayırıyor mu?
Hedefteki bütün elemanlara ulaşıyor mu?
İki kümenin elemanlarını eksiksiz biçimde eşleştirebiliyor mu?

Özellikle kümelerin büyüklüklerini karşılaştırma problemi, bire bir eşlemeyi çok önemli hâle getirdi. Cantor'un sonsuz kümeler üzerine çalışmaları sırasında, iki kümenin elemanlarını bire bir ve karşılıklı olarak eşleştirebilmenin “aynı büyüklükte olma” düşüncesi için ne kadar güçlü olduğu ortaya çıktı.

Modern matematikte birebirlik, örtenlik ve bijektiflik artık yalnız fonksiyon teorisinin değil; cebirden analize, topolojiden bilgisayar bilimlerine kadar pek çok alanın temel dilinin parçasıdır.

4. Birebirlik: Çıktı girdiyi ayırt edebiliyor mu?

Önce yalnızca ilk problemi düşünelim.

Şöyle bir fonksiyonumuz olsun:

f:A\to B.

Eğer iki farklı girdi aynı çıktıya gidemiyorsa, fonksiyona birebir deriz.

Birebir eşleme

A                 B

a ───────────────► 1

b ───────────────► 2

                    3

a ve b girdileri hedef kümede farklı elemanlara gider. Hedefte kullanılmayan bir eleman vardır ancak hiçbir çıktı iki farklı girdiden gelmez.

Burada:

f(a)=1,\qquad f(b)=2.

Farklı girdiler farklı çıktılara gidiyor.

Ama dikkat:

$3$ kullanılmıyor.

Bu durum birebirliğe zarar vermez.

Çünkü birebirlik hedef kümenin tamamen kullanılmasıyla ilgilenmez.

Yalnızca şu soruyu sorar:

İki farklı girdi aynı çıktıda birleşiyor mu?

Cevap hayırsa fonksiyon birebirdir.

Birebir fonksiyon

Bir

f:A\to B

fonksiyonu için her $x_1,x_2\in A$ açısından

f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2

ise $f$ fonksiyonuna birebir fonksiyon denir.

Uluslararası terim:

injective function

veya kısaca injection.

Bu tanımı sözel olarak okuyalım:

Eğer iki girdinin çıktıları eşitse, o girdiler zaten aynı girdi olmak zorundadır.

Başka bir ifadeyle:

İki farklı girdinin aynı çıktıya gitmesine izin yoktur.

Bu nedenle eşdeğer biçimde şöyle de düşünebiliriz:

x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2).

Birebir bir fonksiyon girdileri birbirine yapıştırmaz.

Fonksiyondan çıkan sonucu bildiğimizde, o sonucun iki farklı girdiden gelmiş olması mümkün değildir.

Bu nedenle birebirlik, bilginin ayırt edilebilirliğini korur.

5. Birebir olmayan fonksiyon

Şimdi:

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2,3\}

f(a)=1,\qquad f(b)=1,\qquad f(c)=2

olsun.

Birebir olmayan fonksiyon

A                 B

a ───────────────► 1
                   ▲
b ─────────────────┘

c ───────────────► 2

                    3

a ve b isimli iki farklı girdi aynı 1 çıktısına gider. Bu nedenle fonksiyon birebir değildir.

Burada:

a\neq b

olmasına rağmen

f(a)=f(b).

Dolayısıyla birebirlik koşulu bozulmuştur.

Birebirliği bozan şey

Bir fonksiyonun birebir olmadığını göstermek için bütün girdileri incelemek zorunda olmayabiliriz.

Şu tür tek bir çarpışma bulmak yeterlidir:

x_1\neq x_2 \qquad\text{ama}\qquad f(x_1)=f(x_2).

Bu tek karşı örnek birebirliği çürütür.

6. Ters görüntü açısından birebirlik

Bir önceki birimde ters görüntüyü öğrenmiştik.

Hedef kümeden bir $y\in B$ seçelim.

Şu kümeyi sorabiliriz:

f^{-1}(\{y\}).

Bu:

“ $y$ 'ye giden bütün girdiler hangileri?”

sorusunun cevabıdır.

Birebir bir fonksiyonda herhangi bir $y$ için bu kümenin içinde iki farklı eleman bulunamaz.

Dolayısıyla birebirlik şöyle de düşünülebilir:

Hedefteki her elemanın en fazla bir öncülü vardır.

Buradaki $f^{-1}$ ters fonksiyon değildir

f^{-1}(\{y\})

ifadesi burada ters görüntü anlamındadır.

Bir fonksiyon birebir veya bijektif olmasa bile ters görüntüler tanımlıdır.

Ters fonksiyon ise ileride ayrıca öğreneceğimiz başka bir kavramdır.

7. Örtenlik: Hedefte boş yer kalıyor mu?

Şimdi ikinci probleme geçelim.

Bir fonksiyonun farklı girdileri aynı çıktıya göndermesi bizi şimdilik ilgilendirmesin.

Yalnızca şunu soralım:

Hedef kümedeki bütün elemanlara en az bir kez ulaşılıyor mu?

Örneğin:

A=\{a,b,c\}

B=\{1,2\}

olsun.

Şöyle eşleyelim:

f(a)=1,\qquad f(b)=1,\qquad f(c)=2.

Örten fakat birebir olmayan fonksiyon

A                 B

a ───────────────► 1
                   ▲
b ─────────────────┘

c ───────────────► 2

a ve b aynı 1 çıktısına gider, c ise 2 çıktısına gider. Hedef kümedeki hem 1 hem 2 en az bir girdinin görüntüsü olduğu için fonksiyon örtendir.

Burada $1$ 'e ulaşılıyor.

$2$ 'ye de ulaşılıyor.

Hedef kümede başka eleman yok.

Dolayısıyla hedef kümenin tamamı kapsanmış durumda.

Fonksiyon örtendir.

Ama birebir değildir; çünkü $a$ ve $b$ aynı çıktıya gitmiştir.

Örten fonksiyon

Bir

f:A\to B

fonksiyonu için her $y\in B$ açısından en az bir $x\in A$ bulunup

f(x)=y

oluyorsa $f$ fonksiyonuna örten fonksiyon denir.

Sembolik olarak:

\forall y\in B,\quad \exists x\in A \text{ öyle ki } f(x)=y.

Uluslararası terim:

surjective function

veya surjection.

Bir önceki birimin diliyle bu son derece kısa biçimde söylenebilir.

Fonksiyonun bütün tanım kümesinin görüntüsü

f(A)

idi.

Örtenlik tam olarak:

f(A)=B

demektir.

Yani:

Görüntü kümesi = hedef küme.

Örten fonksiyon hedef kümede ulaşılmaz nokta bırakmaz.

Her hedef elemanı için:

“Buraya nereden gelindi?”

sorusunun en az bir cevabı vardır.

8. Örten olmayan fonksiyon

Şimdi:

A=\{a,b\}, \qquad B=\{1,2,3\}

olsun ve

f(a)=1,\qquad f(b)=2

olsun.

Örten olmayan fonksiyon

A                 B

a ───────────────► 1

b ───────────────► 2

                    3

a girdisi 1'e, b girdisi 2'ye gider; hedef kümedeki 3 elemanına hiçbir girdi ulaşmadığı için fonksiyon örten değildir.

Burada:

f(A)=\{1,2\}.

Ama:

B=\{1,2,3\}.

Dolayısıyla:

f(A)\neq B.

Fonksiyon örten değildir.

Örtenliği bozan şey

Bir fonksiyonun örten olmadığını göstermek için hedef kümede yalnızca bir tane ulaşılamayan eleman bulmak yeterlidir.

Yani bir $y\in B$ bulup

\text{hiçbir }x\in A\text{ için }f(x)=y

olduğunu gösterebilirsek fonksiyon örten değildir.

9. Ters görüntü açısından örtenlik

Yine bir $y\in B$ seçelim.

f^{-1}(\{y\})

bize $y$ 'ye ulaşan bütün girdileri veriyordu.

Örten bir fonksiyonda hedefteki her $y$ için:

f^{-1}(\{y\})\neq\varnothing.

Çünkü her hedef elemanına en az bir girdi ulaşmalıdır.

Böylece önceki birimde öğrendiğimiz ters görüntü kavramı, birebirlik ve örtenliği son derece net biçimde ayırmamızı sağlar.

Özellik	Her $y\in B$ için ters görüntü
Birebir	En fazla bir eleman içerir
Örten	En az bir eleman içerir
Bijektif	Tam bir eleman içerir

Son satıra birazdan geleceğiz.

10. Aynı fonksiyon birebir olup örten olmayabilir

Şu eşlemeyi yeniden düşünelim:

A=\{a,b\}, \qquad B=\{1,2,3\}

f(a)=1,\qquad f(b)=2.

Farklı girdiler aynı çıktıya gitmiyor.

Bu nedenle fonksiyon birebir.

Fakat $3$ 'e hiç ulaşılamıyor.

Bu nedenle örten değil.

Dolayısıyla:

\boxed{\text{Birebir olmak örten olmak demek değildir.}}

11. Aynı fonksiyon örten olup birebir olmayabilir

Şimdi:

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2\}

f(a)=1,\qquad f(b)=1,\qquad f(c)=2.

Hedef kümenin her elemanına ulaşıyoruz.

Dolayısıyla fonksiyon örten.

Ama:

a\neq b

olmasına rağmen

f(a)=f(b).

Dolayısıyla birebir değil.

Yani:

\boxed{\text{Örten olmak birebir olmak demek değildir.}}

Bu iki kavram birbirinden bağımsız iki özelliktir.

12. Bijektiflik: Kusursuz eşleşme

Şimdi her iki şartın aynı anda sağlandığını düşünelim.

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2,3\}

f(a)=1,\qquad f(b)=2,\qquad f(c)=3.

Bijektif fonksiyon

A                 B

a ───────────────► 1

b ───────────────► 2

c ───────────────► 3

a, b ve c girdileri sırasıyla 1, 2 ve 3 hedeflerine gider. Her hedefe tam bir girdi ulaşır ve hiçbir iki girdi aynı çıktıyı paylaşmaz.

Burada:

hiçbir iki farklı girdi aynı çıktıya gitmiyor,
hedef kümede kullanılmayan hiçbir eleman kalmıyor.

Yani fonksiyon hem birebir hem örten.

Bijektif fonksiyon

Bir fonksiyon hem birebir hem de örtense bijektif fonksiyon denir.

Uluslararası terim:

bijective function

veya bijection.

Dolayısıyla:

\boxed{ \text{bijektif} = \text{birebir} + \text{örten} }

Bijektiflik için daha güçlü tek bir cümle de kurabiliriz:

Hedef kümedeki her elemanın tam bir öncülü vardır.

Niceleyicilerle:

\forall y\in B, \quad \text{tam bir }x\in A \text{ için } f(x)=y.

Bazen “tam bir tane vardır” ifadesi

\exists!

sembolüyle kısaltılır.

Böylece bijektiflik:

\forall y\in B,\quad \exists!x\in A:\ f(x)=y

şeklinde de yazılabilir.

Buradaki $\exists!$ :

bir ve yalnız bir tane vardır

demektir.

13. Üç kavramı tek fikirle hatırlamak

0 — 1 — çok perspektifi

Hedef kümeden herhangi bir $y$ elemanını seçip şu soruyu sor:

“Bu $y$ 'ye kaç farklı girdi geliyor?”

O zaman:

Birebir: Hiçbir $y$ 'ye birden fazla girdi gelemez.
Örten: Hiçbir $y$ sıfır girdili kalamaz.
Bijektif: Her $y$ 'ye tam bir girdi gelir.

Yani:

\begin{aligned} \text{birebir} &\Rightarrow \text{en fazla }1,\\ \text{örten} &\Rightarrow \text{en az }1,\\ \text{bijektif} &\Rightarrow \text{tam }1. \end{aligned}

Bu üç satır kavramların arkasındaki yapıyı çok iyi özetler.

Fakat bunları yalnızca ezberlemek yerine neden böyle olduklarını anlayabilmeliyiz.

14. Dört olasılık

Birebirlik ve örtenlik birbirinden bağımsız olduğuna göre iki tane evet/hayır sorumuz vardır.

Bu nedenle dört olası durum oluşur:

Birebir mi?	Örten mi?	Sonuç
Hayır	Hayır	Ne birebir ne örten
Evet	Hayır	Yalnız birebir
Hayır	Evet	Yalnız örten
Evet	Evet	Bijektif

Durum 1 — Ne birebir ne örten

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2,3\}

f(a)=1,\quad f(b)=1,\quad f(c)=2.

$a$ ve $b$ çarpışıyor → birebir değil.
$3$ kullanılmıyor → örten değil.

Durum 2 — Birebir ama örten değil

A=\{a,b\}, \qquad B=\{1,2,3\}

f(a)=1,\quad f(b)=2.

Çarpışma yok → birebir.
$3$ kullanılmıyor → örten değil.

Durum 3 — Örten ama birebir değil

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2\}

f(a)=1,\quad f(b)=1,\quad f(c)=2.

$a$ ve $b$ çarpışıyor → birebir değil.
Hedefte boş eleman yok → örten.

Durum 4 — Bijektif

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2,3\}

f(a)=1,\quad f(b)=2,\quad f(c)=3.

Çarpışma yok → birebir.
Hedefte boş eleman yok → örten.
Dolayısıyla bijektif.

15. Birebirlik neden “bilgi kaybetmeme” fikridir?

Şu fonksiyonu düşünelim:

f(a)=1,\qquad f(b)=1.

Fonksiyonun çıktısının $1$ olduğunu biliyoruz.

Girdi neydi?

$a$ olabilir.

$b$ de olabilir.

Yalnızca çıktıdan hareketle ayırt edemiyoruz.

Fonksiyon şu iki farklı bilgiyi:

a \qquad\text{ve}\qquad b

tek bir sonuca sıkıştırdı:

1.

Bu nedenle fark kayboldu.

Şimdi birebir bir eşleme düşünelim:

f(a)=1,\qquad f(b)=2.

Çıktı $1$ ise hangi girdiden geldiğini biliyoruz:

a.

Çıktı $2$ ise:

b.

Birebirlik, farklı girdilerin farklı kalmasını sağlar.

Bu yüzden birebir fonksiyonlar matematikte sıklıkla bilgi kaybetmeyen dönüşümler olarak karşımıza çıkar.

Bu ifade sezgiseldir; biçimsel anlamı şudur:

f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2.

16. Örtenlik neden “bütün hedeflere ulaşma” fikridir?

Bir hedef kümesi seçtiğimizde aslında fonksiyon hakkında bir iddiada bulunmuş oluruz:

f:A\to B.

Buradaki $B$ , fonksiyonun hedef kümesidir.

Fakat fonksiyon gerçekten $B$ 'nin tamamına ulaşmak zorunda değildir.

Örneğin:

B=\{1,2,3\}

iken yalnızca

1\quad\text{ve}\quad2

çıktıları üretiliyorsa:

f(A)=\{1,2\}.

Dolayısıyla:

f(A)\subsetneq B.

Örtenlik ise bu farkı ortadan kaldırır:

f(A)=B.

Örtenlik:

Hedef olarak ilan ettiğin her şeye gerçekten ulaşabiliyor musun?

sorusudur.

17. Hedef küme değişirse örtenlik değişebilir

Bu nokta çok önemlidir.

Bir fonksiyon yalnızca “hangi girdinin hangi çıktıya gittiği” değildir.

Fonksiyonun:

tanım kümesi,
hedef kümesi,
eşleme kuralı

birlikte önemlidir.

Şöyle bir eşleme düşünelim:

A=\{a,b\}.

f(a)=1,\qquad f(b)=2.

Birinci durumda hedef kümesi:

B=\{1,2,3\}

olsun.

Fonksiyon örten değildir çünkü $3$ 'e ulaşılamaz.

Ama aynı eşleme kuralında hedef kümeyi

C=\{1,2\}

seçersek:

f:A\to C

artık örtendir.

Örtenlik yalnız çıktılara bakılarak belirlenemez

Bir fonksiyonun örten olup olmadığını söylemek için hedef kümesini bilmek zorundayız.

Aynı eşleme:

bir hedef kümesine göre örten,
daha büyük başka bir hedef kümesine göre örten olmayan

bir fonksiyon oluşturabilir.

Bu nedenle hedef küme, fonksiyonun ayrılmaz bir parçasıdır.

Bu durum, önceki birimde öğrendiğimiz:

hedef küme ile görüntü kümesi aynı şey değildir

ayrımının neden önemli olduğunu şimdi açıkça gösteriyor.

18. Tanım kümesi değişirse birebirlik de değişebilir

Benzer biçimde birebirlik de hangi girdilerin tanım kümesinde bulunduğuna bağlıdır.

Örneğin elimizde şöyle bir eşleme olduğunu düşünelim:

f(a)=1,\qquad f(b)=1,\qquad f(c)=2.

Tanım kümesi:

A=\{a,b,c\}

olduğunda fonksiyon birebir değildir.

Çünkü:

f(a)=f(b).

Ama yalnızca

A'=\{a,c\}

üzerine kısıtlarsak:

f(a)=1,\qquad f(c)=2

olur ve artık çarpışma kalmaz.

“Bu kural birebirdir.” demek çoğu zaman eksik bir ifadedir.

Asıl soru:

Hangi tanım kümesi üzerinde birebir?

olmalıdır.

Birebirlik, yalnızca eşleme kuralına değil tanım kümesine de bağlıdır.

19. Bijeksiyon neden özel?

Bijektif fonksiyonda iki koşul aynı anda gerçekleşir.

Birebirlik

Her çıktı en fazla bir girdiden gelir.

Örtenlik

Her çıktı en az bir girdiden gelir.

İkisini birleştirirsek:

Her çıktı tam bir girdiden gelir.

Bu nedenle bir bijeksiyon, iki kümenin elemanlarını kusursuz biçimde çiftler.

Bijeksiyon bir eşleştirmedir

A                 B

a ───────────────► 1

b ───────────────► 2

c ───────────────► 3

Her girdi          Her hedef
tam bir yere       tam bir girdiden
gidiyor.           geliyor.

A kümesindeki her eleman B kümesindeki farklı bir elemana bağlanır ve B kümesindeki her eleman tam bir bağlantı alır.

Bu yapıda ne birleşme vardır ne de boş hedef.

Bu yüzden bijeksiyonların önemli bir özelliği ortaya çıkar:

Eşlemenin iki tarafı birbirini eksiksiz biçimde belirler.

Bu fikir ileride ters fonksiyon kavramının temelini oluşturacak.

Ancak ters fonksiyonun biçimsel tanımını henüz yapmıyoruz.

Önce fonksiyonların nasıl bileştirildiğini öğreneceğiz.

20. Bijeksiyon ve “aynı büyüklükte olma”

Şu iki kümeyi düşünelim:

A=\{a,b,c\}

B=\{1,2,3\}.

Bir bijeksiyon kurabiliyoruz:

a\leftrightarrow1, \qquad b\leftrightarrow2, \qquad c\leftrightarrow3.

Hiçbir eleman açıkta kalmadı.

Hiçbir eleman iki kez kullanılmadı.

Bu nedenle bu iki sonlu kümenin aynı sayıda elemana sahip olduğunu, elemanları tek tek saymadan bile eşleştirme yoluyla görebiliyoruz.

Küme büyüklüğüne açılan kapı

İleride küme büyüklüğü kavramını daha sistematik biçimde ele aldığımızda çok güçlü bir fikir kullanacağız:

İki küme arasında bijeksiyon varsa, bu kümeler aynı kardinaliteye — aynı kümesel büyüklüğe — sahiptir.

Sonlu kümelerde bu yalnızca “aynı sayıda eleman” gibi görünür.

Asıl şaşırtıcı sonuç, bu yöntemin sonsuz kümelerde de çalışmasıdır.

Bu, ileride sonsuzluğun farklı büyüklüklerini anlamamızın temel araçlarından biri olacak.

21. Neden bu tanımlar tam olarak böyle?

Birebirlikte neden

f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2

diyoruz?

Çünkü bilgi kaybını tam olarak yasaklayan koşul budur.

Eğer aynı çıktı oluşmuşsa iki farklı girdi olmasına izin vermiyoruz.

Dolayısıyla çıktıların çakışması ancak girdiler zaten aynıysa mümkündür.

Örtenlikte neden “her $y\in B$ ” diyoruz?

Çünkü tek bir hedef elemanına bile ulaşılamıyorsa hedef kümenin tamamı örtülmüş değildir.

Bu nedenle:

\forall y\in B

şartı zorunludur.

Bijektiflikte neden ikisine de ihtiyacımız var?

Yalnız birebirlik:

çarpışmaları engeller,
fakat hedefte boşluk bırakabilir.

Yalnız örtenlik:

hedefte boşluk bırakmaz,
fakat girdileri birleştirebilir.

Ancak iki koşul birlikte:

her hedefe tam bir girdi

garantisi verir.

22. Tanımlardan çıkan güçlü bir yorum

Bir $y\in B$ hedefi seçelim.

Üç durumun tamamını tek tabloda görebiliriz:

Özellik	$f^{-1}(\{y\})$ için gereken
Birebir	En fazla bir eleman
Örten	En az bir eleman
Bijektif	Tam bir eleman

Bijektifliğin ters görüntü karakterizasyonu

Bijektiflik:

\text{birebir} + \text{örten}

demektir.

Birebirlik nedeniyle:

f^{-1}(\{y\})

en fazla bir eleman içerir.

Örtenlik nedeniyle aynı küme en az bir eleman içerir.

Bir küme hem en az bir hem en fazla bir elemana sahipse:

\left|f^{-1}(\{y\})\right|=1.

Dolayısıyla bijektif bir fonksiyonda her hedef elemanının tam bir öncülü vardır.

Buradaki $|\cdot|$ gösterimi, ilgili sonlu kümenin kaç elemanı bulunduğunu sezgisel olarak ifade ediyor. Küme büyüklüğünün sistematik teorisini ileride kuracağız.

23. Bir fonksiyonu nasıl test ederiz?

Bir fonksiyon verildiğinde iki ayrı kontrol yap.

Birebirlik testi

Şunu sor:

Aynı çıktıyı alan iki farklı girdi bulabilir miyim?

Bulabiliyorsan:

\text{birebir değil.}

Bulamıyorsan, bunu yalnızca örneklere bakarak değil mümkünse tanımdan gerekçelendirmelisin.

Örtenlik testi

Şunu sor:

Hedef kümede görüntü olmayan bir eleman var mı?

Varsa:

\text{örten değil.}

Yoksa ve gerçekten her hedef elemanına ulaşıldığını gösterebiliyorsan:

\text{örten.}

Bijektiflik testi

İki testi de geçiyorsa:

\text{bijektif.}

Pratik kontrol

Bir eşleme diyagramında:

Birebirlik için hedeflere gelen okları say.

Hiçbir hedef iki veya daha fazla ok almamalı.

Örtenlik için hedeflere bak.

Hiçbir hedef sıfır ok almamalı.

Bijektiflik için:

Her hedef tam bir ok almalı.

24. Teknik örnek 1

Sınıflandırma

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2,3,4\}

ve:

f(a)=1,\qquad f(b)=2,\qquad f(c)=3.

Birebir mi?

Evet.

Çünkü farklı üç girdi farklı üç çıktıya gidiyor.

Örten mi?

Hayır.

Çünkü hedef kümedeki

4

elemanına hiçbir girdi ulaşmıyor.

Sonuç

\boxed{\text{Birebir fakat örten değil.}}

25. Teknik örnek 2

Bir çarpışma ama bütün hedefler kullanılıyor

A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{1,2,3\}

olsun.

f(a)=1,\qquad f(b)=1,\qquad f(c)=2,\qquad f(d)=3.

Birebir mi?

Hayır.

Çünkü:

a\neq b

ama

f(a)=f(b)=1.

Örten mi?

Evet.

Çünkü:

$1$ görüntü,
$2$ görüntü,
$3$ görüntü.

Yani:

f(A)=B.

Sonuç

\boxed{\text{Örten fakat birebir değil.}}

26. Teknik örnek 3

Bijeksiyon

A=\{p,q,r\}, \qquad B=\{\alpha,\beta,\gamma\}

ve:

f(p)=\beta, \qquad f(q)=\gamma, \qquad f(r)=\alpha.

Elemanların aynı sırada eşleşmesi gerekmiyor.

Önemli olan:

hiçbir hedef iki farklı girdiden gelmiyor,
bütün hedefler kullanılıyor.

Dolayısıyla:

\boxed{f\text{ bijektiftir.}}

Bijeksiyon demek:

a\to1,\quad b\to2,\quad c\to3

gibi “sıralı” bir eşleşme demek değildir.

Örneğin:

a\to3,\quad b\to1,\quad c\to2

de tamamen geçerli bir bijeksiyondur.

Önemli olan hangi elemanın hangisine gittiği değil, her iki tarafta da elemanların tam birer kez eşleşmesidir.

27. Aynı büyüklükte sonlu kümeler hakkında önemli gözlem

Şimdi iki sonlu kümede aynı sayıda eleman bulunduğunu düşünelim.

Örneğin:

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2,3\}.

Eğer $A$ 'dan $B$ 'ye bir fonksiyon birebirse, üç farklı girdinin üç farklı hedef kullanması gerekir.

Ama $B$ 'de zaten yalnızca üç hedef vardır.

Dolayısıyla hepsi kullanılmış olur.

Yani fonksiyon aynı zamanda örtendir.

Benzer biçimde, üç hedefin tamamını kullanmak istiyorsak ve yalnızca üç girdimiz varsa hiçbir hedefi iki kez kullanamayız; aksi hâlde başka bir hedef boş kalır.

Bu nedenle bu özel sonlu durumda:

\text{birebir} \Longleftrightarrow \text{örten} \Longleftrightarrow \text{bijektif}.

Bu gözlem sonlu ve eşit sayıda elemana sahip kümeler içindir.

Bunu henüz bütün durumlara genellememeliyiz.

Sonsuz kümelerin davranışı ileride ayrıca incelenecek ve oldukça şaşırtıcı sonuçlarla karşılaşacağız.

28. Gerçek kullanım alanları

1. Benzersiz kimlikler

Bir kayıt sisteminde her kişiye bir kimlik kodu verildiğini düşünelim.

\text{kişi} \longmapsto \text{kimlik kodu}

İki farklı kişiye aynı kod verilirse, koddan kişiye geri dönmeye çalıştığımızda belirsizlik oluşur.

Bu nedenle kodlama sisteminin temel beklentilerinden biri birebirliktir:

\text{farklı kişi} \Rightarrow \text{farklı kod}.

Birebirlik burada soyut bir matematik terimi değil, kayıtların birbirine karışmaması koşuludur.

2. Bütün seçeneklerin erişilebilir olması

Bir sistemin kullanıcıları belirli durumlara yönlendirdiğini düşünelim:

\text{girdi} \longmapsto \text{izin verilen durum}.

Eğer hedef kümede bir durum bulunuyor fakat hiçbir girdi o duruma ulaşamıyorsa, o durum sistem açısından gerçekte erişilebilir değildir.

“İzin verilen bütün hedeflere ulaşılabilsin” şartı matematiksel olarak örtenliktir.

3. Geri alınabilir kodlama

Bir sembol kümesindeki her sembolü başka bir sembolle değiştirdiğimizi düşünelim.

Eğer:

iki farklı sembol aynı sembole dönüşmüyorsa,
hedef sembollerin tamamı tam bir kez kullanılıyorsa,

eşleme bijektiftir.

Böyle bir eşlemede hangi çıktıdan hangi girdinin geldiği belirsiz değildir.

Bu fikir ileride:

permütasyonlarda,
tersinir dönüşümlerde,
koordinat değişimlerinde,
cebirsel izomorfizmalarda

yeniden karşımıza çıkacak.

4. Bir denklemin çözüm sayısını düşünmek

Bir hedef $y$ verildiğinde:

f(x)=y

eşitliğini sağlayan girdileri aradığımızı düşünelim.

$f$ birebirse, en fazla bir çözüm olabilir.
$f$ örtense, her $y$ için en az bir çözüm vardır.
$f$ bijektifse, her $y$ için tam bir çözüm vardır.

Dolayısıyla birebirlik ve örtenlik yalnızca ok diyagramlarını sınıflandırmak için değil, çözümlerin varlığı ve tekliği hakkında düşünmek için de kullanılır.

29. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — “Birebir demek her girdinin bir çıktısı var.”

Hayır.

Bu zaten fonksiyon olmanın şartıdır.

Birebirlik daha güçlüdür:

Farklı girdiler aynı çıktıya gidemez.

Hata 2 — “Örten demek her girdinin bir yere gitmesi.”

Hayır.

Bu da fonksiyon olma şartıdır.

Örtenlik girdilere değil hedef kümesine bakar:

Hedef kümedeki her elemana en az bir girdi ulaşmalıdır.

Hata 3 — “Bir hedefe iki ok geliyorsa fonksiyon değildir.”

Hayır.

Bir hedefe birçok girdi gidebilir.

Bu hâlâ fonksiyon olabilir.

Fonksiyon olmayı bozan durum:

Bir girdinin iki farklı çıktıya gitmesidir.

Bir hedefe iki farklı girdinin gelmesi yalnızca birebirliği bozar.

Hata 4 — “Hedefte kullanılmayan eleman varsa fonksiyon değildir.”

Hayır.

Hedef kümenin bütün elemanlarının kullanılması fonksiyon olmak için şart değildir.

Kullanılmayan hedef elemanı yalnızca fonksiyonun örten olmadığını gösterir.

Hata 5 — “Birebir olan her fonksiyon bijektiftir.”

Hayır.

Bijektiflik için:

\text{birebir} + \text{örten}

gerekir.

Hata 6 — “Örten olan her fonksiyon bijektiftir.”

Yine hayır.

Örten bir fonksiyonda farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir.

Bijeksiyon için çarpışmaların da ortadan kalkması gerekir.

Hata 7 — Hedef kümesini unutmak

Örtenlik hedef kümesine bağlıdır.

Yalnızca üretilen çıktılara bakıp hedef kümesini görmeden bir fonksiyona “örten” demek mümkün değildir.

30. Fonksiyon, birebirlik ve örtenliği aynı anda ayırmak

Şu üç soruyu birbirinden ayır:

Soru 1 — Fonksiyon mu?

Her girdi tam bir çıktıya gidiyor mu?

Soru 2 — Birebir mi?

Her çıktı en fazla bir girdiden mi geliyor?

Soru 3 — Örten mi?

Her hedef en az bir girdiden mi geliyor?

Bunlar aynı soru değildir.

Üç farklı kontrol

FONKSİYON MU?
Her girdi
tam 1 çıktı verir.
        │
        ▼
BİREBİR Mİ?
Her hedef
en fazla 1 girdi alır.
        │
        ▼
ÖRTEN Mİ?
Her hedef
en az 1 girdi alır.
        │
        ▼
İkisi birlikteyse:
BİJEKTİF

Fonksiyon olma girdilerden çıkış sayısını, birebirlik hedeflere en fazla bir giriş olmasını, örtenlik ise hedeflere en az bir giriş olmasını kontrol eder.

31. Matematik haritasındaki yerimiz

Bu birimin arkasında şu zincir var:

Bağıntı
   │
   ▼
Fonksiyon
   │
   ├── Her girdi tam bir çıktı alır
   │
   ▼
Görüntü / ters görüntü
   │
   ▼
Birebir ───────► bilgi çarpışması var mı?
   │
Örten ─────────► hedefte boşluk var mı?
   │
   ▼
Bijektif

Bijektiflik bundan sonra iki önemli kapı açacak.

Yakındaki kapı: fonksiyonların bileşkesi

Birden fazla eşlemeyi art arda uyguladığımızda birebirlik ve örtenliğin nasıl davrandığını inceleyebileceğiz.

Sonraki büyük kapı: ters fonksiyon

Bir fonksiyonun yaptığı eşlemeyi tamamen geri çevirmek istediğimizde bijektifliğin neden kritik olduğunu göreceğiz.

Daha uzaktaki kapılar

Aynı fikir ileride:

kümelerin büyüklüğünü karşılaştırmada,
permütasyonlarda,
tersinir matrislerde ve lineer dönüşümlerde,
koordinat değişimlerinde,
cebirde izomorfizmalarda

çok daha soyut biçimlerde yeniden karşımıza çıkacak.

32. Kısa sentez

Neden vardı?

Fonksiyon tanımı bize yalnızca her girdinin bir çıktısı olduğunu söylüyordu.

Ama iki yeni soruyu cevaplamıyordu:

Farklı girdiler aynı çıktıda birleşiyor mu?
Hedef kümedeki bütün elemanlara ulaşılıyor mu?

Ne öğrendik?

Birebir:

f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2.

Farklı girdiler aynı çıktıya gitmez.

Örten:

f(A)=B.

Hedef kümedeki her elemana ulaşılır.

Bijektif:

\text{birebir}+\text{örten}.

Her hedef elemanının tam bir öncülü vardır.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir fonksiyonu yalnızca “fonksiyon mu?” diye incelemek yerine:

bilgi kaybediyor mu,
hedefi tamamen kapsıyor mu,
iki küme arasında kusursuz bir eşleme kuruyor mu

sorularıyla sınıflandırabiliyoruz.

Sırada ne var?

Şimdi bu fonksiyonları art arda uygulamanın ne anlama geldiğini inceleyeceğiz:

1.05.04 — Fonksiyonların bileşkesi

Bijektiflik daha sonra ters fonksiyonun neden mümkün olup olmadığını anlamamızın da temelini oluşturacak.

33. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Birebirlik ile örtenlik arasındaki farkı, sembol kullanmadan kendi sözlerinle açıkla.
“Birebirlik bilgi kaybını engeller” cümlesindeki bilgi kaybı tam olarak ne anlama geliyor?

Teknik

Aşağıdaki fonksiyonu sınıflandır:

A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{1,2,3\}

f(a)=1,\qquad f(b)=2,\qquad f(c)=3,\qquad f(d)=3.

Fonksiyon:

birebir mi?
örten mi?
bijektif mi?

Her cevabını gerekçelendir.

Gerekçelendirme

Bir fonksiyonun birebir olmadığını göstermek için neden yalnızca

x_1\neq x_2

olduğu hâlde

f(x_1)=f(x_2)

olan tek bir çift bulmak yeterlidir?

Bir fonksiyonun örten olmadığını göstermek için neden hedef kümede görüntüsü olmayan tek bir eleman bulmak yeterlidir?

Transfer

Bir şirket bütün çalışanlarına birer kart numarası veriyor.

İki farklı çalışanın aynı kart numarasını alması yasak.

Fakat şirketin satın aldığı bütün kart numaralarının kullanılması gerekmiyor.

Çalışanlardan kart numaralarına giden fonksiyon için hangi özellik zorunludur?

birebirlik,
örtenlik,
bijektiflik

seçeneklerinden hangisi veya hangileri gerekir?

Neden?

Şimdi sistemin kuralını değiştirelim:

Her kart numarasının mutlaka bir çalışana verilmesi gerekiyor; fakat aynı numaranın birden fazla çalışana verilmesine izin veriliyor.

Bu durumda hangi özellik zorunludur?

Son olarak her çalışanın farklı bir numarası olmalı ve kullanılmayan kart numarası kalmamalı.

Bu durumda fonksiyon hangi sınıfa girer?

1.05.03 — Birebir, örten ve bijektif fonksiyonlar

Birim kartı

1. Fonksiyon olmak yetiyor mu?

2. Neden bu ayrımlara ihtiyacımız var?

3. Tarihsel olarak bu fikir nasıl gelişti?

4. Birebirlik: Çıktı girdiyi ayırt edebiliyor mu?

5. Birebir olmayan fonksiyon

6. Ters görüntü açısından birebirlik

7. Örtenlik: Hedefte boş yer kalıyor mu?

8. Örten olmayan fonksiyon

9. Ters görüntü açısından örtenlik

10. Aynı fonksiyon birebir olup örten olmayabilir

11. Aynı fonksiyon örten olup birebir olmayabilir

12. Bijektiflik: Kusursuz eşleşme

13. Üç kavramı tek fikirle hatırlamak

14. Dört olasılık

Durum 1 — Ne birebir ne örten

Durum 2 — Birebir ama örten değil

Durum 3 — Örten ama birebir değil

Durum 4 — Bijektif

15. Birebirlik neden “bilgi kaybetmeme” fikridir?

16. Örtenlik neden “bütün hedeflere ulaşma” fikridir?

17. Hedef küme değişirse örtenlik değişebilir

18. Tanım kümesi değişirse birebirlik de değişebilir

19. Bijeksiyon neden özel?

Birebirlik

Örtenlik

20. Bijeksiyon ve “aynı büyüklükte olma”

21. Neden bu tanımlar tam olarak böyle?

Birebirlikte neden

Örtenlikte neden “her y∈By\in By∈B” diyoruz?

Bijektiflikte neden ikisine de ihtiyacımız var?

22. Tanımlardan çıkan güçlü bir yorum

23. Bir fonksiyonu nasıl test ederiz?

Birebirlik testi

Örtenlik testi

Bijektiflik testi

24. Teknik örnek 1

Birebir mi?

Örten mi?

Sonuç

25. Teknik örnek 2

Birebir mi?

Örten mi?

Sonuç

26. Teknik örnek 3

27. Aynı büyüklükte sonlu kümeler hakkında önemli gözlem

28. Gerçek kullanım alanları

29. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — “Birebir demek her girdinin bir çıktısı var.”

Hata 2 — “Örten demek her girdinin bir yere gitmesi.”

Hata 3 — “Bir hedefe iki ok geliyorsa fonksiyon değildir.”

Hata 4 — “Hedefte kullanılmayan eleman varsa fonksiyon değildir.”

Hata 5 — “Birebir olan her fonksiyon bijektiftir.”

Hata 6 — “Örten olan her fonksiyon bijektiftir.”

Hata 7 — Hedef kümesini unutmak

30. Fonksiyon, birebirlik ve örtenliği aynı anda ayırmak

Soru 1 — Fonksiyon mu?

Soru 2 — Birebir mi?

Soru 3 — Örten mi?

31. Matematik haritasındaki yerimiz

Yakındaki kapı: fonksiyonların bileşkesi

Sonraki büyük kapı: ters fonksiyon

Daha uzaktaki kapılar

32. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

33. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

Örtenlikte neden “her $y\in B$ ” diyoruz?