1.06.05 — Çelişkiyle İspat

Haritadaki yerimiz

Dünya 1 — Matematiksel Dil ve Temeller
Bölüm 1.06 — İspat ve Matematiksel Kesinlik
Seviye: [A] Ana Matematik Gövdesi

Bu noktaya kadar bir iddiayı ispatlamanın iki önemli yolunu gördük:

Doğrudan ispatta, bildiklerimizden başlayıp ulaşmak istediğimiz sonuca doğru ilerledik.
Karşıt ters ile ispatta, $P\Rightarrow Q$ yerine ona mantıksal olarak eşdeğer olan $\neg Q\Rightarrow\neg P$ ifadesini ispatladık.

Şimdi daha farklı görünen bir fikirle karşılaşacağız:

Bir iddianın yanlış olduğunu varsayacağız ve bu varsayımın matematiksel olarak imkânsız bir duruma götürdüğünü göstereceğiz.

Böylece o iddianın yanlış olamayacağı sonucuna ulaşacağız.

Önceki ve sonraki bağlantılar

Bu birimin zorunlu temeli:

1.02.05 — Matematiksel ifadelerin değili
1.02.06 — Mantıksal eşdeğerlik ve geçerli çıkarım
1.06.02 — İspat nedir ve neden örnek yeterli değildir?

Çelişkiyle ispat ileride özellikle:

irrasyonel sayıların varlığında,
asal sayılarla ilgili teoremlerde,
bir şeyin imkânsız olduğunu göstermede,
sonsuzluk argümanlarında,
Cantor'un sonuçlarında

yeniden karşımıza çıkacaktır.

Bir şeyi doğrudan kanıtlayamıyorsak ne yapabiliriz?

Başlangıç problemi

Bir matematiksel iddiamız olsun:

P

ve amacımız $P$ 'nin doğru olduğunu göstermek olsun.

Fakat $P$ 'ye doğrudan ulaşacak uygun bir yol göremiyoruz.

Şu soru akla gelebilir:

$P$ doğruysa ne olur? yerine
$P$ yanlış olsaydı ne olurdu? diye sorsak?

Yani geçici olarak:

\neg P

varsayımını kabul etsek?

Eğer bu varsayımdan hareket ederek mantıksal olarak imkânsız bir sonuca ulaşırsak ne söyleyebiliriz?

Buradaki fikir ilk bakışta garip gelebilir.

Bir şeyi kanıtlamak istiyoruz ama işe onun tersini kabul ederek başlıyoruz.

Tam da bu nedenle yöntemin neden çalıştığını dikkatle kurmamız gerekiyor.

Çelişki nedir?

Bir önerme ile onun değili aynı anda doğru olamaz.

Örneğin bir $R$ önermesi için:

R

\neg R

ifadelerinin ikisinin birden doğru olduğunu elde etmişsek bir çelişkiye ulaşmışız demektir.

Bunu bazen:

R\land\neg R

şeklinde, bazen de özel bir sembolle:

\bot

şeklinde gösteririz.

Buradaki $\bot$ sembolü çelişki, imkânsızlık veya yanlışlık durumunu temsil eder.

Temel fikir

Çelişkiyle ispatın özü şudur:

Kanıtlamak istediğin iddianın yanlış olduğunu varsay.
Eğer bu varsayım zorunlu olarak bir çelişkiye götürüyorsa, varsayımın kendisi mümkün değildir.

Dolayısıyla iddianın yanlış olması mümkün değildir.

Klasik matematiksel mantıkta bundan iddianın doğru olduğu sonucuna varırız.

Yöntemin iskeleti

Çelişkiyle ispatın mantıksal akışı

Kanıtlamak istediğimiz:
        P
        │
        ▼
Geçici olarak varsay:
       ¬P
        │
        ▼
Varsayımın sonuçlarını çıkar
        │
        ▼
Bir çelişkiye ulaş:
     R ve ¬R
        │
        ▼
¬P mümkün değildir
        │
        ▼
        P

Kanıtlanmak istenen P önermesinin değili varsayılır, bu varsayımdan bir çelişki çıkarılır ve P sonucuna ulaşılır.

Bunu sembolik olarak çok kısa biçimde şöyle düşünebiliriz:

\neg P\Rightarrow\bot.

Yani:

" $P$ yanlışsa imkânsızlık ortaya çıkıyor."

Bu da:

\neg\neg P

demektir.

Klasik mantıkta çift değilleme kaldırılabilir:

\neg\neg P\Rightarrow P.

Dolayısıyla:

P

sonucuna ulaşırız.

Bir olasılığı elemek

Burada $P$ 'yi doğrudan üretmeye çalışmıyoruz.

İki seçenek olduğunu düşünün:

$P$ doğru,
$P$ yanlış.

" $P$ yanlış" seçeneğini kabul ediyor ve bu seçeneğin kendi içinde imkânsız olduğunu gösteriyoruz.

Geriye yalnızca $P$ kalıyor.

Bu nedenle çelişkiyle ispatı zihinsel olarak:

“Yanlış olma ihtimalini ortadan kaldırmak”

şeklinde düşünebilirsiniz.

Çok basit bir örnek

Daha önce kümelerde tümleyen kavramını görmüştük.

Bir $A$ kümesinin tümleyeni $A^c$ , $A$ 'da olmayan elemanlardan oluşur.

Şimdi şu sonucu ispatlayalım:

A\cap A^c=\varnothing.

Yani bir küme ile tümleyeninin ortak hiçbir elemanı yoktur.

Çelişkiyle ispat

Tersini varsayalım.

Yani:

A\cap A^c\neq\varnothing

olsun.

Bu durumda kesişimde en az bir eleman bulunmalıdır. Ona $x$ diyelim:

x\in A\cap A^c.

Kesişimin tanımından:

x\in A

x\in A^c

olmalıdır.

Fakat $x\in A^c$ olması, tümleyenin tanımı gereği:

x\notin A

demektir.

Böylece aynı anda:

x\in A

x\notin A

sonuçlarını elde ettik.

Bu bir çelişkidir.

Dolayısıyla başlangıçta yaptığımız

A\cap A^c\neq\varnothing

varsayımı doğru olamaz.

O hâlde:

\boxed{A\cap A^c=\varnothing}

olmalıdır.

Bu ispatta önemli olan sonucun kendisinden çok argümanın biçimidir.

İddiamız:

A\cap A^c=\varnothing

idi.

Bunun değilini varsaydık:

A\cap A^c\neq\varnothing.

Bu varsayım bize bir $x$ elemanı verdi.

Sonra tanımları açtık ve:

x\in A \qquad\text{ve}\qquad x\notin A

çelişkisine ulaştık.

Neden doğrudan ispat yerine böyle bir şey yapıyoruz?

Bu örnek doğrudan da kolayca ispatlanabilir.

O hâlde çelişki yöntemi neden var?

Çünkü bazı iddialarda sonucun kendisi bize üzerinde çalışabileceğimiz fazla bilgi vermez, fakat sonucun değili çok güçlü ve somut bir varsayım verir.

Örneğin ileride şu tür iddialarla karşılaşacağız:

"Böyle bir sayı yoktur."

Doğrudan:

"Yok."

demekle başlayıp ilerlemek çoğu zaman zordur.

Ama tersini varsayabiliriz:

"Öyleyse böyle bir sayı olduğunu varsayalım."

Artık elimizde üzerinde işlem yapabileceğimiz bir nesne vardır.

Sonra bu nesnenin varlığının imkânsız olduğunu göstermeye çalışırız.

Çelişkinin sağladığı avantaj

Özellikle yokluk, imkânsızlık ve olamazlık içeren iddialarda, iddianın değili bize somut bir başlangıç noktası sağlayabilir.

Örneğin:

"Şu özelliğe sahip hiçbir $x$ yoktur."

iddiasının değili:

"Şu özelliğe sahip en az bir $x$ vardır."

şeklindedir.

Bu ikinci ifade bize bir $x$ seçme ve onun özelliklerini kullanma imkânı verir.

Bu nokta niceleyicilerin değili konusunda öğrendiğimiz şeyin doğrudan uygulamasıdır.

Örneğin:

\neg(\forall x\,P(x))

ifadesi:

\exists x\,\neg P(x)

olurken;

\neg(\exists x\,P(x))

ifadesi:

\forall x\,\neg P(x)

olur.

Çelişkiyle ispata başlamadan önce iddianın değilini doğru yazmak, yöntemin en kritik adımlarından biridir.

Bir koşullu ifadeyi çelişkiyle ispatlamak

Şimdi kanıtlamak istediğimiz şeyin:

P\Rightarrow Q

biçiminde olduğunu düşünelim.

Bu ifade ne zaman yanlıştır?

Daha önce gördüğümüz gibi yalnızca:

P

doğru ve

Q

yanlış olduğunda.

Dolayısıyla:

\neg(P\Rightarrow Q) \equiv P\land\neg Q.

Bu nedenle $P\Rightarrow Q$ biçimindeki bir teoremi çelişkiyle ispatlarken genellikle:

$P$ 'yi kabul ederiz.
$Q$ 'nun yanlış olduğunu varsayarız.
Bu ikisinden bir çelişki çıkarırız.
Dolayısıyla $P$ doğruyken $Q$ 'nun yanlış olamayacağını söyleriz.
Böylece $P\Rightarrow Q$ elde edilir.

Koşullu bir teoremde çelişkiyle ispat

İstenen:
P → Q

İfadenin yanlış olduğu tek durum:
P doğru
Q yanlış
   │
   ▼
P ve ¬Q varsay
   │
   ▼
Çelişki çıkar
   │
   ▼
P doğruyken Q yanlış olamaz
   │
   ▼
P → Q

P ise Q teoremini çelişkiyle ispatlamak için P ve Q'nun değili birlikte varsayılır ve bu varsayımlardan çelişki çıkarılır.

Karşıt ters ile ispatla aynı şey mi?

Hayır.

Birbirlerine benzeyebilirler, fakat mantıksal hareketleri farklıdır.

Karşıt ters ile ispat

P\Rightarrow Q

yerine doğrudan:

\neg Q\Rightarrow\neg P

ispatlanır.

Bir çelişkiye ulaşmak zorunda değiliz.

Çelişkiyle ispat

İddianın yanlış olduğunu varsayarız.

$P\Rightarrow Q$ için bu:

P\land\neg Q

varsayımıdır.

Sonra:

\bot

elde etmeye çalışırız.

Yöntem	Başlangıç	Amaç
Doğrudan ispat	$P$	$Q$ 'ya ulaşmak
Karşıt ters	$\neg Q$	$\neg P$ 'ye ulaşmak
Çelişki	İddianın değili	Bir çelişkiye ulaşmak

Sık karışan nokta

Çelişkiyle ispatta yalnızca "tersinden başlamak" yeterli değildir.

Asıl hedef:

R\land\neg R

gibi gerçekten mantıksal olarak imkânsız bir durum elde etmektir.

Bu yapılmadıysa henüz bir çelişki ispatı tamamlanmış değildir.

İkinci örnek: Bir varsayım kendi kendini yok edebilir

Şu mantıksal sonucu ele alalım:

Hem $P\Rightarrow Q$ hem de $P\Rightarrow\neg Q$ doğruysa, $P$ yanlış olmak zorundadır.

Başka bir deyişle:

(P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow\neg Q) \Rightarrow \neg P.

Çelişkiyle ispat

$\neg P$ 'yi göstermek istiyoruz.

Tersini varsayalım:

P.

Elimizde:

P\Rightarrow Q

olduğundan modus ponens ile:

Q

elde ederiz.

Aynı zamanda:

P\Rightarrow\neg Q

olduğundan yine modus ponens ile:

\neg Q

elde ederiz.

Dolayısıyla:

Q\land\neg Q.

Bu bir çelişkidir.

O hâlde $P$ varsayımı doğru olamaz:

\boxed{\neg P}.

Bu örnek çelişki yönteminin özünü neredeyse çıplak hâliyle gösteriyor:

Bir varsayım hem bir sonucu hem de o sonucun değilini zorunlu kılıyorsa o varsayım mümkün değildir.

Çelişki her zaman açıkça " $R$ ve $\neg R$ " biçiminde mi görünür?

Hayır.

Bazen çelişki:

R\land\neg R

şeklinde doğrudan görünür.

Ama bazen daha tanıdık bir imkânsızlık elde ederiz.

Örneğin daha sonraki matematikte şöyle sonuçlar çıkabilir:

0=1,

x<x,

veya bir sayı için aynı anda birbirini dışlayan iki özellik.

Bunların her biri, daha önce kabul ettiğimiz matematiksel yapı ile uyuşmadığından bir çelişkiyi temsil edebilir.

Garip sonuç, çelişki değildir

Bir sonucun:

şaşırtıcı,
beklenmedik,
sezgiye aykırı,
çok büyük,
çok küçük

olması tek başına çelişki oluşturmaz.

Çelişki, sonucun mantıksal veya matematiksel olarak imkânsız olmasıdır.

"Bu bana tuhaf geldi" bir ispat adımı değildir.

Çelişki nereden çıkmalı?

Burada çok önemli bir mantık noktası var.

Çelişkiyi elde ederken:

başlangıç varsayımını,
tanımları,
daha önce ispatlanmış sonuçları,
geçerli çıkarım kurallarını

kullanabiliriz.

Fakat kendisi zaten yanlış olan başka bir varsayımı gizlice ekleyip bundan çelişki çıkaramayız.

Örneğin:

$\neg P$ varsaydık.
Daha sonra hiçbir gerekçe olmadan yanlış bir ifade $S$ kabul ettik.
$S$ yüzünden çelişki çıktı.
"Demek ki $P$ doğru."

diyemeyiz.

Çünkü çelişkinin kaynağının $\neg P$ olduğunu göstermedik.

Çelişkinin sorumlusu

İyi bir çelişki ispatının mantıksal mesajı şudur:

Kabul ettiğimiz diğer bilgiler doğru kalırken, yalnızca iddianın değili bizi imkânsızlığa zorladı.

Bu nedenle değili terk etmek zorundayız.

Çelişkiyle ispat için pratik çalışma yöntemi

Bir problem gördüğünüzde hemen "çelişki yapayım" demek yerine şu sırayı deneyebilirsiniz.

1. Tam olarak neyi ispatlayacağını yaz

Örneğin:

P.

2. Bunun değilini dikkatle oluştur

\neg P.

Niceleyiciler varsa özellikle dikkat et.

3. Değilin sana ne verdiğini sor

Yeni bir:

eleman,
sayı,
eşitlik,
eşitsizlik,
varlık,
özellik

elde ediyor musun?

4. Tanımları aç

Varsayımın gerçekten ne söylediğini açık biçimde yaz.

5. Bilinen sonuçlarla ilerle

Ama hedefi unutma:

\bot.

6. Çelişkiyi açıkça belirt

Hangi iki ifadenin birbiriyle çeliştiğini yaz.

7. Sonucu bağla

Bu nedenle başlangıçtaki $\neg P$ varsayımı mümkün değildir; dolayısıyla $P$ doğrudur.

şeklinde ispatı kapat.

İspat yazımında yararlı kalıp

Birçok başlangıç düzeyi çelişki ispatı şu dil yapısıyla yazılabilir:

İddianın aksini varsayalım.
O hâlde ...
Tanımdan ...
Buradan ... elde edilir.
Fakat daha önce ... olduğunu biliyoruz.
Dolayısıyla ... ve ... aynı anda doğru olur ki bu bir çelişkidir.
O hâlde başlangıç varsayımımız yanlıştır.
Dolayısıyla istenen sonuç doğrudur.

Bu bir düşünme algoritması değil, düzgün bir ispatı yazıya dökmek için yararlı bir iskelettir.

Asıl matematik, çelişkiye götüren fikri bulmaktır.

Ne zaman çelişkiyle ispat düşünmeliyiz?

Kesin bir seçim kuralı yoktur. Aynı teoremin birden fazla ispatı olabilir.

Fakat bazı işaretler yöntemin yararlı olabileceğini düşündürür.

"Yoktur" veya "olamaz" türü sonuçlar

Örneğin:

Böyle bir nesne yoktur.

Tersini varsaydığınızda:

Böyle bir nesne vardır.

dersiniz ve artık üzerinde çalışabileceğiniz bir nesneniz olur.

İrrasyonellik gibi olumsuz özellikler

İleride bir sayının rasyonel olmadığını kanıtlamak istersek:

Rasyonel olduğunu varsayalım.

diyerek rasyonel sayıların yapısını kullanabiliriz.

Sonsuzluk iddiaları

Bir şeyin sonsuz sayıda bulunduğunu göstermek için bazen:

Sonlu sayıda olduğunu varsayalım.

deyip bütün nesneleri listelediğimizi düşünürüz. Ardından listenin dışında kalması gereken yeni bir nesne üretiriz.

Bir durumun imkânsızlığını göstermek

Belirli koşulların aynı anda sağlanamayacağını kanıtlamak için hepsinin sağlandığını varsayıp yapının kendi kurallarıyla çatıştığını gösterebiliriz.

İleride göreceğimiz iki klasik bağlantı

İrrasyonel sayılar

İleride:

\sqrt{2}

sayısının rasyonel olmadığını ispatlamak isteyeceğiz.

Çelişki yaklaşımında başlangıç hamlesi:

" $\sqrt2$ rasyoneldir."

varsayımı olacaktır.

Rasyonel sayıların yapısını öğrendikten sonra bu varsayımı açacak, sayı hakkında zorunlu sonuçlar çıkaracak ve sonunda birbirleriyle uyuşmayan sonuçlara ulaşacağız.

Burada önemli olan henüz ispatın ayrıntısı değil, yöntemin neden uygun olduğudur:

"rasyonel değildir" ifadesinin değili bize üzerinde çalışabileceğimiz güçlü bir cebirsel yapı verir.

Asal sayıların sonsuzluğu

İleride asal sayıların sonsuz sayıda bulunduğunu inceleyeceğiz.

Çelişki yaklaşımı şu biçimde başlar:

"Asal sayıların yalnızca sonlu sayıda olduğunu varsayalım."

Bu varsayım sayesinde bütün asal sayıların bir listesinin bulunduğunu düşünebiliriz.

Sonra bu listenin eksiksiz olamayacağını gösterecek yeni bir sayı oluşturma fikri ortaya çıkar.

Burada yine değilleme bize doğrudan ispatta sahip olmadığımız güçlü bir araç sağlar:

sonlu olduklarını varsayarsak hepsini tek bir liste içine kapatabiliriz.

Bu iki örneğin ayrıntılı ispatları ilgili sayı birimlerinde yapılacaktır.

Tarihsel gelişim

Çelişkiyle ispat çok eski bir ispat biçimidir ve tek bir matematikçinin bir anda icat ettiği bir yöntem değildir.

Yöntem özellikle antik Yunan matematiği ve mantığında belirgin biçimde görülür. Matematikçiler, bir varsayımın imkânsız bir sonuca götürmesinden yararlanarak o varsayımı reddeden dolaylı argümanlar kullandılar. Aristoteles de mantıksal akıl yürütme içinde "imkânsızlığa götürme" türü argümanları sistematik biçimde ele aldı.

Daha sonraki gelenekte yöntem Latince reductio ad absurdum, yani kabaca "saçmaya/imkânsızlığa indirgeme" adıyla anılmaya başladı.

Modern matematikte bu, belirli bir konuya ait özel bir teknik değil; sayı teorisinden analize, cebirden küme teorisine kadar çok geniş bir alanda kullanılan genel bir ispat yöntemidir.

Buradaki tarihsel hikâyenin merkezinde bir kişi değil, çok daha genel bir fikir vardır:

Bir varsayım matematiksel yapının kendi kurallarıyla uyuşmuyorsa o varsayım kabul edilemez.

Çelişkiyle ispat yapıcı olmak zorunda değildir

Bir yöntemin sınırını da görmek gerekir.

Bazen çelişkiyle ispat bize bir nesnenin var olmak zorunda olduğunu gösterebilir ama o nesneyi nasıl bulacağımızı söylemeyebilir.

Örneğin şematik olarak:

Hiçbir $x$ 'in $P(x)$ özelliğine sahip olmadığını varsayarız.
Bu varsayımdan çelişki çıkarırız.
Dolayısıyla:

\exists x\,P(x)

sonucuna ulaşırız.

Ama ispat bize belirli bir $x$ göstermemiş olabilir.

Varlık ile inşa etmek aynı şey değildir

Bir nesnenin varlığını kanıtlamak ile o nesneyi açıkça üretmek farklı şeylerdir.

Çelişki yöntemi bazı durumlarda:

"Böyle bir nesne mutlaka vardır."

sonucunu verirken:

"İşte o nesne budur."

demeyebilir.

Bu ayrım ileride yapıcı ve yapıcı olmayan varlık ispatları konusunda daha önemli hâle gelecektir.

Klasik mantık hakkında küçük ama önemli bir not

Bu derste kullandığımız standart matematiksel mantık klasik mantıktır.

Çelişkiden sonra:

\neg\neg P

elde edip:

P

sonucuna geçebilmemiz klasik mantığın kabul ettiği çift değilleme ilkesine dayanır.

İleri matematiksel mantıkta farklı mantık sistemleri de incelenir ve bu adımın otomatik kabul edilmediği sistemler vardır.

Fakat bu müfredatta şu anda kullandığımız standart matematiksel ispat anlayışında:

\neg\neg P\Leftrightarrow P

geçerlidir.

Bu nedenle çelişkiyle ispat tamamen meşru bir ispat yöntemidir.

Karşı örnek ile çelişkiyi karıştırmayalım

Bir evrensel iddiayı çürütmek istediğimizde çoğu zaman çelişki ispatına ihtiyacımız yoktur.

Örneğin birisi:

"Her küme boştur."

diyorsa, boş olmayan tek bir küme göstermek yeterlidir:

A=\{1\}.

Bu bir karşı örnektir.

Çelişki yöntemi gerekmeyen durum

İddia:

"Her kümenin tam olarak bir elemanı vardır."

Bunu yanlışlamak için:

\varnothing

veya

\{a,b\}

gibi tek bir karşı örnek yeterlidir.

İddianın değili varsayılıp uzun bir çelişki argümanı kurmaya gerek yoktur.

Dolayısıyla:

Bir iddiayı ispatlamak için çelişki kullanılabilir.
Evrensel bir iddiayı çürütmek için çoğu zaman tek bir karşı örnek yeterlidir.

İspat yöntemini seçerken amacımızı önce doğru belirlemeliyiz.

Sık yapılan hatalar

1. İddianın değilini yanlış almak

Özellikle niceleyicilerde bu çok yaygındır.

Örneğin:

\forall x\,P(x)

ifadesinin değili:

\forall x\,\neg P(x)

değildir.

Doğrusu:

\exists x\,\neg P(x).

Çelişki ispatı yanlış değille başlarsa bütün argüman yanlış problemi çözer.

2. Çelişkiye gerçekten ulaşmamak

"Bu sonuç çok garip oldu."

bir çelişki değildir.

İmkânsızlığın ne olduğu açıkça gösterilmelidir.

3. Kanıtlanacak sonucu gizlice kullanmak

$P$ 'yi ispatlamaya çalışırken, argümanın ortasında gerekçesiz biçimde $P$ 'yi kullanırsak döngüsel akıl yürütme yapmış oluruz.

Çelişki yöntemi bunu meşrulaştırmaz.

Başlangıçta kabul ettiğimiz şey:

\neg P

olmalıdır; $P$ değil.

4. Çelişkiden sonra başlangıç varsayımını unutmamak

Bir çelişki bulduğumuzda:

"Demek ki her şey yanlış."

sonucu çıkmaz.

Reddedilen şey, çelişkiye götürdüğünü gösterdiğimiz geçici varsayımdır.

5. Yöntemi gereksiz yere kullanmak

Doğrudan iki satırda ispatlanabilen bir teoremi on satırlık çelişki ispatına çevirmek matematiksel olarak yanlış değildir ama çoğu zaman iyi bir tercih değildir.

Amaç belirli bir yöntemi zorla kullanmak değil, iddianın yapısına uygun ispatı bulmaktır.

Bir ispatı okurken ne aramalıyız?

Bir metinde:

"Aksini varsayalım."

ifadesini gördüğümüzde otomatik olarak şu dört soruyu sormalıyız:

Asıl iddia ne?
Onun değili doğru yazılmış mı?
Hangi adımlarla ilerlenmiş?
Tam olarak nerede ve neden çelişki oluşmuş?

İspatı bu dört parçaya ayırabiliyorsanız artık yalnızca metni takip etmiyor, onun mantıksal mimarisini görmeye başlıyorsunuz.

Matematik haritasındaki yeri

Şu ana kadarki ispat yöntemlerimiz:

İspat
│
├── Doğrudan ispat
│      P'den başla → Q'ya git
│
├── Karşıt ters
│      ¬Q'dan başla → ¬P'ye git
│
└── Çelişki
       İddianın değilini varsay
                │
                ▼
             çelişki
                │
                ▼
       başlangıç varsayımını reddet

Bir sonraki birimde tek bir argümanın yetmediği durumlara geçeceğiz:

1.06.06 — Durumlara ayırma ve "ancak ve ancak" ispatları

Orada bazen matematiksel dünyanın birkaç olasılığa bölünmesi ve bütün olasılıkların ayrı ayrı ele alınması gerektiğini göreceğiz.

Kısa sentez

Neden vardı?
Bazı iddialara doğrudan ulaşmak zordur; fakat iddianın yanlış olduğunu varsaymak bize güçlü ve somut sonuçlar verebilir.

Ne öğrendik?
Çelişkiyle ispatta kanıtlamak istediğimiz $P$ yerine önce $\neg P$ varsayılır. Bu varsayım:

\bot

yani bir çelişki doğurursa $\neg P$ mümkün değildir ve klasik mantıkta $P$ sonucuna ulaşırız.

Neyi artık yapabiliyoruz?
Bir iddianın değilini doğru kurup bu varsayımdan hareketle basit bir çelişki ispatı oluşturabilir; yöntemi doğrudan ve karşıt ters ispatlardan ayırabiliriz.

Sırada ne var?
Bazı teoremlerde problem "tek bir varsayımı çürütmek" değil, birden fazla olası durumun tamamını kapsamak olacaktır. Bu bizi durumlara ayırma ve ancak ve ancak ispatlarına götürecek.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Çelişkiyle ispatta neden kanıtlamak istediğimiz iddianın kendisini değil, değilini varsayıyoruz?
Bir sonucun şaşırtıcı olması neden tek başına çelişki sayılmaz?
Çelişkiyle ispat ile karşıt ters ispat arasındaki temel farkı kendi sözlerinle açıkla.

Teknik

Aşağıdaki iddianın değilini yaz:

\forall x\,P(x).

Aşağıdaki koşullu ifadenin yanlış olduğu durumu sembolik olarak yaz:

P\Rightarrow Q.

Çelişkiyle ispat sırasında şu iki sonucu elde ettiğini düşün:

S

\neg S.

Bundan hangi geçici varsayımın reddedilebileceğini söyleyebilmek için ispat hakkında başka hangi bilgiyi bilmen gerekir?

Gerekçelendirme

Şu teoremi çelişkiyle yeniden ispatla:

A\cap A^c=\varnothing.

İspatında çelişkinin tam olarak hangi iki ifade arasında oluştuğunu açıkça belirt.

Bir öğrenci şöyle yazıyor:

" $P$ 'nin yanlış olduğunu varsaydım. Birkaç işlemden sonra beklemediğim bir sonuç buldum. O hâlde $P$ doğrudur."

Bu argümanın neden henüz ispat olmadığını açıkla.

Transfer

Elinde şu iki bilgi olsun:

P\Rightarrow Q

P\Rightarrow R.

Ayrıca:

\neg(Q\land R)

olduğunu biliyorsun.

Çelişki yöntemini kullanarak $\neg P$ sonucunu nasıl elde edebileceğini düşün ve ispatını yaz.

Genel biçimde:

"Şu özelliğe sahip hiçbir nesne yoktur."

iddiasını çelişkiyle ispatlamak istediğinde ilk varsayımının nasıl olması gerektiğini niceleyiciler kullanarak ifade etmeye çalış.

1.06.05 — Çelişkiyle İspat

Haritadaki yerimiz

Bir şeyi doğrudan kanıtlayamıyorsak ne yapabiliriz?

Çelişki nedir?

Yöntemin iskeleti

Çok basit bir örnek

Neden doğrudan ispat yerine böyle bir şey yapıyoruz?

Bir koşullu ifadeyi çelişkiyle ispatlamak

Karşıt ters ile ispatla aynı şey mi?

Karşıt ters ile ispat

Çelişkiyle ispat

İkinci örnek: Bir varsayım kendi kendini yok edebilir

Çelişki her zaman açıkça "RRR ve ¬R\neg R¬R" biçiminde mi görünür?

Çelişki nereden çıkmalı?

Çelişkiyle ispat için pratik çalışma yöntemi

1. Tam olarak neyi ispatlayacağını yaz

2. Bunun değilini dikkatle oluştur

3. Değilin sana ne verdiğini sor

4. Tanımları aç

5. Bilinen sonuçlarla ilerle

6. Çelişkiyi açıkça belirt

7. Sonucu bağla

Ne zaman çelişkiyle ispat düşünmeliyiz?

"Yoktur" veya "olamaz" türü sonuçlar

İrrasyonellik gibi olumsuz özellikler

Sonsuzluk iddiaları

Bir durumun imkânsızlığını göstermek

İleride göreceğimiz iki klasik bağlantı

Tarihsel gelişim

Çelişkiyle ispat yapıcı olmak zorunda değildir

Klasik mantık hakkında küçük ama önemli bir not

Karşı örnek ile çelişkiyi karıştırmayalım

Sık yapılan hatalar

1. İddianın değilini yanlış almak

2. Çelişkiye gerçekten ulaşmamak

3. Kanıtlanacak sonucu gizlice kullanmak

4. Çelişkiden sonra başlangıç varsayımını unutmamak

5. Yöntemi gereksiz yere kullanmak

Bir ispatı okurken ne aramalıyız?

Matematik haritasındaki yeri

Kısa sentez

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Teknik

Gerekçelendirme

Transfer

Çelişki her zaman açıkça " $R$ ve $\neg R$ " biçiminde mi görünür?