1.05.04 — Fonksiyonların Bileşkesi

1. Haritadaki yerimiz

Dünya: 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm: 1.05 — Fonksiyonların Temel Yapısı
Seviye: Ana Matematik Gövdesi [A]

Ön koşullar:

1.05.01 — Fonksiyon neden vardır?
1.05.02 — Görüntü ve ters görüntü
1.05.03 — Birebir, örten ve bijektif fonksiyonlar

Temel soru:

Ardışık iki işlem veya eşleme, tek bir fonksiyon olarak görülebilir mi?

Bu birimde fonksiyona yeni bir işlem ekleyeceğiz: bileşke (composition).

Şimdiye kadar bir fonksiyonu

A \xrightarrow{f} B

biçiminde, bir kümenin elemanlarını başka bir kümenin elemanlarına taşıyan tek bir eşleme olarak düşündük.

Fakat matematikte ve gerçek sistemlerde çoğu süreç tek adımlı değildir.

Bir çıktı, başka bir işlemin girdisi olabilir:

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C.

Bileşke fikri tam olarak burada ortaya çıkar.

2. Başlangıç problemi: iki aşamalı bir eşlemeyi tek adımda görmek

Bir okul düşünelim.

Öğrenciler önce sınıflara, sınıflar da okulun katlarına atanmış olsun.

Kümelerimiz:

A=\{\text{Ada},\text{Bora},\text{Cem}\}

B=\{\text{1A},\text{1B}\}

C=\{\text{zemin kat},\text{birinci kat}\}.

İlk fonksiyon öğrencinin hangi sınıfta olduğunu söylesin:

f:A\to B.

Örneğin:

Ada $\mapsto$ 1A
Bora $\mapsto$ 1B
Cem $\mapsto$ 1A

İkinci fonksiyon ise bir sınıfın hangi katta olduğunu söylesin:

g:B\to C.

Örneğin:

1A $\mapsto$ zemin kat
1B $\mapsto$ birinci kat

Şimdi şu soruyu soralım:

Ada hangi kattadır?

Elimizde doğrudan

\text{öğrenci}\longmapsto\text{kat}

şeklinde tanımlanmış bir fonksiyon yok.

Ama iki fonksiyonu art arda kullanabiliriz.

Önce:

\text{Ada}\xrightarrow{f}\text{1A}

sonra:

\text{1A}\xrightarrow{g}\text{zemin kat}.

Dolayısıyla:

\text{Ada}\longmapsto\text{zemin kat}.

Aynı şeyi her öğrenci için yapabiliriz.

İki fonksiyonun art arda uygulanması

A                    B                    C

Ada   ──────┐        1A ─────────────→ Zemin kat
            │        ↑
Cem   ──────┴────────┘

Bora  ─────────────→ 1B ─────────────→ Birinci kat

              f                    g

A kümesindeki bir eleman önce f fonksiyonuyla B kümesine, elde edilen sonuç da g fonksiyonuyla C kümesine taşınır.

Burada önemli bir yapı ortaya çıktı:

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C

zincirini,

A\longrightarrow C

biçiminde tek bir fonksiyon olarak ele alabiliriz.

İşte bu yeni fonksiyona bileşke diyeceğiz.

3. Neden ayrı bir bileşke kavramına ihtiyaç var?

İlk bakışta şöyle düşünebiliriz:

“İki fonksiyonu zaten sırayla uygulayabiliyoruz. Bunun için neden yeni bir kavrama ihtiyaç duyalım?”

Çünkü matematikte çoğu zaman yalnızca tek tek adımlarla değil, adımların oluşturduğu bütün süreçle ilgileniriz.

Bir işlem zincirini tek fonksiyon olarak görebilirsek:

zincirin hangi girdilerde çalıştığını inceleyebiliriz,
toplamda hangi çıktıyı ürettiğini araştırabiliriz,
zincirin birebir veya örten olup olmadığını sorabiliriz,
daha uzun işlem zincirleri kurabiliriz,
bir sürecin başka bir süreç tarafından geri alınıp alınamayacağını inceleyebiliriz.

Temel ihtiyaç

Bileşke, bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyonun girdisi yaparak ardışık işlemleri tek bir matematiksel nesne hâline getirir.

Fonksiyonları yalnızca tek başlarına incelemek yerine artık onları birbirlerine bağlayabileceğiz.

4. Köken ve tarihsel not

Bu birimin temel kaynakları, bileşke kavramının belirli bir kişi veya tarihe bağlanan özel tarihçesini belgeleyen tarihsel kaynaklar sağlamamaktadır. Bu nedenle burada doğrulanmamış bir “bileşkenin mucidi” hikâyesi kurulmayacaktır.

Kavramsal açıdan ihtiyaç açıktır: fonksiyonları dönüşümler veya eşlemeler olarak ele aldığımız anda, bir dönüşümün ardından başka bir dönüşüm uygulamak doğal bir matematiksel işlem hâline gelir.

Dolayısıyla bu birimde tarihsel kişi listesinden çok, ardışık eşlemelerin tek bir eşleme olarak incelenmesi ihtiyacı önemlidir.

5. Sezgi: çıktı yeni girdiye dönüşür

Bir bileşkeyi düşünmenin en güvenli yolu şudur:

Birinci fonksiyonun çıktısı, ikinci fonksiyonun girdisi olur.

Yani bir eleman bir yolculuk yapar:

x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{g} g(f(x)).

Bileşke bu yolculuğun tamamına verilen isimdir.

Burada üç farklı nesneyi birbirinden ayıralım:

$x$ : başlangıçtaki eleman,
$f(x)$ : ilk fonksiyonun ürettiği ara sonuç,
$g(f(x))$ : ikinci fonksiyonun ara sonuca uygulanmasıyla elde edilen nihai sonuç.

Bu yüzden bileşke yalnızca “iki fonksiyon yan yana yazmak” değildir.

Fonksiyonlar birbirlerine çıktı–girdi zinciriyle bağlanırlar.

6. Biçimsel tanım

Fonksiyonların bileşkesi

f:A\to B

g:B\to C

fonksiyonları verilsin.

Önce $f$ , ardından $g$ uygulanarak elde edilen fonksiyona $g$ ile $f$ 'nin bileşkesi denir ve

g\circ f

ile gösterilir.

Bu fonksiyon:

g\circ f:A\to C

biçimindedir ve her $x\in A$ için

(g\circ f)(x)=g(f(x))

olarak tanımlanır.

Buradaki

\circ

sembolü bileşke sembolüdür.

Dolayısıyla:

g\circ f

ifadesi,

önce $f$ , sonra $g$

anlamına gelir.

Bu sıra biraz ters görünebilir.

Çünkü soldan sağa okurken önce $g$ 'yi görüyoruz.

Fakat bir elemana uyguladığımızda:

(g\circ f)(x)=g(f(x))

olduğu için ilk hesaplanan veya uygulanan şey içerideki

f(x)

olur.

Sıra

g\circ f

ifadesini “önce $g$ , sonra $f$ ” diye okumak yaygın bir hatadır.

Doğrusu:

\boxed{\text{önce }f\text{, sonra }g}

şeklindedir.

7. Bileşkeyi eleman izleyerek okumak

Bileşke gösteriminin en sağlam okuma biçimi, bir elemanı başlangıçtan sona takip etmektir.

f:A\to B

g:B\to C

olsun.

Bir $x\in A$ seçelim.

İlk adım:

x\xrightarrow{f}f(x).

Burada:

f(x)\in B.

İkinci adım:

f(x)\xrightarrow{g}g(f(x)).

Dolayısıyla bütün yol:

x\xrightarrow{g\circ f}g(f(x)).

Bileşkenin eleman düzeyindeki yapısı

          f                 g
x ─────────────→ f(x) ─────────────→ g(f(x))
│                                      ▲
└────────────── g ∘ f ─────────────────┘

x elemanı önce f ile f(x) elemanına, ardından g ile g(f(x)) elemanına taşınır; bütün zincir g bileşke f fonksiyonudur.

Bu diyagram bileşkenin özünü neredeyse tamamen anlatır.

8. Tanım kümelerinin uyumu neden gerekli?

Şimdi bileşkenin en önemli ayrıntılarından birine gelelim.

İki fonksiyon verilmiş olması, onların otomatik olarak bileştirilebileceği anlamına gelmez.

Birinci fonksiyonun ürettiği sonuç, ikinci fonksiyonun kabul edebileceği bir girdi olmalıdır.

Zincirin koptuğu durum

Şu kümeleri düşünelim:

A=\{1,2,3\}

B=\{a,b,c\}.

Bir fonksiyon:

f:A\to B

şöyle olsun:

$1\mapsto a$
$2\mapsto b$
$3\mapsto c$

Şimdi $g$ yalnızca

D=\{a,b\}

üzerinde tanımlı olsun.

Bu durumda $3$ ile başlarsak:

3\xrightarrow{f}c

elde ederiz.

Fakat $c$ , $g$ 'nin tanım kümesinde değildir.

Dolayısıyla ikinci adımı yapamayız.

Yani zincir:

3\xrightarrow{f}c\xrightarrow{g}\;?

noktasında kırılır.

Bu yüzden bileşkenin bütün $A$ üzerinde tanımlı olmasını istiyorsak, $f$ 'nin ürettiği bütün değerlerin $g$ tarafından kabul edilmesi gerekir.

Önceki birimde öğrendiğimiz görüntü kavramıyla bunu şöyle ifade edebiliriz:

f(A)\subseteq \operatorname{Dom}(g).

Burada:

$f(A)$ , $f$ 'nin görüntü kümesidir,
$\operatorname{Dom}(g)$ , $g$ 'nin tanım kümesidir.

Uyumluluk koşulu

Birinci fonksiyonun çıktıları ikinci fonksiyon için geçerli girdiler olmalıdır.

Yani:

f(A)\subseteq\operatorname{Dom}(g).

Standart

f:A\to B,\qquad g:B\to C

yazımında bu uyumluluk zaten sağlanmıştır.

Bileşkenin yalnızca sembollerle değil, hangi kümeler arasında çalıştığıyla birlikte düşünülmesi bu nedenle önemlidir.

9. Bir bileşke örneği

Şimdi yalnızca kümeler ve eşlemeler kullanarak tam bir bileşke oluşturalım.

A=\{p,q,r\}

B=\{1,2,3\}

C=\{\alpha,\beta\}.

Fonksiyonumuz:

f:A\to B

şöyle olsun:

$p\mapsto2$
$q\mapsto1$
$r\mapsto3$

İkinci fonksiyon:

g:B\to C

şöyle olsun:

$1\mapsto\alpha$
$2\mapsto\beta$
$3\mapsto\alpha$

Şimdi $g\circ f$ fonksiyonunu oluşturalım.

$p$ için

Önce:

f(p)=2.

Sonra:

g(2)=\beta.

Dolayısıyla:

(g\circ f)(p)=\beta.

$q$ için

f(q)=1

g(1)=\alpha.

Bu yüzden:

(g\circ f)(q)=\alpha.

$r$ için

f(r)=3

g(3)=\alpha.

Dolayısıyla:

(g\circ f)(r)=\alpha.

Sonuçta bileşke:

g\circ f:A\to C

şu eşlemeyi yapar:

$p\mapsto\beta$
$q\mapsto\alpha$
$r\mapsto\alpha$

Bileşke tek başına yeni bir fonksiyondur

İlk iki fonksiyon:

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C

idi.

Bileşkeden sonra elimizde ayrıca:

A\xrightarrow{g\circ f}C

fonksiyonu vardır.

Yani bileşke yalnızca bir hesaplama talimatı değil, kendi başına bir fonksiyondur.

10. İşlem sırası neden önemlidir?

Şimdi çok önemli bir soruya gelelim:

g\circ f

ile

f\circ g

aynı şey midir?

Genellikle hayır.

Hatta bazen ikisinden yalnızca biri tanımlı olabilir.

Çünkü:

g\circ f

“önce $f$ , sonra $g$ ”,

f\circ g

ise “önce $g$ , sonra $f$ ”

demektir.

Bunlar farklı işlem zincirleridir.

Bunu aynı küme üzerinde çalışan iki fonksiyonla açıkça görebiliriz.

X=\{1,2,3\}

olsun.

$f:X\to X$ fonksiyonu:

$1\mapsto2$
$2\mapsto3$
$3\mapsto3$

ve $g:X\to X$ fonksiyonu:

$1\mapsto1$
$2\mapsto1$
$3\mapsto2$

olsun.

$1$ elemanını inceleyelim.

Önce $f$ , sonra $g$ :

1\xrightarrow{f}2\xrightarrow{g}1.

Dolayısıyla:

(g\circ f)(1)=1.

Şimdi sırayı değiştirelim.

Önce $g$ , sonra $f$ :

1\xrightarrow{g}1\xrightarrow{f}2.

Dolayısıyla:

(f\circ g)(1)=2.

Yani:

(g\circ f)(1)\neq(f\circ g)(1).

Bu nedenle:

g\circ f\neq f\circ g.

Bileşke genellikle değişmeli değildir

Fonksiyon bileşkesi için genel olarak

g\circ f=f\circ g

diyemeyiz.

Bir fonksiyonun ardından diğerini uygulamak ile işlemlerin sırasını değiştirmek farklı sonuçlar üretebilir.

Bu özellik ileride matris çarpımında tekrar karşımıza çıkacaktır.

11. Üç fonksiyonu art arda uygularsak ne olur?

Şimdi zinciri uzatalım:

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{h}D.

Bir $x\in A$ elemanı için süreç:

x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{g} g(f(x)) \xrightarrow{h} h(g(f(x))).

Burada üç fonksiyonu iki farklı biçimde gruplayabiliriz:

h\circ(g\circ f)

veya

(h\circ g)\circ f.

Acaba sonuç değişir mi?

Hayır.

Her iki durumda da bir $x$ elemanının izlediği yol aynıdır.

Birleşme özelliği

İlk gruplama:

\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(x) = h\bigl((g\circ f)(x)\bigr)

(g\circ f)(x)=g(f(x))

olduğundan:

\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(x) = h(g(f(x))).

Diğer gruplama:

\bigl((h\circ g)\circ f\bigr)(x) = (h\circ g)(f(x)).

Bileşke tanımından:

(h\circ g)(f(x)) = h(g(f(x))).

Dolayısıyla her $x$ için:

\bigl(h\circ(g\circ f)\bigr)(x) = \bigl((h\circ g)\circ f\bigr)(x).

Bu nedenle:

\boxed{ h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f }

Bu özelliğe birleşme özelliği (associativity) denir.

Birleşme özelliği

Uyumlu fonksiyonlar için:

h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f.

Dolayısıyla uzun fonksiyon zincirlerinde hangi iki fonksiyonu önce bir grup olarak düşündüğümüz sonucu değiştirmez.

Burada önemli bir ayrım vardır:

Birleşme özelliği vardır:

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f.

Ama genel olarak değişme özelliği yoktur:

g\circ f\neq f\circ g.

Bunlar birbirinden tamamen farklı iki özelliktir.

12. Birim fonksiyon: hiçbir şeyi değiştirmeyen fonksiyon

Bir fonksiyon zincirinde “hiçbir şey yapmayan” bir fonksiyon tanımlayabilir miyiz?

Evet.

Bir $A$ kümesi için:

\operatorname{id}_A:A\to A

fonksiyonunu

\operatorname{id}_A(x)=x

şeklinde tanımlayalım.

Bu fonksiyon her elemanı kendisine gönderir.

Birim fonksiyon

Bir $A$ kümesi üzerindeki birim fonksiyon (identity function)

\operatorname{id}_A:A\to A

ile gösterilir ve her $x\in A$ için:

\operatorname{id}_A(x)=x

olarak tanımlanır.

Örneğin:

A=\{a,b,c\}

ise:

$a\mapsto a$
$b\mapsto b$
$c\mapsto c$

olur.

Peki bir fonksiyonu birim fonksiyonla bileştirirsek ne olur?

f:A\to B

olsun.

Önce $\operatorname{id}_A$ , sonra $f$ uygularsak:

x \xrightarrow{\operatorname{id}_A} x \xrightarrow{f} f(x).

Dolayısıyla:

f\circ\operatorname{id}_A=f.

Diğer taraftan önce $f$ , sonra $B$ üzerindeki birim fonksiyonu uygularsak:

x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{\operatorname{id}_B} f(x).

Bu nedenle:

\operatorname{id}_B\circ f=f.

Sonuç olarak:

\boxed{ \operatorname{id}_B\circ f = f = f\circ\operatorname{id}_A }

elde ederiz.

Birim fonksiyon bir işlem zincirine eklendiğinde zincirin yaptığı işi değiştirmez.

Bu nedenle bileşke işlemi açısından bir tür “hiçbir şey yapmama” elemanı gibi davranır.

Bu fikir bir sonraki birimde, ters fonksiyonun ne olduğunu tanımlarken merkezi bir rol oynayacaktır.

13. Önceki birimle bağlantı: bileşke birebirliği ve örtenliği korur mu?

Önceki birimde birebir, örten ve bijektif fonksiyonları öğrendik.

Şimdi iki fonksiyon bileştirildiğinde bu özelliklere ne olduğunu sorabiliriz.

İki birebir fonksiyonun bileşkesi

f:A\to B

g:B\to C

birebir olsun.

$f$ farklı girdileri birbirine karıştırmaz.

$g$ de farklı girdileri birbirine karıştırmaz.

Öyleyse iki aşamalı süreç de farklı başlangıçları birbirine karıştıramaz.

Birebirlik neden korunur?

Şunu varsayalım:

(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2).

Bileşke tanımından:

g(f(x_1))=g(f(x_2)).

$g$ birebir olduğundan:

f(x_1)=f(x_2).

$f$ de birebir olduğundan:

x_1=x_2.

Dolayısıyla:

g\circ f

birebirdir.

İki örten fonksiyonun bileşkesi

$f:A\to B$ ve $g:B\to C$ örten olsun.

$g$ örten olduğu için her $c\in C$ için en az bir $b\in B$ vardır ve:

g(b)=c.

$f$ örten olduğu için bu $b$ için en az bir $a\in A$ vardır ve:

f(a)=b.

Böylece:

(g\circ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c.

Dolayısıyla bileşke de örtendir.

Bijektif fonksiyonların bileşkesi

İki fonksiyon da bijektifse, her ikisi de hem birebir hem örtendir.

Bu iki özellik bileşke altında korunduğu için:

\boxed{ \text{bijektif}\circ\text{bijektif} = \text{bijektif} }

olur.

Bu sonuç bir sonraki ters fonksiyon birimi için önemlidir.

14. Bileşke hakkında ters yönde ne söyleyebiliriz?

Burada dikkatli olmalıyız.

Eğer

g\circ f

birebirse, $f$ 'nin birebir olması zorunludur.

Çünkü $f$ daha ilk aşamada iki farklı girdiyi aynı çıktıya dönüştürseydi, $g$ bu kaybolmuş ayrımı daha sonra geri getiremezdi.

Benzer şekilde:

Eğer

g\circ f

örtense, $g$ 'nin örten olması zorunludur.

Çünkü bileşkenin son aşamasını $g$ gerçekleştirir. $g$ 'nin ulaşamadığı bir $C$ elemanına bileşke de ulaşamaz.

Ancak bundan:

$g\circ f$ birebirse mutlaka $g$ birebirdir,
$g\circ f$ örtendirse mutlaka $f$ örtendir

sonuçları genel olarak çıkmaz.

Bu ayrımlar ileride fonksiyonların yapısını incelerken önem kazanacaktır.

15. Bileşkeyi bir işlem zinciri olarak düşünmek

Fonksiyon bileşkesinin gücü iki fonksiyonla sınırlı değildir.

Bir sistem:

A_0 \xrightarrow{f_1} A_1 \xrightarrow{f_2} A_2 \xrightarrow{f_3} \cdots \xrightarrow{f_n} A_n

biçiminde birçok adımdan oluşabilir.

Başlangıçtaki bir $x$ elemanı:

x \mapsto f_1(x) \mapsto f_2(f_1(x)) \mapsto \cdots

şeklinde ilerler.

Bütün süreci tek bir fonksiyon olarak:

f_n\circ\cdots\circ f_2\circ f_1

biçiminde düşünebiliriz.

Büyük fikir

Bileşke, karmaşık bir süreci küçük fonksiyonlardan inşa etmemizi sağlar.

Dolayısıyla fonksiyonlar yalnızca tek tek eşlemeler değildir; birbirine bağlanarak daha karmaşık dönüşümler oluşturabilen yapı taşlarıdır.

Bu fikir matematiğin çok farklı alanlarında tekrar tekrar karşımıza çıkacaktır.

16. Gerçek kullanım: bir süreci aşamalara ayırmak

Veri işleme zinciri

Bir ölçüm cihazının doğrudan istediğimiz bilgiyi üretmediğini düşünelim.

İlk fonksiyon:

f: \text{ham sensör çıktısı} \longrightarrow \text{kalibre edilmiş ölçüm}

olsun.

İkinci fonksiyon:

g: \text{kalibre edilmiş ölçüm} \longrightarrow \text{istenen gösterim}

olsun.

Sistemin tamamı:

g\circ f

fonksiyonudur.

Bir mühendis veya yazılımcı artık bütün süreci tek bir dönüşüm olarak inceleyebilir.

Fakat isterse bileşkeyi oluşturan aşamaları ayrı ayrı da değiştirebilir.

Bu, bileşkenin pratik değerlerinden biridir:

karmaşık süreçleri küçük, anlaşılabilir ve yeniden kullanılabilir dönüşümlere ayırmak.

Yazılım ve işlem hatları

Bir yazılım sisteminde veri sırasıyla:

\text{girdi} \rightarrow \text{doğrulama} \rightarrow \text{dönüştürme} \rightarrow \text{çıktı}

aşamalarından geçebilir.

Her aşama uygun biçimde bir fonksiyon olarak modellenebiliyorsa bütün işlem hattı bir bileşkedir.

Bu nedenle fonksiyon bileşkesi yalnızca soyut bir gösterim değildir; işlem hatlarının matematiksel yapısını ifade eder.

17. Matematik içinde nerelerde yeniden karşımıza çıkacak?

Bileşke, ileride birçok yapının temelinde yer alacaktır.

Ters fonksiyon

Bir sonraki birimde bir fonksiyonun yaptığı işi tamamen geri alan fonksiyonu inceleyeceğiz.

Ters fonksiyonun temel koşulları bileşkeyle yazılır:

f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A

f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.

Yani ters fonksiyon fikrini ifade edebilmek için bileşkeye ihtiyacımız vardır.

Matrisler ve lineer dönüşümler

İleride lineer cebirde matris çarpımının neden belirli bir biçimde tanımlandığını göreceğiz.

Temel nedenlerden biri şudur:

Matrisler lineer dönüşümleri temsil eder ve matris çarpımı, dönüşümlerin bileşkesini temsil eder.

Bu nedenle matris çarpımının sırası da önemlidir.

Zincir kuralı

Analizde bileşke fonksiyonların değişim hızını incelerken zincir kuralı ortaya çıkacaktır.

Kabaca:

Bir dönüşümün çıktısı başka bir dönüşümün girdisiyse, toplam değişim bu işlem zincirini takip eder.

Dolayısıyla ileride göreceğimiz zincir kuralının altında bugünkü bileşke fikri bulunur.

Dönüşümler ve simetriler

Çok daha ileride bir nesne üzerinde yapılan dönüşümleri art arda uygulayacağız.

Dönüşümlerin bileşkesi, grup teorisinin temel örneklerinden birini oluşturacaktır.

Bileşkenin ileride açtığı kapılar

1.05.01–03
Fonksiyon ve eşleme
        │
        ▼
1.05.04
Fonksiyonların bileşkesi
        │
        ├──────────→ 1.05.05 Ters fonksiyon
        │
        ├──────────→ Lineer dönüşümler
        │              │
        │              └──→ Matris çarpımı
        │
        ├──────────→ Bileşke fonksiyonların türevi
        │              │
        │              └──→ Zincir kuralı
        │
        └──────────→ Dönüşümlerin bileşkesi
                       │
                       └──→ Soyut cebir ve grup teorisi

18. Sınırlar ve sık yapılan hatalar

Hata 1 — Bileşkenin sırasını ters okumak

Yanlış düşünce:

g\circ f

“önce $g$ , sonra $f$ ” demektir.

Doğrusu:

(g\circ f)(x)=g(f(x))

olduğu için:

\boxed{\text{önce }f,\text{ sonra }g}

uygulanır.

Hata 2 — Her iki fonksiyonun otomatik olarak bileştirilebildiğini düşünmek

Bileşke için birinci fonksiyonun çıktısı ikinci fonksiyonun kabul ettiği girdiler arasında olmalıdır.

Kontrol edilmesi gereken fikir:

f(A)\subseteq\operatorname{Dom}(g).

Uyumluluk yoksa bütün $A$ üzerinde bileşke kuramayız.

Hata 3 — $g\circ f$ ile $f\circ g$ 'yi aynı sanmak

Genel olarak:

g\circ f\neq f\circ g.

Hatta bazı durumlarda biri tanımlıyken diğeri hiç tanımlı olmayabilir.

Hata 4 — Bileşkeyi yeni bir fonksiyon olarak görmemek

g\circ f

yalnızca “önce bunu, sonra şunu yap” talimatı değildir.

Uyumluluk sağlandığında:

g\circ f:A\to C

kendi başına bir fonksiyondur.

Dolayısıyla onun da:

tanım kümesi,
hedef kümesi,
görüntüsü,
birebirliği,
örtenliği

gibi özelliklerini inceleyebiliriz.

Hata 5 — Birleşme ve değişme özelliklerini karıştırmak

Bileşke birleşmelidir:

h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f.

Fakat genellikle değişmeli değildir:

g\circ f\neq f\circ g.

İki farklı soru

Birleşme özelliği: Parantezi değiştirebilir miyim?

Değişme özelliği: Fonksiyonların sırasını değiştirebilir miyim?

Bileşkede ilkine genel olarak evet, ikincisine genel olarak hayır cevabı verilir.

19. Bir bileşke problemi nasıl çözülür?

Bir bileşke gördüğümüzde şu sırayla düşünmek güvenlidir.

Adım 1 — Sağdaki fonksiyondan başla

g\circ f

ise önce $f$ uygulanır.

Adım 2 — Ara çıktıyı bul

Başlangıçtaki $x$ için:

x\mapsto f(x).

Adım 3 — Ara çıktının ikinci fonksiyon için geçerli olup olmadığını kontrol et

f(x)\in\operatorname{Dom}(g)

olmalıdır.

Adım 4 — İkinci fonksiyonu uygula

f(x)\mapsto g(f(x)).

Adım 5 — Bütün süreci tek fonksiyon olarak oku

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

Kısa kontrol yöntemi

Bir bileşke sorusunda semboller karışıyorsa formülü ezberlemeye çalışma.

Bir eleman seç ve oklarla takip et:

x\rightarrow f(x)\rightarrow g(f(x)).

Bileşkenin sırası kendiliğinden görünür hâle gelir.

20. Bileşkenin bize kazandırdığı yeni bakış

Şimdiye kadar bir fonksiyonu çoğunlukla:

\text{girdi}\longrightarrow\text{çıktı}

olarak görüyorduk.

Bileşkeyle birlikte daha güçlü bir fikir ortaya çıktı:

\text{girdi} \longrightarrow \text{ara durum} \longrightarrow \text{ara durum} \longrightarrow \text{çıktı}.

Bu zincirin tamamı yine bir fonksiyon olabilir.

Bu, matematikte çok önemli bir tasarım ilkesidir:

Karmaşık dönüşümler daha basit dönüşümlerin bileşkesinden oluşturulabilir.

Dolayısıyla bileşke yalnızca fonksiyonlarla yapılan yeni bir işlem değildir.

Fonksiyonları birbirine bağlama dilidir.

21. Kısa sentez

Neden vardı?

Birçok süreç tek aşamalı değildir. Bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona vererek ardışık işlemleri tek matematiksel nesne olarak ele almak istedik.

Ne öğrendik?

f:A\to B

g:B\to C

ise:

g\circ f:A\to C

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

Bileşke önce $f$ , sonra $g$ uygulanır.

Birinci fonksiyonun çıktıları ikinci fonksiyonun tanım kümesine uygun olmalıdır.

Fonksiyon bileşkesi birleşmelidir:

h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f,

fakat genel olarak değişmeli değildir:

g\circ f\neq f\circ g.

Her küme üzerinde:

\operatorname{id}_A(x)=x

biçiminde bir birim fonksiyon vardır.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Birden fazla eşlemeden oluşan işlem zincirini tek bir fonksiyon hâline getirebilir, bileşkenin tanımlı olup olmadığını kontrol edebilir ve bu yeni fonksiyonun yapısal özelliklerini inceleyebiliriz.

Sırada ne var?

Şimdi doğal bir soru doğuyor:

Bir fonksiyonun yaptığı dönüşümü başka bir fonksiyonla tamamen geri alabilir miyiz?

Bu soru bizi:

1.05.05 — Ters fonksiyon

birimine götürecektir.

22. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Fonksiyonların bileşkesine neden ihtiyaç duyduğumuzu kendi sözlerinle açıkla.
Neden

g\circ f

ifadesinde önce $f$ uygulanır?

Birinci fonksiyonun görüntü kümesi ile ikinci fonksiyonun tanım kümesi arasında nasıl bir ilişki bulunmalıdır?
Bileşkenin yalnızca “iki işlemi peş peşe yapmak” değil, kendi başına yeni bir fonksiyon olduğunu açıkla.

Teknik

Şu fonksiyonlar veriliyor:

A=\{a,b,c\}, \qquad B=\{1,2\}, \qquad C=\{u,v\}.

$f:A\to B$ :

$a\mapsto1$
$b\mapsto2$
$c\mapsto1$

ve $g:B\to C$ :

$1\mapsto v$
$2\mapsto u$

olsun.

$g\circ f$ fonksiyonunu açıkça yaz.

Şu zincirde bir $x\in A$ elemanının hangi sırayla taşındığını göster:

A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\xrightarrow{h}D.

Bütün zinciri tek bir bileşke ifadesiyle yaz.

Gerekçelendirme

Neden iki birebir fonksiyonun bileşkesinin de birebir olduğunu kendi sözlerinle açıkla.
Fonksiyon bileşkesinin neden genel olarak değişmeli olmadığını gösteren küçük bir örnek oluştur.
Neden

\operatorname{id}_B\circ f=f

olduğunu bileşke tanımından hareketle açıkla.

Şu iki ifadeyi karşılaştır:

h\circ(g\circ f)

(h\circ g)\circ f.

Her ikisinin de bir $x$ elemanını neden aynı sonuca götürdüğünü göster.

Transfer

Üç aşamalı gerçek veya matematiksel bir süreç düşün. Her aşamayı bir fonksiyon olarak tanımla ve bütün süreci bir bileşke olarak ifade et.
$f:A\to B$ ve $g:D\to C$ fonksiyonları verilmiş olsun. $B$ ile $D$ aynı küme değilse bile $g\circ f$ 'nin bütün $A$ üzerinde tanımlı olabileceği bir durum oluştur. Bunun için hangi koşulun yeterli olduğunu açıkla.
Bir işlem zincirinin son fonksiyonu bazı $C$ elemanlarına hiçbir zaman ulaşamıyorsa, zincirin tamamının örten olup olamayacağını gerekçelendir.

1.05.04 — Fonksiyonların Bileşkesi

1. Haritadaki yerimiz

2. Başlangıç problemi: iki aşamalı bir eşlemeyi tek adımda görmek

3. Neden ayrı bir bileşke kavramına ihtiyaç var?

4. Köken ve tarihsel not

5. Sezgi: çıktı yeni girdiye dönüşür

6. Biçimsel tanım

7. Bileşkeyi eleman izleyerek okumak

8. Tanım kümelerinin uyumu neden gerekli?

9. Bir bileşke örneği

ppp için

qqq için

rrr için

10. İşlem sırası neden önemlidir?

11. Üç fonksiyonu art arda uygularsak ne olur?

12. Birim fonksiyon: hiçbir şeyi değiştirmeyen fonksiyon

13. Önceki birimle bağlantı: bileşke birebirliği ve örtenliği korur mu?

İki birebir fonksiyonun bileşkesi

İki örten fonksiyonun bileşkesi

14. Bileşke hakkında ters yönde ne söyleyebiliriz?

15. Bileşkeyi bir işlem zinciri olarak düşünmek

16. Gerçek kullanım: bir süreci aşamalara ayırmak

17. Matematik içinde nerelerde yeniden karşımıza çıkacak?

Ters fonksiyon

Matrisler ve lineer dönüşümler

Zincir kuralı

Dönüşümler ve simetriler

18. Sınırlar ve sık yapılan hatalar

Hata 1 — Bileşkenin sırasını ters okumak

Hata 2 — Her iki fonksiyonun otomatik olarak bileştirilebildiğini düşünmek

Hata 3 — g∘fg\circ fg∘f ile f∘gf\circ gf∘g'yi aynı sanmak

Hata 4 — Bileşkeyi yeni bir fonksiyon olarak görmemek

Hata 5 — Birleşme ve değişme özelliklerini karıştırmak

19. Bir bileşke problemi nasıl çözülür?

Adım 1 — Sağdaki fonksiyondan başla

Adım 2 — Ara çıktıyı bul

Adım 3 — Ara çıktının ikinci fonksiyon için geçerli olup olmadığını kontrol et

Adım 4 — İkinci fonksiyonu uygula

Adım 5 — Bütün süreci tek fonksiyon olarak oku

20. Bileşkenin bize kazandırdığı yeni bakış

21. Kısa sentez

Neden vardı?

Ne öğrendik?

Neyi artık yapabiliyoruz?

Sırada ne var?

22. Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

$p$ için

$q$ için

$r$ için

Hata 3 — $g\circ f$ ile $f\circ g$ 'yi aynı sanmak