02.02.03 — İşlem Yasaları ve Aritmetiğin Yapısı

Haritadaki yerimiz

Bu birim, 02.02.01 — Toplama ve çıkarma ile 02.02.02 — Çarpma ve bölme birimlerinde öğrendiğimiz dört temel işlemin üzerine kuruluyor.

Şimdi yeni bir soru soracağız:

İşlemleri yalnızca yapabiliyor olmak yeterli mi, yoksa bu işlemlerin nasıl davrandığını belirleyen daha genel kurallar var mı?

Bu birimde öğreneceğimiz fikirler ileride cebirin temelini oluşturacak.

Özellikle:

parantez açma,
ifadeleri sadeleştirme,
denklemleri dönüştürme,
polinomlarla işlem yapma,
negatif sayıların işaret kurallarını gerekçelendirme,
matrisler ve soyut cebir gibi daha ileri yapılardaki işlem kurallarını anlama

bu temele dayanacak.

1. Başlangıç problemi: Aynı hesap neden farklı yollardan yapılabiliyor?

Aşağıdaki işlemi mümkün olduğunca kolay hesaplamaya çalış:

27+38+73

Soldan sağa gidersek:

27+38=65

65+73=138

buluruz.

Ama sayıları farklı biçimde düzenlersek:

27+73+38

olur ve

27+73=100

olduğu için hesap çok daha kolaylaşır:

100+38=138.

Neden sayıları yer değiştirebildik?

Neden sonuç değişmedi?

Bu, küçük bir hesap hilesinden daha önemli bir şey söylüyor.

Toplama işlemi belirli bir yapıya sahip.

Sayıların yerlerini değiştirmemize izin veren bir özelliği var.

Başka bir örnek düşünelim:

25\cdot17\cdot4.

Soldan sağa hesaplarsak önce

25\cdot17=425

bulmamız gerekir.

Ama şöyle yapabiliriz:

25\cdot4\cdot17

25\cdot4=100

olduğu için:

100\cdot17=1700.

Yine işlemi yeniden düzenledik fakat sonucu bozmadık.

Demek ki bazı hesaplamalarda şu soruyu sorabiliriz:

Hangi değişiklikleri yaparsam sonuç aynı kalır?

Bu soru bizi işlem yasalarına götürüyor.

2. İşlem yasalarına neden ihtiyaç var?

Bir işlemi öğrenmenin ilk düzeyi şudur:

İşlemi yapabiliyorum.

Örneğin:

8+5=13

veya

6\cdot4=24.

Fakat matematik ilerledikçe tek tek hesaplar yeterli olmaz.

Şunun gibi ifadelerle karşılaşırız:

a+b+c

a(b+c)

(x+y)(u+v).

Burada artık belirli sayılar yerine herhangi sayılar hakkında konuşuyoruz.

O zaman şunu bilmemiz gerekir:

sayıların yerini değiştirebilir miyiz?
parantezin yerini değiştirebilir miyiz?
bir çarpımı toplamın içine dağıtabilir miyiz?
bazı işlemler bizi kullandığımız sayı kümesinin dışına çıkarır mı?
işlemi hiç değiştirmeyen özel sayılar var mı?

Temel fikir

İşlem yasaları, tek tek hesapların cevaplarını değil, işlemlerin genel davranışını anlatır.

Örneğin

7+12=19

tek bir hesap bilgisidir.

Ama

a+b=b+a

ifadesi, uygun bütün sayılar için toplamanın nasıl davrandığını anlatan yapısal bir bilgidir.

Bu küçük fark, aritmetikten cebire geçişin başlangıçlarından biridir.

3. Tarihsel gelişim

Toplama ve çarpmanın bugün öğreneceğimiz özelliklerinin tek bir mucidi yoktur.

İnsanlar sayılarla işlem yapmaya başladıklarından beri bu örüntüleri pratik olarak kullanıyorlardı. Örneğin bir grup nesneye başka bir grup eklerken grupların hangi sırayla birleştirildiğinin toplam miktarı değiştirmediği doğal olarak gözlemlenebilir.

Fakat matematik geliştikçe yalnızca belirli sayılar üzerinde hesap yapmak yerine işlemlerin genel özelliklerini ifade etme ihtiyacı doğdu.

Sembolik cebirin gelişmesiyle

a+b=b+a

a(b+c)=ab+ac

gibi ifadeler, belirli örneklerden bağımsız genel kurallar olarak yazılabilir hâle geldi.

Daha ileri matematikte ise önemli bir düşünce sıçraması gerçekleşti:

Matematikçiler yalnızca “hangi sayılarla çalışıyoruz?” diye değil, “bu nesnelerin üzerindeki işlemler hangi yasalara uyuyor?” diye sormaya başladılar.

Bu bakış ileride grup, halka, cisim ve vektör uzayı gibi soyut yapıların ortaya çıkmasının temel düşüncelerinden biri olacaktır.

4. Bir işlemin bir sayı kümesi içinde kalması: kapalılık

Önce en temel yapısal sorulardan biriyle başlayalım.

İki doğal sayıyı topladığımızda ne elde ederiz?

Örneğin:

7+12=19.

Sonuç yine doğal sayıdır.

Başka örnekler:

3+8=11

100+25=125.

Aynı şey çarpma için de geçerlidir:

7\cdot12=84.

Sonuç yine doğal sayıdır.

Peki çıkarma?

7-12=?

Burada doğal sayılar içinde bir cevap bulamayız.

Henüz negatif sayıları sayı sistemimize eklemedik.

Demek ki toplama ile çıkarma arasında önemli bir yapısal fark var.

Kapalılık

Bir $S$ kümesindeki herhangi iki eleman üzerinde bir işlem yaptığımızda sonuç her zaman yine $S$ kümesinde kalıyorsa, $S$ kümesinin bu işleme göre kapalı olduğunu söyleriz.

Sembolik olarak, bir $\star$ işlemi için:

a,b\in S \quad\Longrightarrow\quad a\star b\in S.

Doğal sayılar üzerinde:

İşlem	Doğal sayılarda kapalı mı?	Örnek
Toplama	Evet	$7+5=12$
Çarpma	Evet	$7\cdot5=35$
Çıkarma	Hayır	$5-7$ doğal sayı değildir
Bölme	Hayır	$5\div2$ doğal sayı değildir

Kapalılığı, işlemin bizi bulunduğumuz dünyanın dışına çıkarıp çıkarmaması olarak düşünebilirsin.

Toplama ve çarpma doğal sayılar dünyasının içinde kalır.

Fakat çıkarma ve bölme bazen bu dünyanın sınırına çarpar.

Bu sorun ileride sayı sistemimizi genişletmemizin temel nedenlerinden biri olacak.

Bir sonraki büyük adımlardan biri tam olarak şu problemden doğacak:

3-7=?

Doğal sayılar çıkarma işlemine göre kapalı olmadığı için ileride negatif sayılara ve tam sayılara ihtiyaç duyacağız.

Daha sonra bölme işleminin oluşturduğu benzer problem bizi kesirlere ve rasyonel sayılara götürecek.

5. Değişme yasası: sırayı değiştirebilir miyiz?

Şimdi iki sayı düşünelim:

3+7=10.

Yerlerini değiştirelim:

7+3=10.

Sonuç değişmedi.

Aynı şeyi başka sayılarla da görürüz:

12+25=25+12.

Bu yalnızca birkaç örnekte ortaya çıkan tesadüf değildir.

Değişme yasası

Bir işlemde iki girdinin yerini değiştirmek sonucu değiştirmiyorsa işlem değişmelidir.

Bir $\star$ işlemi için:

a\star b=b\star a.

Toplama için:

a+b=b+a.

Çarpma için:

ab=ba.

Neden toplama değişmelidir?

Üç kırmızı taş ile beş mavi taşı bir araya getirelim.

Önce kırmızıları, sonra mavileri saymak:

3+5

verir.

Önce mavileri, sonra kırmızıları saymak ise:

5+3

verir.

Fiziksel koleksiyon değişmemiştir.

Bu yüzden:

3+5=5+3.

Aynı düşünce herhangi iki sonlu çokluk için geçerlidir.

6. Çarpma neden değişmelidir?

Çarpmanın değişme özelliğini dikdörtgen biçiminde görmek çok güçlüdür.

Üç sıra ve beş sütundan oluşan bir nokta dizisi düşün.

Bu dizideki nokta sayısını:

3\cdot5

olarak sayabiliriz.

Ama şekle diğer yönden bakarsak beş sıra ve üç sütun görürüz:

5\cdot3.

Her ikisi de aynı noktaları saydığı için:

3\cdot5=5\cdot3.

Çarpmanın değişme özelliği, bir dikdörtgenin

satır sayısı × sütun sayısı

ile

sütun sayısı × satır sayısı

hesaplarının aynı alanı veya aynı nesne sayısını vermesiyle görülebilir.

7. Ama her işlem değişmeli değildir

Çıkarmayı deneyelim:

8-3=5

ama

3-8

aynı sonucu vermez.

Hatta doğal sayılar içinde ikinci işlem şu aşamada yapılamaz.

Bölmede:

12\div3=4

ama

3\div12

aynı sayı değildir.

Değişme yasası her işlemde yoktur

10-4=6

iken

4-10\neq6.

Benzer biçimde:

20\div5=4

ama

5\div20\neq4.

Dolayısıyla çıkarma ve bölme değişmeli değildir.

“İşlem yasası” ifadesi, bütün işlemlerin bütün yasalara uyduğu anlamına gelmez.

Asıl önemli beceri şudur:

Hangi işlemin hangi özelliğe sahip olduğunu bilmek.

8. Birleşme yasası: sıra değil, gruplama

Şimdi üç sayı toplayalım:

2+3+7.

Önce $2$ ile $3$ 'ü toplayabiliriz:

(2+3)+7=5+7=12.

Ya da önce $3$ ile $7$ 'yi:

2+(3+7)=2+10=12.

Sonuç yine aynı.

Birleşme yasası

Üç veya daha fazla elemanla işlem yapılırken parantezlerin, yani gruplamanın, değiştirilmesi sonucu değiştirmiyorsa işlem birleşmelidir.

(a\star b)\star c = a\star(b\star c).

Toplama için:

(a+b)+c=a+(b+c).

Çarpma için:

(ab)c=a(bc).

Değişme ile birleşme aynı şey değildir

Bu ayrım çok önemlidir.

Değişme yasası elemanların sırasını değiştirir:

a+b=b+a.

Birleşme yasası elemanların sırasını değil, gruplamasını değiştirir:

(a+b)+c=a+(b+c).

İki yasa birlikte

Şunu hesaplayalım:

18+37+82.

Değişme yasasıyla:

18+82+37.

Birleşme yasasıyla:

(18+82)+37.

Böylece:

100+37=137.

Burada iki ayrı özelliği kullandık.

9. Çarpmanın birleşme yasası neden önemlidir?

Örneğin:

2\cdot3\cdot5.

İlk iki sayıyı gruplayabiliriz:

(2\cdot3)\cdot5=6\cdot5=30.

Ya da son ikisini:

2\cdot(3\cdot5)=2\cdot15=30.

Bu yüzden uzun bir çarpımda, parantez yoksa çarpanları uygun biçimde gruplamakta özgürüz.

Örneğin:

25\cdot13\cdot4.

Şöyle yapmak daha kolaydır:

(25\cdot4)\cdot13 = 100\cdot13 = 1300.

10. Çıkarma ve bölme birleşmeli değildir

Çıkarmayı deneyelim:

(10-3)-2=7-2=5.

Ama:

10-(3-2)=10-1=9.

Dolayısıyla:

(10-3)-2\neq10-(3-2).

Bölmede de:

(24\div6)\div2 = 4\div2 = 2.

Fakat:

24\div(6\div2) = 24\div3 = 8.

Yani:

(24\div6)\div2 \neq 24\div(6\div2).

Parantez neden önemlidir?

Toplama ve çarpma birleşmeli olduğu için aynı işlem art arda kullanıldığında bazı parantezleri yazmayabiliriz.

Fakat çıkarma ve bölmede parantez sonucu değiştirebilir.

Bu yüzden:

a-b-c

ifadesi ile

a-(b-c)

aynı şey değildir.

11. Dağılma yasası: iki işlem birbirine nasıl bağlanır?

Şimdi şu hesabı düşün:

7\cdot13.

$13$ sayısını:

13=10+3

olarak ayırabiliriz.

O hâlde yedi tane 13:

7(10+3)

demektir.

Her grubun içindeki $10$ ve $3$ parçalarını ayrı sayabiliriz:

7\cdot10+7\cdot3.

Yani:

7(10+3) = 7\cdot10+7\cdot3.

Dağılma yasasının alan modeli

          10              3
     ┌──────────────┬─────────┐
     │              │         │
     │              │         │
  7  │    7 × 10    │  7 × 3  │
     │              │         │
     │              │         │
     └──────────────┴─────────┘

        7 × (10 + 3)

Yediye on üçlük bir dikdörtgen, yediye on ve yediye üçlük iki dikdörtgene ayrılır; toplam alan değişmez.

Dağılma yasası

Çarpma, toplama üzerine dağılır:

a(b+c)=ab+ac.

Aynı biçimde:

(a+b)c=ac+bc.

Çıkarma için de:

a(b-c)=ab-ac

uygun olduğu durumlarda aynı yapıyı taşır.

Dağılma yasası çok önemlidir çünkü çarpma ile toplama arasında köprü kurar.

12. Dağılma yasası neden doğrudur?

Bir dikdörtgenin kenarları $a$ ve $b+c$ olsun.

Toplam alan:

a(b+c).

Dikdörtgeni biri $b$ , diğeri $c$ genişliğinde iki parçaya ayırırsak alanlar:

ab

ac

olur.

Toplam alan değişmediğine göre:

a(b+c)=ab+ac.

Bir zihinden hesap örneği

19\cdot7

hesabını doğrudan yapmak yerine:

19=20-1

yazabiliriz.

Dağılma yasası:

(20-1)\cdot7 = 20\cdot7-1\cdot7.

Dolayısıyla:

140-7=133.

Yani:

19\cdot7=133.

Bu yalnızca hızlı hesap tekniği değildir.

İleride cebirde:

3(x+5)=3x+15

yazabilmemizin nedeni de tam olarak aynı yasadır.

13. Dağılma yasasının ters yönü

Şu ifadeye bakalım:

6\cdot8+6\cdot2.

Her iki terimde de $6$ bulunduğunu fark edebiliriz.

Dağılma yasasını ters yönde kullanırsak:

6\cdot8+6\cdot2 = 6(8+2).

Böylece:

6\cdot10=60.

İleride çarpanlara ayırma dediğimiz cebirsel yöntemin temelinde de bu fikir bulunur.

Örneğin:

ax+ay=a(x+y).

Bu yeni bir sihirli kural değildir.

Sadece dağılma yasasının ters yönde okunmasıdır.

14. Birim eleman: işlemi hiç değiştirmeyen sayı

Bazı sayıların işlem içindeki rolü özeldir.

Her doğal sayı için:

a+0=a.

Örneğin:

17+0=17.

Toplama açısından $0$ , sayıya hiçbir şey yapmaz.

Benzer biçimde:

a\cdot1=a.

Örneğin:

17\cdot1=17.

Çarpma açısından da $1$ , sayıyı değiştirmez.

Birim eleman

Bir işlem altında herhangi bir elemanı değiştirmeyen özel elemana o işlemin birim elemanı denir.

Toplamanın birim elemanı:

0

çarpmanın birim elemanı:

1

olur.

Çünkü:

a+0=0+a=a

a\cdot1=1\cdot a=a.

$0$ ile $1$ farklı işlemlerin birim elemanlarıdır.

Örneğin:

a\cdot0=0

olduğu için $0$ , çarpmanın birim elemanı değildir.

Benzer biçimde:

a+1\neq a

olduğu için $1$ , toplamanın birim elemanı değildir.

15. Ters işlem fikri: yapılan işlemi geri almak

Toplama ile çıkarma arasında daha önce gördüğümüz önemli bir ilişki vardı.

8+5=13

ise:

13-5=8.

Çıkarma, yapılan toplamayı geri alabilir.

Benzer biçimde:

4\cdot6=24

ise:

24\div6=4.

Bölme de yapılan çarpmayı geri alabilir.

Ters işlem

İki işlemden biri diğerinin etkisini geri alabiliyorsa bu işlemler arasında terslik ilişkisi vardır.

Bu nedenle:

toplama ↔ çıkarma,
çarpma ↔ bölme

birbirleriyle ters ilişkili işlemlerdir.

Fakat burada önemli bir sınır vardır.

Doğal sayılar içinde ters işlem her zaman uygulanamaz.

Örneğin:

3-7

doğal sayılar içinde sonuç vermez.

Benzer biçimde:

3\div2

de doğal sayı değildir.

Bu durum yeni sayı sistemlerine ihtiyaç duymamızın temel nedenlerinden biridir.

16. Neden sıfıra bölme yapılamaz?

Çarpma ile bölmenin terslik ilişkisini kullanalım.

12\div3=4

demek:

3\cdot4=12

demektir.

Peki:

12\div0

için bir cevap $x$ olduğunu varsaysaydık ne gerekirdi?

0\cdot x=12.

Fakat herhangi bir sayı için:

0\cdot x=0.

Dolayısıyla böyle bir $x$ yoktur.

Bu yüzden sıfıra bölme tanımlanamaz.

Bu sonuç, “sıfıra bölmek yasaktır” biçiminde ezberlenecek keyfî bir kural değildir.

Çarpma ile bölmenin terslik ilişkisini korumaya çalıştığımızda böyle bir işlemin mümkün olmadığı görülür.

17. Parantez aslında ne söyler?

Şu iki ifadeye bakalım:

2+3\cdot4

ve:

(2+3)\cdot4.

İkisi aynı değildir.

İkinci ifadede parantez bize açıkça şunu söyler:

Önce $2+3$ işlemini tek bir bütün olarak ele al.

Dolayısıyla:

(2+3)\cdot4 = 5\cdot4 = 20.

İlk ifadede ise özel bir parantez yoktur.

Matematikte herkesin aynı ifadeyi aynı biçimde okuyabilmesi için işlem önceliği adı verilen bir yazım uzlaşması kullanılır.

Şimdilik temel kural:

Parantez içleri önce değerlendirilir.
Çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır.
Aynı öncelikteki işlemler uygun yazım sırasına göre değerlendirilir.

Bu nedenle:

2+3\cdot4

ifadesinde önce:

3\cdot4=12

ve sonra:

2+12=14

yapılır.

İşlem önceliğinin anlamı

İşlem önceliği bir aritmetik yasası değildir.

Yazılmış bir ifadenin nasıl okunacağını belirleyen ortak bir gösterim kuralıdır.

Amaç, her ifadeye gereksiz sayıda parantez koymadan anlamı tek ve açık tutmaktır.

18. Aynı öncelikteki işlemlerde dikkat

Şu ifadeyi düşünelim:

20\div5\cdot2.

Çarpma ve bölme aynı öncelik düzeyindedir.

Dolayısıyla:

20\div5\cdot2 = 4\cdot2 = 8.

Bunu:

20\div(5\cdot2)

olarak okuyamayız.

Çünkü ikinci ifade:

20\div10=2

sonucunu verir.

Benzer durum toplama ve çıkarma için de geçerlidir.

Örneğin:

10-3+2

ile

10-(3+2)

aynı ifade değildir.

Ezberlenmiş işlem önceliği hatası

“Çarpma her zaman bölmeden önce yapılır” veya “toplama her zaman çıkarmadan önce yapılır” biçiminde bir kural yoktur.

Çarpma ile bölme aynı düzeydedir.

Toplama ile çıkarma da aynı düzeydedir.

Parantez ise gruplamayı açıkça değiştirir.

19. İşlemlerin yapısal karşılaştırması

Artık dört işlemi yalnızca “hesap yapan semboller” olarak değil, farklı özelliklere sahip matematiksel işlemler olarak görebiliriz.

Özellik	Toplama	Çarpma	Çıkarma	Bölme
Doğal sayılarda kapalı	Evet	Evet	Hayır	Hayır
Değişmeli	Evet	Evet	Hayır	Hayır
Birleşmeli	Evet	Evet	Hayır	Hayır
Birim elemanı var	$0$	$1$	Bu anlamda yok	Bu anlamda yok
Diğer işlemle ters ilişkisi	Çıkarma	Bölme	Toplama	Çarpma

Aritmetiğin yapısı

Dört temel işlem birbirinin yalnızca farklı sembolleri değildir.

Her işlemin kendine özgü bir davranış profili vardır.

Matematiğin ilerleyen bölümlerinde önemli sorulardan biri sürekli şu olacaktır:

Bir yapıdaki işlem hangi yasalara uyuyor?

20. Değişme, birleşme ve dağılmayı karıştırmamak

Bu üç yasayı tek yerde görelim.

Değişme

Sıra değişir:

a+b=b+a.

Birleşme

Gruplama değişir:

(a+b)+c=a+(b+c).

Dağılma

Bir işlem başka bir işlemin içine yayılır:

a(b+c)=ab+ac.

Üç yasayı şöyle hatırlayabilirsin:

Değişme: Kim önce?

Birleşme: Kim kiminle grup?

Dağılma: Dışarıdaki çarpan içeride kimlere ulaşır?

Bu ifadeler tanımların yerine geçmez; yalnızca zihinsel ayrımı korumaya yardımcı olur.

21. Neden bu yasalar yalnızca “hesap kolaylığı” değildir?

İlk bakışta işlem yasaları hızlı hesap yapmak için kullanılıyor gibi görünebilir.

Gerçekten de:

48\cdot102

işlemini:

48(100+2)

şeklinde yazıp:

4800+96=4896

bulmak pratiktir.

Ama asıl önemleri bundan çok daha büyüktür.

Şu ifadeyi düşün:

3(x+5).

$x$ 'in hangi sayı olduğunu bilmiyoruz.

Buna rağmen dağılma yasası sayesinde:

3(x+5)=3x+15

diyebiliriz.

Artık belirli bir hesap yapmıyoruz.

Her olası $x$ için doğru olan yapısal bir dönüşüm yapıyoruz.

İşte cebir tam olarak burada filizlenmeye başlar.

22. Aynı cevap çıkması yetmez: dönüşümün gerekçesi önemli

Daha sonraki matematikte şöyle satırlar göreceğiz:

3(x+2)+4x

=3x+6+4x

=7x+6.

Bu satırlar rastgele sembol hareketleri değildir.

İlk geçiş:

3(x+2)=3x+6

dağılma yasasına dayanır.

Sonraki yeniden düzenleme ise toplamanın değişme ve birleşme özelliklerinden yararlanır.

Matematiksel manipülasyon

Bir ifadeyi dönüştürmek, sembolleri istediğimiz yere taşımak değildir.

Her geçişin arkasında sonucu veya değeri koruyan matematiksel bir gerekçe bulunmalıdır.

Bu düşünce ileride denklem çözerken, polinomları çarpanlara ayırırken ve ispat yaparken kritik olacaktır.

23. Bir işlemin hangi özelliğe sahip olmadığını bilmek

Matematikte yalnızca doğru kuralları bilmek yetmez.

Kuralların nerede uygulanamayacağını da bilmek gerekir.

Örneğin:

8-3=3-8

yazamayız.

Çünkü çıkarma değişmeli değildir.

Aynı şekilde:

(12-5)-2 = 12-(5-2)

yazamayız.

Çünkü çıkarma birleşmeli değildir.

Ve:

a+(b\cdot c)

ifadesini genel olarak:

(a+b)(a+c)

biçiminde yazamayız.

Toplama, çarpma üzerine bu şekilde dağılmaz.

Her benzer görünen dönüşüm geçerli değildir

$a=2$ , $b=3$ , $c=4$ alalım.

Sol taraf:

2+(3\cdot4)=14.

Önerilen sağ taraf:

(2+3)(2+4)=5\cdot6=30.

Dolayısıyla:

a+bc\neq(a+b)(a+c)

genel olarak.

Bu tür karşı örnekler bize önemli bir matematiksel alışkanlık kazandırır:

Bir kuralı yalnızca biçim benziyor diye uygulama; koşullarını kontrol et.

24. Kullanım alanları

Zihinden ve verimli hesap

İşlem yasaları hesapları daha uygun biçimde düzenlememizi sağlar.

Örneğin:

46+99

yerine:

46+(100-1)

düşünüp:

146-1=145

bulabiliriz.

Ya da:

16\cdot25

için:

4\cdot4\cdot25 = 4\cdot100 = 400.

Burada çarpmanın birleşme özelliğinden yararlanırız.

Cebir

Cebirsel ifadelerin neredeyse bütün temel dönüşümleri işlem yasalarına dayanır.

Örneğin:

2(x+3)=2x+6

dağılma yasasıdır.

xy=yx

bildiğimiz sayıların çarpımında değişme yasasıdır.

(xy)z=x(yz)

birleşme yasasıdır.

Dolayısıyla ileride “cebir kuralları” diye göreceğimiz birçok şey aslında aritmetikte öğrendiğimiz yapının sembolik genellemesidir.

Sayı sistemlerinin genişlemesi

Kapalılık sorusu yeni sayı türlerinin ortaya çıkmasını anlamamızı sağlar.

Doğal sayılarda:

3-7

yapılamıyorsa sayı sistemini genişletmek isteyebiliriz.

Benzer biçimde:

3\div2

problemi başka bir genişlemeye yol açacaktır.

Yani işlem yasaları yalnızca mevcut sistemi anlatmaz; sistemin nerede yetersiz kaldığını da gösterir.

İleri matematik

İleride çok farklı nesneler üzerinde işlemler tanımlayacağız:

tam sayılar,
rasyonel ve reel sayılar,
fonksiyonlar,
matrisler,
vektörler,
permütasyonlar.

Bu nesneler ilk bakışta birbirinden tamamen farklıdır.

Ama yine şu soruları soracağız:

İşlem kapalı mı?

Değişmeli mi?

Birleşmeli mi?

Birim elemanı var mı?

İşte bu nedenle bugün öğrendiğimiz dil, çok daha sonra soyut cebirin temel diline dönüşecek.

25. Birkaç yapısal hesap örneği

Örnek 1 — Değişme ve birleşme

36+57+64

ifadesini kolay hesaplayalım.

$36$ ile $64$ 'ü yan yana getirmek isteriz.

Değişme:

36+64+57.

Birleşme:

(36+64)+57.

Böylece:

100+57=157.

Örnek 2 — Çarpmanın yapısını kullanmak

125\cdot8\cdot7

işleminde:

125\cdot8=1000.

Bu nedenle:

(125\cdot8)\cdot7 = 1000\cdot7 = 7000.

Burada birleşme yasasını kullandık.

Örnek 3 — Dağılma

23\cdot6

için:

23=20+3.

Dolayısıyla:

23\cdot6 = (20+3)6 = 20\cdot6+3\cdot6

=120+18 =138.

Örnek 4 — Dağılmanın ters yönü

9\cdot17+9\cdot3.

Ortak çarpan $9$ 'dur:

9\cdot17+9\cdot3 = 9(17+3)

=9\cdot20 =180.

26. Sık yapılan hatalar

Hata 1 — Değişme ile birleşmeyi aynı şey sanmak

a+b=b+a

değişmedir.

(a+b)+c=a+(b+c)

birleşmedir.

Birincisi sıra, ikincisi gruplama hakkındadır.

Hata 2 — Çıkarma ve bölmeye değişme yasasını uygulamak

Genel olarak:

a-b\neq b-a

ve:

a\div b\neq b\div a.

Hata 3 — Çıkarma ve bölmede parantezi önemsememek

(a-b)-c

ile:

a-(b-c)

genel olarak farklıdır.

Hata 4 — Dağılmayı eksik yapmak

Yanlış:

3(x+5)=3x+5.

Doğru:

3(x+5)=3x+15.

Dışarıdaki $3$ , toplamın iki terimine de ulaşır.

Hata 5 — Kapalılığın sayı kümesine bağlı olduğunu unutmak

Bir işlemin “kapalı” olması tek başına söylenmez.

Şu soru gerekir:

Hangi kümede kapalı?

Doğal sayılarda çıkarma kapalı değildir.

İleride sayı sistemimizi genişlettiğimizde bu durum değişecektir.

27. Aritmetiğin altında artık bir yapı görüyoruz

Bu noktaya kadar aritmetiğe şöyle bakmış olabiliriz:

Sayılar
  │
  ├── toplama
  ├── çıkarma
  ├── çarpma
  └── bölme

Ama artık daha derin bir görüntü ortaya çıkıyor.

Aritmetiğin yapısal görünümü

                    SAYILAR
                       │
          ┌────────────┴────────────┐
          │                         │
       TOPLAMA                   ÇARPMA
          │                         │
          ├── kapalı                ├── kapalı
          ├── değişmeli             ├── değişmeli
          ├── birleşmeli            ├── birleşmeli
          └── birim: 0              └── birim: 1
          │                         │
          └──────────┬──────────────┘
                     │
                     │ dağılma
                     │
              a(b+c)=ab+ac

      ÇIKARMA ve BÖLME
      bu özelliklerin hepsini taşımaz.

Sayıların üzerindeki işlemler farklı yasalara sahiptir; toplama ve çarpma kapalılık, değişme ve birleşme özellikleri taşırken dağılma yasası bu iki işlemi birbirine bağlar.

Matematiğin önemli bir kısmı aslında şu biçimde çalışır:

Bir nesneler kümesi seç.
Bu nesneler üzerinde işlemler tanımla.
İşlemlerin hangi yasalara uyduğunu incele.
Bu yasalardan sonuçlar çıkar.

Bugün bunu doğal sayılar ve temel aritmetik üzerinde ilk kez açık biçimde görüyoruz.

28. Matematik haritasındaki bağlantı

Bu birim birkaç önemli kapı açıyor.

Hemen sırada: negatif sayılar

Doğal sayılarda çıkarma kapalı değildir:

3-7

problemi bizi sayı sistemini genişletmeye zorlayacak.

Bu nedenle sonraki birimlerde negatif sayılar ortaya çıkacak.

Daha sonra: işaret kuralları

İleride:

(-2)(-3)=6

kuralını yalnızca ezberlemeyeceğiz.

Dağılma yasası ve işlem yapısının korunması üzerinden neden böyle olmak zorunda olduğunu göreceğiz.

Dünya 3: cebir

Cebirsel sadeleştirme ve parantez açma:

a(b+c)=ab+ac

gibi bugün öğrendiğimiz yasalara dayanacak.

Çok daha sonra: soyut cebir

Matematikçiler bu fikri daha da genelleyerek:

“Elemanların ne olduğu önemli değil; işlemler hangi aksiyomlara uyuyor?”

sorusunu soracaklar.

Grup, halka ve cisim gibi yapılar bu bakıştan doğacak.

Kısa sentez

Neden vardı?

Tek tek işlemleri yapabilmek, karmaşık matematikte yeterli değildir. Bir ifadeyi güvenle yeniden düzenlemek için işlemlerin hangi dönüşümlere izin verdiğini bilmemiz gerekir.

Ne öğrendik?

Bir işlemi artık yalnızca sonuç üreten bir yöntem olarak değil, belirli özelliklere sahip bir yapı olarak görüyoruz.

Temel özelliklerimiz:

\text{kapalılık}

\text{değişme}

\text{birleşme}

\text{dağılma}

\text{birim eleman}

oldu.

Ayrıca toplama–çıkarma ile çarpma–bölme arasındaki terslik ilişkisini gördük.

Neyi artık yapabiliyoruz?

Bir hesabı yeniden düzenlerken:

“Bunu yapmaya hangi yasa izin veriyor?”

sorusunu cevaplayabiliriz.

Ayrıca bir işlemin sahip olmadığı özellikleri de kontrol edebiliriz.

Sırada ne var?

Doğal sayıların önemli bir yapısal eksikliği ortaya çıktı:

3-7

gibi bir çıkarma işleminin sonucu doğal sayılar içinde bulunmuyor.

Bir sonraki aşamada sayı sistemimizi genişletmemiz gerekecek.

Öğrenme kontrolü

Kavrama

Değişme yasası ile birleşme yasası arasındaki farkı kendi sözlerinle açıkla.
“Bir işlem kapalıdır” cümlesinin neden tek başına eksik olduğunu açıkla.
Toplamada $0$ 'ın ve çarpmada $1$ 'in neden özel olduğunu anlat.
İşlem önceliği ile işlem yasalarının neden aynı tür şey olmadığını açıkla.

Teknik

Aşağıdaki hesabı işlem yasalarından yararlanarak kolaylaştır:

48+75+52.

Hangi yasayı kullandığını belirt.

Aşağıdaki çarpımı uygun biçimde grupla:

25\cdot37\cdot4.

Dağılma yasasını kullanarak hesapla:

98\cdot7.

Dağılma yasasının ters yönünü kullan:

13\cdot24+13\cdot6.

Gerekçelendirme

Aşağıdaki iddianın yanlış olduğunu bir karşı örnekle göster:

a-b=b-a.

Aşağıdaki iddianın yanlış olduğunu bir karşı örnekle göster:

(a-b)-c=a-(b-c).

Doğal sayıların neden bölme işlemine göre kapalı olmadığını tek bir örnekle göster.
Neden:

a(b+c)=ab+ac

olduğunu dikdörtgen alanı veya gruplama düşüncesiyle açıkla.

Transfer

Bir öğrenci şöyle yazıyor:

7(x+3)=7x+3.

Hatanın yalnızca doğru cevabını değil, hangi işlem yasasının yanlış kullanıldığını açıklayarak düzelt.

Başka bir öğrenci:

18-5-3=18-(5-3)

diyor.

İki tarafı hesapla ve hatanın altında hangi yapısal özelliğin bulunmadığını açıkla.

Yeni bir işlem tanımlandığını düşün:

a\star b=a+b+1.

Doğal sayılar üzerinde şu soruları araştır:

İşlem kapalı mı?
Değişmeli mi?
Birleşmeli mi?

Sonuçlarını yalnızca örneklerle tahmin etmekle kalma; nedenlerini açıklamaya çalış.